Nguyên hàm -Tích phân Lớp 12

. Nguyãn haìm -Têch phán Låïp 12 
----------–˜Y™—----------
Căn bản
Mở rộng
( với a ¹ –1 )
( với a ¹ –1 )
=ln½a.x + b½+ C
ò(1+ tg2 x).dx =
ò(1+ tg2a x).dx =
ò(1+ cotg2 x).dx = - cotgx +C
 + C
ò(1+ cotg2a x).dx =cotgax +C
òtgx.dx = - ln(cosx) + C
òcotgx.dx = ln(sinx) + C
( 0 < a ¹ 1 )
Công thức Luỹ thừa :
; xm.xn = x m + n 
( x m)n = xm.n ; 
§Vấn đề 1: CHỨNG MINH g(x) LÀ NGUYÊN HÀM CỦA f(x): 
&F Muốn chứng minh g(x) là một nguyên hàm của f(x) ta chứng minh: g’(x) = f(x)
Baìi 1: 
a) Chæïng toí ràòng haìm säú F (x) = 
 laì mäüt nguyãn haìm cuía haìm säú f(x) = 
 b) Hàm số f(x) = (2x2 – 5x + 2).e– x có nguyên hàm là hàm số
g(x) = (–2x2 + x – 1).e– x
§.Vấn đề 2: TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA f(x): = ?
&F Phân tích f(x) thành tổng (hiệu) các hàm số đơn giản có sẵn trong bảng nguyên hàm căn bản và mở rộng; luôn luôn liên hệ hàm số và đạo hàm của nó :
&F Gọi u là hàm theo biến x; vì u’dx = du nên ta để ý 3 công thức :
 1) = = ln½u½+ C 2)= = + C
 3)= = u a + 1 + C (a ¹ - 1)
Áp dụng viết kết quả và cộng thêm hằng số C
Baìi 2: Tçm hoü nguyãn haìm cuía caïc haìm säú: 
 f (x) = ; g (x) = Khäúi A - ÂHNT 98 
Baìi 3: Tçm hoü nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau: 
 a) f (x) = b) g (x) = 
 c) h (x) = d) k (x) = 
Baìi 4: Tçm hoü nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau:
 a) f (x) = sin4x b) h (x) = 
 c) g (x) = sin (2x + 1). cos (3x -1) d) k (x) = 
 e) l (x) = cosx.cos2x.sin4x f) v (x) = 
Baìi 5: Tçm hoü nguyãn haìm cuía hai haìm säú: 
 f (x) = cos2x.cos2x vaì g (x) = sin2x.cos2x
Baìi 6: Cho haìm säú y = 
Xaïc âënh caïc hàòng säú A, B, C âãø y = 
Dæûa vaìo kãút quaí âoï tçm hoü nguyãn haìm cuía y 
 c) Tçm nguyãn haìm F (x) cuía y biãút F (2) = 0
§.Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN ĐOẠN [a , b] CỦA f(x): 
1 F Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) 
2 F Áp dụng công thức Newton–Leibnitz : 
= = F(b) – F(a)
3 F Nếu dưới dấu tích phân là hàm số có dấu trị tuyệt đối ½g(x)½cần phải tìm nghiệm của g(x) và xét dấu g(x) trên [a, b] để khử dấu giá trị tuyệt đối½½ trên từng đoạn.
Baìi 7: Chæïng toí ràòng haìm säú F(x) = ln (k laì hàòng säú khaïc 0) laì mäüt nguyãn haìm cuía haìm säú f (x) = trãn caïc khoaíng maì chuïng cuìng xaïc âënh. Aïp duûng: Tênh 
Baìi 8: Tênh têch phán: a) b) 
c) d) ÂS 4 e) ÂS 2
Baìi 9: Tênh: a) Âs:-6 f) Âs: 1 
b) Âs: 4 c) Âs: 4 
d) Âs: 8 e) Âs: 
§Vấn đề 4: Bất đẳng thức tích phân: 
Cho y = f(x) liên tục và khả tích trên [a , b]. Ta có :
1/ "x Î [a , b]: f(x) ³ 0 ” ³ 0	
2/ "x Î [a , b]: f(x) ³ g(x) ” ³
3/ "x Î [a , b]: m £ f(x) £ M m(b – a) £ £ M(b – a)
& Phương pháp tổng quát chứng minh p £ £ q
1 F Tìm GTLN & GTNN của f(x) trên [a , b] bằng lập luận bất đẳng thức hoặc bằng đạo hàm 
2 F Áp dụng một trong ba công thức trên kết quả 
? GHI CHÚ: 
 * – 1 £ sina; cosa £ 1;” sin2x ³ sinkx ; cos2x ³ coskx 
 * 0 < A < B 
 * Hàm số mũ cơ số e > 1 là hàm tăng; cơ số là giảm
 * Hàm logarit cơ số e là hàm tăng 
Baìi 10: Chæïng minh ràòng: a) 
 b) n c) < 
 d) 
Bài 11. Chæïng minh caïc báút âàóng thæïc sau:
 a) b) 
c) d) 
e) f) 
§.Vấn đề 5: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT : Xét các tích phân có dạng: 
* Hàm số của x nhân cho đạo hàm của nó sai khác nhau một thừa số 
* Hàm số của u nhân cho đạo hàm u' 
Dạng
I = 
J = 
 Bước 1
Đặt u = f(x)
Kiểm tra tính liên tục của u
Đổi cận
Đặt t = u
Kiểm tra tính liên tục của t
Đổi cận
Bước 2
Lấy vi phân: du = f’(x).dx
Suy ra các thừa số khác
Lấy vi phân : dt = u’.dx
Suy ra các thừa số khác
Bước 3
Thay vào I
Thay vào J
Bước 4
Áp dụng công thức với biến u
Áp dụng công thức với biến t
MỘT SỐ DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG THƯỜNG
1. Dạng đặt t = ”t2 = g(x) ” 2t.dt = g’(x).dx
Tính: A = B = 	
C = 
I = J = 	K = 	
L = 	 M = N = 
P = 	Q = 	R = 
S = 	T = 	U = 
 2.Dạng lượng giác chứa sinx; cosx dùng phương pháp đổi biến : 
 Đặt 
Baìi 12: Tênh a) Âs: b) 
c) Âs: 1/3 
Baìi 13: Tênh caïc têch phán: 
a) b) c) 
 d) â) e) 
 g) h) 
Bài 14: Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau:
 1) f(x) = sin5x 2) f(x) = 3) f(x) = 
 4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) = sin2 
 7) f(x) = sin2 8) f(x) = sin2xcos5x 9) f(x) = 
10) f(x) = 
Baìi 15: Tênh caïc têch phán: a) Âs: 
 b) c) Âs: ()
3. Dạng đặt u = e g(x) hoặc u = g (ex ) hoặc u = ea.x
Ví dụ: Tính:
a) b) c) d)	
Baìi 16: Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú: 
1) f(x) = 2) f(x) = (x2 + 2x) 
3) f(x) = 4) f(x) = (2x2 + 3x) 
5) I = Âs: 
6) f(x) = 7) f(x) = 
8) f(x) = 9) f(x) = (2x5 + ) 
10) f(x) = 11) 
Baìi 17: Tênh âaûo haìm cuía haìm säú u (x) = x + . Suy ra nguyãn haìm cuía caïc haìm säú:
 a) f(x) = b) h(x) = 
 c) g(x) = 
Baìi 18: Tính:
 a) b) Âs: 
c) d) 
e) f) Âs: 1+ ln 
g) h) Âs: 
i) k) 
§.Vấn đề 6: PHƯƠNG PHÁP LIÊN KẾT TÍNH TÍCH PHÂN 
Giả sử tính tích phân I khó tính trực tiếp. Ta chọn tích phân J liên kết với I sao cho tổng; hiệu hai tích phân dễ tính 
Tính I + J; I – J sau đó giải hệ: ” I ; J
Bài 19a: Cho I = ; J = 
a) Chứng minh I = J ?	 b) Tính I + J	 c) Tính I ; J 
Cho I = ; J =
a) Tính I + J và I – J	b)Tính I ; J 
Baìi 19b:
 a) Tênh: I = ; J = Âs: I = J = 
b) H = (GTVT2001) 
c) K= (Nha trang 2001) 
§.Vấn đề 7: 	PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
Xét tích phân I = 
 Đặt: ” 
 I = [u.v]– (trong đó đơn giản dễ tính)
Vấn đề là đặt u và dv như thế nào ? 
Xét I = trong đó P(x) là đa thức 
 TRƯỜNG HỢP I: g(x) là hàm số lượng giác (sinax; cosax; cos2ax; sin3ax; 1 + tg2ax; . . . ) hoặc là hàm số mũ 
	F Ta đặt: u = P(x) và dv = g(x).dx
TRƯỜNG HỢP II: g(x) là hàm số logarit (ln(ax + b); 1 + lnax; . . . ) hoặc là hàm vô tỉ 
	F Ta đặt u = g(x) và dv = P(x)dx 
TRƯỜNG HỢP III: I = với g(x) là hàm lượng giác 
	F Ta đặt u = g(x) ; dv = .dx
Baìi 20: Tênh caïc têch phán sau: 
a) Âs: b) Âs: 
c) Âs: 1 d) Âs: 
e) Âs: (2e - 1) f) Âs 
g) Âs: h) Âs: 
i) k) Âs: 
l) Âs: 5cos1 - 3sin1 
Baìi 21: Tênh 
 a) Âs: b) (ÂHÂN: 2 - 4ln2 + 2ln3)
Baìi 22: Cho hai haìm säú f(x) = 4cosx + 3sinx vaì g(x) = cosx + 2sinx
Tçm caïc säú A, B thoaí g(x) = Af(x) + B.f’(x)
Tênh tênh phán: Âs: 
Baìi 23: a) Våïi mäùi säú nguyãn dæång k, âàût Ik= .
 xaïc âënh k âãø Ik < e - 2
b) Chæïng toí ràòng nãúu y = ln thç y’ = 
 ( a > 0). Sau âoï tênh .
Baìi 24: 24.1) Tênh J = 
24.2) a) Tênh: I = J = 
 K = Âs: Âs: Âs: 
Tçm hoü nguyãn haìm cuía haìm säú f(x) = 
 (ÂHQGHN khäúiA nàm 2000)
24.3) Tênh caïc têch phán:
 a) b) c) Âs: 
 d) Âs: e) Âs: 
24.4) Tênh têch phán f(t) = . 
Giaíi phæång trçnh f(t) = 0 Âs: t = 
§.Vấn đề 8: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1.Diện tích hình phẳng 
 Cho (C); (C1); (C2) là những đường cong liên tục trên đoạn [a; b] 
1.1.Diện tích hình phẳng (hình thang cong) S giới hạn bởi :
 S = 
1.2.Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi:
 S = 
2.Thể tích của vật thể 
& Khi cho hình thang cong giới hạn bởi 
quay quanh trục Ox ta
được vật thể tròn xoay (T) 
có thể tích: V = 
& Khi cho hình thang cong giới hạn bởi
quay quanh trục Oy ta
được vật thể tròn xoay (T) 
có thể tích : V = 
Baìi 25: Tênh diãûn têch S cuía hçnh âæåüc giåïi haûn båíi caïc âæåìng 
x + y = 0 vaì x2 -2x + y + 0 Âs:âvdt
Baìi 26: Tênh diãûn têch hçnh chàõn båíi âæåìng cong ax = y2; ay = x2
 (a > 0 cho træåïc) Âs: âvdt
Baìi 27: Cho haìm säú y = 2x3 - 3x2. a) Mäüt âæåìng thàóng (d) âi qua gäúc O coï hãû säú goïc m. Biãûn luáûn säú giao âiãøm cuía (d) vaì (C) theo m.
b) Khi (d) tiãúp xuïc våïi (C) taë mäüt âiãøm khaïc gäúc O. Haîy tênh diãûn têch hçnh phàóng giåïi haûn båíi (C) vaì (d). Âs: âvdt
Baìi 28: Cho haìm säú y = x3 - 4x2+ 4x (C)
Tiãúp tuyãún cuía (C) taûi gäúc toaû âäü càõt (C) åí âiãøm A. Tênh toaû âäü âiãøm A.
Tênh diãûn têch hçnh phàóng giåïi haûn båíi (C) vaì âæåìng thàóng OA. Âs: âvdt
Baìi 29: Cho haìm säú y = x3 - 1 - m (x - 1), m laì tham säú
Tçm m âãø âäö thë haìm säú tiãúp xuïc våïi 0x
Veî âäö thë våïi caïc giaï trë m tçm âæåüc vaì tênh diãûn têch giåïi haûn båíi âäö thë vaì truûc 0x trong mäùi træåìng håüp. 
 Âs: 
Baìi 30: Tênh diãûn têch giåïi haûn båíi hai âäö thë sau:
 a) y = + 2x2 - 4 vaì y = -x2 Âs: 
 b) y2 = 2x + 1 vaì y = x - 1 Âs: 
Baìi 31: Trong màût phàóng 0xy, D laì miãön giåïi haûn båíi caïc âæåìng coï phæång trçnh: y = x2; y = ; y = . Tênh diãûn têch cuía D. Âs: 27ln3 ( âvdt)
Baìi 32: a) Tçm thãø têch váût thãø taûo båíi hçnh Elip: quay quanh truûc 0y. Âs: 64
 b) Tçm thãø têch sinh ra khi quay Elip: quanh truûc 0x. Âs: 
Baìi 33: Tênh thãø têch cuía parabol y = x2 tæì x = 0 âãún x = 2 sinh ra khi parabol quay quanh truûc 0y. Âs: 8 (âvdt)
Baìi 34: Tênh diãûn têch cuía hçnh phàóng giåïi haûn båíi parablol (P) coï phæång trçnh y = x2 - 4x + 5 vaì hai tiãúp tuyãún cuía (P) taûi hai âiãøm A (1, 2); B (4, 5) Âs: âvdt
Baìi 35: Tênh diãûn têch cuía hçnh giåïi haûn båíi caïc âæåìng cong x2 = 4y 
vaì y = . Âs: S = 2
Baìi 36: Tênh thãø têch cuía khäúi troìn xoay taûo nãn khi ta quay quanh truûc 0x hçnh phàóng S giåïi haûn båíi caïc âæåìng sau: x2 + y - 5 = 0 và 
 x + y - 3 = 0. Âs: âvtt
Baìi 37: Goüi miãön âæåüc giåïi haûn båíi caïc âæåìng y = 0 vaì y = 2x - x2 laì (D). Tênh thãø têch váût thãø âæåüc taûo thaình do ta quay (D):
 a) Quanh truûc 0x Âs: b) Quanh truûc 0y. Âs: 
Baìi 38: Tênh diãûn têch hçnh phàóng giåïi haûn båíi caïc âæåìng: y = x2, 
 y = , y = . Âs: 8ln2
Bài 39: Cho (C) : y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); Ox; Oy và đường thẳng x = 2 ?	ĐS: S = 3 + ln3 
Bài 40: Cho (C): y = x(3 – x)2 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 
b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); Ox; x = 4 và đường thẳng x = 2 ? ĐS : S = 2 (dvdt)
Bài 41: Cho (C): y = x3 – 4x2 + 4x 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
b) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại gốc toạ độ 
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d ?
ĐS: b) d: y = 4x c) S = 16/3 (dvdt)
Bài 42: Tính diện tích giới hạn bởi 
a) (C): y = – x2 + 2x và đường thẳng d: y = –x
b) (P): y2 = 4x và (P’): x2 = 4y 
c) (C): y = sin2x + x và d: y = x với 0 £ x £ p
d) (C): y = sin3x + cos3x ; Ox ; x = ; x = 
e) (C): y = –x2 + 4x – 3 và hai tiếp tuyến với (C) tại các điểm 
A(0,–3); B(3 , 0) 
f) (C): y = 2x2 – 4x – 6 ; Ox ; x = –2 ; x = 4
g) (C): y = 2x ; (C ‘) : y = 2x – x2 ; x = 0 ; x = 2
h) (C): y = cosx và d: y = x + 1; Ox
i) (P): x2 = 4y; (C): y = 
j) (P): x2 = y và (P’): y2 = x 
k) (C): x2 + y2 = 8 và (P): y2 = 2x 
l) ( C1 ) : y = (x + 1)5 ; ( C2) : y = ex ; x = 1 
m) (C): y = –x2 + 3x – 2 và các tiêp tuyến tại giao điểm A và B của (C) với Ox ?
n) (C): y = x2 – 2x +2; (C’): y = x2 + 4x + 5 và d:y = 1
p) (C): y = ; Ox ; x = –1 ; x = 1
q) (C): y = ; Ox; x = 1; x = 2
ĐS: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2.p – j) k) 2.p + l)– e m) n) p) p q)
Bài 43: 
 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi
a) Bốn đường y = ; Ox; x = ; x = p 
quay quanh trục Ox ?
b) Ba đường y = lnx; Ox ; x = 2 quay quanh trục Ox ?
c) Ba đường y = x.ex ; Ox ; x = 1 quay quanh trục Ox ?
d) Bốn đường y = 1 + x3 ; Ox ; Oy ; x = 1 q.quanh Ox
 ĐS : a) b) 2.p(ln2 – 1)2 c) d) 
Bài 44: Đường cong (C): y = ax2 + bx + c có điểm cực trị là I(1 ; 2). Diện tích hình tạo bởi (C) với Ox; x = –1; x = 2 là 15(dvdt). Tìm phương trình của Parabol ĐS: ( C ) : y = 3x2 – 6x + 5 
Bài 45: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho
a) Hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 = 2x; d: y = x quay quanh Ox?
b) Hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 = x ; (P’): y = x2 quay quanh Ox 
c) Hình phẳng giới hạn bởi (C): y = 2x – x2 quay quanh Ox? trục Oy 
d) Hình phẳng giới hạn bởi (C): x2 + y2 – 4x + 3 = 0 quay trục Oy ?
e) Hình phẳng giới hạn bởi (E): quay quanh Ox ?
 ĐS: a) b) c) ; d) 4.p2 e) pab2 
Baìi 43: Tênh (n )
Baìi 44: (n ). Tçm hãû thæïc liãn hãû giæîa In vaì In - 1.
Baìi 45: Cho In = (n ).
 a) Chæïng minh In+ 1 = 
b) Chæïng minh In < 
Baìi 46: Cho In = . Chæïng toí ràòng In+ 2 = In vaì tênh 
In = ?
Baìi 47: Cho In = (n ). a) Chæïng minh In >In+ 1. 
 b) Tçm hãû thæïc liãn hãû In vaì In + 2 
c) Chæïng minh ràòng: 
Baìi 48: Cho In = 
 a) Chæïng minh ràòng In = b) Tênh I1, I2 vaì In
Baìi 49: Tênh caïc têch phán: 
 In = ) Jn = )
Baìi 50: Cho miãön phàóng D bë giåïi haûn båíi caïc âæåìng: y = , 
y = 0, x = - vaì x = .
Tênh diãûn têch miãön D.
Tênh thãø têch váût thãø troìn xoay âæåüc taûo thaình khi cho D quay quanh truûc 0x.
Baìi 51: Tênh: . Âs: 
Baìi 52: Cho . Tênh têch phán sau: trong âoï a, b laì caïc tham säú dæång.
Baìi 53: Goüi F (x) = . Bàòng phæång phaïp thãm båït vaìo tæí säú. Haîy tênh nguyãn haìm F (x) trãn.
Baìi 54: 
Baìi 55: Cho têch phán In = 
 a) Tênh In khi n = 2 b) Chæïng minh ràòng In > 
Baìi 56: a) Tênh J = .
b) Chæïng minh ràòng 
Baìi 10: a) Tênh I () = våïi laì tham säú.
 Cho f(x) laì haìm säú liãn tuûc trãn . 
Chæïng minh