Ôn tập Chương IV. Số phức

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Ôn Tập Chương IV. Số Phức 
A. Kiến Thức Cơ Bản 
1. Khái niệm số phức: 
 Tập Số phức:  
 Số phức: z a bi  (a, b , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, 2i 1  ) 
 z là số thực b 0  
z là số thuần ảo a 0  
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo 
 Cho z a bi, z ' a ' b 'i    
a a '
z z '
b b '

  

2. Biểu diễn hình học của số phức : Điểm  M a;b trong một hệ tọa độ vuông góc của 
mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z a bi  
3. Môđum của số phức : 
Mô đun của số phức Z a bi  được tính bởi công thức 2 2Z a b  
4. Số phức liên hợp 
 Cho số phức Z a bi  thì số phức Z a bi  được gọi là số phức liên hợp của 
Z a bi  
 2 2Z.Z a b  
5. Các phép toán số phức. 
Cho 1 2Z a bi, Z c di    
    1 2Z Z a c b d i     
    1 2Z Z ac bd ad bc i    
 
   2
2 2 2 2
1
ac bd ad bcZ i
Z a b a b
 
 
 
  1z 0 
6. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai nghiệm phức. 
 Nếu a là một số thực âm thì căn bậc hai của a là: i a 
 Các nghiệm của phương trình  2ax bx c 0 a 0    khi 0  là: 
1,2
b i
x
2a
  
 .. 
B. Bài Tập Áp Dụng 
Dạng 1: Số phức và các thuộc tính của nó. 
Phương Pháp: Vận dụng các khái niệm: Phần thực, phần ảo của số phức, biểu diễn hình 
học của số phức, số phức liên hợp , môđun của số phức. 
Bài tập 1. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau và biểu diễn chúng trong mặt 
phẳng phức 
a) z 3 2i  b) z 2 5i   c) 2z 5 i
5
  
Bài Tập 2. Xác định số phức liên hợp, môđun của các số phức sau: 
a) z 3 4i  b) z 5 12i  c) z 7i  
Bài tập 3. Xác định số thực x sao cho các số phức sau là số thuần ảo. 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
 a) z 2x 1 x.i   
b)  2 2z x 2x 3 i3    
Bài tập 4. Tìm các số thực x, y sao cho hai số phức z và z ' sau bằng nhau 
a)    z x 2y 5i; z ' 4 x 3y i      
b)        z 2x 3 3y 1 i; z ' 2y 1 3x 7 i        
Dạng 2: Các phép toán số phức. 
Phương pháp: Sử dụng công thức các phép toán số phức. 
Bài tập 1. Thực hiện các phép tính sau : 
  a) 2 i 3 2i  b)   3 i 2 i  c) 2 i
4 i


Bài tập 2. Thực hiện các phép tính : 
   
   
2 2
2 2
1 2i 1 i
a)
3 2i 2 i
  
  
 b)   2 3i 3 i
4 i
 

 c)   
 
5 i 1 2i 5
3 2i
  

Đs : 21 9a) i
34 17
 b) 43 19 i
17 17
 c) 24 23 i
13 13
 
Bài tập 3. Tìm số phức z biết 
a) 2 3i z 2i
1 i



  b) 4 i z 2 4i   c)    2i 3 z 2 i z 1    
Đs : a) 2 10 i
13 13
 b) 4 18
17 17i
 c) 1 1 i
2 2
  
Bài tập 4. Cho số phức z 3 4i  . Tìm phần thực phần ảo của các số phức sau : 
2 z ia) z 2z 4 b)
iz 1

 

Đs : a) Phần thực : 9 Phần ảo : -16 
 b)Phần thực : 4
3
 Phẩn ảo : 1
3
Dạng 3: Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai nghiệm phức. 
Phương Pháp: 
 z x yi  là căn bậc hai của số phức w a bi  
 
2 2
2 x y az w x, y
2xy b
  
   

 
 Với phương trình hệ số thực áp dụng công thức nghiệm. 
 Với phương trình hệ số phức tính  , chú ý tìm căn bậc hai của  . 
Bài tập 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau : 
a) z 1 4 3i b) z 4 6 5i c)z 1 2 6i        
Bài tập 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức 
2a) z 2z 10 0   b) 3z 27 0  c) 2z 3z 3 0   
Bài tập 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức : 
a)  2iz 2 1 i z 4 0    b)  2z 5 i z 8 i    
Bài tập 4. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 2z 2 3i; z 3 i    
Bài tập 5. Giải các hệ phương trình : 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
1 2
2 2
1 2
z z 4 i
a)
z z 5 2i
  

  
 b) 1 22 2
1 2
z .z 5 5i
z z 5 2i
  

   
Dạng 4: Tập Hợp Điểm. 
Phương Pháp: Số phức z x yi  được biểu diễn điểm bởi điểm  M x; y . Tìm tập hợp 
điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. 
Bài tập 1. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi 
điều kiện sau. 
a) z z 3 4   b) z z 1 i 2    c) z 1 1  
Bài tập 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn 
mỗi điều kiện sau : 
a) z 2i là số thực b) z 2 i  là số thuần ảo c) z.z 9 
Bài tập 3. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi 
điều kiện sau : 
a) z 3 z i  b) 
22z z 1  c) 1z
z
 
Dạng 5: Xác định số phức z thỏa mãn điều kiện. 
Phương Pháp: Giả sử số phức cần tìm có dạng z a bi  , biểu diễn giả thiết đề bài theo a, 
b từ đó tìm a,b. 
Bài tập 1. Tìm số phức z biết 
a) z 5 và z là số thuần ảo. 
b) z 5 và phần thực bằng hai lần phần ảo của nó. 
Bài tập 2. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : 
a) z 20 và z 2 4  
b)    z 1 i 2 i z 0    
Bài tập 3. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiên : 
a) z 5 và 2z 24i là số thuần ảo. 
b)  z 3 i z 11 8i    
 C.ĐỀ THI SỐ PHỨC 
I. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP 
1 . TN_2009 
a) Giải phương trình 8z2 – 4z + 1 = 0 trên tập số phức 
 ĐS: i
4
1
4
1
 và i
4
1
4
1
 
b) Giải phương trình 2z2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức 
 ĐS: z1 = i và z2 = -i/2 
2 . TN_ 2010 
a) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực phần ảo của số phức 
 z1 – 2z2 
b) Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực phần ảo của số phức 
z1.z2 
ĐS: a) phần thực -3 , phần ảo là 8. b) phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
3 . TN_2011 
 a) Giải phương trình ( 1 - i )z + ( 2 – i ) = 4 – 5i trên tập số phức 
 b) Giải phương trình ( z – i )2 + 4 = 0 trêm tập số phức 
ĐS: a) z = 3 – i b) z1 = 3i và z2 = -i 
4 . TN_2012 
1. Tìm các số phức zz 2 và 
z
i25 , biết iz 43  
2. Tìm các căn bậc hai của số phức i
i
iz 5
1
91



 
ĐS: 1: 9-4i và -4+3i ; 2: 2i và -2i 
5 . TN_2013 
1. Cho số phức z thỏa mãn   0421  izi . Tìm số phức liên hợp của z. 
2. Giải phương trình   035322  iziz trên tập số phức. 
ĐS: 1: iz  3 ; 2: iz 411  và iz  12 
6. TN 2014 
Cho số phức z thỏa mãn    2z 1 3i z 2i    . Xác định phần thực phần ảo và số phức liên 
hợp của z 
Đs: Phần thực 4 ; phần ảo 2 . z 4 2i   
II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
1 . KA_2009 
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 .Tính giá trị của biểu 
thức 22
2
1 zzA  
ĐS: 20 
2 . KB_2009 
Tìm số phức z thỏa mãn : 10)2(  iz và 25. zz 
 ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 5 
3 . KD_2009 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 
2)43(  iz 
ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm ( 3 ; -4 ) , bán kính R = 2 
4 . KA_ 2010 
a) Tìm phần ảo của số phức z biết : )21()2( 2 iiz  
ĐS: a) Phần ảo của số phức z là 2 
b) Cho số phức z thỏa mãn 
i
iz



1
)31( 3 . Tìm môđun của số phức izz  
ĐS b) 28 izz 
5 . KB_2010 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 
 ziiz )1(  
ĐS: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( 0 ; -1 ) và bán kính 2R 
6 . KD_2010 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Tìm số phức z thỏa mãn : 2z và z2 là số thuần ảo 
ĐS: z = -1 – i ; z = -1 + i ; z = 1 + i ; z = 1 – i 
7 . KA_2011 
a) Tìm tất cả các số phức z, biết zzz  22 
b) Tính modun của số phức z, biết : iiziz 22)1)(1()1)(12(  
ĐS: a) izizz
2
1
2
1;
2
1
2
1;0  b) 
2
3
z 
8 . KB_2011 
a) Tìm số phức z , biết : 0135 
z
iz 
 ĐS: a) 32;31 iziz  
b) Tìm phần thực , phần ảo của số phức 
3
1
31











i
iz 
 ĐS: b) Phần thực là 2 và phần ảo là 2 
9 . KD_2011 
Tìm số phức z , biết : iziz 91)32(  ĐS: z = 2 – i 
10. KA_2012 
 Cho số phức z thỏa mãn   i
z
iz


 2
1
5
. Tính môđun của số phức 21 zzw  . 
ĐS: 13 
11. KB_2012 
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 04322  izz . Viết dạng lượng giác 
của z1, z2 . 
ĐS: 




 




 
3
2sin
3
2cos2;
3
sin
3
cos2 21
 iziz 
12. KD_2012 
a).Cho số phức z thỏa mãn     i
i
izi 87
1
2122 


 . Tìm môđun của số phức 
.1 izw  
b). Giải phương trình   05132  iziz trên tập số phức. 
ĐS: a) 5 b). z 1 2i; z 2 i      
13. KA_2013 
Cho số phức iz 31 . Viết dạng lượng giác của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo 
của số phức   51 ziw  . 
ĐS: phần thực là  1316  và phần ảo là  3116  . 
14. KD_2013 
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện    izizi 221  . Tính môđun của số phức 
2
12
z
zzw  . 
ĐS: 10 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
15. KA 2014 
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  z 2 i z 3 5i    . Tìm phần thực và phần ảo của z 
ĐS: Phần thực 2. Phần ảo 3 
16. KB 2014 
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  2z 3 1 i z 1 9i    . Tính môđun của z 
ĐS: 13 
17. KD 2014 
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   3z z 1 i 5z 8i 1     . Tính môđun của z 
ĐS: 13