Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng (Gv : Nguyễn Văn Bình)

NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
	Bài 1 : NGUYÊN HÀM 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Nguyên hàm và tính chất 
Định nghĩa : Cho hàm số xác định trên K (K là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng). 
 Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K nếu : 
 với mọi .
Định lí : 
Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số cũng là một nguyên hàm của hàm số trên K.
Ngược lại, nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số trên K đều có dạng .
 Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số là .
 Vậy : = , 
Tính chất của nguyên hàm 
Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí : Mọi hs liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP
Nguyên hàm của hàm sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp (với )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ
Phương pháp : 
Biến đổi hàm số về những hàm số có trong bảng nguyên hàm
Áp dụng tính chất của nguyên hàm
Bài 1 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 
Bài 2 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 
Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau : 
Dạng 2 : CHỨNG MINH HÀM SỐ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x)
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA f(x)
Phương pháp : 
Chứng minh : .
Dùng đồng nhất thức và tính chất của nguyên hàm.
Bài 1 : 
CMR hàm số là một nguyên hàm của hàm số .
CMR hàm số là một nguyên hàm của hàm số.
CMR hàm số là một nguyên hàm của hàm số.
Bài 2 : 
Cho hàm số và . Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x). ĐS : 
Cho hàm số và . Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x). ĐS : 
Dạng 3 : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x) THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp : 
Tìm F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)
 (*)
Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C. Thay C vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm.
Bài tập : 
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số biết . ĐS : 
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số biết .
 ĐS : 
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số biết . ĐS :
Bài 2 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 
Phương pháp đổi biến số : 
Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
 .
Hệ quả : Nếu thì 
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì 
 Hay viết gọn là : 
Bài tập áp dụng : 
 TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 1 : Để tìm , ta tiến hành như sau : 
Ta biến đổi .
Đặt , khi đó .
Vậy với là một nguyên hàm của 
Một số dạng bài tập thường gặp :
 	Đặt 
 	Đặt 
 	Đặt 
 	Đặt 
 	Đặt 
	Đặt 
Bài tập : 
Bài 1 : Tìm các nguyên hàm sau
Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau
Bài 3 : Tìm các nguyên hàm sau
Dạng 2 : Để tìm , ta tiến hành như sau : 
Đặt .
.
 Một số dạng bài tập thường gặp :
 	Đặt 
 	Đặt 
 Đặt 
 	Đặt 
 Đặt 
Bài tập : 
Bài 1 : Tìm các nguyên hàm sau
Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau
TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Dạng 1 : Để tính nguyên hàm dạng , trong đó là hàm đa thức, ta tiến hành như sau :
Đặt 
Sau đó dùng công thức 
Dạng 2 : Để tính nguyên hàm dạng , trong đó là hàm đa thức, ta tiến hành như sau :
Đặt 
Sau đó dùng công thức 
Bài tập : Tìm các nguyên hàm sau