Ôn tập Sự vuông góc

 Sự vuông góc 
 Mục lục 
Loại 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông 
góc với mặt phẳng ............................................................. 1 
A. Nguyên tắc chung ..................................................... 1 
B. Một số ví dụ ............................................................. 3 
C. Bài tập ...................................................................... 9 
Loại 2. Hai mặt phẳng vuông góc ................................... 13 
A. Nguyên tắc chung ................................................... 13 
B. Một số ví dụ ........................................................... 14 
C. Bài tập .................................................................... 18 
Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng 
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 
Từ khóa : pham hong phong, su vuong goc
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
1 
Loại 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
A. Nguyên tắc chung 
* Để giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc , ta có thể làm như sau: 
+) Phương pháp 1: Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường 
thẳng kia. 
 
 
a P
b P
 


  a b . 
+) Phương pháp 2 (Sử dụng định lý ba đường vuông góc): Giả sử b' là hình chiếu vuông góc 
của b lên  P ,  a P . Khi đó 
a b  a b' . 
+) Phương pháp 3(Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc): 
b'/ /b
a b'



  a b . 
* Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể làm như sau 
+) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm 
trong mặt phẳng. 
 
 
a b
a c
b P
c P
b c
 







 vaø caét nhau
   a P . 
+) Phương pháp 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc): 
 
   
a / / Q
Q / / P



   a P , 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
2 
 
a / /a'
a' P



   a P . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
3 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Biết đáy ABC là tam giác vuông tại 
B . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SC . Chứng minh MN AB . 
Giải 
*  SA ABC ,  BC ABC  BC SA  1 . Mặt khác 
theo giả thiết: BC AB  2 . Từ  1 ,  2 suy ra: 
 BC SAB  BC SB , nói cách khác SBC vuông tại 
B 12NB SC   3 (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng 
với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). 
*  SA ABC ,  AC ABC  AC SA , nói cách khác SAC vuông tại A 
1
2NA SC   4 (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh 
huyền). 
* Từ (3), (4) suy ra NA NB  NAB cân tại N nên trung tuyến MN đồng thời là đường 
cao  MN AB (ĐPCM). 
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có mặt ABC là tam giác cân tại C , ABD là tam giác cân tại D . 
Chứng minh AB CD . 
Giải 
Gọi M là trung điểm của AB . DAB cân tại D nên 
trung tuyến DM đồng thời là đường cao  
AB MD  1 . Tương tự như thế, ta cũng chứng minh 
được AB MC  2 . Từ  1 ,  2 suy ra 
 AB DMC , lại có  DC DMC . Từ đó suy ra 
AB CD (ĐPCM). 
N
M
A C
B
S
M
D
A
C
B
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
4 
Ví dụ 3. [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ( AD / /BC ), 
BA BC a  , AD 2a , SA vuông góc với đáy. Chứng minh SCD là tam giác vuông. 
Giải 
Ta thấy AC là hình chiếu của SC lên  ABCD . Lại có 
 CD ABCD nên: CD SC  CD AC (Định lý ba 
đường vuông góc). 
Lấy M là trung điểm của AD . Dễ thấy tứ giác ABCM là 
hình vuông AD2CM AB a     ACM vuông tại C , 
nói cách khác: CD AC (ĐPCM). 
Ví dụ 4. [CĐABD09] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung 
điểm các cạnh SA , SD , BC . Chứng minh MN SP . 
Giải 
Ta có MN / /AD / /BC MN / /BC  1 . Mặt khác: 
ABC cân tại S nên trung tuyến SP đồng thời là 
đường cao SP BC   2 . Từ  1 ,  2 suy ra 
SP MN (ĐPCM). 
Ví dụ 5. [ĐHA07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Mặt bên SAD là tam giác cân 
tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , P lần lượt là trung điểm của SB , CD . 
Chứng minh AM BP . 
Giải 
a
a
2a M
S
A
B C
D
P
NM
I
S
A
B C
D
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
Lấy N , Q lần lượt là trung điểm của BC , AD . 
* Ta có: MN là đường trung bình của BSC  
MN / /SC (1). Hơn nữa: tứ giác ANCQ là hình bình hành 
 AN / /CQ (2) . Từ (1), (2) suy ra    AMN / / CQS 
(3). 
* SQ là trung tuyến của tam giác cân SAD  SQ AD . Mặt khác: AD là giao tuyến của hai 
mặt phẳng vuông góc  SAD và  ABCD nên  SQ ABCD . Lại có  BP ABCD . Từ đó 
suy ra BP SQ (4). 
BCP CDQ   (c.g.c)   CBP DCQ . Đặt I BP CQ  . Ta có 
       CIP 180 DCQ BPC 180 CBP BPC BCP 90           BP CQ (5). 
Từ (4), (5) suy ra:  BP CQS (6). 
* Từ (3), (6) suy ra:  BP AMN , hơn nữa  MA AMN  PB MA (ĐPCM). 
Ví dụ 6. [ĐHD02] Cho hình lập phương 1 1 1 1ABCD.A B C D . Gọi M , N , P lần lượt là trung 
điểm của 1BB , CD , 1 1A D . Chứng minh 1MP C N . 
Giải 
* Ta thấy  1 1 1PD CDD C  1D là hình chiếu vuông 
góc của P lên  1 1CDD C (1). Gọi Q là trung điểm của 
1CC  1 1MQ CDD C  . Do đó: Q là hình chiếu vuông 
góc của M lên 1CC (2). Từ (1), (2) suy ra 1QD là hình 
chiếu vuông góc của MP lên  1 1CDD C (3). 
IN
M
Q
P
B
C D
A
S
I
Q
P
N
M
A D
CB
A1
D1
C1B1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
* Lại có 1 1 1NCC QC D   (c.g.c)  1 1 1CC N C D Q . Đặt 1 1I NC QD  . Ta có 
       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1QIC 180 CC N D QC 180 C D Q D QC QC D 90           1 1C N QD 
(4). 
* Từ (3), (4) suy ra 1C N MP (ĐPCM). 
Ví dụ 7. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng 
H là trực tâm ABC khi và chỉ khi  OH ABC . 
Giải 
Đặt M AH BC  , N BH CA  . 
* Phần thuận: giả sử H là trực tâm ABC . Từ giả thiết của 
phần thuận suy ra BC AM (1). Từ giả thiết của bài toán: 
OA OB , OA OC OA mp(OBC)  , lại có 
BC mp(OBC) , từ đây suy ra BC OA (2). Từ (1), (2) 
suy ra BC mp(OAM) , lại có OH mp(OAM) , từ đây 
suy ra OH BC (3). Một cách tương tự, ta cũng có 
OH CA (4). Từ (3), (4) suy ra OH mp(ABC) . 
* Phần đảo: giả sử OH mp(ABC) (5). Gọi H' là trực tâm của ABC . Từ chứng minh phần 
thuận ta có OH' mp(ABC) (6). Từ (5), (6) suy ra H H' hay H là trực tâm của ABC . 
Ví dụ 8. Cho tứ diện OABC có OA OB , gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) . 
Chứng minh H là trực tâm của ABC khi và chỉ khi OC (OAB) . 
Giải 
O
A
C
B
MHN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
Đặt M AH BC  . 
* Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm ABC . Từ giả 
thiết này, ta có BC AM (1). Từ OH mp(ABC) , 
BC mp(ABC) suy ra BC OH (2). Từ (1), (2) suy ra 
BC mp(OAM) , mà OA mp(OAM) . Từ đó suy ra 
OA BC (3). Theo giả thiết thì OA OB (4). Từ (3), (4) 
suy ra OA mp(OBC) , lại có OC mp(OBC) . Từ đây 
suy ra OA OC (5) . Một cách tương tự, ta cũng chỉ ra 
được OA OB (6). Từ (5), (6) suy ra OA mp(OBC) . 
* Phần đảo: giải thiết  OA OBC . Theo bài 3 thì H là trực tâm ABC . 
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , O là trực tâm của ABC , 
SA mp(ABC) , H mp(SBC) . Chứng minh H là trực tâm SBC khi và chỉ khi 
OH mp(SBC) . 
Giải 
* Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm SBC . Đặt 
M CO AB  , N CH SB  . Từ giả thiết suy ra: 
CN SB , CM AB . Gọi P là trung điêm của BC . Vì 
ABC đều, SBC cân tại S nên SH và AO đều đi qua P
. 
Vì AP và SP lần lượt là SP là các đường cao của các tam 
giác ABC và SBC nên AP và SP đều vuông góc với BC . 
Từ đó suy ra BC mp(SAP) . Lại có: OH mp(SAP) . Từ 
đó suy ra OH BC (1). 
AB là hình chiếu của SB lên mp(ABC) . Lại có: 
MC mp(ABC) , MC AB . Từ đó suy ra: MC SB hay 
SB MC (2). Lại có: SB NC (3). Từ (2), (3) suy ra: 
SB mp(CMN) OH SB  (4). 
O
A
C
B
MH
O
M P
S
A
B
C
HN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
Từ (3), (4) suy ra OH mp(SBC) . 
* Phần đảo: giải thiết OH mp(SBC) . Gọi H' là trực tâm SBC . Từ phần thuận suy ra 
OH' mp(SBC) . Từ đó suy ra H' H . Vậy H là trực tâm ABC . 
Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết 
AB 16a , CD 12a , MN 10a (a 0 ). Chứng minh AB CD . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có AB AC ,  SAC SAB . M là trung điểm BC . Chứng minh: 
SA BC . 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có đáy lớn là AD và A 90  . Biết 
AD 2BC 2AB  . 
1) Chứng minh: AC CD . 
2) Gọi E là trung điểm AD tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SBC và  SCD . 
3) Biết gócSCD 90  . Xác định góc giữa SA và BE . 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC . Gọi 
I là trung điểm BC . 
1) Chứng minh BC AD . 
2) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI . Chứng minh  AH mp BCD . 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có  SA mp ABC và đáy là tam giác vuông tại B . 
1) Chứng minh BC SB 
2) Từ A lần lượt kẻ hai đường cao AH , AK của các tam giác SAB và SAC . Chứng minh 
 AH mp SBC và  SC mp AHK  . 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD . 
Chứng minh 
1)  SO mp ABCD . 
2) AC SD .
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có AB CD , AC BD . Gọi H là trực tâm BCD . Chứng minh 
1)  AH BCD . 
2) AD BC .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
10 
Bài 7. Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy, ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm BC . 
Chứng minh: 
1)  BC SAM . 
2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SM . Chứng minh AH SB . 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có a 62SA  và các cạnh còn lại đều bằng a (a 0 ). Gọi I là 
trung điểm BC . Chứng minh  SI ABC . 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O ,  SA ABCD và SA AB . 
Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD . Chứng minh  OM AHD . 
Bài 10. Cho ABC cân tại A , I và H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC . Dựng 
 SH mp ABC , trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho MC 2MI và 
NA 2NS . Chứng minh  MN mp ABC . 
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh SB vuông góc với 
đáy  ABC . Qua B kẻ BH vuông góc với SA , BK vuông góc với SC . Chứng minh SC 
vuông góc với mặt phẳng (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC a , 
BC a 3 và SB a 2 . 
Bài 12. Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và 
OA OB OC a   . Kí hiệu K , M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA . 
Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng  OMN . 
1) Chứng minh rằng CE vuông góc với mặt phẳng  OMN . 
2) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a . 
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh bằng a . Mặt bên SAB là tam giác 
đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . 
1) Tính các cạnh của tam giác SIJ theo a . Chứng minh rằng SI vuông góc với mặt phẳng 
 SCD và SJ vuông với mặt phẳng  SAB . 
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ . Chứng minh rằng SH vuông góc với AC . 
3) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA . Tính độ dài 
đoạn thẳng AM theo a . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
11 
Bài 14. Cho tứ diện OABC có OA OB OC a   và  oAOB AOC 60  ,  0BOC 90 . 
1) Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 
2) Chứng minh OA CB . 
Bài 15. [ĐHB12] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA 2a , AB a . Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của A lên cạnh SC . Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng  ABH 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
12 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
13 
Loại 2. Hai mặt phẳng vuông góc 
A. Nguyên tắc chung 
* Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và vuông góc 
với giao tuyến. 
* Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng các phương pháp sau đây 
+) Sử dụng định nghĩa: chứng minh một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc 
với mặt phẳng còn lại. 
+) Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng: chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
14 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có mặt ACD và BCD là các tam giác đều cạnh a . Biết 
a 6
2AB  , chứng minh    ACD BCD . 
Giải 
Lấy E là trung điểm của CD . AE là trung tuyến của tam giác 
cân ACD nên đồng thời là đường cao, do đó: CD AE (1). 
Tương tự, ta cũng chứng minh được CD BE (2). Từ (1), (2) 
suy ra: góc giữa hai mặt phẳng  ACD và  BCD chính là 
góc AEB . Ta thấy 
2 22a 3 a 62 2 3a
2 2 2AE BE 2
         
   
. 
 AEB vuông tại E  AEB 90  (ĐPCM). 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với 
đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SC . Chứng minh    SAC AHK . 
Giải 
* Theo giả thiết thì SC AK (1). 
* Ta chứng minh SC HK : 
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có 
2
2
SH.SB SA
SK.SC SA
 


  SH.SB SK.SC . Từ đây suy ra HKBC 
là tứ giác nội tiếp (2). 
Lại có: CB AB (giả thiết), CB SA (do  SA ABC )   SB SAB  CB SB (3). 
Từ (2), (3) suy ra SC HK (4). 
Từ (3), (4) suy ra  SC AHK     SAC AHK (ĐPCM). 
D
A
E
C
B
S
A
B
C
H
K
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
15 
Ví dụ 3. [ĐHB06] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB a , AD a 2 , 
SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD . Chứng minh    SAC SMB . 
Giải 
Đặt I AC BD  . Áp dụng định lý Pitago, tính được: 
AC a 3 , a 6BM
2
 . 
Vì hai tam giác IAM và ICB đồng dạng nên 
IA IC IA IC AC
AM BC AM BC AM BC

  
 
a 2
2
a 2
2
.a 3AM.AC a 3IA
AM BC 3a 2
   
 
. 
Tương tự: 
a 6a 2
2 2
a 2
2
.AM.BM a 6IM
AM BC 6a 2
  
 
. 
Ta có: 
2 2 2
2 2 2a 3 a 6 a 2IA IM AM
3 6 2
     
              
     
 IAM vuông tại I hay 
BM AC (1). 
Lại có SA mp(ABCD) , BM mp(ABCD)  BM SA (2). 
Từ (1), (2) suy ra BM mp(SAC)  mp(SMB) mp(SAC) (ĐPCM). 
Ví dụ 4. [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a . 
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết 
rằng mặt phẳng  AMN vuông góc với mặt phẳng  SBC . 
Giải 
a
a
a 2
I
M
S
B
A D
C
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
16 
* Lấy I là trung điểm của BC . ABC đều 
 AI BC , SBC cân  SI BC . Từ 
đó suy ra  BC SAI  1 . Lại có MN BC 
 2 . Từ  1 ,  2 suy ra  MN SAI  
MN SI
MN AJ



 ( J SI MN  )   SI, AJ 
chính là góc giữa hai mặt phẳng  AMN và 
 SBC  AJI 90  . 
* Dễ thấy J là trung điểm của SI  SAI cân tại A  a 32SA AI  . Lại có 
a 32
3 3AH AI  . Do đó 
a 152 2
6SH SA AH   . 
Vậy 
3a 3 15 a 51 1 1
S.ABC ABC3 3 2 2 6 24V S .AH a. a.
    
 
Ví dụ 5. [ĐHA03] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C'D' có các đáy là hình vuông cạnh 
a , AA ' b , M là trung điểm của CC' . Xác định tỷ số a
b
 sao cho    A'BD MBD . 
Giải 
Đặt I AC BD  . Ta thấy A'BD cân tại A nên 
trung tuyến A'I đồng thời là đường cao. Như vậy 
A'I BD (1). 
Tương tự ta cũng chứng minh được MI BD (2). 
Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng  A'BD và 
 MBD chính là góc giữa hai đường thẳng A'I và MI
. 
J
M
N
H I
C
B
A
S
b
a
a
M
I
A'
A
D' C'
B'
B
D
C
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
17 
Áp dụng định lý Pitago, ta tính được: 
2
2 2 bA'M 2a
4
  , 
2
2 2aA'I b
2
  , 
2 2
2 2 a bMI A'I
2 4
   . 
Thành thử    A'BD MBD  A 'IM 90   2 2 2A'M A'I MI   
2 2 2 2
2 2b a a b2a b
4 2 2 4
   
          
   
  
a 1
b
 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
18 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD là các 
tam giác cân tại S . Chứng minh    SAC SBD . 
Bài 2. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy. 
1) Chứng minh    SAB SBC . 
2) Gọi M là trung điểm AC . Chứng minh    SAC SBM . 
Bài 3. Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . Biết 
AC AD BC BD a    và CD 2x . Xác định x theo a sao cho    ABC ABD . 
Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a , I là trung điểm BC , D là điểm đối xứng của A qua I
. dựng đoạn a 6SD
2
 vuông góc với mp(ABC) . Chứng minh 
1)    SAB SAC . 
2)    SBC SAD . 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C , mặt bên SAC là tam giác đều 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 
1) Chứng minh    mp SBC mp SAC . 
2) Gọi I là trung điểm của SC . Chứng minh    mp ABI mp SBC . 
Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M và N lần lượt 
là các trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính diện tích tam giác AMN theo a biết rằng mặt 
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) . 
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C'D' cạnh a . Chứng minh    ACC'A' A'BD . 
Bài 8. Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi nào 
   AA'C'C BB'D'D .