Ôn tập Hình học 12 - Bài tập tự luyện Đường tròn

Nguyễn Phú Khánh 
 606 
Bài tập tự luyện 
Bài tập 1. Viết phương trình đường tròn ( )C , biết: 
a. Đi qua ( )A 3; 4 và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ. 
b. Có tâm nằm trên đường tròn ( ) ( )2 21
4
C : x 2 y
5
− + = và tiếp xúc với hai đường 
thẳng 1 : x y 0∆ − = và 2 : x 7y 0∆ − = . 
c. Đi qua các điểm H, M, N . Biết ( ) ( )A 0; 2 ,B 2; 2 ,− − ( )C 4; 2− và H là chân 
đường cao kẻ từ B, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. 
d. Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với ( )C : 
 ( ) ( )2 2x 6 y 2 4− + − = . 
Bài tập 2. Viết phương trình đường tròn ( )C : 
a. Có tâm nằm trên đường thẳng 4x 5y 3 0− − = và tiếp xúc với các đường thẳng: 
2x 3y 10 0,− − = 3x 2y 5 0− + = . 
b. Qua điểm ( )A 1; 5− tiếp xúc với các đường thẳng 3x 4y 35 0,+ − = 
4x 3y 14 0+ + = . 
c. Tiếp xúc với các đường thẳng: 3x 4y 35 0,+ − = 3x 4y 35 0,− − = x 1 0− = . 
d. Có tâm M nằm trên d : x y 3 0− + = , bán kính bằng 2 lần bán kính đường tròn 
( ) 2 2C' : x y 2x 2y 1 0+ − − + = và tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )C' . 
e. Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn 
( )C' : ( ) ( )2 2x 6 y 2 4− + − = 
Bài tập 3. Viết phương trình đường tròn ( )C 
 a. Đi qua 3 điểm A, B, ( )M 0;6 . Trong đó A, B là giao điểm 2 đường tròn 
( ) 2 21C : x y 2x 2y 18 0+ − − − = và ( )2C : ( ) ( )
2 2
x 1 y 2 8+ + − = . 
b. Đi qua hai điểm ( ) ( )A 2;1 , B 4; 3 và có tâm thuộc đường thẳng ∆ − + =: x y 5 0 . 
c. Đi qua hai điểm ( ) ( )A 0; 5 ,B 2; 3 và có bán kính =R 10 . 
d. Đi qua hai điểm ( ) ( )A 1;0 ,B 2;0 và tiếp xúc với đường thẳng − =d : x y 0 . 
e. Đi qua ( )A 1;1 ,O− và tiếp xúc với − + − =d : x y 1 2 0 . 
Nguyễn Phú Khánh 
 607 
Bài tập 4. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho điểm ( )A 0; 2 và đường thẳng d : x 2y 2 0− + = . Tìm trên đường thẳng d 
hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC= . 
b. Cho đường thẳng − − =d : x 3y 4 0 và đường tròn ( ) 2 2C : x y 4y 0+ − = . Tìm M 
thuộc d và N thuộc ( )C sao cho chúng đối xứng qua ( )A 3;1 . 
c. Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 25C : x 2 y 4
9
− + − = và đường thẳng + − =d : 5x 2y 11 0. 
Tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường tròn 
( )C biết ( ) ( )A 1; 2 ,B 3; 2 .− 
d. Cho điểm ( )A 1;14− và đường tròn ( )C có tâm ( )I 1; 5− và bán kính R 13= . 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt ( )C tại M,N sao cho khoảng 
cách từ M đến AI bằng một nửa khoảng cách từ N đến AI . 
e. Cho tam giác ABC có đường cao AH : x 3 3 0− = , phương trình 2 đường 
phân giác trong góc B và góc C lần lượt là : x 3y 0− = và x 3y 6 0+ − = . Viết 
phương trình các cạnh của tam giác, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC bằng 3 . 
Bài tập 5. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho đường tròn ( )C : ( ) ( )2 2x 1 y 1 4− + − = và đường thẳng ∆: =x – 3y – 6 0 . 
Tìm tọa độ điểm M nằm trên ∆, sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến 
MA, MB ( A, B là tiếp điểm) thỏa ∆ ABM là tam giác vuông. 
b. Cho đường thẳng − + =x yd 1: 0 và đường tròn ( )C có phương trình 
+ + − =2 2x y 2x 4y 0 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 
hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại A và B , sao cho 
 = 0AMB 60 . 
c. Cho đường tròn ( ) 2 2C : x y 1+ = . Đường tròn ( )C' tâm ( )I 2; 2 cắt ( )C tại hai 
điểm A, B sao cho =AB 2 . Viết phương trình đường thẳng AB . 
d. Cho hai điểm ( ) ( )A 2;1 ,B 0; 5 , đường tròn ( ) ( )2 2x – 1 y – 3 5+ = và đường 
thẳng d : x 2y 1 0.+ + = Từ điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến ME,MF đến ( )C 
( E,F là hai tiếp điểm). Biết ABEF là một hình thang, tính độ dài đoạn EF. 
e. Cho đường tròn ( )C : 2 2x y 8x 2y 0+ − − = và điểm ( )A 9;6 . Viết phương trình 
đường thẳng qua A cắt ( )C theo một dây cung có độ dài 4 3 . 
Nguyễn Phú Khánh 
 608 
Bài tập 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, 
 a. Cho đường tròn ( )C : ( ) ( )2 2x 1 y 1 10− + − = . Đường tròn ( )C' tâm ( )I ' 2; 5− − 
cắt ( )C tại hai điểm A,B sao cho AB 2 5= . Viết phương trình đường thẳng 
AB . 
 b. Cho điểm ( )I 2;4 và hai đường thẳng 1d : 2x y 2 0,− − = 2d : 2x y 2 0+ − = . Viết 
phương trình đường tròn tâm I cắt 1d tại hai điểm A, B và cắt 2d tại hai điểm 
C,D sao cho 
16 5
AB CD
5
+ = . 
 c. Cho tam giác ABC cân tại C, đỉnh ( )B 3; 3 ,− − đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC có phương trình: 2 2x y 2x 8 0+ − − = . Lập phương trình các cạnh của tam 
giác ABC . Biết rằng đỉnh C có tung độ dương. 
 d. Cho điểm ( )M 2;1 và hai đường thẳng 1d : 2x y 7 0,− + = 2d : x y 1 0+ + = . Viết 
phương trình đường tròn ( )C có tâm nằm trên 1d , đi qua điểm M và cắt 2d tại 
hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 6 2= . 
Bài tập 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, 
 a. Cho đường tròn ( )C : ( ) ( )2 2x 1 y 2 9− + + = và đường thẳng d : 3x 4y m 0− + = . 
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến 
PA, PB tới ( )C ( A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. 
 b. Cho tam giác ABC có ( )A 5; 2 ,− − ( )B 3; 4 .− − Biết diện tích tam giác ABC bằng 
8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5 . Tìm tọa độ điểm C có hoành độ 
dương. 
 c. Cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng : x 2y 1 0,∆ + + = đường 
cao BH có phương trình x 1 0,+ = đường thẳng BC đi qua điểm ( )M 5;1 và tiếp 
xúc với đường tròn ( ) 2 2C : x y 8+ = . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC 
biết các đỉnh B, C có tung độ âm và đoạn thẳng BC 7 2= . 
 d. Cho đường tròn ( )C : ( )22x y 3 4+ − = và một đường tròn ( )C′ cắt ( )C tại hai 
điểm phân biệt A,B. Giả sử đường thẳng AB có phương trình là x y 2 0,+ − = 
hãy viết phương trình của đường tròn ( )C′ có bán kính nhỏ nhất. 
 e. Cho đường tròn: ( )C : 2 2x y x 4y 2 0,+ − − − = ( ) ( )A 3; 5 ,B 7; 3 .− − Tìm M thuộc 
đường tròn ( )C sao cho 2 2MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. 
Nguyễn Phú Khánh 
 609 
Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 
 a. Cho ABC∆ có 
3 7
M ;
2 2
 
 
 
 và 
1 5
N ;
2 2
 
 
 
 lần lượt là trung điểm của BC và AC . 
Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC∆ để d : 
x 1
4
y 2 t
3
 =


= +
 là đường phân 
giác trong của 
BAC . 
b. cho đường tròn ( )K : + =2 2x y 4 và hai điểm ( ) ( )− A 0;2 , B 0; 2 . Gọi 
( )≠ C,D C A,B là hai điểm thuộc ( )K và đối xứng với nhau qua trục tung. Biết 
rằng giao điểm E của hai đường thẳng AC, BD nằm trên đường tròn 
( ) + + − =2 21K : x y 3x 4 0, hãy tìm tọa độ của E . 
c. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đỉnh ( )B 1;1 , đường thẳng AC có phương 
trình: 4x 3y 32 0+ − = , trên tia BC lấy điểm M sao cho BC.BM 75= . Tìm đỉnh C 
biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC bằng 
5 5
2
. 
Bài tập 9. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho họ đường cong ( )mC : ( )2 2x y 2mx 2 m 1 y 1 0+ + − − + = . Định m để 
( )mC là đường tròn tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi. 
 b. Cho đường tròn ( )C : ( ) ( )2 2x 1 y 2 4− + + = . M là điểm di động trên đường thẳng 
d : x – y 1 0+ = . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến 1 2MT , MT tới 
( )C ( 1 2T , T là tiếp điểm ) và tìm toạ độ điểm M , biết đường thẳng 1 2T T đi qua 
điểm ( )A 1; 1 .− 
 c. Viết phương trình đường tròn ( )C qua ( )A 1; 3 và tâm của đường tròn ( )C' : 
2 2x y 1+ = . Biết ( )C cắt ( )C' tại B,C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2,7. 
d. Cho đường thẳng d : 2x 4y 15 0+ − = và hai đường tròn có phương trình lần lượt 
là ( ) ( ) ( )2 21C : x 1 y 2 9 ,− + − = ( ) ( )
2 2
2C : x 1 y 1+ + = . Tìm M trên ( )1C và N 
trên ( )2C sao cho MN nhận đường thẳng d là đường trung trực và N có hoành 
độ âm. 
Bài tập 10. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
,Nguyễn Phú Khánh 
 610 
 a. Cho đường tròn ( )C : 2 2x y 4x 2y 3 0+ − + − = . Từ điểm ( )A 5; 3 kẻ được 2 tiếp 
tuyến với đường tròn ( )C . Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm. 
 b. Cho đường tròn ( )C : 2 2x y 4+ = và đường thẳng ( )d : x y 4 0+ + = . Tìm điểm 
A thuộc ( )d sao cho từ A vẽ được 2 tiếp tuyến tiếp xúc ( )C tại M, N thoả mãn 
diện tích tam giác AMN bằng 3 3 . 
Bài tập 11. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ có ( )A 1;1− , 
trực tâm ( )H 31;41− và tâm ( )I 16; 18− đưởng tròn ngoại tiếp ABC∆ . Hãy tìm tọa 
độ các đỉnh B,C . 
Bài tập 12. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn 
( ) 2 2C : x y 2x 4y 0+ − + = và đường thẳng d : x y 0− = . Tìm tọa độ các điểm M 
trên đường thẳng d , biết từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA,MB đến ( )C ( A,B là 
các tiếp điểm) và đường thẳng AB tạo với d một góc ϕ với 
3
cos
10
ϕ = . 
Bài tập 13. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( )C : 
( ) ( )2 2x 1 y 1 9− + + = có tâm I . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua 
( )M 6; 3− và cắt đường tròn ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác 
IAB có diện tích bằng 2 2 và AB 2> . 
Bài tập 14. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn 
( ) 2 2C : x y 2x 4y 4 0+ − + − = có tâm I và đường thẳng ∆ : 
+ + − =2x my 1 2 0 . Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất. 
Bài tập 15. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn 
( ) ( ) ( )2 2C : x 1 y 1 25− + + = và ( )M 7; 3 . Viếp phương trình đường thẳng qua M 
cắt ( )C tại A, B sao cho MA 3MB= . 
Bài tập 16. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
,Nguyễn Phú Khánh 
 611 
a. Cho đường tròn ( )C có phương trình : + − − + =2 2x y 2x 6y 6 0 và điểm 
( )−M 3;1 . Gọi 1 2T ,T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( )C . Viết 
phương trình đường thẳng đi qua 1 2T ,T . 
b. Cho đường tròn ( )C : 2 2x y 4x 2y 15 0+ − + − = Gọi I là tâm đường tròn ( )C . 
Đường thẳng ∆ đi qua ( )M 1; 3− cắt ( )C tại hai điểm A và B . Viết phương 
trình đường thẳng ∆ biết tam giác IAB có diện tích bằng 8 và cạnh AB là 
cạnh lớn nhất. 
Bài tập 17. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có 
trực tâm H . Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là 2 2x y x 5y 4 0+ − − + = , 
H thuộc đường thẳng : 3x y 4 0∆ − − = , trung điểm AB là ( )M 2; 3 . Xác định toạ 
độ các đỉnh của tam giác. 
Bài tập 18. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm ( )A 1;0 và 
các đường tròn ( )C : 2 2x y 2+ = và ( ) 2 2C' : x y 5+ = . Tìm tọa độ các điểm B và 
C lần lượt nằm trên các đường tròn ( )C và ( )C' để tam giác ABC có diện tích 
lớn nhất. 
Bài tập 19. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn 
( ) ( ) ( )2 2C : x 1 y 2 25− + − = . Từ ( )E 6; 2− vẽ hai tiếp tuyến EA, EB (A, B là tiếp 
điểm) đến (C). Viết phương trình đường thẳng AB . 
Bài tập 20. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn 
( ) ( )2 2C : x 1 y 2− + = và hai điểm ( )A 1; 1− , ( )B 2; 2 . Tìm tọa điểm M thuộc đường 
tròn ( )C sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1
2
. 
Bài tập 21. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn 
( )C : ( ) ( )2 2x 2 y 1 10− + − = . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông MNPQ, biết M 
trùng với tâm của đường tròn ( )C , hai đỉnh N, Q thuộc đường tròn ( )C , đường 
thẳng PQ đi qua E( 3;6)− và Qx 0> . 
,Nguyễn Phú Khánh 
 612 
Bài tập 22. Trong mặt p ... 
1 3 129
x
10 
53 129
y
10
 − −
=

− =
Trường hợp này có hai bộ điểm: 
   + − − + +
      
   
23 129 51 3 129 1 3 129 53 129
M ; ,N ;
10 10 10 10
Và 
   − + − − −
      
   
23 129 51 3 129 1 3 129 53 129
M ; ,N ;
10 10 10 10
. 
• Với 
− 0(A; 90 )
Q , ta có phương trình ( ) ( ) ( )2 2'1C : x 2 y 3 13− + − = 
Tọa độ điểm N là nghiệm hệ: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
x 2 y 3 13 x 4
y 6x 1 y 2 25
 − + − =  =
⇔ 
= − + − =
 hoặc 
x 5
y 5
 =

=
Trường hợp này có hai bộ điểm: ( ) ( )M 1;7 ,N 4;6− và ( ) ( )M 0;8 ,N 5; 5 . 
Cách 2: Gọi ( )M a; b và ( )N c;d lần lượt là 2 điểm nằm trên đường tròn ( )1C , 
( )2C 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
1
2 2
2
M C a 2 b 5 13
1
N C c 1 d 2 25
 ∈ − + − = 
⇒ 
∈ − + − =  
Lại có: AMB∆ vuông cân tại A nên có: ( )AM.AN 0 2
AM AN
 =

=




 




,Nguyễn Phú Khánh 
 639 
Bài tập 27a. ( )1C có tâm ( )1I 1;0 và bán kính 1
1
R
2
= 
( )2C có tâm ( )2I 2; 2 và bán kính 2R 2= 
Giả sử d là đường thẳng cần tìm và d cắt ( )2C tại A, B nên d qua ( )2I 2; 2 và 
tiếp xúc ( )1C . 
d qua ( )2I 2; 2 , có vecto pháp tuyến ( )n a; b 0≠
 
 có phương trình: 
( ) ( )a x 2 b y 2 0− + − = 
d tiếp xúc ( )1C khi ( )1
1
d I ;d
2
=
2 2
a 2b 1
2a b
+
⇔ =
+
 2 2a 8ab 7b 0⇔ + + = 
( )( )a b a 7b 0 a b⇔ + + = ⇔ = − hoặc a 7b= − 
Với a b= − , suy ra d : x y 0− = 
Với a 7b= − , suy ra d : 7x y 12 0− − = 
Vậy, có 2 đường thẳng cần tìm: x y 0,− = 7x y 12 0− − = 
b. Cách 1: Gọi H là hình chiếu của I trên AB , suy ra Gọi H là trung điểm của 
 AB hay AB 2AH= . Đặt ( )AH x , 0 x 3 .= < < 
2 4 2
IAB
1 1
S IA.AB 2 2 9 x 2x x 9x 8 0
2 2∆
= ⇔ = − ⇔ − + = 
x 1⇔ = hoặc x 2 2= 
Với x 1 AB 2= ⇒ = không thỏa. 
Với x 2 2 AB 4 2= ⇒ = nhận. Suy ra IH 1= 
Cách 2: ( )C có tâm ( )I 1; 1− , bán kính R 3= . Đường thẳng ∆ đi qua M có dạng: 
( ) ( )a x 6 b y 3 0,+ + − = 2 2a b 0+ > . 
Gọi H là hình chiếu của I trên AB thì 
2
2 2 ABIH IA 8 IH 2 2
4
= − = ⇒ = 

 
2
AIB
1 1
S IA.IB.sinAIB R .sinAIB
2 2
= = , 


4 2 AIB 1
sinAIB cos
9 2 3
= ⇒ = hoặc 

AIB 2 2
cos
2 3
= . Dễ thấy, 

AIB IH
cos
2 IA
= 
ꯐυ
Nguyễn Phú Khánh 
 640 
Kết hợp giả thuyết suy ra: 


( )

AIB 1 AIB
cos d I; AB IA.cos 1
2 3 2
= ⇒ = = hay 
2 2
7a 4b
1
a b
−
=
+
 2 248a 56ab 15b 0⇔ − + = ( )( )4a 3b 12a 5b 0⇔ − − = 
c. ( )C có tâm ( )I 2; 2 , bán kính R 3= 
IP qua ( )I 2; 2 và vuông góc với d nên có phương trình: x my 2m 2 0+ − − = 
IBP∆ vuông nên có ( )2 2R IB IH.IP d I;d .IP= = = 
Bài tập 28. ( )C có tâm ( )I 1; 2 , bán kính R 5= 
a. ( )( )
2
2 ABd I; d R 2 x 3 0, 12x 5y 31 0
2
 
= − = ⇒ − = + − = 
 
b. CD ngắn nhất khi ( )( )1d I; d ngắn nhất 
Bài tập 29a. Đường tròn ( )C có tâm ( )I 2; 3 , bán kính R 10= 
Gọi đường thẳng AB đi qua M , có phương trình: ( ) ( )a x 3 b y 2 0,+ + + = 
2 2a b 0+ > . Đường tròn nội tiếp ABCD nên AB tiếp xúc với đường tròn ( )C 
khi và chỉ khi ( )d I; AB R= 
2 2
5a 5b
10
a b
+
⇔ =
+
 2 23a 10ab 3b 0⇔ + + = 
( )( )a 3b 3a b 0⇔ + + = ⇔ a 3b= − hoặc b 3a= − 
TH1: a 3b= − chọn a 3, b 1 AB : 3x y 7 0= = − ⇒ − + = , vì A AB∈ nên ( )A a;7 3a+ 
và a 0> 
Hơn nữa: 2IA R 2 IA 20= ⇔ = ( ) ( )2 2a 2 3a 4 20⇔ − + + = a 0⇔ = hoặc a 2= − 
( không thỏa a 0> ). 
TH2: b 3a= − chọn a 1, b 3 AB : x 3y 3 0= = − ⇒ − − = , vì A AB∈ nên ( )A 3 3a;a+ 
và a 0> 
Hơn nữa: 2IA R 2 IA 20= ⇔ = ( ) ( )2 23a 1 a 3 20⇔ + + − = a 1⇔ = ( thỏa ) hoặc 
a 1= − ( không thỏa a 0> ). 
Khi đó ( )A 6;1 , I là trung điểm của ( )AC C 2; 5⇒ − 

ω
Nguyễn Phú Khánh 
 641 
b. Nhận thấy, ABC∆ vuông tại C suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ là 
( )I 3; 1− bán kính bằng 2 21 1AB BC CA 2
2 2
= + = . 
Phương trình đường tròn ( )C ngoại tiếp ABC∆ : ( ) ( )2 2x 3 y 1 2− + + = 
N là điểm tùy ý trên ( )C nên 
2 2 2
NAB
1 NA +NB AB
S NA.NB 2
2 4 4
= ≤ = = 
NABS đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi NA NB= . N là giao điểm của đường 
trung trực đoạn AB với ( )C , nên tọa độ N thỏa hệ: 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 x 2 y 0 N 2;0x 3 y 1 2
x 4 y 2 N 4; 2x y 2 0
  = ⇒ = ⇒ − + + =
⇔ 
= ⇒ = − ⇒ −+ − = 
( )M m; 4 4m− và NO.NM 0=
 
c. Đường tròn ( )C có tâm ( )I 1; 2− , bán kính R 1= 
Ta thấy: 
 
 
 
0BIC BAC 180 sin BIC sin BAC+ = ⇒ = ( )1 
Hơn nữa: 
 
2 2ABIC ABC BIC
1 1
S S S IB.AB IB sin BIC AB sin BAC
2 2
= + ⇔ = + ( )2 
Từ ( )1 và ( )2 , suy ra: ( ) 
 
2 2 2 2
2IB.AB
2IB.AB IB AB sin BAC sin BAC
IB AB
= + ⇒ =
+
Mặt khác: 

3 3
2
ABC 2 2 2
1 IB.AB AB 27
S IB sin BIC
2 10IB AB 1 AB
= = = =
+ +
 ( )3 
Từ ( )3 AB 3⇒ = hay 2 2 2IA AB IB 10= + = ( ) ( )2 2a 1 2a 3 10⇔ − + + = với 
( )A a; 2a 1+ 
d. ( )C có tâm ( )I 1; 2 , bán kính R 3= 
Do ABIM là hình bình hành nên AB MI ⇒ ( )MI 2; 2 = −

 là vtcp của ∆ 
⇒ ∆ : x y m 0+ + = 
Gọi H là trung điểm AB, ta có 
1 1 1
HB AB MI 8 2
2 2 2
= = = = 
⇒ 2 2IH R HB 9 2 7= − = − = d(I; ) 7 m 3 14⇒ ∆ = ⇔ = − ± 
Bài tập 30.a. Giả sử ( )C c;d và ( )H h; h 1+ , { }c 2;6≠ . 
Trong đó: ( ) ( )2 2c 4 d 6 5− + − = 

ω
Nguyễn Phú Khánh 
 642 
( ) ( ) ( ) ( )AC c 2;d 5 , AB 4;0 , BH h 6; h 4 , CH h c; h 1 d= − − = = − − = − + − 
   
H là trực tâm tam giác ABC nên có: 
BH.AC 0
CH.AB 0
 =

=
 
  
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
2 2
h 4 d 6 5 1
h 2 h 6 d 5 h 4 0 2
 − + − =
⇔ 
− − + − − =
Lấy ( )1 trừ ( )2 , ta được ( )( )d 5 d h 3 0 d 5− − − = ⇔ = hoặc d h 3= + 
Với d 5= thay vào ( )1 ta được: 2h 8h 12 0 h 2− + = ⇔ = hoặc h 6= 
Với d h 3= + thay vào ( )1 ta được: 22h 14h 20 0 h 2− + = ⇔ = hoặc h 5= 
b. Đường tròn ( )C có tâm ( )O 0;0 có bán kính R 3= . 
Từ AB 4,8 OH=1,8= ⇒ và 
2OA
MO 5
OH
= = 
Giả sử M có tọa độ ( )M a; b ta có: 2 2a b 25+ = ( )1 
Hơn nữa ( )M C'∈ nên có: 2 2a b 18a 6b 65 0+ − − + = ( )2 
Giải hệ ( )1 và ( )2 ta tìm được: ( ) ( )M 5;0 , M 4; 3 
c. Đường tròn ( )C có tâm ( )I 1; 2 , bán kính R 5= . Đường tròn ( )C nội tiếp 
tam giác ABC nên có ( )d I; BC R= , đến đây ta tìm được hoặc BC : 
2x 4y 15 0+ − = hoặc BC : 2x 4y 1 0− + = . 
Gọi J là giao của AI với BC. Để ý rằng ABC∆ đều nên IJ BC⊥ và I là trọng 
tâm của ABC∆ nên AI 2IJ= ⇒
 
 tọa độ A 
d. ( )A 2; 3− là giao điểm ( )1C và ( )2C . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A 
có dạng: ( ) ( )a x 2 b y 3 0− + + = . 
Đường tròn ( )1C có tâm ( )O 0;0 , bán kính 1R 13= 
Đường tròn ( )2C có tâm ( )I 6;0 , bán kính 2R 5= 
Theo giả thiết, suy ra: ( ) ( )2 2 2 21 2R d O, R d I,− ∆ = − ∆ x 3y 7 0⇒ + + = . 
Bài tập 30a. Đường tròn ( )C có tâm ( )I 1;m và bán kính R 5= 

ω
Nguyễn Phú Khánh 
 643 
Ta có: ( ) 2
5 m
d I; 5
m 16
∆ = <
+
 nên ∆ cắt đường tròn ( )C tại hai điểm phân biệt 
A, B . Gọi H là trung điểm AB thì IH AB⊥ và ( )IH d I;= ∆ 
2 2
IAB
1
S IH.AB IH.BH IH R IH
2
= = = − 
Từ đó ta có phương trình: 2
2
4.25 m
12 3m 25 m 48 0
m 16
= ⇔ − + =
+
, phương trình 
này có 4 giá trị m thỏa mãn: 
16 16
3; 3; ;
3 3
− − 
b. Trước hết, ta thấy đường thẳng ( )d đã cho tiếp xúc với đường tròn ( )HBC 
tại 1 điểm có tọa độ ( )2; 2 nên ( )H 2;2 . 
Phương trình đường tròn ( )HBC viết lại là: 
2 2
1 5 5
x y
2 2 2
   
− + − =   
   
 và ( )B a; b 
là điểm thuộc đường tròn ( )HBC nên có: 
2 2
1 5 5
a b
2 2 2
   
− + − =   
   
 ( )1 
Gọi N là điểm đối xứng với H qua M thì ( )N 2;4 . 
Gọi I, 
1 5
J ;
2 2
 
 
 
 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, HBC thế 
thì J I B N
J I B N
x x x x 5 13
IJ NB I a; b
y y y y 2 2
 − = −  
= ⇔ ⇒ − −  − = −  
 
Vì IM vuông góc với BM nên IM.BM 0=
 
( ) ( ) 2 21 7 5 13 23a 2 a b 3 b 0 a b a b 0
2 2 2 2 2
   
− − + − − = ⇔ + − − + =   
   
 ( )2 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ ( )1 và ( )2 
( )( )
2 2
2 2
2 2
1 5 5 1 5 5a b a 1 a 2 0a b2 2 2 2 2 2
a b 55 13 23 a b 5a b a b 0
2 2 2
        − + − =     − − = − + − =       ⇔ ⇔      + =  + =+ − − + = 
a 2 b 3∗ = ⇒ = không thỏa vì M B≡ 
( ) ( ) ( )a 1 b 4 B 1; 4 , A 3;2 , C 1;1 .∗ = ⇒ = ⇒ 
c. ( )C có tâm ( )J 1; 2− và bán kính R 3= 
ꯐͽ
Nguyễn Phú Khánh 
 644 
Gọi A là giao điểm của MN và JI thì ta có ngay A là trung điểm của MN , khi 
đó 
5
AM AN
2
= = 
JAM∆ vuông tại A nên có: 2 2 2
7 7
JA IM MA IA 5
4 2
= − = ⇒ = − 
Trong IAM∆ , có: 2 2 2IM IA MA= + 
d. Gọi D đối xứng với A qua I thì ( )D 5; 7− và D nằm trên đường tròn ( )C 
ngoại tiếp tam giác ABC : ( ) ( )2 2x 3 y 3 20− + + = . 
Gọi J là trung điểm của HD thì J là trung điểm của BC nên BC : 
x – y – 4 0.= 
Tọa độ hai điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( )
2 2
x 3 y 3 20
x y 4 0
 − + + =

− − =
Mà B Cx x< nên hai đỉnh cần tìm là ( )B 1; 5− − và ( )C 5;1 . 
Bài tập 31.a. Đường tròn có tâm ( )I 1; 2 ,− bán kính R 3= . 
 Vì ( )M d∈ nên tọa độ ( )M t; t 1 .+ Để từ M có thẻ kẻ được hai tiếp tuyến đến 
( )C thì 2IM R 2t 4t 1 0> ⇔ + + > 2 2t
2
−
⇔ > hoặc 
2 2
t
2
+
< − ( )∗ 
Phương trình đi qua hai tiếp điểm A,B có dạng : 
( )( ) ( )( )t 1 x 1 t 3 y 2 9 0− − + + + − = 
Ta có: ( )
2
3t 1
d N; AB
2 2t 4t 10
+
=
+ +
. 
Xét ( )
2
3t 1
f t
2 2t 4t 10
+
=
+ +
 thỏa điều kiện ( )∗ 
Ta có: ( )
( )32
2t 14
f ' t
2t 4t 10
+
=
+ +
Với 
1
t
3
≥ − thì ( )f ' t 0> thì hàm số ( )f t đồng biến trên nửa khoảng 1 ;
3
 
− +∞
 
Với 
1
t
3
< − thì ( )f ' t 0 t 7= ⇔ = − 
Nguyễn Phú Khánh 
 645 
Lập bảng biến thiên, suy ra ( ) 5f t
2
≤ hay ( ) 5d N,AB
2
≤ 
Đẳng thức xảy ra khi t 7= − tức ( )M 7; 6− − 
Vậy, ( )M 7; 6− − là điểm cần tìm. thì giá trị lớn nhất bằng 5
2
b. Đường tròn ( )C có tâm ( )I 1; 2 ,R 4− = và điểm I thuộc đường thẳng ∆ . 
Đường tròn ( )C' có tâm J bán kính R ' 1= và tiếp xúc ngoài với đường tròn 
( )C suy ra quỹ tích của điểm I là đường tròn ( )K có tâm I bán kính R R ' 5+ = 
hay ( )K : ( ) ( )2 2x 1 y 2 25+ + − = . 
Khoảng cách của I tới ∆ là lớn nhất khi I là giao điểm của đường thẳng d đi 
qua J và vuông góc với ∆ với đường tròn ( )K . 
d có phương trình : 4x 3y 10 0− + = . 
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: 
( ) ( )2 2
x 2,y 64x 3y 10 0
7
x 2, yx 1 y 2 25
2
 = = − + = ⇔  = − = −+ + − = 
Với ( ) ( ) ( )2 2I 2;6 x 2 y 6 1,⇒ − + − = với ( )
2
27 7
I 2; x 2 y 1
2 2
   
− − ⇒ + + + =   
   
Vậy, khoảng cách từ I tới ∆ lớn nhất bằng 5 
c. Giả sử : ( )B x;y thì do ( )M 0; 2 là trung điểm của BC nên ( )C x;4 y− − . 
Dễ thấy B,C đều thuộc ( )C nên ta có hệ : ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
x 1 y 1 10
x 1 y 3 10
 − + − =

 + + − =
 từ đây tìm 
được tọa độ B,C và BC 4 2= . 
Gọi ( )A a;b , từ giả thiết suy ra a b 2 6− + = , hơn nữa ( ) ( )A a;b C∈ từ đây ta tìm 
được tọa độ điểm A . 
d. ( )C có tâm ( )I 1; 2 , R 5− = 
Phương trình tổng quát của ( )d qua M có dạng: ( ) ( )a x 2 b y 1 0− + + = với 
2 2a b 0+ > . 
Diện tích ( )( )IAB
1
S .AB.d I; d
2
= , AB cố định và ( )( )
2 2
a b
d I; d 2
a b
+
= ≤
+
Đẳng thức xảy ra khi a b 1 d : x y 1 0= = ⇒ + − = , ( ) ( )E d E t;1 t .∈ ⇒ −