Những phương trình lượng giác khác - Lê Hồ Quý

NHỮNG PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
 Lờ Hồ Quý
 (Nguyờn GV. Trường THPT Lờ Lợi – Kon Tum)
	Mỗi đề thi tuyển sinh vào Đại học thường có một câu về phương trình lượng giác (PTLG). Phương pháp thường gặp khi giải PTLG là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác hợp lý để đưa bài toán về phương trình tích, đặt ẩn số phụ để quy về phương trình bậc hai, bậc ba, ..., từ đó đưa về PTLG cơ bản hoặc PTLG thường gặp... Ta nói biến đổi hợp lý vì các đồng nhất thức lượng giác thường rất đa dạng.
	Ví dụ, nếu cần biến đổi cos4x - sin4x, thì tuỳ theo đầu bài cụ thể, chúng ta sử dụng một trong các đồng nhất sau :
	cos4x - sin4x = cos2x - sin2x = cos2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x
A. Một số kiến thức cần nhớ :
Công thức lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
2. Công thức cộng
1) cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
2) cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
3) sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb
4) sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
3. Công thức góc nhân đôi
1) sin2a = 2sina.cosa
2) cos2a = cos2a-sin2a
 = 2cos2a-1
 = 1-2sin2a
4. Công thức góc nhân ba
1) cos3a = 4cos3a-3cosa
2) sin3a = 3sina-4sin2a
5. Công thức biến đổi tích thành tổng
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
7.Công thức hạ bậc
Phương trình lượng giác cơ bản
PTLGCB
Công thức nghiệm
Điều kiện có nghiệm
1) cosx=m
2) sinx=m
3) tgx=m
4) cotgx=m
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1. Dạng :
asin2x+bsinx+c=0 atg2x+btgx+c=0
acos2x+bcosx+c=0 acotg2x+bcotgx+c=0
trong đó 
2. Cách giải :
, mỗi phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác đều trở thành phương trình at2 + bt + c = 0 đã biết cách giải.
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1) Dạng :
 asinx + bcosx = c, trong đó a, b, cR và a2 + b2 > 0. (*)
2) Cách giải :
Cách 1: Chia hai vế của PT cho , ta được :
Đây là PT cơ bản đã biết cách giải.
ĐK có nghiệm của PT (*) là a2 + b2 ≥ c2
Cách 2 : Chia hai vế của PT cho a rồi đặt , ta được :
Cách 3:
* Kiểm tra có thỏa mãn PT hay không ?
* Với 
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx
1. Định nghĩa :
 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx là phương trình 
 asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 trong đó 
☺Chú ý :
* Xét PT asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d (1)
Ta có : (1)asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x+cos2x) 
 (a-d)sin2x + bsinxcosx + (c-d)cos2x = 0 (2)
 Bằng cách “kích bậc” : d = d(sin2x+cos2x), ta thấy PT (1) tương đương với PT đẳng cấp (2).
Người ta nói (1) là phương trình “dạng khuất” của phương trình thuần nhất bậc hai.
* Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx là trường hợp riêng của PT (1) khi d = 0. 
2. Cách giải :
* Cách 1 : Chia theo từng vế của PT cho một trong ba hạng tử sin2x, hoặc cos2x, hoặc sinxcosx. Sau đây trình bày cách chia cho cos2x (chia cho các hạng tử khác tương tự)
-Bước 1 : Kiểm tra cosx=0 bằng cách thay trực tiếp vào (1) để xem nó có phải là nghiệm của PT (1) hay không.
-Bước 2 : Với cosx≠0, chia cho cos2x thì PT trở thành atg2x + btgx + c = d(1+tg2x)
(a-d)tg2x + btg2x + c - d = 0. Đây là PT dạng bậc hai đối với tgx đã biết.
* Cách 2 : Hạ bậc nhờ các công thức :
đưa PT đã cho về PT bsin2x + (c-a)cos2x = d-c-a. Đó là PT bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã xét.
3. Chú ý :
a) Dạng hữu tỉ (một dạng khác) của phương trình thuần nhất bậc hai là
Chia theo từng vế của PT cho các mẫu thức tương ứng ta được :
b) Phương pháp giải phương trình “dạng khuất thuần nhất bậc hai” cũng áp dụng cho phương trình thuần nhất bậc cao cùng các dạng khuất của nó.
Dạng khuất của phương trình thuần nhất bậc 3 và bậc 4
1. Định nghĩa :
a) Phương trình asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = 0 trong đó được gọi là phương trình thuần nhất bậc ba đối với sinx, cosx. 
b) Phương trình asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = psinx + qcosx trong đó a, b, c, d, p, q được gọi là dạng khuất của phương trình thuần nhất bậc ba đối với sinx, cosx. 
c) Phương trình asin4x + bsin3xcosx + csin2x cos2x + dsinxcos3x + ecos4x= 0 trong đó a, b, c, d, e được gọi là phương trình thuần nhất bậc bốn đối với sinx, cosx. 
d) Phương trình asin4x+bsin3xcosx+csin2x cos2x+dsinxcos3x+ecos4x= psin2x+qcos2x+rsinxcosx a, b, c, d, e, p, q, rđược gọi là dạng khuất của phương trình thuần nhất bậc bốn đối với sinx, cosx. 
2. Cách giải :
1) Nhận xét : 
 Giả sử Q(x) là một biểu thức chứa ẩn x dưới các hàm số lượng giác. Kí hiệu degQ(x) là bậc của Q(x) đối với các hàm số lượng giác. Ta có nhận xét sau đây :
 Bất cứ biểu thức Q(x) nào cũng có thể “kích” thêm 2n (nN) bậc mà không làm thay đổi giá trị của biểu thức ấy.
 Thật vậy, với , ta có :
* Từ nhận xét trên ta suy ra mọi phương trình lượng giác có bậc cùng chẵn hoặc cùng lẻ đưa được về phương trình thuần nhất.
2) Cách giải :
a) PT asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = psinx + qcosx (1)
Bước 1. Kiểm tra cosx=0 bằng cách thay trực tiếp vào (1) để xem nó có phải là nghiệm của PT (1) hay không.
Bước 2. Với , chia theo từng vế của PT cho cos3x, ta có :
Bài toán dẫn tới giải phương trình có dạng bậc ba đối với tgx.
b) PT asin4x + bsin3xcosx + csin2x cos2x + dsinxcos3x + ecos4x= psin2x + qcos2x + rsinxcosx (2)
Bước 1. Tương tự như PT (1)
Bước 2. Chia cho cos4x, ta có :
Bài toán dẫn tới giải phương trình có dạng bậc bốn đối với tgx.
☺Chú ý : Các bạn cũng có thể chia cho bất cứ hạng tử nào có bậc cao nhất trong phương trình đang xét.
Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx 
1. Định nghĩa :
 Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx là phương trình dạng
 a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0, trong đó (1)
2. Cách giải :
* Cách 1 : Do (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx nên đặt
. Suy ra và PT (1) trở thành bt2 + 2at- (b+2c) = 0. Đó là PT bậc hai đã biết cách giải.
* Cách 2 : Đặt t= thì sinx + cosx = ,
, nên PT (1) trở thành :
 Đây là PT bậc hai đối với cost đã xét ở trên.
3. Chú ý :
 Hai cách giải PT (1) cũng áp dụng cho PT a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0, trong đó (2). Khác một chút là nếu với (1) ta đặt t=sinx+cosx, thì với (2) ta đặt t=sinx-cosx.
4. Bài toán 1 :
Giải phương trình : (1)
Cách giải
Đây là các phương trình đã xét ở trên.
Quy ước : Khi có nhiều dấu trong một biểu thức, trong một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới.
5. Bài toán 2 :
Giải phương trình : 
Cách giải 
Ta có : 
B. Tổng quan các phương pháp giải phương trình lượng giác :
☺ Ngoài phương trình lượng giác cơ bản, còn có 5 phương trình đã được trình bày cách giải là : Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx; phương trình thuần 
 nhất đối với sinx, cosx cùng các dạng khuất của nó; phương trình đối xứng đối với sinx, cosx. Người ta gọi đó là các phương trình quen thuộc. ☺ Đứng trước một phương trình lượng giác lạ, ta làm thế nào để giải nó ? 
Hết sức tự nhiên, tư tưởng nảy sinh trước tiên là tìm cách biến đổi biến đổi về phương trình quen thuộc. Đương nhiên có hai khả năng xảy ra :
1) Có phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình quen thuộc. 
Khi đó người ta quen gọi phương trình đã cho phương trình mẫu mực. Các cách biến đổi thường được sử dụng là đặt ẩn phụ, biến đổi thành phương trình tích.
2) Không có phép biển đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình quen thuộc. Trong số này, người ta quan tâm nhiều đến hai lớp phương trình sau đây :
	a) Phương trình đối cực :
	Cho các hàm số f(x) xác định trên Df và g(x) xác định trên Dg.
	Gọi . Hai phương trình sau được gọi là phương trình đối cực :
	* Phương trình đối cực theo vế : Đó là phương trình có giá trị bé nhất (lớn nhất) của một vế không bé hơn (lơn hơn) giá trị lớn nhất (bé nhất) của vế còn lại. Nói rõ hơn :
	Do vậy việc giải phương trình đối cực theo vế đồng hành với việc đánh giá (tìm cực trị) các vế. Các cách thường được sử dụng để đánh giá là biến đổi về tổng các biểu thức cùng dấu, sử dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số hoặc đoán nghiệm rồi chứng minh duy nhất.
	* Phương trình đối cực theo miền : Đó là phương trình f(x) = 0 mà f(x) có giá trị bé nhất (lớn nhất) trên một miền không bé hơn (lớn hơn) giá trị lớn nhất (bé nhất) của miền còn lại liền kề. Nói rõ hơn : 
	Hai phương pháp thường dùng để giải phương trình đối cực theo miền là đánh giá hoặc phương pháp khảo sát hàm số.
	b) Phương trình câm : Đó là phương trình mà sự hiển thị các nghiệm của nó chưa tìm được cơ sở lý luận để giải thích. Ngoài cách giải đoán nghiệm rồi chứng minh duy nhất, người ta chưa tìm được cách giải nào khác cho loại phương trình này.
Phương pháp giải phương trình lượng giác
Mẫu mực
Đối cực
Câm
Biến đổi về
PTLG
quen thuộc
Đặt ẩn phụ
Biến đổi về
PT tích
Biến đổi về tổng các biểu thức cùng dấu
Sử dụng BĐT
Khảo sát hàm số
Đoán nghiệm rồi chứng minh duy nhất
I. Phương pháp biến đổi tương đương về phương trình quen thuộc :
☺ Các hướng biến đổi theo nguyên tắc là :
* Nhiều hàm số lượng giác khác nhau nếu có thể thì biến đổi về một hàm số lượng giác.
* Nhiều cung khác nhau nếu có thể thì biến đổi về một cung.
* Bậc cao thì hạ bậc 
☺ Bạn cần chú ý đến mối liên hệ (tín hiệu) giữa các cung. Giả sử có các cung lượng giác a, b, c, d.
Mối liên hệ nhân cung :
+ Tín hiệu 1: cung này bằng 2n, 3n (nN) cung kia. (b=2na, b=3na). 
Đây là “mảnh đất” dành cho các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba.
Mối liên hệ cộng cung gồm :
+ Tín hiệu 2 : hai cung hơn kém nhau . 
Các hệ thức liên hệ giữa các cung có liên quan đặc biệt sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình.
+ Tín hiệu 3 : tổng, nửa tổng (hiệu, nửa hiệu) hai cặp cung này hơn cung thứ ba là 
.
+ Tín hiệu 4 : tổng (hiệu) hai cặp cung này bằng tổng hoặc hiệu hai cặp cung khác. 
Các công thức biến đổi tích thành tổng và ngược lại là công cụ sắc bén khi gặp hai tín hiệu 3 và 4.
☺ Tất cả các hướng biến đổi ấy đều nhằm vào mục đích :
	+ Tìm nhân tử chung, đưa phương trình đã cho về phương tích
	+ Chuyển phương trình lượng giác về phương trình đại số 
	+ Tìm mối liên hệ giữa các hạng tử để đánh giá.
☺ Để các bạn nắm chắc vấn đề và tiện theo dõi, sau phần trình bày chung dưới đây, mỗi mục đích sẽ trình bày trong một tiêu đề riêng.
1. Kỹ thuật sử dụng góc nhân đôi, nhân ba :
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :
 (ĐH Quốc gia Hà Nội - Khối A - Năm 1999)
Lời giải. (Phương trình có các tín hiệu 1 và 2, vì thế có lời giải dưới đây)
Cách 1 : Phương trình đã cho tương đương với 
Cách 2 (Phương trình dạng khuất bậc ba)
 (1)
 (2)
 (3)
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :
 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1 (1) (Đại học Xây dựng - Năm 1996)
Lời giải. (Phương trình có tín hiệu 1: cung này bằng ba cung kia. Vì thế có lời giải dưới đây)
Lưu ý: Đồng nhất thức 
2. Kỹ thuật biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng :
Ví dụ 3 : Giải phương trình :
cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2 (1)
 (Đại học Dược Hà Nội - Năm 2000)
Lời giải. (Phương trình có tín hiệu 4 : nửa tổng hai cung này bằng cung thứ ba còn lại. Vì thế có lời giải dưới đây)
Cách 1 (Tổng thành tích)
Ta có : cos2x + cos4x + cos6x = 2cos3xcosx + (2cos23x - 1)
 	 = 2cos3x(cos3x+cosx)-1= 4cos3xcos2xcosx-1
Cách 2 (Tích thành tổng)
Ta có : 4cosxcos2xcos3x = 2cos2x.2(cosxcos3x) = 2cos2x(cos2x + cos4x)
	 = 2cos22x + 2cos2xcos4x = 1 + cos4x + cos2x + cos6x
Lưu ý : Đồng nhất thức trong các ph ...  có nghiệm.
(Đại học Huế - Năm 2001)
Lời giải
 (2)
 (3)
 (4)
Ví dụ 2: Giải phương trình 16(sin6x + cos6x - 1) +3sin6x=0 (1)
(Học viện Chính trị Quốc gia Hồ Chí Minh 2000)
Lời giải
Ví dụ 3: Giải phương trình (1)
(Đại học Quốc gia Hà Nội - Năm 1998)
Lời giải
Ví dụ 4: Giải phương trình (1)
Lời giải
Ví dụ 5: Giải phương trình sau: (1)
Lời giải
(Phương trình có tín hiệu 1: cung này bằng ba cung kia. Vì thế có lời giải dưới đây)
 (2)
 = (3)
Từ (2) và (3) suy ra : 
Ví dụ 6 : Giải phương trình (1)
(Học viện Kỹ thuật mật mã - Năm 1999)
Lời giải
Ví dụ 7: Giải phương trình (1)
(Đại học Ngoại thương - Năm 2000)
Lời giải
Ví dụ 8 : Với n là số tư nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng thỏa mãn 
phương trình . 
 (Đại học Bách khoa Hà Nội - Năm 1999)
Lời giải
Bảng biến thiên :
x
0 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
1 1
	Căn cứ vào bảng biến thiên ta có : và là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2. Phương trình chứa lũy thừa cùng bậc đối với tgx và acotgx:
Bước 1: Đặt ẩn phụ ,
 đưa phương trình đã cho về phương trình đại số đối với t : G(t) = 0
Bước 2: Giải phương trình G(t) = 0.
 Loại các nghiệm không thích hợp điều kiện bài toán.
Bước 3: Với mỗi t tìm được ở bước 2, thế vào cách đặt ở bước 1 để tìm nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví du 1: Giải phương trình 3tg2x + 4tgx + 4cotgx + 3cotg2x + 2 = 0 (1)
(Cao đẳng Hải Quan - Năm 2000)
Lời giải
 (2)
Lưu ý: 
Ví dụ 2: Giải phương trình (1)
Lời giải
 (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình (1)
Lời giải
Ví dụ 4: Giải phương trình tgx + tg2x + tg3x + cotgx + cotg2x + cotg3x = 6 (1)
Lời giải
 (2)
 (3)
 (4)
Ví du 5: Giải phương trình 2(tgx + cotg2x) = tg7x + cotg7x (1)
Lời giải
Cách 1 : (2)
 (3)
Cách 2: 
 (t-1)(t2 -2) = 2 t3 - t2 - t = 0
 (3)
Ví dụ 6: Giải phương trình (1)
Lời giải
 (2)
hay 
VIII. Phương trình câm :
	Phương trình câm là phương trình mà sự hiển thị các nghiệm của nó chưa tìm được cơ sở lý luận để giải thích.
	Ngoài cách đoán nghiệm rồi chứng minh duy nhất, người ta chưa tìm được cách giải nào khác cho loại phương trình này.
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Lời giải
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 (ĐHSP Hà Nội 2 - Năm 1999)
Lời giải
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x = sinx + tgx, với (1)
Lời giải
IX. Phương trình lượng giác chứa tham số :
1. Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác :
Gọi F(x, m) = 0 là một phương trình lượng giác chứa tham số m.
1) Nếu đặt ẩn phụ t=L(x), (L(x) là một biểu thức của các hàm số lượng giác) chuyển phương trình lượng giác F(x, m) = 0 về phương trình đại số f(t, m) = 0 thì :
Phương trình F(x, m) = 0 có nghiệm Hệ có nghiệm.
2) Nếu phương trình F(x, m) = 0 viết được dưới dạng g(m) = f(x) với thì phương trình 
F(x, m) = 0 có nghiệm . Để tìm min, max của hàm số f(x) ta có thể: khảo sát hàm số, sử dụng bất đẳng thức hoặc đồ thị.
3) Phương trình AsinU(x) + BcosU(x) = C (1)
(trong đó A, B, C phụ thuộc tham số và U(x) là biểu thức chứa x)
2. Phương trình lượng giác chuyển về được phương trình đại số :
Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :
sin4x + cos4x + sin2x + m = 0 (1) 
 (ĐH Dân lập Hùng Vương - Ban B - Năm 2000)
Lời giải
 (2)
Tóm lại :
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a phương trình : (1)
Lời giải
 (2)
Tóm lại :
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình theo tham số a :
	(Đại học Xây dựng - Năm 1998)
Lời giải
 (2)
 (3)
 (6)
Xét phương trình (5):
 (7)
f(t) := 3at2 + 4t – a = 0 (8)
Phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7) có nghiệm (9) 
 (10)
Từ (8), (1) suy ra :
Tóm lại :
Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
(m-1)sin2x - 2(m+1)cosx + 2m - 1 = 0 (1)
(Đề 95.II - Bộ đề thi Tuyển sinh ĐH, CĐ)
Lời giải
 (2)
m
f(-1)
f(1)
Nghiệm của PT f(t) = 0
Kết quả
-
0
+
-
-
+
0
+
t1<-1<1<t2
t1=-1<1<t2
Vô nghiệm
1
+
+
-
0
-
-
+
0
+
-
-
+
 -1<t1<1<t2
+
-
+
-
-
t1<-1<t2<1
Ví dụ 5: Cho f(x) = acosx + bcos2x + ccos3x.
Chứng minh rằng nếu f(x) = 0, thì a = b = c = 0. 
(Đề 88.III - Bộ đề thi Tuyển sinh ĐH,C Đ)
Lời giải
f(x) = 0 với mọi giá trị của m nên suy ra :
Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 
Bài toán: Cho phương trình Q(x, m)=0 (1) phụ thuộc tham số m, 
 Tìm m để phương trình có nghiệm.
cách giải
Bài toán có hai cách trình bày lời giải như sau :
Cách 1. Phương pháp đạo hàm
Bước 1 : Đặt ẩn phụ t=h(x) trong đó h(x) là một biểu thức thích hợp có mặt trong phương trình
Bước 2 : Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là U.
Bước 3 : Đưa phương trình (1) về phương trình f(t, m) = 0.
Bước 4 : Lập bảng biến thiên của hàm số f(t, m) trên miền U
Bước 5 : Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà xác định giá trị của m.
Cách 2. Phương pháp tam thức bậc hai
(áp dụng khi đưa được Q(x, m) về dạng tam thức bậc hai )
Bước 1 : Đặt ẩn phụ t=h(x) trong đó h(x) là một biểu thức thích hợp có mặt trong phương trình 
Bước 2 : Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là U.
Bước 3 : Đưa phương trình (1) về phương trình f(t, m) := at2 + bt + c = 0 
Bước 4 : Giải bài toán tìm điều kiện để tam thức f(t, m) có nghiệm 
Bước 5 : Kết luận.
Ví dụ 1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm thuộc khoảng :
acos22x - 4sinxcosx + a - 2 = 0 (1)
(Đại học Giao thông vận tải - Năm 1999)
Lời giải
Cách 1:
Viết lại (1)a(1-sin22x) - 2sin2x + a - 2 = 0
 asin22x + 2sin2x + 2(1-a) = 0 (2)
Đặt t = sin2x, phương trình (2) trở thành f(t):= at2 + 2t + 2(1-a) = 0 (3)
 (4)
Trường hợp 1: a = 0, ta có (3)2t + 2 = 0t = 1(0; 1)
Vậy a = 0 không phải là giá trị phải tìm. (5)
Trường hợp 2: , điều nói ở (4) xảy ra khi và chỉ khi :
 (6)
Từ (5), (6) suy ra tập hợp các giá trị phải tìm của a là 0 < a < 4.
Cách 2: (tiếp nối từ (3))
 (7)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7) có nghiệm
t(0; 1) (4).
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2cos2x + (sinxcosx - m)(sinx + cosx) = 0 (1)
có nghiệm trong đoạn .
 (ĐHSP TP. HCM, Đại học luật TP. HCM)
Lời giải
 (2)
 t2 + 4t -1 – 2m = 0 (3)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
4(sin4x + cos4x) - 4(sin6x + cos6x) - sin24x = m (1)
(Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh - Năm 1997)
Lời giải
Cách 1: Đặt t = sin22x, 0≤ t ≤ 1, ta có :
 (2)
Cách 2: (Tiếp nối từ (2))
 (3)
 (4)
Cách 3: (Gián tiếp - Tiếp nối từ (4)):
Ví dụ 4: (1)
a) Giải phương trình khi a = 1
b) Tìm a để phương trình có nghiệm .
(Đề 28 - Bộ đề thi Tuyển sinh ĐH, CĐ)
Lời giải
 (2)
 (3)
Ta có : 
 (4)
 (5)
Từ (4), (5) suy ra phương trình đã cho có nghiệm 
Lưu ý :
* Lời giải trên đã sử dụng bất đẳng thức để tìm miền giá trị của hàm số f(x) = 4cos2x+2cosx-1 
với . Bạn cũng có thể đạt được điều đó bằng cách khảo sát tam thức bậc hai g(t)=4t2+2t-1
với t(-1; 1).
* Để ý rằng sinx, sin2x, sin3x, sin4x cùng có nhân tử chung là sinx
Tương tự, cosx, cos2x, cos3x, cos4x cùng có nhân tử chung là cosx
Ví dụ 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm : sin6x + cos6x = a (1)
Lời giải
Cách 1: Ta có (1)(sin2x)3 + (cos2x)3 = a 
 (2)
f(t):= 3t2 + 4at – 4 = 0 (3)
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t[0; 1] (4)
 (5)
Cách 2: (Tiếp nối từ (3))
Ví dụ 6: (m là tham số ) (1)
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn 
(Học viện Kỹ thuật Quân sự - Năm 2000)
Lời giải
 (2)
 (3)
Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình sau có nghiệm :
 (1)
(Đề 13.III - Bộ đề thi Tuyển sinh ĐH, CĐ)
Lời giải
Cách 1: Ta có (1) 3(1+cotg2x) + 3tg2x + m(tgx+cotgx)-1 = 0
3(tg2x + cotg2x) + m(tgx+cotgx) + 2 = 0
3[(tgx + cotgx)2-2 ] + m(tgx+cotgx) + 2 = 0 
3(tgx + cotgx)2 + m(tgx+cotgx) -4 = 0 (2)
Đặt t = tgx + cotgx, , phương trình (2) trở thành f(t):= 3t2 + mt - 4 = 0 (3)
Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (3) có nghiệm t ≥ 2 (4)
Cách 2: (Tiếp nối từ (4))
t
- -2 2 + 
h’(t)
-
-
h(t)
+
 4
-4
 -
 Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra phương trình (4) có nghiệm khi và chỉ khi 
Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm thuộc D 
Bài toán: Cho phương trình Q(x, m) = 0 (1) phụ thuộc tham số m, xD
 Tìm m để phương trình có k (k ≥ 1) nghiệm trên D.
Cách giải
Bài toán có hai cách trình bày lời giải như sau
Cách 1: Phương pháp đạo hàm 
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là một biểu thức thích hợp có mặt trong phương trình.
Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là U.
Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(t, m) = 0
Bước 4: Tìm tương quan về số lượng giữa tU và xD trong phương trình t = h(x). Nói rõ hơn là 
 xét xem với mỗi t0 U, phương trình t0 = h(x) có bao nhiêu nghiệm xD.
Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số f(t, m) = 0 trên miền U.
Bước 6: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà xác định giá trị của m.
Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai
(áp dụng khi f(x, m) = 0 có dạng tam thức bậc hai)
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là một biểu thức thích hợp có mặt trong phương trình.
Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là U.
Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(t, m) := at2 + bt + c = 0
Bước 4: Tìm tương quan về số lượng giữa tU và xD trong phương trình t = h(x). Nói rõ hơn là 
 xét xem với mỗi t0 U, phương trình t0 = h(x) có bao nhiêu nghiệm xD.
Bước 5: Giải bài toán tìm điều kiện để tam thức f(t, m) có đủ nghgiệm tU gây nên k nghiệm xD.
Chú ý:
 Gọi k là số nghiệm của phương trình Q(x) trên D, m là số nghiệm của của phương trình t=h(x) trên D, n là số nghiệm của phương trình f(t) trên U thì k = m.n.
Ví dụ 1: Cho phương trình cos3x - sin3x = m (1)
a) Giải phương trình khi m=-1 bằng cách đặt t=cosx-sinx
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc 
 (Đại học Quốc gia TP. HCM - Khối A - Năm 2000)
Lời giải
Thay vào phương trình (1) ta có (2)
 (3)
t
0 1 
f’(t)
 + 0 -
f(t)
 1
0 
Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra điều nói trong (3) xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 2: Cho phương trình sin3x - mcos2x - (m+1)sinx + m = 0 (1)
Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có đúng tám nghiệm phân biệt thuộc 
khoảng 
	(ĐHSP TP. Hồ Chí Minh - Năm 2000)
Lời giải
(7)
 (8)
Từ (7), (8) kết luận là các giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán.
3. Phương trình A(x)sinU(x) + B(x)cosU(x) = C(x)
Ví dụ 1: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình :
 (1)
 (ĐH Bách khoa Hà Nội - Năm 1998)
Lời giải
 (2)
 (3)
 (4)
Ví dụ 2: Với giá trị nào của a phương trình sau có nghiệm duy nhất
 1 + sin2ax = cosx (1)
 (ĐH Giao thông Vận tải - Năm 2000)
Lời giải
 (2)
không thoả mãn yêu cầu bài toán. (3) 
Khi a≠0, thấy rằng x = 0 là một nghiệm của (2) ứng với n = k = 0 hay x = 0 là 
là nghiệm của phương trình (1) với mọi a≠0. (4) 
 (5)
* a là một số vô tỉ : Hiển nhiên đẳng thức (4) không xảy ra hay khi a là số vô tỉ 
thì phương trình (1) không có nghiệm x ≠ 0. (6)
* a là một số hữu tỉ: .
Rõ ràng tồn tại vô số cặp số nguyên (k = 2pk’, l = qk’), thoả mãn :
 (7)
Từ (3), (4), (6), và (7) suy ra PT có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a là một số
vô tỉ.