Ôn tập Phương trình mũ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:Giải phương trình 
1): 
2 1
1 24.9 3.2
x
x
+
−
= 
Hdẫn: (1) 2 33 3( ) 1
22
x x−⇔ = ⇔ = . 
2) 1 2 4 37.3 5 3 5x x x x+ + + +− = − 
Hdẫn: (2) 1 1 133 5 ( ) 1 1
5
x x x x+ + +⇔ = ⇔ = ⇔ = − 
3) 5008.5
1
=
−
x
x
x
Hdẫn: 
3( 1) 3 1
3 2 3 3 3
1
3 3 3
11
5
(3) 5 .2 5 .2 5 2 5 (2 )
3 0 315 ( ) (5.2 ) 1
log 25.2 12
x x
x x x xx x x
x x xx
xx
x x
x
− −
−
− − −
− − −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
− =
=
⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ 
= − =
4) ( ) 745 4 3 4 3[ 27 ] 3x x x x− + = . ĐS: x=10. 
Phưong pháp 2: Đặt ẩn phụ: 
1) 2 222 2 3.x x x x− + −− = 
Hdẫn: Đặt 
2
2 ( 0)x x t t− = > . Phương trình trở thành: 
4 14 3
1( ) 2
t x
t
t l xt
= = − 
− = ⇔ ⇒ 
= − = 
2) 2 5 13 36.3 9 0x x+ +− + = . ĐS: x=-1; x=-2. 
3) 2 22 2 13 28.3 9 0x x x x+ + +− + = . ĐS: x=-2; x=1. 
4) 9 6 2.4x x x+ = 
Hdẫn: Chia cả 2 vế cho 4x ta được phương trình 2
3 3( ) ( ) 2 0
2 2
x x+ − = . ĐS: x=0 
5) 2 25 1 54 12.2 8 0x x x x− − − − −− + = . 
Hdẫn: Đặt 
2
2
5
2
32 5 1
2 ( 0) 94 5 2 4
x x
x
t x x
t t
t xx x
− −
=
= − − = = > ⇒ ⇒ ⇔ = =
− − = 
6) 1444 7325623
222
+=+ +++++− xxxxxx HVQHQT - D - 99 
7) ( ) ( ) 4347347 sinsin =−++ xx ĐHL - 98 
8) ( ) 12
12
2
12.62 13
3
=+−−
− xx
xx
 ĐHY HN - 2000 
9) ( ) 77,0.6
100
72
+= x
x
x
 ĐHAN - D - 2000 
10) 
112
3
13
3
1 +





+




 xx
= 12 HVCTQG TPHCM - 2000 
11) 1099
22
cossin
=+ xx ĐHAN - D - 99 
12) 1 1 24 2 2 12x x x+ + ++ = + ĐHTCKT - 99 
13) 2 22 1 2 22 9.2 2 0x x x x+ + +− + = ĐHTL - 2000 
14) ( ) ( )( ) ( )3243234732 +=−+++ xx ĐHNN - 98 
15) 06.3-1-7.35.3 1xx1-x1-2x =++ +9 A) khèi-2001 - øc§ hång H(§ 
16) 06.913.6-6.4 xxx =+ 
17) 205-3.1512.3 1xxx =+ + D) khèi- 2001 - huÕ H(§ 
18) 323 1-x1-2x += BD) - 2001 - «§ «ng§ lËp dan H(§ 
19) ( ) ( ) 1235635-6 xx =++ 2001) - nghÖ c«ngthuËt küDL H(§ 
20) 0326.2-4 1xx =++ D) khèi- 2001 - hiÕn v¨n lËp dan H(§ 
21) 0173.
3
269 =+





−
xx
22) 022 64312 =− −++ xx 
23) ( ) ( ) 43232 =++− xx 
Đặt ( )2 3 x− =t (t>0). phương trình trở thành : 2 3 21 4 22 3t xt xt t = − =+ = ⇔ ⇒  = −= +  
24) ( ) ( ) 02323347 =+−−+ xx 
25) 111
222
964.2 +++ =+ xxx 
26) 12.222 56165
22
+=+ −−+− xxxx 
27) 101616
22
cossin
=+ xx 
28) ( ) ( )7 5 2 ( 2 5) 3 2 2 3(1 2) 1 2 0x x x+ + − + + + + − = 
Hdẫn: Đặt 
3 2
2
(1 2) ; 0
( 2 5) 3 1 2 0
( 1)( ( 2 4) 2 1) 0
1 0
3 2 2 2
11 2
xt t
pt t t t
t t t
t x
t x
xt
= + >
⇔ + − + + − =
⇔ − + − + − =
= =
 ⇔ = − ⇒ = − 
  == + 
29) 2 1 2 2( 1)3 3 1 6.3 3x x x x+ + += + − + . ĐS: 3
11log (2 )
3
x = + 
30) Giải phương trình 
 . Đặt 
Giải phương trình trên ta được . 
Phương pháp 3: lôgarit hoá: 
1) 15 . 8 100x xx+ = 
ĐK: x nguyên dương 
2( 1) 3 2( 1) 2( 1) 2 2
2
2
5
(1) 5 .2 5 .2 5 2
log 5.( 2) 2
2
1 log 2( )
x x x x x x x x
x x x
x
x l
+ + + − − −⇔ = ⇔ =
⇔ − − = −
=
⇔ 
= − −
2) 2 23 2 6 2 52 3 3 2 xx x x x x+ + − + −− = − 
Hdẫn: 
2 ( 2)( 4)
2
3
(2) 2 2 2 ( 2)( 4)log 3
2
log 2 4
x x x
x x x
x
x
− − +⇔ = ⇔ − = − +
=
⇔ 
= −
Phương pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 
1) 3 4 5x x x+ = 
3 4(1) ( ) ( ) 1
5 5
x x⇔ + = 
+) Ta thấy x=2 là nghiệm của pt 
+ Nếu x>2 : VT<1 
+) Nếu x1 
2) 8 (3 1) 4x x + = . 
Pt có nghiệm x=1/3 
3) ( )3 2 ( 3 2) ( 5)x x x− + + = 
Hdẫn : 
3 2 3 2(3) ( ) ( ) 1
5 5
3 2 3 2
;0 1; ; 1
5 5
x x
u u v v
− +
⇔ + =
− +
= 
+Nếu 0 : 0; 1 1x xx u v VT≥ > ≥ ⇒ > 
+Nếu 0 : 1; 0 1x xx u v VT ⇒ > 
Vậy pt vô nghiệm. 
4) Cho a, b, c là các số dương, a<c, b<c. CMR : phương trình ax+bx=cx có một và chỉ một nghiệm. 
Hdẫn : ( ) ( ) 1 0x xa b
c c
⇔ + − = 
Đặt VT=f(x) . Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R, f(x) là hàm nghịch biến trên R 
0 0lim ( ) 1; lim ( ) ! : ( ) 0
x x
f x f x x f x
→+∞ →−∞
= − = +∞⇒ ∃ ∈ =
 hay pt có nghiệm duy nhất. 
5) 12 4 1x x x+ − = − 
Hdẫn : 2 (2 2 ) 1x x x⇔ − = − 
+x=1 là nghiệm 
+x>1 : VT0 
+x0 ; VP<0 
6) 22 3 1
x
x
= + 
Hdẫn : 
3 1( ) ( ) 1
2 2
x x⇔ + = . ĐS : x=2. 
7) 2 23.16 (3 10)4 3x xx x− −+ − + − 
Hdẫn : 
Đặt 24 ( 0).x t t− = > Pt trở thành : 
2
42
2
11 4 2 log 3
3 (3 10) 3 0 33
23 4 3
x
x
xt
t x t x
x
t x x
−
−

= = −= + − + − = ⇔ ⇒ ⇔  =
= − = − 
8) Giải phương trình: 
Phương trình tương đương với: 
Rõ ràng phương trình có là nghiệm 
Ta có 
 với 
; 
Suy ra là hàm liên tục,đồng biến và nhận cả giá trị âm,cả giá trị dương trên R nên phương trình có 
nghiệm duy nhất . 
Từ bảng biến thiên của hàm có không quá hai nghiệm. 
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm : . 
Chú ý : * Có thể chứng minh phương trình có nghiệm như sau : 
 Ta có : 
 Suy ra phương trình có nghiệm . 
9) Giải hệ phương trình: 
Hệ phương trình 
hoặc 
 CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ. 
Bài 1 : Tìm m để pt .2 2 5 0x xm −+ − = có nghiệm duy nhất. 
Giải : 
Đặt t=2x , t>o. Pt trở thành : 2
1 5 0 ( ) 5 1 0mt f t mt t
t
+ − = ⇔ = − + = 
+Nếu m=0 : t=1/5 (t.m) 
+ Nếu m≠0 : 
Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có duy nhất 1 nghiệm dương. Xét 3 TH : 
1 2
1 2
1 2
00 0
0 25
0 0 4
0
mt t m
t t m
m
t t m

 << < <
 = < ⇔ ∃ ⇔  =
 < = ≠ 
 ∆ =
Bài 2 : Cho pt : .16 2.81 5.36x x xm + = 
a) Giải pt khi m=3 
b) Tìm m để pt có nghiệm duy nhất. 
Hdẫn : Đặt 
9( ) ; 0
4
xt t= > . Pt trở thành 22 5 0.t t m− + = (2) 
a) x=0 ; x=1/2 
b) (2) 22 5m t t⇔ = − + 
Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có đúng một nghiệm dương. Khảo sát hàm số y=-2t2+5t trên 
(0 :+∞) ta được 25; 0
8
m m= ≤ 
Bài 3 : Tìm a để pt sau có nghiệm duy nhất : 
( ) ( )5 1 5 1 2x x xa+ + − = 
Hdẫn : 
5 1 5 1 1
2 2
x x
   + −
⇔ + =   
   
Đặt t=
5 1
2
x
 +
 
 
(t>0) phương trình trở thành : 21 0at t t a
t
+ = ⇔ − + = 
ĐS : 
10
4
a a≤ ∨ = . 
Bài 4 : Biện luận theo a, số nghiệm của phương trình 
7 3 5 7 3 5 8
2 2
x x
a
   + −
+ =   
   
Đặt t=
7 3 5
2
x
 +
 
 
(t>0), phương trình trở thành 2 28 8 0 8at t t a a t t
t
+ = ⇔ − + = ⇔ = − + . 
Khảo sát hs và lập bảng biến thiên 
+a>16 ; pt vô nghiệm 
+a=16 hoặc a≤0 : pt có nghiệm duy nhất 
+0<a<16 : pt có 2 nghiệm phân biệt 
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
2 2sin os81 81x c x m+ = 
Hdẫn: 
Đặt [ ]2sin81 1;81xt t= ⇒ ∈ . Phương trình trở thành: 81t m
t
+ = 
Khảo sát hàm số ta được kết quả 18≤m≤82 
Bài 6: Cho phương trình 
2 24 2 23 2.3 2 3 0x x m− −− + − = 
a) Giải phương trình khi m=0 
b) Xác định m để phương trình có nghiệm. 
Giải: Đặt ( ]223 0;9x t t− = ⇒ ∈ 
a) x=±1 
b) Khảo sát hàm số ( ]
2 3( ) ; 0;9
2 2
tf t t t= − + + ∈ được -30≤m≤2 
Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 
2 21 1 1 19 ( 2).3 2 1 0t ta a+ − + −− + + + = 
Hdẫn: Đặt t= [ ]21 13 3;9t t+ − ⇒ ∈ . Khảo sát hs được 644
7
a≤ ≤ 
Bài 8: Cho phương trình ( ) ( )2 2 12 1 2 1 0x x m−+ + − + = . Tìm m để phương trình có nghiệm 
Hdẫn: Đặt ( ) [ )22 1 1;x t t+ = ⇒ ∈ +∞ . Phương trình trở thành: 2 1m t
t
+
− = + 
Khảo sát hàm số [ )2 1( ) ; 1;f t t t
t
+
= + ∈ +∞ được 2 2 1 2 2 1m m− ≥ + ⇒ ≤ − + 
Bài 9: Cho phương trình 
2 22 2 2 4 2 25 5 2x mx x mx m x mx m+ + + + +− = + + . Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 
(0;2). 
Hdẫn: 
Đặt 
2
2
2
2 2
2
2 4 2
u x mx
v u x mx m
v x mx m
 = + +
⇒ − = + +
= + + +
Phương trình trở thành 5 5 5 5 ( ) ( )u v u vv u u v f u f v− = − ⇔ + = + ⇔ = với f(t)=5t+t 
Ta có f(t) là HSĐB trên R nên pt tương đương u=v 2( ) 2 0g x x mx m⇔ = + + = (*) 
Pt đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2) khi và chỉ khi pt (*) có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2). Khảo sát hàm số ta được 
kết quả không tồn tại m thoả mãn. 
Bài 10 : 
Bµi tËp tæng hîp vÒ ph−¬ng tr×nh mò 
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) 3
824 82
3 −
−
=
x
x b) 2121 333555 ++++ ++=++ xxxxxx 
c) ( ) 3 292 2222 2 +−=+− − xxxx x d) ( ) 2cos12cos 22 xx xxxx +=+ + 
e) 231224 3.23.2 +−++ = xxxx 
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph−ong tr×nh: 
a) ( ) ( ) 02.75353 =−++− xxx b) xxx 27.2188 =+ 
c) 02028
332
=−+
+
x
x
x d) 1
2
12
2
12.62 )1.(3
3
=+−−
− xx
xx 
e) 64)5125.(275.953 =+++ −− xxxx 
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) xxx 9133.4 13 −=− + b) 093.613.73.5 1112 =+−+− +−− xxxx 
d) 5lglg 505 xx −= f) 24223 2212.32.4 ++ +−=− xxxx 
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) 482 22
2 log.21log
−=
+ xx x b) 26log2
log
2
29.2 xx
x
−= 
d) 26.52.93.4
x
xx
=− e) ( )( ) ( )
32
43232
121 22
−
=−++
−−− xxx
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) ( ) 02.93.9232 =++− xxxx b) ( ) ( ) 021.2.232 =−+−− xx xx 
c) ( ) 0523.2.29 =−+−+ xx xx d) ( ) 035.10325.3 22 =−+−+ −− xx xx 
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) 1444 73.25623
222
+=+ +++++− xxxxxx b) ( ) 1224
222 11 +=+ +−+ xxxx 
c) xxx 6242.33.8 +=+ d) 20515.33.12 1 =−+ +xxx 
e) xxx 6132 +=+ 
Bµi 7: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) 27log3log 22 −=+ xxx b) 2312
x
x += 
c) 123223 1122 +++=++ ++ xxxx
xx
 d) 5log3log 22 xxx =+ 
Bµi 8: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) xx 2cos3
2
= b) ( ) xx xx 2.1.24 22 ++−= 
c) ( ) ( ) ( )xxx 5.22357 =+++ d) ( ) xx x ++= 12cos 22 2 
e) xx
6
217.9 =+ 
Bµi 9: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 
a) ( )211 124 2 −=− −− xxx b) 
x
x
x
x
x 1
2
122 22
2 211
−=−
−−
c) xxxxx 3cos.722
322 cos.4cos.3
=−
++ d) ( ) ( ) 134732 1 −=+−+ + xxx