Ôn tập Hình không gian: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

ÔN TẬP HÌNH KHÔNG GIAN
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp:
	– Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng α và β
	– Tìm đường thẳng a Ì a và đường thẳng b Ì β sao cho a ∩ b = I thì I là điểm chung của α và β
1. Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau
b) Trên các đoạn AB và AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD)
2. Trong mặt phẳng a cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Gọi c là một đường thẳng cắt a tại điểm I khác O
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O, c) và a
b) Gọi M là một điểm trên c khác I. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b). Chứng minh rằng giao tuyến này luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c
3. Cho hai mặt phẳng a và b cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy hai điểmA, B thuộc mặt phẳng a nhưng không thuộc d và một điểm O nằm ngoài a và b
Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt b tại A’ và B’. Giả sử đường thẳng AB cắt d tại C
a) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng
b) Chứng minh rằng ba điểm A’, B’, C thẳng hàng và từ đó suy ra ba đường thẳng AB, A’B’ và d đồng qui
4. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC, MP không song song với AD. Tìm các giao tuyến sau:
	a) (MNP) ∩ (ABC)	b) (MNP) ∩ (ABD)	c) (MNP) ∩ (BCD)	d) (MNP) ∩ (ACD)
5. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N, K. Tìm các giao tuyến sau:
	a) CD ∩ (ABK)	b) MK ∩ (BCD)	c) CD ∩ (MNK)	d) AD ∩ (MNK)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang. Tìm các giao tuyến sau:
	a) (SAC) ∩ (SBD)	b) (SAB) ∩ (SCD)	c) (SAD) ∩ (SBC)
7. Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M, N. Tìm các giao tuyến sau:
	a) (BMN) ∩ (ACD)	b) (CMN) ∩ (ABD)	c) (DMN) ∩ (ABC)
8. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J, K. Tìm các giao tuyến sau:
	a) (ABJ) ∩ (ACD)	b) (IJK) ∩ (ACD)	c) (IJK) ∩ (ABD)	d) (IJK) ∩ (ABC)
9. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau
b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) ∩ (JAD)
c) Gọi M là điểm trên đoạn AB; N là điểm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của (IBC) ∩ (DMN)
10. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng OA, BO, OC. Giả sử A’B’ ∩ AB = D, B’C’ ∩ BC = E, C’A’ ∩ CA = F. Chứng minh rằng 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngoài đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần lượt tại K và L. Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và CD lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Gọi O1= BN ∩ DM; O2 = BL ∩ DK và J = LM ∩ KN. Chứng minh rằng ba điểm A, J, O1 thẳng hàng và ba điểm C, J, O2 cũng thẳng hàng.
c) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H, chứng minh rằng điểm H nằm trên đường thẳng AC
12. Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB và ABC
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng
b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’, chứng minh rằng: 
c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
13. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho . Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua MN, cắt CD và BD lần lượt tại E và F
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định
b) Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF
c) Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE
14. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, AC, AD sao cho . Gọi I = MN ∩ BC và J = MP ∩ BD.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và NI; H = MG ∩ BE; K = GF ∩ (BCD), chứng minh rằng các điểm H, K, I, J thẳng hàng
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng a
Bước 1: Chọn một mặt phẳng b chứa a (b gọi là mặt phẳng phụ)
Bước 2: Tìm giao tuyến của a và b là đường thẳng d
Bước 3: Gọi M là giao điểm của a với d thì M là giao điểm của a với a
1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, K. Tìm các giao điểm sau:
	a) CD ∩ (MNK)	b)AD ∩ (MNK)
2. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BC lần lượt lấy các điểm M, N, P. Tìm các giao điểm sau:
	a) MN ∩ (ADP)	b) BC ∩ (DMN)
3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N. Tìm các giao điểm sau:
	a) BC ∩ (DMN)	b) AC ∩ (DMN)	c) MN ∩ (ACD)
4. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy một điểm O, tìm giao điểm của AM với các mặt phẳng (SBC), (SCD)
5. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm P. Tìm các giao điểm sau
	a) MP ∩ (ACD)	b) AD ∩ (MNP)	c) BD ∩ (MNP)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang. Trên cạnh SC lấy một điểm E
a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB, CD và EF đồng qui
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M, N và B
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)
b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P)
c) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC)
d) Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA, DC với (P). Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC
a) Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD)
b) Tính các tỉ số 
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC
a) Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
10. Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J. Tìm các giao điểm sau:
	a) IJ ∩ (SBC)	b) IJ ∩ (SAC)
7. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của:
	a) CD ∩ (MNP)	b)AD ∩ (MNP)
11. Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
9. Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy một điểm M
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng AB, CD, MN đồng qui
12. Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong 1 mặt phẳng
a) Xác định các giao tuyến sau: (AEC) ∩ (BFD); (BCE) ∩ (AFD)
b) Lấy điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm AM ∩ (BCE)
13. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD, ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC
b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD
c) Chứng minh rằng FK song song IJ
d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK)
14. Cho tứ diện SABC. Lấy các điểm A’, B’, C’lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho 3SA’ = SA; 2SB’ = SB; 2SC’ = SC
a) Tìm giao điểm E, F của các đường thẳng A’B’ và A’C’ lần lượt với mặt phẳng (ABC)
b) Gọi I và J lần lượt là các điểm đối xứng của A’ qua B’ và C’. Chứng minh rằng IJ = BC và BI = CJ
c) Chứng minh rằng BC là đường trung bình của tam giác AEF
15*. Trong mặt phẳng a cho tam giác đều ABC. Gọi b là mặt phẳng cắt a theo giao tuyến BC. Trong mặt phẳng b ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng một phía với a. Trên Bx và Cy ta lấy B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’
a) Tìm giao điểm D của đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) và tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng a
b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M sao cho 3AM = 2AC’. Tìm giao điểm I của đường thẳng B’M với mặt phẳng a và chứng minh I là trung điểm của AD
c) Chứng minh rằng nếu B’ và C’ theo thứ tự chạy trên Bx và Cy sao cho BB’ = 2CC’ thì mặt phẳng (AB’C’) luôn luôn cắt a theo một giao tuyến cố định
d) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC. Cạnh AC cắt DE tại G. Hãy tính tỉ số và chứng minh rằng AD = 2AF
16. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’
a) Dựng giao điểm D’ của mặt phẳng (P) với cạnh SD
b) Gọi I là giao điểm của A’C’ với SO. Chứng minh rằng: 
c) Chứng minh rằng: 
Dựng thiết diện với hình chóp
Phương pháp: để dựng thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng a ta làm như sau
Bước 1: Dựng giao tuyến của a với một mặt nào đó của hình chóp
Bước 2: Giới hạn đoạn giao tuyến là phần của giao tuyến nằm trong mặt đang xét của hình chóp
Tiếp tục hai bước trên với mặt khác của hình chóp cho đến khi các đoạn giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác, đa giác ấy là thiết diện
1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, CD, AD lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng (MNP)
2. Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SD lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCM)
3. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm I. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)
4. Cho hình chóp S.ABCD trên các cạnh SA, AB, BC lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
5. Cho hình chóp S.ABCD trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P.
a) Tìm giao điểm MN ∩ (ABCD)
b) Tìm giao điểm NP ∩ (ABCD)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
6. Cho tứ diện ABCD. Trong 3 tam giác ABC, ACD và BCD lần lượt lấy 3 điểm M, N, P.
a) Tìm giao điểm MN ∩ (BCD)
b) Dựng thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP)
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SB và SC.
a) Tìm giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
b) Tìm giao điểm SD ∩ (AMN)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)
9. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD ta lấy điểm M
a) Tìm giao tuyến (SBM) ∩ (SAC)
b) Tìm giao điểm của BM ∩ (SAC)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(ABM)
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm các cạnh CB và CD, M là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MHK)
12*. Cho hình chóp  ...  (d) và nằm trong mặt phẳng (P).
Bài 5: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình
 và (P): x + z + 2 = 0
Xác định số đo góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). Lập phương trình đường thẳng (d1) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài 10: Tam giác trong không gian
Bài 1: Cho ΔABC biết A(1, 2, 5), B(1, 4, 3), C(5, 2, 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0. Lập phương trình đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A. Gọi G là trọng tâm ΔABC. CMR điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phương khoảng cách đến các điểm A, B, C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chỉếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P). Xác định tọa độ của điểm M đó.
Bài 2: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ) của mặt cầu (S) với Ox, Oy, Oz. Xác định tọa độ của A, B, C và lập phương trình mặt phẳng (ABC). Lập phương trình các đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của ΔABC. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Bài 3: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4z – 4 = 0 và các điểm A(3, 1, 0), B(2, 2, 4), C(–1, 2, 1). Lập phương trình mặt phẳng (ABC). Lập phương trình các đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của ΔABC. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Chương 4: MẶT CẦU
Bài 1: Phương trình mặt cầu
Bài 1: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của mặt cầu, khi đó chỉ rõ tọa độ tâm và bán kính của nó
a. (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 6z + 2 = 0
b. (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z + 9 = 0
c. (S): 2x2 + y2 + z2 – x + y – 2 = 0
d. (S): –x2 – y2 – z2 + 4x + 2y – 5z – 7 = 0
Bài 2: Cho họ mặt cong có phương trình (Sm): x2 + y2 + z2 – 4mx – 2my – 6z + m2 + 4m = 0. Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu. CMR khi đó tâm của (Sm) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong có phương trình (Sm): x2 + y2 + z2 – 4mx – 2m2y + 8m2 – 5 = 0. Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu. Tìm quĩ tích tâm của (Sm) khi m thay đổi. Tìm điểm cố định M mà (Sm) luôn đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm): x2 + y2 + z2 – 2xsinm – 2ycosm – 3 = 0. Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu. CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đường tròn (C) cố định trong mặt phẳng Oxy khi m thay đổi. Trong mặt phẳng Oxy, (C) cắt Oy tại A và B. Đường thẳng y = m (–1< m < 1, m ≠ 0), cắt (C) tại T, S. Đường thẳng qua A, T cắt đường thẳng qua B, S tại P. Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi.
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S), biết
a. Tâm I(2, 1, –1), bán kính R = 4.
b. Đi qua điểm A(2, 1, –3) và tâm I(3, –2, –1).
c. Đi qua điểm A(1, 3, 0), B(1, 1, 0) và tâm I thuộc Ox.
d. Đường kính là AB với A(–1, 2, 3), B(3, 2, –7)
Bài 6: Cho 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) có phương trình
, và 
Lập phương trình đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2) và song song với đường thẳng (d3). Giả sử (d) cắt (d1) và (d2) lần lượt tại A và B. Lập phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 7: Cho 2 đường thẳng , 
CMR (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2). Lập phương trình mật cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).
Bài 2: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau
a. Tâm I(1, 4, –7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x + 6y – 7z + 42 = 0.
b. Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1, 1, –3).
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I trên đường thẳng (d): và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1): x + 2y – 2z – 2 = 0 và (P2): x + 2y – 2z + 4 = 0.
Bài 3: Cho đường thẳng (d): và hai mặt phẳng (P1): x + y – 2z + 5 = 0, (P2): 2x – y + z + 2 = 0. Gọi A, B là giao điểm của (d) với hai mặt phẳng (P1) và (P2). Tính độ dài đoạn AB. Viết phương trình mặt cầu tâm I trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng trên.
Bài 3: Mặt cầu cắt mặt phẳng
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm là giao điểm I của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích 12π, biết
, (P): x + y – 2 = 0.
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d): và cắt mặt phăng (P): y + 4z + 17 = 0 theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 18.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0, 0, –3), B(2, 0, –1), và mặt phẳng (P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0.
a. Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều.
b. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x – y – z – 2 = 0.
Bài 4: Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(3, –1, 2) và tiếp xúc với đường thẳng 
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
, 
Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại điểm H(3, 1, 3) và có tâm thuộc đường thẳng (d2).
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
, 
a. CMR hai đường thẳng đó cắt nhau. Xác định tọa độ giao điểm I của chúng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2).
b. Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình: 
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
, 
a. CMR hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2).
b. Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 6 = 0.
Bài 5: Mặt cầu cắt đường thẳng
Bài 1: Cho điểm I(2, 3, –1) và đường thẳng 
a. Xác định VTCP của (d) suy ra phương trình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với (d).
b. Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B thoả mãn AB = 40.
Bài 2: Cho đường thẳng , (P): 2x – y – 2z + 1 = 0.
a. Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 12.
b. Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
c. Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 16π
Bài 6: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), C(1, –1, 1), D(4, 5, –5).
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2: Cho bốn điểm O(0, 0, 0), A(6, 3, 0), B(– 2, 9, 1), S(0, 5, 8)
a. CMR SB vuông góc SA.
b. CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (OAB) vuông góc với cạnh OA. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA. Hãy xác định tọa dộ của K.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Gọi P, Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh SO, AB. Tìm tọa độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(4, 4, 4), B(3, 3, 1), C(1, 5, 5), D(1, 1, 1).
a. Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b. Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Cho bốn điểm A(–1, 3, 2), B(4, 0, –3), C(5, –1, 4), D(0, 6, 1).
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. Hạ AH vuông góc BC. Tìm tọa độ của điểm H.
b. Viết phương trình tổng quát của (BCD). Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp biết bốn đỉnh S(5, 5, 6), A(1, 3, 0), B(–1, 1, 4), C(1, –1, 4), D(3, 1, 0).
a. Lập phương trình các mặt của hình chóp.
b. Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp.
c. Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 7: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD trong các trường hợp sau
a. S(4/3, 0, 0), A(0, –4, 0), B(0, –4, 0), C(3, 0, 0).
b. S ≡ O, A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), với a, b, c > 0.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đỉnh S(–1/2, 9/2, 4), đáy ABCD là hình vuông có A(–4, 5, 0), đường chéo BD có phương trình 
a. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chóp.
b. Lập phương trình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
c. Lập phương trình mặt cầu nội tiếp hình chóp.
Bài 3: Cho ba điểm A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3). O là gốc tọa độ.
a. Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA), (ABC).
b. Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.
c. Tìm tọa độ điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (ABC).
Bài 4: Cho bốn điểm A(1, 2, 2), B(–1, 2, –1), C(1, 6, –1), D(–1, 6, 2).
a. CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
b. Xác định tọa độ trọng tâm G của tứ diện.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài 8: Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu
Bài 1: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – x –4y – z – 3 = 0. Xét vị trí tương đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong các trường hợp sau
	a. A(1, 3, 2).	b. A(3, 1, –4).	c. A(–3, 5, 1).
Bài 2: Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z – 3 = 0 sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các trường hợp sau
	a. A(1, –2, 0).	b. A(1, 1, –2).
Bài 9: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Bài 1: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x –2y – 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d): đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 10: Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 2 = 0 và mặt phẳng (P): x + z – 1 = 0.
a. Tính bán kính và tọa độ tâm của mặt cầu (S).
b. Tính bán kính và tọa độ tâm của đường tròn giao của (S) và (P).
Bài 2: Cho điểm I(1, 2, –2) và mặt phẳng 2x + 2y + z + 5 = 0.
a. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường tròn có chu vi bằng 8π.
b. CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (d): 2x – 2 = y + 3 = z.
c. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với (S).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với S(3, 2, –1), A(5, 3, –1), B(2, 3, –4), C(1, 2, 0).
a. CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân.
b. Tính tọa độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm D, bán kính sao cho M không thuộc mặt phẳng (ABC). Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì?
Bài 4: Cho đường tròn . Lập hương trình mặt cầu chứa (C) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y – z – 6 = 0.
Bài 5: Cho mặt cầu và mặt phẳng có phương trình (S): (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 9, (P): x + 2y + 2z + 11 = 0. Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) nhỏ nhất.
Bài 11: Vị trí tương đối của hai mặt cầu
Bài 1: Cho hai mặt cầu (S1): x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 7 = 0, (S2): x2 + y2 + z2 – 2x = 0
CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.
Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(2, 0, 1).
Bài 2: Cho hai mặt cầu (S1): x2 + y2 + z2 – 9 = 0, (S2): x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – 6 = 0. CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau. Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(–2, 1, –1).