Ôn tập Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác
Phương trình lượng giác gần cơ bản:
Câu 1:
Giải phương trình:
a) sin3x = b) c) 
Kq:
a) với k Z
b) 
c) x = k (k Z)
Câu 2:
Giải phương trình:
a) b) c) 
Kq:
a) ( k,lZ) b) c)
Câu 3:
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình.
Giải:
Ta có:
nên phương trình đã cho trở thành:
2x2 + 2x – 1 – 2k =0 (1) hoặc x = k (2) (với k Z)
Do k Z nên nghiệm dương nhỏ nhất có được từ (2) là x = 1
Xét (1) : nên (1) có nghiệm khi , do k Z nên k 0. Khi đó: nghiệm dương của (1) là 
Khi k = 0 ta có < 1
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là:.
Câu 4:
Giải phương trình : 
kq:
Câu 5:
Phương trình Asinx + Bcosx = C
Câu 1:
Cho phương trình: sinx + mcosx = 1
Giải phương trình với m = -
Tìm m để pt vô nghiệm.
Kq:
a) 
b) mọi m
Câu2:
Tìm x sao cho:
 là số nguyên.
Giải:
Ta tìm miền giá trị của y, tức là tìm y để pt có nghiệm đối với ẩn x.
Do 2 + cosx 0 với mọi x nên pt tương đương với : 
sinx - y.cosx = 2y – 1
Điều kiện để pt có nghiệm là:
1 + y2 (2y - 1)2 3y2 -4y 
Do đó y là số nguyên 
Câu 3:
Cho hàm số f(x) = acosx + bsinx bằng không tại x1 và x2 sao cho x1 – x2 
với mọi k Z.
Chứng minh rằng f(x) = 0 với mọi x.
Giải:
Giả sử a2 + b2 0. Do f(x1) = f(x2) = 0 nên 
Do: 
nên tồn tại sao cho:
Từ (1) và (2) ta có:
 với k = k1 – k2 Z mâu thuẫn với giả thiết. Vậy a2 + b2 = 0
suy ra: a = b = 0 nên f(x) = 0 với mọi x. (đpcm)
Câu 5:
Giải pt:
Sin 8x – cos6x = (sin6x + cos8x)
Giải:
Câu 6:
Giải các pt:
sin2x -cos2x =.
Sinx + cosx = sin4x.
Cos7x – sin5x = (cos5x – sin7x).
Sin2x – 2cos2x = 0,5 – sin2x.
Câu 7:
Cho pt:
 (m + 1)cosx + (m – 1)sinx = 2m + 3.
a) Tìm m để pt có nghiệm.
b) Chứng minh rằng: không có quá hai giá trị của m để pt có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn .
Câu 8:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
Câu 9:
CMR trong hai pt: acosx + bsinx = c và acotgx + btgx = 2c, có ít nhất một pt có nghiệm.
Câu 10:
Tìm a để pt: (a – 1)sinx + 2cosx = a2 có nghiệm. Tìm nghiệm trong những trường hợp này.
Câu 11:
Tìm m để mọi nghiệm của pt sinx + mcosx = 1 cũng là nghiệm của pt: 
msinx + cosx = m2.
Câu 12:
Giải phương trình:
Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
Câu1:
Cho pt: sinxcosx = 6 (sinx + cosx + m). (1)
Giải pt với m = -1.
Tìm m để pt có nghiệm.
Giải:
Đặt X = sinx + cosx ta có:
với m = -1 (2) trở thành:
 Do nên X = 1 
 Câu 2:
Giải phương trình:
Hd:
Đặt X = sinx + cosx [-] thay vào pt ta giải được:
vì điều kiện của X nên X = -1 suy ra nghiệm x
Chú ý:
Nếu các biểu thức trong pt có thể biểu diễn qua sinx – cosx và sinxcosx thì ta đặt ẩn phụ X = sinx – cosx [-].
Câu 3:
Giải pt:
 1 + sin2x = sinx + cosx.
Câu 4:
Giải pt:
Câu 5: 
Tìm a để pt: có nghiệm.
Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx.
Câu 1:
 Cho phương trình:
 (1)
Giải pt với m = 4.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
3(tan2x + cot2x) + m(tanx + cotx) – 1 = 0
Đặt X = tanx + cotx, với, ta có:
3(X2 – 2) + mX + 2 = 0 f(X) = 2X2 + mX – 4 = 0 (2)
Với m = 4 thì f(X) = 3X2 + 4X – 4 = 0 
Khi đó tanx + cotx = - 2 hay tanx = -1 
Vậy phương trình có nghiệm 
b)(1) có nghiệm khi (2) có nghiệm thoả mãn 
Nhận xét: (2) có P = - nên luôn có 2 nghiệm X1,X2 thoả mãn không thể đồng thời xảy ra. Do đó, (1) có nghiệm khi (2) có một nghiệm ngoài (-2;2) và một nghiệm trong(-2;2) 
Câu 2:
Giải pt:
 tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6
Chú ý:
Nếu gặp pt mà phải đặt ẩn phụ X = tanx – cotx thì với mọi X đều tồn tại x vì 
X = tanx – cotx = - 2cotx và khi đó tan2x + cot2x = X2 + 2
Ví dụ:
Câu 2: 
Cho phương trình:
 tan2x + cot2x = m(tanx – cotx) (1)
Tìm m để pt có nghiệm.
Kq: 
E.Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
 asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
Câu1:
Giải pt:
cos2x + 2sinxcosx + sin2x = 1
Kq:
 Câu 2:
Cho phương trình :
 msinx + (m + 1)cosx = 
a) Giải pt khi m = 0,5
b) tìm m để pt có nghiệm 
Câu 3:
Cho phương trình 
 (m2 – 2)sin2x – (m + 2)sin2x – cos2x = 2
tìm mđể pt có nghiệm.
Tìm m để pt có nghiêm thuộc (0;)
F.Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sinx và cosx.
Ta đã biết phương trình asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d. Bây giờ ta xét đến trờng hợp tổng quát hơn. Bậc của đơn thức umvn chính là m + n . Nếu f(u,v) là một đa thức của u và v gồm tổng những đơn thức cùng bậc k thi f(u,v) gọi là đa thức đẳng cấp bậc k của u và v. Khi đó 
F(nu;nv) = nkf(u,v)
Tuy nhiên, khi u = sinx, v = cosx thì việc bậc không đơn giản như vậy vì sin2x + cos2x = 1 .Chẳng hạn, u2v3 là đơn thức bậc 5, nhưng u2v3 = sin2xcos3x(sin2x + cos2x) = sin4xcos3x + sin2xcos5x =u4v3 +u2v5 thành thử u2v3 được viết thành tổng hai đơn thức bậc 7. Điều lưu ý này giúp ta khi nhận biết phương trình đẳng cấp tốt hơn. 
 Câu 1:
Giải phương trình:
 2sin3x = cosx.(1)
Giải:
với cosx = 0, pt không có nghiệm
với cosx 0, ta chia hai vế của phương trình cho cos3x và đặt X = tanx thì ta được:
 2X3 – X2 – 1 = 0 giải ra ta được X = 1 hay x = .
Câu 2:
Tìm m để phương trình :
msin2x + cos2x + sin2x + m = 0 (1) có nghiệm.
Kq: 
Câu 3:
Giải pt:
sin3x + cos3x =sin2x + sinx + cosx.
5cos4x + 3cos3xsinx + 6cos2xsin2x – cosxsin3x + sin4x = 2
 c) 6sinx – 2cos3x = 5sin2xcosx
H. Một số phương trình cần có sự biến đổi hoặc đặt ẩn phụ:
Câu1: 
Giải pt:
a)
b) 
c) 
Câu 2:
Cho pt:
 Sin4x +(sinx + 2)4 = m 
Tìm m để phương trình có nghiệm.
K. Phương trình lượng giác chứa căn.
 ĐK: 
Một số kiến thức hay sử dụng:
1 – cos2x = 2sin2x
1 + cos2x = 2cos2x
1 + sin2x = (sinx + cosx)2.
Câu 1:
Tìm của phương trình:
(1)
Giải:
Câu 2:
Giải phương trình:
(1)
ĐK: 
So sánh điều kiện, Ta có nghiệm của pt là:
Câu 3:
Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện: 
Câu4:
Giải phương trình:
Giải:
Nhận xét:
Sin2x – 2sinx + 2 =(sinx-1)2 + 1 > 0 với mọi x.
Đk: 
Câu 5:
Gpt: 
Đk: 
Câu 6:
Gpt:
 (1)
Giải:
Đk: 
Kết hợp điều kiện: sinx + cosx > 0 
Vậy phương trình có nghiệm: 
Câu 7:
Gpt:
Giải:
Nhận xét:
 nên ta có VT =VP = 2
Câu 8:
Giải pt:
Giải:
Câu 9:
Giải các pt:
Câu 10:
Gpt:
Giải:
Ta có: (1)
Mặt khác: (áp dụng bđt Bunhia)
( Hình câu 10 )
Từ (1) và (2) ta có:
Vậy phương trình có nghiệm: 
Bài tập về phương trình lượng giác
Câu 1: (Đề đại học khối A năm:2003 – 2004)
Giải phương trình:
Giải:
Đk: 
Khối A - 2007
1. Giải phương trỡnh: 
Vậy ta cú nghiệm :
Khối B – 2007 Cõu II : (2 đ)
1. Giải phương trỡnh : 
Khối D – 2007 Cõu II.
1. Giải phương trỡnh : 
CĐ Nghệ An 2007
Giải cỏc phương trỡnh:
Với điều kiện 
.
Vậy nghiệm là: 
Đề:
Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 1.5
HD: 
Đề:
Giải phương trình: 
Kq: 
Đề: 
Giải pt: (1 + cosx)(1 + sinx) = 2
Kq: 
Đề:
Giải pt: 
Đk: 
Đề: 
Giải pt: 
HD:
Đk:
Vậy phương trình vô nghiệm
Đề: Giải phương trình: sin2x + 2tanx = 3