Ôn tập Hình học 12 - Bài tập tự luyện đường thẳng

Nguyễn Phú Khánh 
 549 
Bài tập tự luyện 
Bài tập 1. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy. 
 a. Tìm điểm C thuộc đường thẳng x y 2 0− + = sao cho ABC∆ vuông tại C , biết 
( ) ( )A 1; 2 ,B 1; 3− − . 
 b. Cho tam giác ABC có ( )A 3; 2 và phương trình hai đường trung tuyến 
+ − = − − =BM : 3x 4y 3 0,CN : 3x 10y 17 0 . Tính tọa độ các điểm B, C. 
c. Cho tam giác ABC có ( )A 3;0− và phương trình hai đường phân giác trong 
− − = + + =BD : x y 1 0,CE : x 2y 17 0 . Tính tọa độ các điểm B, C. 
d. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A . Xác định tọa độ 
3 đỉnh của tam giác để đường thẳng AC đi qua điểm ( )N 7;7 , ( )−M 2; 3 thuộc 
AB và nằm ngoài AB , phương trình BC : + − =x 7y 31 0 . 
e. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( )B 1; 5 , đường cao 
+ − =AH : x 2y 2 0, phân giác 
ACB có phương trình − − =x y 1 0 . Tìm tọa độ 
điểm A . 
Bài tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm ( )A 1;3− và 
đường thẳng ( ) : x 2y 2 0∆ − + = .Người ta dựng hình vuông ABCD sao cho 2 điểm B 
và C 
nằm trên đường thẳng ( )∆ và các tọa độ của đỉnh C đều dương. 
a. Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D ; 
 b. Tìm chu vi và diện tích hình vuông ABCD . 
Bài tập 3. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác MNP có ( )N 2; 1 ,− đường cao hạ từ M xuống NP có phương 
trình: 3x 4y 27 0− + = và đường phân giác trong đỉnh P có phương trình: 
x 2y 5 0+ − = . Viết phương trình các cạnh chứa các cạnh tam giác. 
 b. Cho tam giác ABC có ( )C 5; 3− và phương trình đường cao − + =AA' : x y 2 0 , 
đường trung tuyến + − =BM : 2x 5y 13 0 .Tính tọa độ các điểm A, B. 
 c. Cho tam giác ABC có ( )B 1; 3− và phương trình đường cao − + =AD : 2x y 1 0 , 
đường phân giác + − =CE : x y 2 0 .Tính tọa độ các điểm A, C. 
?Nguyễn Phú Khánh 
 550 
 d. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( )−E 1; 1 là tâm của một hình vuông, một 
trong các cạnh của nó có phương trình − + =x 2y 12 0 . Viết phương trình các cạnh 
còn lại của hình vuông. 
 e. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có chu vi bằng 6 2 , đỉnh A 
thuộc trục Ox ( A có hoành độ dương) và hai đỉnh B,C thuộc đường thẳng 
− + =d : x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BD . 
Bài tập 4. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm 
2
G 0;
3
 
 
 
. Viết phương trình 
chứa các cạnh tam giác để 
1 1
I ;
2 2
 
− 
 
 là trung điểm cạnh BC . 
 b. Cho tam giác ABC có ( )M 2; 0 là trung điểm của cạnh AB . Đường trung tuyến 
và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là − − =7x 2y 3 0 và 
− − =6x y 4 0 . Viết phương trình đường thẳng AC . 
c. cho điểm ( )C 2; 5− và đường thẳng ∆ − + =: 3x 4y 4 0 .Tìm trên ∆ hai điểm A 
và B đối xứng nhau qua 
5
I 2;
2
 
 
 
 sao cho diện tích tam giác ABC bằng15. 
d. Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , tâm I 
là giao điểm của đường thẳng ( ) ( )− − = + − =1 2d : x y 3 0, d : x y 6 0 . Trung điểm 
của một cạnh là giao điểm của ( )1d với trục Ox .Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ 
nhật ABCD . 
e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh 
− − =AB : x 2y 1 0 , đường chéo − + =BD : x 7y 14 0 và đường chéo AC đi qua 
điểm ( )E 2;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Bài tập 5. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC có 3 cạnh theo thứ tự nằm trên 3 đường thẳng là : 
( ) + − =1d : x y 6 0 , ( ) − + =2d : x 4y 14 0, ( ) − − =3d : 4x y 19 0 . Hãy xét hình dạng của 
tam giác. 
b. Cho điểm ( )A 2; 2 và hai đường thẳng: + − =1d : x y 2 0, + − =2d : x y 8 0 . Tìm 
tọa độ điểm B,C lần lượt thuộc 1 2d ,d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . 
Nguyễn Phú Khánh 
 551 
c. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2 
cạnh AB, AC lần lượt là: + − =x 2y 2 0 và + + =2x y 1 0 , điểm ( )M 1; 2 thuộc đoạn 
BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC
 
 có giá trị nhỏ nhất. 
d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C : + + − − =2 2x y 2x 2y 14 0 có 
tâm I và đường thẳng ( )d : + + =x y m 0 . Tìm m để d cắt ( )C tại hai điểm phân 
biệt A, B đồng thời diện tích tam giác IAB lớn nhất. 
e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 
đường thẳng AB, BD lần lượt là: − + =x 2y 1 0 và − + =x 7y 14 0 , đường thẳng 
AC đi qua ( )M 2; 1 . Tìm toạ độ điểm N thuộc BD sao cho +NA NC nhỏ nhất. 
Bài tập 6. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC có ( )A 4; 1− và phương trình hai đường trung tuyến 1BB : 
8x y 3 0,− − = 1CC : 14x 13y 9 0− − = . Tính tọa độ các điểm B, C. 
 b. Cho hình chữ nhật ABCD, với toạ độ các đỉnh ( )A 1;1 . Gọi 4G 2;
3
 
 
 
 là trọng 
tâm tam giác ABD. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật biết D nằm trên 
đường thẳng có phương trình: x y 2 0.− − = 
c. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 . 
Đường thẳng AB có phương trình 3x 4y 1 0,+ + = đường thẳng BD có phương 
trình x y 2 0.+ − = Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C, D?. 
d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ( )M 4;6 là trung 
điểm của AB .Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng ( )d có 
phương trình 3x – 5y 6 0,+ = điểm ( )N 6; 2 thuộc cạnh CD . Hãy viết phương 
trình cạnh CD biết tung độ điểm I lớn hơn 4 . 
Bài tập 7. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC có ( )A 4; 1− , phương trình hai đường phân giác 
BE : x 1 0,CF : x y 1 0− = − − = . Tính tọa độ các điểm B, C. 
 b. Cho tam giác ABC vuông tại C , biết ( )A 3;0 , đỉnh C thuộc trục tung, điểm B 
nằm trên đường thẳng : 4x 3y 12 0.∆ + − = Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC , 
biết diện tích tam giác ABC bằng 6. 
3Nguyễn Phú Khánh 
 552 
 c. Cho hình bình hành ABCD có ( )B 1; 5 và đường cao AH có phương trình 
x 2y 2 0+ − = , với H thuộc BC, đường phân giác trong của góc 
ACB có phương 
trình là x y 1 0− − = . Tìm tọa độ đỉnh A,C,D. 
 d. Cho tam giác ABC với hai điểm ( )A 2; 1 ,− ( )B 1; 2− và trọng tâm G nằm trên 
đường thẳng d : x y 2 0.+ − = Tìm tọa độ điểm C, biết diện tích tam giác ABC 
bằng 
3
.
2
 e. Cho hình bình hành ABCD có ( )D 6; 6 .− − Đường trung trực của đoạn DC có 
phương trình ( )d : 2x 3y 17 0+ + = và đường phân giác góc BAC có phương 
trình ( )d' : 5x y 3 0+ − = .Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành. 
Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC có ( )C 4; 5− − và phương trình đường cao AD : x 2y 2 0+ − = , 
đường trung tuyến 1BB : 8x y 3 0− − = .Tìm tọa độ các điểm A, B. 
 b. Cho hình thang vuông ABCD, vuông tại A và D. Phương trình AD 
− =x y 2 0 . Trung điểm M của BC có tọa độ ( )M 1;0 . Biết = =BC CD 2AB. Tìm tọa 
độ của điểm A . 
 c. Cho ABC∆ ,biết tọa độ điểm ( )A 2; 3− và ( )B 3; 2− , diện tích tam giác ABC∆ là 
3
2
 và trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng : 3x y 8 0∆ − − = .Tìm tọa độ 
điểm C . 
 d. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ. 
Đường phân giác trong của góc 
ABC có phương trình là: x 2y 5 0.+ − = Tìm tọa 
độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm ( )K 6; 2 . 
 e. Cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh AB là : x 2y 0− = , điểm 
( )I 4; 2 là trung điểm của AB , điểm 9M 4;
2
 
 
 
 thuộc cạnh BC , diện tích tam giác 
ABC bằng 10 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn 
hơn hoặc bằng 3 . 
Bài tập 9. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC có ( )B 1; 5 và phương trình đường cao AD : x 2y 2 0+ − = , 
đường phân giác trong 1CC : x y 1 0− − = . Tính tọa độ các điểm A, C. 
3Nguyễn Phú Khánh 
 553 
 b. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương trình BC : 2x y 7 0,− − = đường 
thẳng AC đi qua điểm ( )M 1;1 ,− điểm A nẳm trên đường thẳng 
: x 4y 6 0.∆ − + = Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có 
hoành độ dương. 
 c. Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình là ( )1d : 2x 3y 3 0− − = và 
( )2d : 5x 2y 17 0+ − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của ( )1d 
, ( )2d lần lượt cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho 
2
OAB
AB
S∆
 
  
 
 đạt giá trị nhỏ 
nhất. 
 d. Cho parabol ( )P : 2y x 2x 3= + − . Xét hình bình hành ABCD 
( ) ( )A 1; 4 , B 2; 5− − thuộc ( )P và tâm I của hình bình hành thuộc cung AB của 
( )P sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Hãy xác định tọa độ hai điểm 
C, D. 
 e. Cho tam giác ABC cân tại A, có đỉnh B và C thuộc đường thẳng 
1:d x y 1 0+ + = .Đường cao đi qua đỉnh B là 2d : x 2y 2 0− − = , điểm ( )M 2;1 
thuộc đường cao đi qua đỉnh C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác 
ABC 
 f. Cho tam giác ABC có A nằm trên Ox với A
5
0 x
2
< < . Hai đường cao xuất 
phát từ B và C lần lượt có phương trình: 1d : x y 1 0,− + = 2d : 2x y 4 0. + − = Tìm 
tọa độ A, B, C sao cho diện tích tam giác ABC là lớn nhất. 
Bài tập 10. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC có phương trình các đường cao 
AD : 2x y 1 0, BE : x y 2 0− + = + − = , C thuộc đường thẳng d : x y 6 0+ − = và BC 
đi qua ( )M 0; 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 
 b. Cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AB : 2x y 1 0, + − = và 
C,D lần lượt thuộc 2 đường thẳng 1d : 3x y 4 0,− − = 2d : x y 6 0.+ − = Tính diện 
tích hình vuông 
c. Cho hình bình hành ABCD có ( )A 2;1 , đường chéo BD có phương trình 
x 2y 1 0.+ + = Điểm M nằm trên đường thẳng AD sao cho AM AC.= Đường 
thẳng MC có phương trình x y – 1 0.+ = Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình 
bình hành ABCD . 
3Nguyễn Phú Khánh 
 554 
d. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BC là 
( )d : x 7y 31 0+ − = , điểm ( )N 7; 7 thuộc đường thẳng AC, điểm ( )M 2; 3− thuộc 
AB và nằm ngoài đoạn AB . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . 
Bài tập 11. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm 
4 1
G ;
3 3
 
 
 
, phương trình đường 
thẳng BC : x 2y 4 0− − = và phương trình đường thẳng BG : 7x 4y 8 0− − = . Tìm 
tọa độ các đỉnh A,B,C . 
 b. Cho hình thang ( )ABCD AB CD . Biết hai đỉnh ( )B 3; 3 và ( )C 5; 3− . Giao 
điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng :∆ 2x y 3 0.+ − = Xác định tọa 
độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI 2BI,= tam giác ACB có diện 
tích bằng 12 , điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm . 
Bài tập 12. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x 4y 2 0− − = , cạnh BC 
song song với d , phương trình đường cao BH : x y 3 0+ + = và trung điểm cạnh 
AC là ( )M 1;1 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C. 
 b. Cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB và AD theo thứ tự là 
x 2y 2 0+ − = và 2x y 1 0+ + = . Cạnh BD chứa điểm ( )M 1; 2 . Tìm tọa độ các đỉnh 
của hình thoi 
Bài tập 13. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 
 a. Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh ( )A 6;6 , đường thẳng đi qua trung điểm 
của các cạnh AB và AC có phương trình x y 4 0+ − = . Tìm tọa độ các đỉnh B và 
C , biết điểm ( )E 1;  ... 
 
22 2
AB N ;
9 9
. Vì N trung điểm ( )AB nên =
 
AB 2AN 
D
C A
B
丰ό
Nguyễn Phú Khánh 
 579 
   − = −   
     ⇔ ⇔  
     + = +      
4 22 4
x 2
9 9 9 40 11
B ;
9 97 2 7
y 2
9 9 2
. Vì M trung điểm ( )BC nên  − 
 
76 25
C ;
9 9
Bài tập 20. ( ) ( ) ( )∩ = −AB AC A 4;1 : ( )= ⇒ − −
1
GM AG M 1; 2
2
M trung điểm BC và 
( )
( )
+ = = −
  − −+ = = −∈  
⇔ ⇔  
∈ + + = −  
 + + =
B C M
B C M
B B
C C
x x 2x 2
B 3; 3y y 2y 4B AB
C AC 4x y 15 0 C 1; 1
2x 5y 3 0
Bài tập 21. Gọi ( ) ( )0 0 M MA x ;y ,M x ;y là trung điểm ( )AB 
+ +
= =0 0M M
x 3 y 5
x ,y
2 2
 và M thuộc trung tuyển : + − =M Mx y 5 0 
⇔ + − =0 0x y 2 0 , A thuộc đường cao : − + =0 02x 5y 3 0 
Ta có 
( )
( )
+ − = 
⇒ 
− + = 
0 0
0 0
A 1;1x y 2 0
2x 5y 3 0 M 2;3
Bài tập 22. ( ) ( )AB : ax b y 2 0,+ − = ( ) ( ) ( )AD : b x 2 a y 4 0− − − = 
 d P,AB d N,AD 3a b 0  =   ⇒ + =    hoặc a 7b 0+ = 
Bài tập 23. ( ) ( ) ( )∈ = ⇒ = = +
 
0 0C x ;3 y 3 AB 3;3 ,AC x 1;2 
( ) ( )= ⇔ = ⇔ − + = ⇒ =
 
0 0
1 1
S 2 det AB;AC 2 3.2 1 x 1 2 x 9
2 2
 hoặc =0x 1 
( )⇒ 1C 1;3 hoặc ( )2C 9;3 
* ( ) ( ) ( )⇒ = = − ⇒ = ⇒ ⊥
     
C 1;3 AC 2;2 ,BC 1;1 AC.BC 0 AC BC 
⇒∆ABC vuông tại ⇒ = =
AB 10
C R
2 2
* ( ) ( ) ( ) ( )⇒ = = =
  
C 9;3 AC 10;2 ,BC 7;1 ,AB 3;1 
 ( )= = ⇒ = − =
 
28 1cosA cos AB;AC sinA 1 cos A
65 65
 Theo định lý hàm số sin : = =
BC 5
R 130
2sin A 2
丰ό
Nguyễn Phú Khánh 
 580 
Bài tập 24. Phương trình 
BC :2x y 3 0− + = , 
 tọa độ của điểm C là nghiệm 
 của hệ: 
− + =

− − =
2x y 3 0
x y 1 0
= −
⇔ 
= −
x 4
y 5
 ( )⇒ − −C 4; 5 . 
B'
H
B
A D
C
Gọi B' đối xứng với B qua d , ta tìm được ( )B' 6;0 và B' AC∈ . 
Suy ra phương trình AC : x 2y 6 0− − = . 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ( )
x 2y 6 0 x 4
A 4; 1
x 2y 2 0 y 1
− − = = 
⇔ ⇒ − 
+ − = = − 
. 
Vì ( )AD BC D 1; 11= ⇒ − −
 
. 
Bài tập 25. Vì 1 2d d⊥ và ABC∆ vuông cân tại A nên A cách đều 1 2d ,d , do đó A 
là giao điểm của d và phân giác hợp bởi 1 2d ,d . 
Phương trình phân giác hợp bởi 1 2d ,d là ( )x 1 y 2− = ± − ( )1t⇒ : x y 1 0− − = 
hoặc ( )2t : x y 3 0+ + = không thỏa vì ( ) ( )2t d . 
 Tọa độ điểm A là nghiệm hệ: ( )x y 1 0 A 3; 2
x y 5 0
 − − =
⇒
+ − =
 Gọi ( ) 1B 1; b d ,− ∈ ( ) 2C c; 2 d− ∈ 
 Theo bài toán ta có: 
( ) ( )
( ) ( )2
B 1; 5 ,C 0; 2AB.AC 0
B 1; 1 ,C 6; 2BC 50
  − −=
⇒ 
− − −= 
 
Bài tập 26. Gọi ( )A 3 2a;a ,− ( )B 3 2b; b− là tọa độ cần tìm. G là trọng tâm ABC∆ 
 và 
thuộc đường thẳng x y 2 0+ − = nên suy ra a b 2 0+ − = . Hơn nữa AB 5= suy ra 
( )2a b 1− = . Từ đây, tìm được 3a ,
2
= 
1
b
2
= 
Bài tập 27. ( )B d : x 2y 6 0 B 2y 6; y∈ − + = ⇒ − 
丰ό
Nguyễn Phú Khánh 
 581 
 Ta thấy AMB∆ và BNC∆ vuông bằng nhau AI BI IA.IB 0⇒ ⊥ ⇒ =
 
 y 4⇒ = 
 ( )B 2; 4⇒ . ( )BC : 2x y 0 C c; 2c ,− = ⇒ AB 2 5,= ( ) ( )2 2BC c 2 2c 4= − + − 
 Theo bài toán, ( ) ( )AB BC c 2 2 C 0;0 ,C 4;8= ⇒ − = ⇒ 
 Vì I nằm trong hình vuông nên I,C cùng phía với đường thẳng 
 ( )AB C 0;0⇒ . 
Bài tập 28. Gọi I là trung điểm của EC . Vì G là trọng tâm AEC∆ nên 
2
AG AI
3
=
 
 ( )I 2; 3⇒ .Hơn nữa E Oy∈ nên ( )E o;e 
 Vì AEC∆ cân tại A nên AI EC AI.EC 0 e 3⊥ ⇒ = ⇒ =
 
 ( )E 0; 3 ,⇒ ( )C 4; 3 . 
 Mặt khác, ( )AE 2EB B 1;1= ⇒ −
 
Bài tập 29. Ta có 1 2
x y 3 0 9 3
d d I : I ;
x y 6 0 2 2
− − =  
∩ = ⇒  + − =  
Gọi M là giao của đường thẳng 1d với Ox , suy ra ( )M 3;0 . 
Vì AB MI⊥ nên suy ra phương trình AB : x y 3 0+ − = 
ABCDSAD 2MI 3 2 AB 2 2 AM 2
AD
= = ⇒ = = ⇒ = 
Mà ( ) ( )22A AB A a;3 a AM 2 a 3 1∈ ⇒ − ⇒ = ⇔ − = a 2,a 4⇔ = = , ta chọn 
( ) ( )A 2;1 ,B 4; 1− . 
Do I là tâm của hình chữ nhật nên ( ) ( )C 7;2 , D 5;4 . 
Vậy, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: ( ) ( )A 2;1 ,B 4; 1 ,− ( ) ( )C 7;2 , D 5;4 . 
Bài tập 30. Trước hết ta chứng minh tính chất sau đây: 
“ Cho hình vuông ABCD , các điểm M,N,P,Q lần lượt nằm trên các đường thẳng 
AB, BC, CD, DA . Khi đó MP NQ MP NQ= ⇔ ⊥ ”. 
丰ό
Nguyễn Phú Khánh 
 582 
 Chứng minh: Vẽ ME CD,⊥ E CD,∈ 
 NF AD,⊥ F AD∈ 
 Hai tam giác vuông MEP và NFQ có 
 NF ME= . 
 Do đó MP NQ MEP NFQ= ⇔ ∆ = ∆ 
 
 
 
 0EPM FQN QIM 90 MP NQ⇔ = ⇔ = ⇔ ⊥ 
 Trở lại bài toán: 
 Ta có: ( )MP 0; 1 MP 1= − ⇒ =

. Gọi d là 
I
E
F Q
B C
A D
M
P
N
 đường thẳng đi qua N và vuông góc với MP . 
 Suy ra phương trình d : x 4 0− = . 
Gọi E là giao điểm của d với đường thẳng AD , áp dụng tính chất trên ta suy ra 
NE MP= 
Mà ( )E 4;m nên ( )2NE MP m 2 1 m 3,m 1= ⇔ − = ⇔ = = . 
• Với m 3= ( ) ( )E 4;3 QE 3;1⇒ ⇒ =

, suy ra phương trình AD: x 3y 5 0− + = 
Phương trình AB:3x y 7 0, BC : x 3y 10 0, CD:3x y 6 0+ − = − − = + − = . 
• Với m 1= ( ) ( )E 4;1 QE 3; 1⇒ ⇒ = −

, suy ra phương trình AD: x 3y 7 0+ − = 
Phương trình AB:3x y 5 0, BC : x 3y 2 0, CD:3x y 6 0− − = + + = − − = . 
Bài tập 31. Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua tâm I thì ta có N’(4; −5) và N’ thuộc 
 cạnh AB .Suy ra 
16
MN' 4;
3
 
= − 
 

nên phương trình AB: 4x + 3y – 1 = 0 
Vì AC = 2BD nên AI = 2BI. Gọi H là hình 
chiếu của I lên AB, ta có: 
( )
8 3 1
IH d I,AB 2
5
+ −
= = = và 
2 2 2 2
1 1 1 5 IH 5
IB 5
2IH IA IB 4IB
= + = ⇒ = = 
Mặt khác ( )
2
221 4b 4b 2B AB B b; ,b 0 IB b 2 5
3 3
 −   + 
∈ ⇒ > ⇒ = − + =   
   
b 1⇔ = . Vậy ( )B 1; 1− cạnh BC : 2x 5y 7 0− + = . 
N'
H
D
B
IA
C
N
M

ͺ
Nguyễn Phú Khánh 
 583 
Bài tập 32. ( ) ( )1 2B d ,C d B b; b , C 1 2c;c∈ ∈ ⇒ − − 
4c 6
AB AC AB.AC 0 bc 3b 4c 6 0 b
c 3
+
⊥ ⇔ = ⇔ − − + + = ⇔ =
+
 
 ( )1 
 ( )2 2AB AC 2 b 1 5c 12c 7= ⇔ − = + + ( )2 
 Từ ( )1 và ( )2 suy ra 
2
24c 62 1 5c 12c 7
3 c
 + 
− = + + + 
 ( )( )( )4 3 2 25c 42c 106c 114c 45 0 c 1 c 5 5c 12c 9 0⇔ + + + + = ⇔ + + + + = 
 ( ) ( )c 1 B 1;1 , C 1; 1= − ⇒ − hoặc ( ) ( )c 5 B 7;7 , C 9; 5= − ⇒ − . 
Bài tập 33. Vì 1 2A d ,C d∈ ∈ nên ( ) ( )A 2a 1;a ,C 3c; 2c− − , suy ra 
2a 3c 1 a 2c
I ;
2 2
 + − − 
 
 
 là trung điểm AC 
Do ABCD là hình vuông nên I là trung điểm của BD, hay I ∈ Ox. 
Do đó =a 2c . 
Mặt khác AC BD Ox⊥ ≡ nên suy ra 2a 1 3c c 1− = ⇔ = . 
Từ đó, ta tìm được ( ) ( ) ( )A 3; 2 , C 3; 2 , I 3;0− . 
Vì ( )B Ox B b;0∈ ⇒ , mà IB IA 2 b 3 2 b 5,b 1= = ⇒ − = ⇔ = = . 
Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD là: 
( ) ( ) ( ) ( )A 3;2 , B 1;0 , C 3; 2 , D 5;0− hoặc ( ) ( ) ( ) ( )A 3; 2 , B 5; 0 , C 3; 2 , D 1;0− . 
Bài tập 34. Cách 1: Điểm I là trung điểm của CD nên 
C I D
C I D
x 2x x 4
7
y 2x y
2
 = − =


= − =
7
C 4;
2
 
⇒  
 
 Vì A∈∆ nên tọa độ điểm A có dạng ( )A a;a 1+ 
 Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với DA,DC
 
 không cùng phương 
và ( )
B
B
BB
x a 4 3 x a 1
AB DC B a 1;a 37 3 y a 3y a 1
2 2
 − = −  = + 
= ⇔ ⇔ ⇒ + + 
= +− − = − 
 
 DA,DC
 
không cùng phương khi và chỉ khi 
3
a 1a 3 112 a
1 2 2
+ −−
≠ ⇔ ≠ 

ͺ
Nguyễn Phú Khánh 
 584 
 Đường thẳng ∆ là phân giác góc 
BAC nhận vectơ ( )u 1;1=

 làm vec tơ chỉ 
 phương nên ( ) ( ) AB.u AC.ucos AB; u cos AC; u
AB u AC u
= ⇔ =
   
   
    ( )∗ 
 Có ( ) 5AB 1; 2 , AC 4 a; a
2
 
− − 
 
 
 nên ( )∗ 
( )
2
2
13
2a3 2
5 5
4 a a
2
−
⇔ =
 
− + − 
 
 22a 13a 11 0 a 1⇔ − + = ⇔ = hoặc 
11
a
2
= ( loại ) 
 Vậy, tọa độ điểm ( )B 2; 4 
Cách 2: Ta có 
7
C 4;
2
 
 
 
. 
 Đường thẳng d đi qua C vuông góc với ∆ nhận ( )u 1;1

 làm vectơ pháp 
 tuyến nên có phương trình là ( ) 71. x 4 1. y 0
2
 
− + − = 
 
 hay 2x 2y 15 0+ − = 
 Tọa độ giao điểm H của ∆ và d là nghiệm của hệ: 
13
xx y 1 0 13 174 H ;
2x 2y 15 0 17 4 4
y
4

= − + =  
⇔ ⇒   + − =    =

 Gọi C' là điểm đối xứng với C qua ∆ thì khi đó C' thuộc đường thẳng chứa cạnh 
AB và H là trung điểm của CC' do đó C' H C
C' H C
x 2x x
y 2y y
 = −

= −
 C'
C'
5
x
2
y 5

=
⇔ 
 =
5
C' ; 5
2
 
⇒  
 
 Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận ( )DC 1; 2

 làm vectơ chỉ 
phương nên có phương trình là 
5
x t
2
y 5 2t

= +

 = +
 Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường 
thẳng ∆ ta được 
5 3
t 5 2t 1 0 t
2 2
+ − − + = ⇔ = − suy ra ( )A 1; 2 
 ABCD là hình bình hành nên B B
B B
x 1 1 x 2
AB DC
y 2 2 y 4
 − =  = 
= ⇔ ⇔ 
− = =  
 

ͺ
Nguyễn Phú Khánh 
 585 
 Vậy, tọa độ điểm ( )B 2; 4 
Bài tập 35. Gọi J’ đối xứng với J qua I, ta có J’(4; 0) và J’ ∈ CD. 
 Ta có: ( )KJ' 2; 2=

, suy ra phương trình 
CD : x y 4 0− − = . 
 Vì AB / /CD nên phương trình: 
 AB : x y 4 0− + = 
Do ( )d I,AB 2 2= nên suy ra AB 4 2 IA 4= ⇒ = 
( )A AB A a; 4 a∈ ⇒ + , do đó ( ) ( )2 2IA 4 a 1 a 3 16= ⇔ − + + = 
2a 2a 3 0 a 1,a 3⇔ + − = ⇔ = = − 
- a = 1, ta có ( ) ( ) ( ) ( )A 1; 3 , B 3;1 , C 1; 1 , D 5;1− − 
- a = −3, ta có ( ) ( ) ( ) ( )A 3;1 , B 1; 3 , C 5;1 , D 1; 1− − . 
Bài tập 36. Vì BD AC⊥ nên phương trình BD: y x m= − + 
1B BD d= ∩ , suy ra 
y x m 9 m 4m 9
B B ;
4x y 9 0 3 3
= − + − − 
⇒  + − =  
Tương tự 2
m 6 2m 6
D BD d D ;
3 3
− + 
= ∩ ⇒  
 
. 
Suy ra tọa độ trung điểm của BD là 
1 2m 1
I ;
2 2
− 
 
 
. 
Vì 
1 2m 1
I AC 2 0 m 3
2 2
−
∈ ⇒ − + = ⇔ = . Suy ra ( ) ( ) 1 5B 2;1 ,D 1;4 ,I ;
2 2
 
−  
 
Ta có: 2BAD ABCD
1 15 15 5 25
S S AI AI
2 2 BD 22
∆ = = ⇒ = = ⇒ = 
Mà ( )
2
2
3
1
A d A a;a 2 AI 2 a
2
 
∈ ⇒ + ⇒ = − 
 
 nên ta có: 
2
1 25
a a 3,a 2
2 4
 
− = ⇔ = = − 
 
Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi là: 
( ) ( ) ( ) ( )A 3;5 ,B 2;1 ,C 2;0 ,D 1;4− − hoặc ( ) ( ) ( ) ( )A 2;0 ,B 2;1 ,C 3;5 ,D 1;4− − . 
J'
I
B C
A DJ
K
퇰ν
Nguyễn Phú Khánh 
 586 
Bài tập 37. ( ) ( ) x 3t: x 3y 3 0 :
y 1 t
 =
∆ + − = ⇔ ∆ 
= −
a. Vì ( )C∈ ∆ nên ( )−C 3t;1 t 
∆ABC cân tại ⇔ =A AB AC và 
 
AB,AC không cùng phương 
( ) ( )⇔ = − + − −2 25 3t 2 1 t 2 và 
 
AB,AC không cùng phương 
t 1
t 2
= −
⇔  =
Và 
 
AB,AC không cùng phương t 2⇔ = và ( )AB 5;0=

không cùng phương 
( )AC 4; 3= −

( )C 6; 1⇒ − 
b. Gọi ( ) ( ) 2 2D D 3t;1 t AD BD 10t 10t 5 10t 40t 50∈ ∆ ⇒ − ⇒ + = − + + − + 
Xét 
10 10
a t 10 ;
2 2
 
= −  
 

 và ( )b 2 10 t 10; 10= −

Ta có AB BD a b a b 3 3+ = + ≥ + =
   
Vậy ( )minAB BD 3 5+ = . Khi ( )
− −
↑↑ ⇔ = ⇔ = ⇒
 
1
t
2 t2a b t 1 D 3;0
1 1
2
Bài tập 38. Giả sử ∆ đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến là ( )n a; b 0= ≠
 
, nên 
có phương trình: ( ) ( )a x 1 b y 1 0+ + + = 
( )
2 2
a 3b
d B, ,
a b
+
∆ =
+
 ( )
2 2
a 2b
d C,
a b
+
∆ =
+
Gọi ( ) ( )
2 2 2 2
a 3b a 2b
d d B, d C,
a b a b
+ +
= ∆ + ∆ = +
+ +
 ( )
2 2
1
a 3b a 2b
a b
= + + +
+
( ) ( )( )2 2 2 22 22 2
1 1
d 2 a 5 b 2 5 a b 29
a ba b
≤ + ≤ + + =
++
Đẳng thức xảy ra khi 
ab 0
a a 2,b 5 :2
5b
 >

⇒ = = ⇒ ∆
=

 2x 5y 7 0+ + =