Ôn tập: Phương trình tiếp tuyến

Ơn tập: Phương trình tiếp tuyến.
dạng 1: Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là :
 Từ x0 tính f(x0) ; · Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? 
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x- x0) + f(x0)
dạng 2: Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x) 
 + Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A 
	Pt đường thẳng (d) là : y = k(x - x1) + y1
 + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
 hệ phương trình : có nghiệm 
	Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận 
 dạng 3: Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
 tiếp tuyến ^ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = - 
 + giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
 + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? -> f(x0) = ?
 + Phương trình tiếp tuyến y = k (x - x0) + f(x0) 
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = -1 
 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 
 Lưu ý: Điều kiện tiếp xúc: Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt có nghiệm
 bài tập:
Cho hàm số , khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
Tại điểm cĩ hồnh độ 
Tại điểm cĩ tung độ y = 3.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 
Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng: 
Cho hàm số cĩ đồ thị là (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Viết phương trình tt của (C) tại giao điểm của (C) với trụng hồnh.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1,-1).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng hệ số gĩc của tiếp tuyến k = -13.
Cho hàm số .
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ tung độ y = 0.
Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đĩ kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Cho hàm số . Định m để tiếp xúc với trục hồnh.
Cho hàm số . Định m để tiếp xúc với trục hồnh.
Cho hàm số . Tìm tập hợp các điểm trên trục hồnh sao cho từ đĩ kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C).
Cho đồ thị hàm số . Tìm tập hợp các điểm trên trục hồnh sao cho từ đĩ cĩ thể kẻ được 3 tt với (C).
Cho đt hàm số . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tt đến (C).
đồ thị hàm số . Tìm các điểm trên đt y = 4 sao cho từ đĩ cĩ thể kẻ được 3 tt với (C).
BT10(§HNNHN 1998 )	Cho (Cm ) 
 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ m= 2
 Tõ kĨ ®­ỵc mÊy tiÕp tuyÕn ®Õn (C2) 
T×m m ®Ĩ hµm sè nghÞch biÕn trªn (-2;0)
BT11(§HSP2 HN 1999 )	Cho (C ) 
 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
 T×m trªn Ox nh÷ng ®iĨm kĨ ®­ỵc 3 tiÕp tuyÕn tíi (C) 
BT12(B¸o ChÝ 2001)	Cho (Cm ) 
 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ m=0
T×m m ®Ĩ hµm sè cã C§,CT
 CMR Tõ A(1;-4) kĨ ®­ỵc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn C0
BT13(§H KiÕn trĩc HN 1999) Cho 
T×m m ®Ĩ hµm sè cã 1 ®iĨm cùc trÞ
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ khi 
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cđa ®å thÞ ë c©u (2) biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua O(0;0) 
BT14(§HkiÕn Trĩc TPHCM 1991) Cho 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ khi m = 0
T×m A thuéc Oy kỴ ®­ỵc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ ë c©u (1)
T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh f(x)=0 cã 2 nghiƯm kh¸c nhau vµ lín h¬n 1
BT15(HV QHQT 1997)
 Cho 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ khi m = 1
T×m m ®Ĩ hµm sè cã c¸c C§,CT lËp thµnh tam gi¸c ®Ịu
BT16(§H §µ N½ng 1997) Cho 
T×m c¸c ®iĨm cè ®Þnh cđa hä ®­êng cong víi mäi m
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m=- 2
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é x=2
BT17(§HQG HN 1995) Cho (C) 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
BiƯn luËn sè nghiƯm ph­¬ng tr×nh 
 T×m a ®Ĩ (P) : tiÕp xĩc víi (C) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung t¹i tiÕp ®iĨm 
BT18(§HNN 1999) a,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ 
 b, ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cđa ®å thÞ t¹i giao ®iĨm cđa nã víi Ox
BT19 (§H Th¸i Nguyªn (D)1997)
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) 
 T×m trªn (C) c¸c ®iĨm cã to¹ ®é nguyªn
CMR: Kh«ng tån t¹i ®iĨm nµo thuéc (C) ®Ĩ tiÕp tuyÕn t¹i ®ã ®i qua giao ®iĨm cđa 2 ®­êng tiƯm cËn
BT20 (§H c¶nh S¸t 1997)Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) 
 ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã hƯ sè gãc b»ng 4 . T×m to¹ ®é tiÕp ®iĨm
BT21 (§HQGHN 1998)Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) 
 T×m trªn Oy c¸c ®iĨm kỴ ®­ỵc ®ĩng 1 tiÕp tuyÕn ®Õn (C) 
BT22(§H NT HN 2000 )	Cho (C) 
 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) 
Tõ M bÊt kú thuéc ®­êng th¼ng x=2 kỴ ®­ỵc bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®Õn (C) 
BT23(§HKTHN 1998 )	Cho (C) 
 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
 CMR trong sè c¸c tiÕp tuyÕn cđa (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iĨm uèn cã hƯ sè gãc nhá nhÊt
BT24 Cho (C) : y = f(x) = x4 - 2x2.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 
1. Tại điểm có hoành độ bằng .
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007
4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y =.
BT25 Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x2 - 2x - 3 đi qua M1(5;3).
 BT26 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ từ M(3; - 1).
BT27 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x - 2+ đi qua A(0;3).
BT28 Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)= đi qua H(1;1).
BT29 Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= -x3+3x2-4x+2.
BT30 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.
Ơn tập: pt bậc 2, bậc 3- tam thức bậc 2
I) Phương trình ax2+bx+c = 0 (1) :
1) Công thức nghiệm: Tính D = b2 - 4ac
-D < 0: Phương trình vô nghiệm.
-D = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
-D > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2=
* Chú ý :
-Nếu b chẵn thì đặt b’= và tính D’ = b’2 - ac 
-D’ < 0: Phương trình vô nghiệm.
-D’= 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
-D’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2=
- Nếu a, c trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a¹0) có 2 nghiệm x1, x2 thì:
 ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2).
- Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x=1 V x=.
- Nếu a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x = -1, x = -
2) Định lý Viet : Nếu phương trình ax2+bx+c= 0 (1) (a ¹ 0) có 2 nghiệm x1, x2 (điều kiện 
D ³ 0 ) thì tổng và tích các nghiệm là: S= x1+ x2 = và P = x1. x2 = 
3) Định lý đảo Viet: Nếu hai số x và y nghiệm đúng hệ thống x+y=S và xy=P (S2-4P³0)
	thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai dạng:X2 – SX + P = 0 (phương trình tổng tích)
4) Xét dấu các nghiệm x1 ,x2 của phương trình (1): 
	@ x1.x2 < 0 Û P < 0
	@ 0 0 và P > 0
	@ x1 £ x2 0
	@ x1 . x2 > 0 Û D ³ 0 và P > 0. Với D = b2-4ac ; S = và P = 
	Các biểu thức đối xứng thường gặp:
	;	;	
5) Dấu của tam thức bậc 2: 
	a) Dấu của tam thức bậc 2 : f(x) = ax2+bx+c (a¹0):Tính D = b2-4ac. Ta có:
D 0 , "xỴ|R
D = 0 : f(x) có nghiệm kép x1 = x2 = Þ af(x) > 0, "xỴ|R\ {}
D > 0 : f(x) có 2 nghiệm phân biệt : x1,2 = (giả thiết x1 < x2 )
b) Điều kiện cho f(x) = ax2+bx+c ( a¹ 0 ):
· f(x) > 0 " x Ỵ R 	· f(x) ³ 0 " x Ỵ R 
 ·f(x) < 0 " x Ỵ R 	 	· f(x) £ 0 " x Ỵ R 
c) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2: f(x) = ax2+bx+c (a¹0):
Nếu có số a làm cho af(a) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1< x2) và x1< a < x2..
d) So sánh số a với các nghiệm của f(x)= ax2+bx+c = 0 (a¹0) :
 Tính af(a); D = b2-4ac và .
1. x1 < a < x2 Û af(a) < 0
2. a < x1 < x2 Û	 Với 
 	 3.
4. f(a) = 0 Û x1 = a V x2 = 
5.Từ 4 trường hợp cơ bản này ta có thể so sánh các số a và b với các nghiệm của phương trình f(x) = ax2+bx+c = 0. 
Lưu ý : Nếu có af(a) 0.
Trường hợp
Điều kiện
a < x1 < b < x2
af(a) > 0 và af(b) < 0
 x1 < a < b < x2
af(a) < 0 và af(b) < 0
 x1 < a < x2 < b
af(a) 0
(a ; b) có chứa 1 nghiệm và nghiệm kia ngoài đoạn [a ; b]
a < x1 < x2 < b
 D > 0 và af(a) > 0 và af(b) > 0 và 
a < < b
II. Phương trình bậc 3: ax3+bx2+cx+d=0 (a¹0) (2):
 1. Giải và biện luận: Phương trình (2)Û(x-a)(ax2+b1x+c1)=0Ûx=a V ax2+b1x+c1=0 (2’)
	Biện luận:
Phương trình (2’) nghiệm .
Phương trình (2’) có nghiệm kép.
Phương trình (2’) có 1 nghiệm x=a.
Phương trình (2’) có 2 nghiệm nghiệm phân biệt khác x=a
	2. Hệ thức Viet: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm x1; x2 và x3 thì: x1+ x2+ x3 =; x1.x2.x3=; x1x2+ x2 x3+ x3x1 = 
vấn đề 1: Khảo sát hàm số
I. Đồng biến, nghịch biến
PP tìm khoảng đồng biến ngịch biến:
-Tìm TXĐ:( Nếu có mẫu số khác 0, căn bậc chẳn phaỉ o)
-Tính y, ,cho y/ = 0 ( nếu có ) 
-Lập bảng xét dấu của tam thức(xét dấu y/ )
-Kết luận:
 Nếu f,(x) > 0 hàm số f(x) đồng biến
 Nếu f,(x) < 0 hàm số f(x) ngịch biến
VD: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số sau:y = x3 – 3x2 + 2 
HD: y = x3 – 3x2 + 2 
+ TXĐ: R
+ y’ = 3x2- 6x = 3x(x – 2), y’ = 0 
+ Bảng biến thiên: 
+ KL: 	Hs đồng biến trên các khoảng (;0) và (2;)
 	 Hs nghịch biến trên khoảng (0; 2)
VD: y = - x3 + x2 – 5x + 9
 Hs nghịch biến trên R vì y’ = - x3 + 2x – 5 < 0, x R 
BÀI TẬP:
1. Xét tính đơn điệu của hàm số 
a) y = f(x) = x3 -3x2+1.	b) y = f(x) = 2x2 -x4.
c) y = f(x) = .	d) y = f(x) = .
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( -p ; p).	f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) = .	h) y= f(x) = x3-3x2.	i) .	
j) y= f(x) = x4-2x2. k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2p].
2. Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó :
a) y = x3-3x2+3x+2.	b) . c) . 
3. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = - x3 + x2 – 5x + 9 c) y = x4 – 8x2 + 7 
d) y = - x4 - 2x2 + 5 e) y = f) y = 
II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
· Dấu hiệu I :
 	+ MXĐ D=?
 	 + Đạo hàm : y/ = ? .. 
 cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) 
 	 + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý: 
-Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b).
- Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
đổi dấu qua x0
- x0 là cực trị của hàm số ĩ
· Dấu hiệu II:
 + Tìm TXĐ
 + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. 
 cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 .. .
 + Tính y//(x1); y//(x2).
 	 Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? 
 	 Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu 
 * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
-Cho h/s y = 	u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
 Và y/ = = dấu của y/ là dấu của g(x) 
-Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 u/v-v/u = 0 => . Do đó giá trị cực trị y(x0) = 
VD 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:.y = x3 - 3x2 – 9x + 5 
 HD: y = x3 - ...  ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè vµ trơc hoµnh, vµ hai ®­êng th¼ng x=0,x = 2 
Bài 3:Tính diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = x4 - x2 vµ trơc hoµnh
Bài 4: Tính diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng y = x2 - x vµ y = 3x
Bài 5: Tính diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng y = x3 - x vµ y = 3x
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 
.
.
.
.
.
. 
Bài 7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol tiếp tuyến với nĩ tại điểm M(3;5) và trục tung .
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay. 
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 quay quanh trục Ox và f(x) ³ 0 trên [a;b] thì V = 
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 quay quanh trục Oy và f(y) ³ 0 trên [c;d] thì V = 
Ví dụ: Tính thể tích vật trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường sau quanh trục Ox
a) , y = 0, x = 0 và x = 3
b) , y = 0, x = , x = 
Giải:a/
b/
Bài tập: 
1, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= -x2+3x-2, d1:y = x-1 và d2:y=-x+2	Kq: 
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x3-3x và đường thẳng y=2. Kq: 
3, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 	Kq: 
4, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3-x)2, Ox và x=2; x= 4. Kq: 2
5, Cho hai đường cong :.
a) (P1) và (P2) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) và (P2). 	Kq: 	
6, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y2+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y2-3y = 0 Û y=0 V y=3. Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
7, Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; .	Kq: 1
b) (C): y = x2 – 2x + 3 ; (d): y = 5 – x .	Kq:
c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6. 	Kq: 
d) (P): y = - x2 + 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung.	Kq: 9
e) (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 	Kq:
f) (C): y=x2-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ .	Kq: 
g).	Kq: 
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. 	Kq: 4
i) y2 = 2x + 1; y = x – 1 .	Kq: 
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2.	Kq: 2ln2-1
8,Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
9, Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 ;(d):y = . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và phần trên d của (E). 	
10, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2-x2 , (C): y= và Ox. Kq:
11, Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y2 = x3(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox.	 Kq: b) Quay quanh trục Oy.	 Kq: 
12, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=., tiệm cận ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.	 Kq: 2ln2 
13, Tính thể tích của vật thể trịn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nĩ quay xung quanh trục Ox .
 .
 .
 .
 Bài tập về thể tích và diện tích
1. (§H C«ng §oµn 99- 00) 
TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ .
2. (HV Ng©n Hµng TP. HCM 1999 - 2000)
a. TÝnh diƯn tÝch cđa miỊn kÝn giíi h¹n bëi ®­êng cong (C): , trơc Ox vµ ®­êng th¼ng x = 1.
b. Cho (H) lµ miỊn kÝn giíi h¹n bëi ®­êng cong (L): , trơc Ox vµ ®­êng th¼ng x = 1.
 TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay t¹o ra khi cho (H) quay quanh trơc Ox.
3. (§H HuÕ A, B, V CPB 99- 00)
TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c cong giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
4. (§H HuÕ A, B, V CB 99- 00)TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c cong giíi h¹n bëi c¸c ®­êng:
5. (§H N«ng NghiƯp I A99- 00)
a. (CPB) Cho D lµ miỊn ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cong: vµ 
	- TÝnh diƯn tÝch miỊn D.
	- TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®­ỵc t¹o thµnh khi cho D quay quanh trơc Ox.
b. (CB) Cho miỊn ph¼ng D bÞ giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
	- TÝnh diƯn tÝch miỊn D.
	- TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®­ỵc t¹o thµnh khi cho D quay quanh trơc Ox.
6. (§H N«ng NghiƯp I B99- 00)
 (PhÇn chung) TÝnh diƯn tÝch cđa h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng:
 (PhÇn dµnh cho ch­¬ng tr×nh CPB) Cho h×nh D giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
H·y tÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay ®­ỵc t¹o nªn khi cho D quay quanh trơc Ox.
7. (§H QG Hµ Néi B99- 00)
 TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay ®­ỵc t¹o thµnh do quay quanh trơc Ox h×nh ph¼ng h÷u h¹n bëi c¸c parabol: 
8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
HD: (đvdt)
9. (§H Th­¬ng M¹i 99- 00)
 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: x = -1; x = 2; y = 0 vµ y = x2 - 2x.
10. (§H Thủ Lỵi 99- 00) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ 
24. (§H C«ng §oµn 00- 01)
 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cã ph­¬ng tr×nh: 
25. (§H KiÕn Trĩc Hµ Néi 00- 01)
 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng cong (C), trơc hoµnh Ox vµ c¸c ®­êng th¼ng .
26. (§H Thủ S¶n 00- 01)
a. (CPB) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
b. (CB) Cho h×nh ph¼ng (G) giíi h¹n bëi c¸c ®­êng . Quay h×nh ph¼ng (G) quanh trơc Ox ta ®­ỵc mét vËt thĨ. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ nµy.
27. (C§ A, B00- 01) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng .
28. (C§SP Nhµ TrỴ- MÉu gi¸o Trung ¦¬ng I - CPB 00- 01)
 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau: vµ 
29. (§HDL Hïng V­¬ng D00- 01) Trong mỈt ph¼ng xOy, h·y tÝnh diƯn tÝch cđa h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: trơc Ox, x= -2, x= 2, y = x(x + 1)(x - 2).
30. (C§ KiĨm S¸t 00- 01) (CB) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng ®­ỵc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
 vµ y = 0, víi .
31. (§H BKHN-A2000) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng ®­ỵc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cong cã ph­¬ng tr×nh , trơc Ox vµ hai ®­êng th¼ng x=0 vµ 
32. Cho hµm sè (C). TÝnh diƯn tÝch cđa h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng cong (C), trơc Ox vµ c¸c ®­êng th¼ng x=1, x=-1
33. (§H QG TP. HCM A00- 01) Cho D lµ miỊn kÝn giíi h¹n bëi c¸c ®­êng 
a. TÝnh diƯn tÝch cđa miỊn D.
b. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®­ỵc t¹o thµnh khi ta quay (D) quanh trơc Oy.
34. (§H Hµng H¶i 00- 01) Cho h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi c¸c ®­êng vµ y = 4. TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra bëi h×nh ph¼ng (D) khi nã quay quanh:
a. Trơc Ox.
b. Trơc Oy.
35. (§H Thủ S¶n 00- 01)
a. (CPB) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
b. (CB) Cho h×nh ph¼ng (G) giíi h¹n bëi c¸c ®­êng 
 Quay h×nh ph¼ng (G) quanh trơc Ox ta ®­ỵc mét vËt thĨ. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ nµy.
36. (§HDL H¶i Phßng A00- 01)
a. (CPB) TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay do quay quanh trơc Oy phÇn m¹t ph¼ng h÷u h¹n ®­ỵc giíi h¹n bëi hai trơc to¹ ®é, ®­êng th¼ng x=1 vµ ®­êng cong .
b. (CB) TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay do quay quanh trơc Ox phÇn m¹t ph¼ng h÷u h¹n ®­ỵc giíi h¹n bëi hai trơc to¹ ®é, ®­êng th¼ng x=1 vµ ®­êng cong y= 1 + x3 .
37. (§H BK Hµ Néi A2001- 2002)
TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cã ph­¬ng tr×nh: vµ 
38. (HV CN BC VT 2001- 2002)
TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: 
39. (§H KTQD 2001- 2002)
 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng Parabol vµ c¸c ®­êng tiÕp tuyÕn víi Parabol nµy, biÕt r»ng c¸c tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iĨm .
40. (§H TCKT Hµ Néi 01- 02)
TÝnh diƯn tÝch cđa h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng vµ víi .
41. (§H C«ng §oµn 2001- 2002)
 Cho a > 0, tÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cã ph­¬ng tr×nh:
 vµ 
 T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ diƯn tÝch trªn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
42. (§H Y Hµ Néi 2001- 2002)
 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ .
43. (§H Y Th¸i B×nh 2002- 2002)
TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ .
44. (§H Y D­ỵc TP. HCM 01- 02)
Gäi (D) lµ miỊn ®­ỵc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng:
Vµ (D) n»m ngoµi parabol . TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®­ỵc t¹o nªn khi (D) quay xung quanh trơc Ox.
45. (§H An Giang A, B 01- 02)
TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ sinh ra bëi phÐp quay quanh trơc Ox cđa h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®­êng:
46. (§H §µ L¹t A, B01- 02) TÝnh diƯn tÝch S(t) cđa h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cđa hµm sè trªn ®o¹n [0;t] (t > 0) vµ trơc hoµnh. TÝnh .
47. (§HDL B×nh D­¬ng A01- 02) 
TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng:
48. (§H C§-A2002) 
TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng ®­ỵc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng vµ 
49. (§H C§-A2007) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng ®­ỵc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng , 
50. (§H C§-B2007) Cho h×nh H giíi h¹n bëi c¸c ®­êng . TÝnh thĨ tÝch cđa khèi trßn xoay khi quay h×nh H quanh trơc Ox
51. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a. .
	b. .	
	c. và trục Ox.	
	d. 	
	e. .
	f. .
	g. , trục Ox và x = 0; x = 1.
	h. .
	i. .
	j. .
	k. 
	l. và hai tiếp tuyến của nĩ tại các điểm A(0; -3), B(3; 0).
	ĐS: a. ; b. 9; c. 2; d. ; e. 4; f. 9/2; g. 4/3; h,i. 9/2; j. 125/6; 
	k. ;
	 l. PTTT của parabol tại A, B lần lượt là: 
	 Hồnh độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm phương trình: 
	 .
52. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 	 HD: 
bài tập trắc nghiệm v ề Ứng dụng của tích phân
C©u1: DiƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = x2 - 2x vµ trơc hoµnh b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 2
C©u2:DiƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè vµ trơc hoµnh,vµ hai ®­êng th¼ng x= 0, x = 2 b»ng:
	A. 3	B. 2	C. 1	D. KÕt qu¶ kh¸c 
C©u3: DiƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = x4 - x2 vµ trơc hoµnh b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
C©u4: DiƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = x(3 - x)2 vµ trơc hoµnh b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
C©u5: Sè ®o diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng y = x2 - x vµ y = 3x b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 32
C©u6: Sè ®o diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng y = x3 - x vµ y = 3x b»ng:
	A. 4	B. 8	C. 16	D. 32
C©u7: Sè ®o diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng y = x3 - 3x vµ y = -3x + 1, x = 0, x = 2 b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. KÕt qu¶ kh¸c 
C©u8: Sè ®o diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng y = x4 - 2x2 vµ y = -1 b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
C©u9: Sè ®o diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = x3 vµ y = 0, x = -1, x = 2 b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
C©u10: Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi hai ®­êng y = 0, y = x - x2. ThĨ tÝch cđa khèi trßn xoay ®­ỵc t¹o thµnh khi quay A quanh Ox b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
C©u11: Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = lnx, y = 0, x = 1, x = e . ThĨ tÝch cđa khèi trßn xoay ®­ỵc t¹o thµnh khi quay A quanh Oy b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. KÕt qu¶ kh¸c 
C©u12: Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = x3, y = 0, x = 1. ThĨ tÝch cđa khèi trßn xoay ®­ỵc t¹o thµnh khi quay A quanh Oy b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. p 
C©u13: ThĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra bëi hai ®­êng y = x2 vµ y = 2x khi nã quanh xung quanh trơc Ox b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Vấn đề 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di ĩ a = c; b = d. 2) mơđun số phức
3) số phức liên hiệp z = a+bi là = a - bi.
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) -( c+di) = (a-c)+(b-d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac - bd)+(ad+bc)i 
7) z = 
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với D = b2 - 4ac.
Nếu D = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép (nghiệm thực)
Nếu D > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: 
Nếu D < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức