Ôn luyện phương trình lượng giác

LỜI NÓI ĐẦU:
Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc:
Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo. Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình.
Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm:
+Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến.
+Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục.
Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây:
A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài.
B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.
(Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)
C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác.
D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: maunguyencong@yahoo.com hoặcsố điện thoại: 0984-003114.
E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở phần D.
F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác.
Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này.
Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi những sai sót. Chào thân ái!
 OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
ÔN LÝ THUYẾT:
Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác
Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
 B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.
PTLG cho trước
Áp dụng:
 (asinu + bcosu)
PTcơ bản
Sinf(x)=sing(x)
 Hoặc
cosf(x)=cosg(x)
Còn 1 HSLG
PT còn hai cung
PT còn một cung
P.T.Tích
Còn 2 hàm sin và côsin
Cần chú ý sự xuất hiện các biểu thức:
 a.sinx +b.cosx với:
a,b =
PTLG THƯỜNG GẶP
PTLG cơ bản
 PTĐẠI SỐ
 (ẩn phụ)
	C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP. 
VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.
I. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc:
Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá löôïng giaùc.
Vaø a, b, c laø caùc heä soá a0.
Caùch giaûi: + Ñaë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì )
 + Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn ñieàu kieän.
 + Giaûi phöông trình f(x) = t.
Ví dụ 1) Giaûi phöông trình :	(1)
 Ví dụ 2) Giaûi phöông trình : 	(2)
Ví dụ 3) Giaûi phöông trình : 	(3)
Ví dụ 4) Giaûi phöông trình : 	(4)
Ví dụ 5) Tìm caùc nghieäm treân khoaûng cuûa phöông trình :
 	(5)
Ví dụ 6) Cho phöông trình : .
Giaûi phöông trình khi m = 2.
 b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng .
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: 
Ví dụ 1) +Đk .
(1) 
Họ thỏa ĐK khi k = 2h 
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: .
Ví dụ 2) + ĐK : 
(2) 
 (loại)
Ví dụ 3) +ĐK : 
(3) 
 (Thỏa các ĐK)
Ví dụ 4) +Biến đổi:
(4) 
Ví dụ 5) *Giải PT(5):
+ĐK : sinx 
+Ta có 
(5)
 (loại)
*Chọn nghiệm trên khoảng ta được hai nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 6) (*)
 a)Khi m=2: (loại)
 b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng :
 Khi .
 Vậy ta phải có : 
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :
1) Giaûi phöông trình :
2) Giaûi phöông trình : 
3) Giaûi phöông trình : 
4) Giaûi phöông trình : 
5 Tìm caùc nghieäm treân khoaûng cuûa phöông trình :
6) Cho phöông trình : .
Giaûi phöông trình khi m = 3/2.
Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng .
 II. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
 Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b 0
 + Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2 c2.
 + Caùch giaûi :
Chia 2 veá phöông trình cho ta ñöôïc :
Ñaët vaø ñaët ta coù phöông trình:
Ví duï 1: Giaûi phöông trình : (1)
 Ví duï 2: Giaûi phöông trình : (2) 
 Ví duï 3: Giaûi phöông trình : (3) 
 Ví duï 4: Giaûi phöông trình : (4)
 Ví duï 5: Giaûi phöông trình : (5)
 Ví duï 6: Giaûi phöông trình : (6)
 Ví duï 7: Giaûi phöông trình : 4 (7)
 Ví dụ 8: Giải phương trình : (8)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1) 
 .
Ví dụ 2: + ĐK : 
 + (2)
Ví dụ 3: (3) 
Ví dụ 4: (4) 
Ví dụ 5: (5) 
Ví dụ 6: (6) 
Ví dụ 7: + Biến đổi : 
 + (7) 
Ví dụ 8: (8) 
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ : 
 1) Giaûi phöông trình : 
 2) Giaûi phöông trình : 
 3) Giaûi phöông trình : 
 4) Giaûi phöông trình : 
 5) Giaûi phöông trình : 
 6) Giaûi phöông trình : 
 7) Giaûi phöông trình : 
 8) Giải phương trình : 
 III. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
 1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)
Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung)
 (1) 
 .
Caùch giaûi 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
 Xeùt hai tröôøng hôïp :
 + Neáu x =coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng.
 + Neáu x , chia hai veá phöông trình cho cos2x ta ñöôïc:
 atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
 (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.
Ví duï 1: Giaûi phöông trình cos2x - sin2x = 1 + sin2x	(1)
Ví duï 2: Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + cos2x = 4	(2)
Ví dụ 3: Giaûi phöông trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 	(3)
Ví dụ 4: Giaûi phöông trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.	(4)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: (1) 
Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì nghiệm đúng phương trình (2).
 Vậy (2) có nghiệm .
 +Xét . Chia hai vế PT(2) cho và thay và đặt ăn 
 phụ t = tanx :
 Ta có : 	
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : ; 
Ví dụ 3: (3) 
Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì nghiệm đúng phương trình (2).
 Vậy (2) có nghiệm .
 +Xét . Chia hai vế PT(2) cho và thay và đặt ăn 
 phụ t = tanx :
 Ta có : 
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ:
Giaûi phöông trình : 3sin2x - 5sinxcosx – 6cos2x = 0
Giaûi phöông trình : sin2x + 
Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0
Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
 + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : .
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. (bậc 3).
Hoặc sinx = sinx. (bậc 5).
 + Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
 ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng một cung như sau:
 “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k”
Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
 (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán, 
 nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
 +Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
 +Bước 2: -Xét cosx 0. Chia hai vế PT cho và thay .
 -Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
 -Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.
Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải cách 1: 
+ĐK: .
+(1) (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì ; vô lý)
+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
 (t = tanx)
Giải cách 2:
(*) (**)
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
 (**)
 . 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x được :	
 (với t = tanx )
Giải cách 2:
(2) 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
Giải cách 2:
(3) 
 Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)	
Giải cách 1:
 + cosx = 0 thì sinx = không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 
 + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
Giải cách 2:
(4) 
Ví dụ 5: Giải phương trình : (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : =
 = 
Và biến đổi : 
Thì PT (5) (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
 Khi đó PT (5.1) (5.2)
 PT (5.2) đặt ẩn phụ thì được PT bậc hai .
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
 + Với t = 0 .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =. Phù hợp với mọi cách giải.
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như :
1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x	 (đẳng cấp bậc 3)	
2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0	(đẳng cấp bậc 3)	
3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)	
 4) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 3)
 5) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 6)
 6) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3)
 7) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 3) 
 8) Giaûi phöông trình : 4 (đẳng cấp bậc 4) 
 9) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3) 
 10) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 8)
 11) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 6)
IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung:
Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)
Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 
 (1) .
 Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn .
 Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = để tìm x.
Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 
 (1) .
 Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn .
 Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- để tìm x.
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình (4)
Ví dụ 5: Giải phương trình (5)
Ví dụ 6: Giải phương trình (1)
HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1) 
 (1a) 
 (1b) 
 + Vậy (1) có 2 họ nghiệm là 
Ví dụ 2: (2) 
 (2a) 
 (2b) : Đặt t = 
 (2b) , thay t = -2/3 vào (*):
 Sin2x = 
Ví dụ 3: (3) 
Ví dụ 4: (4) 
Ví dụ 5: (5) 
Ví dụ 6: (6) 
 (6a)
 (6b): Đặt t = sinx +cosx ( ) ; (*)
 (6b) 
 thay vào (*) thì sin2x = 0 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :
1) .
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009
(Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)
Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) ; b) 
c) ; d) 
e) ; g) 
Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) 
b) 
c) 
d) 
Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) ; b) 
 c) ; 
 d) 
Baøi 4 : Giaûi caùc phöông trình :
a) ; b) 
c) ; d) 
e) ; g) 
Baøi 5 : Giaûi caùc phöông trình :
 a) ; b) 
 c) ; 
d) 
 e) 
 f) 
Bài 6: a) Giải phương trình 
 b) Giải phương trình : 
 c) Giải phương trình 
E. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009.
Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :
 a) (KA-2003) 
 b) (KB-2003) 
 c) (KD-2003) 
Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :
 a) (KB-2004) 
 b)(KD-2004) 
 c) (KA-2004) Cho khoâng tuø thoaû ñieàu kieän : .
 Tính ba goùc cuûa . 
Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau :
 a) (KA-2005) 
 b) (KB-2005) 
 c) (KD-2005) 
Baøi 4:Giaûi caùc phöông trình sau :
 a) (KA-2006) 
 b) (KB-2006) 
 c) (KD-2006) 
Baøi 5:Giaûi caùc phöông trình sau :
 a) (KA-2007) 
 b) (KB-2007) 
 c) (KD-2007) 
Baøi 6:Giaûi caùc phöông trình sau :
 a) (KA-2008) 
 b) (KB-2008) 
 c) (KD-2008) 
Baøi 7:Giaûi caùc phöông trình sau :
 a) (KA-2009) Giải phương trình 
 b) (KB-2009) Giải phương trình 
 c) (KD-2009) Giải phương trình .
F. MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
 * Vieäc giaûi PTLG laø vaán ñeà thöôøng gaëp trong caùc ñeà thi ñaïi hoïc .Phöông phaùp thöôøng söû duïng khi giaûi phöông trình löôïng giaùc laø thöïc hieän moät soá pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thích hôïp keå caû vieäc bieán ñoåi ñaïi soá ñeå ñöa PTLG veà daïng phöông trình löôïng giaùc cô baûn hay caùc phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp hoaëc ñöa veà daïng phöông trình tích hoaëc ñaët aån phuï ñeå ñöa veà phöông trình ñaïi soá baäc hai,baäc ba;hoaëc ñoâi khi coøn phaûi söû duïng ñeán phöông phaùp ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình. Ñeå ñaït ñöôïc keát quaû cao trong vieäc giaûi PTLG yeâu caàu hoïc sinh caàn naém vöõng caùc yeâu caàu toái thieåu sau ñaây :
1)Hoïc thuoäc (hoaëc thoâng qua suy luaän) caùc coâng thöùc löôïng giaùc,caùc cung, goùc coù lieân 
quan ñaëc bieät,giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc cung(goùc) ñaëc bieät. 
2)Caàn naém vöõng caùch giaûi PTLG cô baûn vaø caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät.Caùch giaûi caùc 
phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp .
3)Phaûi coù thoùi quen laø ñeà caäp ñeán TXÑ cuûa phöông trình (laáy ñieàu kieän) tröôùc khi tieán 
haønh pheùp bieán ñoåi vaø ñoái chieáu ñieàu kieän khi coù keát quaû.
* Taïi sao ñeà caäp ñeán vieäc bieán ñoåi thích hôïp:Vì caùc ñoàng nhaát thöùc löôïng giaùc thöôøng 
raát ña daïng.Chaúng haïn :
-Neáu caàn bieán ñoåi cos2x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng moät trong caùc ñoàng nhaát sau:
 Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
Ví duï : Giaûi phöông trình :
 a) cos2x = sinx- cosx → bieán ñoåi Cos2x = cos2x – sin2x
 b) cos2x = cosx → bieán ñoåi Cos2x = 2cos2x -1 
 c) cos2x = sinx → bieán ñoåi Cos2x = 1-2sin2x
-Neáu caàn bieán ñoåi cos4x-sin4x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng moät trong caùc ñoàng nhaát 
sau:
 cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
*Caàn chuù yù ñeán caùc ñoàng nhaát löôïng giaùc thöôøng gaëp khi giaûi toaùn nhö:
 1 sin2x = (sinx cosx)2
 Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x
*Caàn chuù yù ñeán caùc soá haïng coù chöùa thöøa soá (cosx+sinx) laø: cos2x ; cos3x+sin3x ;
 Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ;.Töông töï ñoái vôùi caùc 
soá haïng coù chöùa thöø soá cosx-sinx.
*Caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thöôøng ñöôïc tieán haønh theo caùc höôùng sau:
 +Haï baäc phöông trình(neáu coù).
 +Ñöa veà cuøng cung:
 -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï.
 -Neáu cuøng cung nhöng coøn hai haøm sin vaø coâsin thì thöôøng bieán ñoåi veà ph. 
trình tích
 (Söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhö: ñaët nhaân töû 
 chung,duøng haèng ñaúng thöùc,nhoùm haïng töû,nghieäm tam thöùc baäc hai)
 -Neáu cuøng cung vaø coøn hai haøm sin ; coâsin vôùi baäc caùc haïng töû hôn,keùm nhau 2n (vôùi n laø soá töï nhieân) thì ta coù theå chia hai veá cuûa phöông trình cho coskx hoaëc sinkx (k laø baäc lôùn nhaát trong phöông trình) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng coøn chöùa duy nhaát haøm tang hoaëc coâtang cuûa moät cung roài tieán haønh ñaët aån phuï. 
 *Khi ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình thì caùc baát ñaúng thöùc thöôøng ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng nhö: ; ; ; 
 (vôùi )
-Ñoái vôùi phöông trình sinaxsinbx = (daáu laáy töông öùng)
Töông töï ñoái vôùi caùc phöông trình : cosaxcosbx = ; sinaxcosbx =
CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!