Mua vui về một bài toán

 MUA VUI VỀ MỘT BÀI TOÁN 
 ( Nguyến Tiến Minh THPT Hồng Lam Hà tĩnh ) 
 D¹y båi d­ìng cho häc sinh giái to¸n ®iÒu quan träng nhÊt lµ kh«ng ph¶i d¹y cho häc sinh ch¹y 
 Theo số lượng các bài toán.
Ph¶i d¹y cho häc sinh ®iÓm xuÊt ph¸t . Khi gi¶i mét bµi to¸n bao giê còng cã nh÷ng nh÷ng khâu chốt quan trong trong suy luËn ,®Ó tõ ®ã cã thÓ khai th¸c,ph¸t triÓn bµi to¸n tõ nh÷ng ®iÒu t­¬ng tù trªn c¬ së rót ra nh÷ng nhËn xÐt khi ®· cã lêigi¶i. Lµm ®­îc ®iÒu ®ã ta cã thÓ d¹y cho häc sinh tù t×m lêi gi¶i vµ kiÓm tra c¶ c¸c kiÕn thøc cò ®Ó ®­a trß ®Õn lÜnh héi c¸i míi ®ång thêi n©ng cao vai trß kh¶ n¨ng tù häc, tù gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét c¸ch høng thó trªn c¬ së bµi gi¶ng hoÆc h­íng dÉn ®Þnh h­íng cña thÇy.
§ã còng lµ mét yªu cÇu cña viÖc ®æi míi trong ph­¬ng ph¸p d¹y vµ häc m«n to¸n ë tr­êng phæth«ng
II. XÐt bµi to¸n sau:
 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tho· m·n : 
 P=Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×?
Lêi gi¶i: do sinA , sin B, sinC > 0. Nªn sö dông bÊt ®¼ng thøc Co Si cho 2 sè d­¬ng ta cã 
 (nh©n c¸c vÕ cña 3 bÊt ®¼ng thøc ®· cã)
DÊu “ =” tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu
 NhËn xÐt : tam gi¸c ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c ®Òu th× gi¸ trÞ cña P ch¾c ch¾n lín h¬n 8. ta ®i ®Õn
Bµi to¸n V. ( §©y lµ bµi to¸n sè V ®Ò thi häc sinh giái tÜnh Hµ TÜnh to¸n 12 n¨m häc 2010-2011)
 Cho tam gi¸c ABC kh«ng nhän cã c¸c gãc tho· m·n : 
Hái tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c g×?
NhËn xÐt:
 *Râ rµng nÕu nh­ dïng c¸ch gi¶i cña bµi to¸n trªn sÏ kh«ng ®¹t ®­îc môc ®Ých v× .
 * ta thÊy nÕu tam gi¸cABC lµ vu«ng c©n sÏ tho· m·n yªu cÇu bµi to¸n .
 Ta b¾t ®Çu nghiªn cøu bµi to¸n V víi c¸c lêi gi¶i thu ®­îc sau 
II. Bµi to¸n sè V: Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc kh«ng nhän tho· m·n: Hái tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c g×?
Lêi gi¶i1: Dïng bÊt ®¼ng thøc Co Si
Gäi a,b,c lµ ®é dµi c¸c c¹nh t­¬ng øng víi c¸c gãc A,B, C cña tam gi¸c. ¸p dông ®Þnh lý hµm sè sin ta cã Do P kh«ng thay ®æi khi ta thùc hiÖn mét phÐp ho¸n vÞ vßng quanh cña a,b,c nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö
 a = max .Theo ®Þnh lý hµm sè cos ta cã : . Ta sÏ chøng minh . ThËt v©y ta cã: . Theo bÊt ®¼ng thøc Co si vµ do (1) tacã:
 (1)
 (2) 
 a.(3)
DÊu “=’ xÈy ra khi vµ chØ khi Tøc lµ tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A. Tõ ®ã ta ®i ®Õn kÕt luËn: Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
Lêi gi¶i 2: Dïng ph­¬ng ph¸p hµm sè.
Ta cã +2
Víi : Tõ (1)( ë lêi gi¶i 1 ) ta cã (2). Tacã 
Vµ x +y +. Tõ (2) ta cã 2xy
XÐt hµm sè nghÞch biÕn
 .DÊu “=” vu«ng c©n t¹i A. Tõ ®ã tam gi¸c ABC lµ vu«ng c©n.
 3
II.Ta thÊy vai trß cña c¸ch gi¶i thø 2 cã t¸c dông trong viÖc ®­a ra c¸c bµi to¸n kiÓu t­¬ng tù vµ tæng qu¸t cña bµi to¸n V. 
Tõ c¸ch gi¶i thø 2 khi t×m min f (t) cña bµi to¸n ta thÊy r»ng nÕu 0 < th× ta sÏ cã P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .Tõ ®ã tõ bµi to¸n V ta cã thÓ ®­a ra nhiÒu bµi to¸n t­¬ng tù
Bµi to¸n1: Tam gi¸c ABC cã mét gãc kh«ng nhá h¬n Chøng minh r»ng 
 .
Lêi gi¶i: gièng nh­ phÇn ®Çu cña lêi gi¶i cña bµi to¸n V. gi¶ sö A.Còng tõ ®Þnh lý cos ta cã 
Víi Tõ lêi gi¶i 2 cña bµi to¸n 5 ta thÊy hµm sè f(t) nghÞch biÕn trªn .DÊu “=” 
T­¬ng tù ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 2: Tam gi¸c ABC cã mét gãc kh«ng nhá thua .H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
B©y giê ta nÕu nh×n bµi to¸n d­íi gãc ®é ®¹i sè cña bµi to¸n V ta sÏ ®­a ra c¸c bµi to¸n t­¬ng tù nh­ng tho¹t nh×n kh«ng ph¶i lµ dÔ nh­ng thùc chÊt lµ c¸c bµi to¸n sinh ra tõ bµi to¸n V.
NÕu gäi : a+b+c =2p >0 vµ khi ®ã Tõ ®ã ta thu ®­îc bÊt ®¼ng thøc ®Ñp sau ®©y: 
Bµi to¸n 1 : Cho tam gi¸c ABC kh«ng nhän cã c¸c c¹nh lµ a,b,c diÖn tÝch S,chu vi lµ 2p vµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp lµ R .Chøng minh r»ng: .
Bµi to¸n 2: Cho tam gi¸c ABC cã mét gãc kh«ng nhá h¬n 120 ,cã c¸c c¹nh lµ a,b,c diÖn tÝch S,chu vi lµ 2p vµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp lµ R .Chøng minh r»ng: 
B»ng c¸ch ®Æc biÖt ho¸ c¸c biÕn ta thu ®­îc v« sè bµi to¸n kiÓu t­¬ng tù mµ khi gÆp nã trong tr­êng hîp cô thÓ cã thÓ g©y “cho¸ng ngîp” 
VÝ dô cho 2p = 1 ta cã: 
Bµi to¸n 3
 Cho tam gi¸c ABC kh«ng nhän vµ cã chu vi b»ng 1. Chøng minh r»ng :
Bµi to¸n: Tam gi¸c ABC cã mét gãc kh«ng nhá thua vµ cã chu vi b»ng 1. H·y tÝnh c¸c c¹nh cña tam gi¸c biÕt .
B©y giê ta theo mét h­íng kh¸c ®Ó tæng qu¸t cho bµi to¸n V d­íi gãc ®é sè mò .
4
Theo dâi trong lêi gi¶i thø 2 cña bµi to¸n V khi 0<Khi ®ã 
 XÐt hµm sè nghÞch biÕn ( xem lêi gi¶i thø 2 ) Tõ ®ã ta ®i ®Õn:
Bµi to¸n 5
 Cho tam gi¸c ABC kh«ng nhän vµ n lµ sè tù nhiªn kh¸c 0 tho· m·n :
 .Hái tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c g×?
(bµi to¸n V chØ lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt khi n =1 ).
Bµi to¸n 6: Cho tam gi¸c ABC cã mét gãc kh«ng nhá thua vµ n lµ sè tù nhiªn kh¸c 0 tho· m·n :
 .Hái tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c g×?
Cuèi cïng còng tõ lêi gi¶i 2 cña bµi to¸n 5 ta cã thÓ nãi r»ng b¶n chÊt cña bµi to¸n V lµ mét bµi to¸n gi¶i tÝch hµm sè cã pha chót Ýt l­îng gi¸c nh­ khóc d¹o ®Çu mµ th«i.Cuèi cïngB¹n ®äc cã thÓ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t sau:
Bµi to¸n (*)
Cho gãc cè ®Þnh kh«ng nhá h¬n . XÐt tÊt c¶ c¸c tam gi¸c ABC cã mét gãc kh«ng nhá thua 
H·y t×m tam gi¸c sao cho biÓu thøc cã gi¸ trÞ nhá nhÊt víi n lµ sè tù nhiªn kh¸c 0.
Theo ®ã b¹n ®äc h·y thay thÕ vai trß cho sinA, sinB,sinC cho c¸c biÓu thøc l­îng gi¸c kh¸c liÖu kÕt qu¶ thu ®­îc sÏ ra sao? ThÕ lµ cßn bao nhiªu ®iÒu ®ang cßn më ra ë phÝa tr­íc!
 III. Thay cho lêi kÕt: C«ng viÖc d¹y to¸n trong viÖc båi d­ìng häc sinh giái nhiÒu khi kh«ng ph¶i lµ d¹y theo sè l­îng c¸c bµi to¸n mµ ®«i khi còng chØ cÇn ®¬n gi¶n lµ h·y xuÊt ph¸t tõ mét bµi to¸n nµo ®ã 
 ViÖc ®ång hµnh víi qu¸ tr×nh ®i gi¶i bµi to¸n V cïng víi c¸c bµi to¸n khi th¸c tõ bµi to¸n V , sau ®ã ®­a ra bµi to¸n (*) xem nh­ lµ mét sù suy ngÉm l¹i ý ®å cña bµi viÕt nµy mµ t«i ®· chia sÏ. RÊt mong nhËn ®­îc c¸c ý kiÕn ph¶n håi còng nh­ nh÷ng lêi gãp ý ch©n thµnh tõ b¹n ®äc !
 Hång LÜnh §Çu ®«ng 2010 - N.T.M