Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 1 
PHÖÔNG PHAÙP KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA 
DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI 
Dạng 1 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
1 1( ) : ( )=C y f x 
Ta coù: 1 1
0( ) :
0
≥
= = 
− ≤
y y
C y y
y y
 Neáu 
 Neáu 
Do ñoù ñoà thò 1 1( ) : ( )=C y f x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía treân Ox 
+ Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía döôùi Ox 
 laáy ñoái xöùng qua Ox 
Dạng 2 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
2 2( ) : ( )=C y f x 
 Nhaän xeùt : 2 2( ) : ( )=C y f x laø haøm soá chaün 
 Neân 2 2( ) : ( )=C y f x nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng. 
Ta coù: 2 2
( ) 0 (1)( ) : ( ) ( ) 0
= ≥
= = 
− ≤
f x y
C y f x f x
 Neáu x 
 Neáu x 
Do ñoù ñoà thò 2 2( ) : ( )=C y f x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía beân phaûi Oy 
 ( Do (1) ta coù) 
 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Oy vì haøm soá chaün 
Dạng 3 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
3 3( ) : ( )=C y f x 
 Nhaän xeùt : Neáu 0 0 3 0 0 3( ; ) ( ) ( ; ) ( )∈ ⇒ − ∈M x y C M x y C 
 Neân 3 3( ) : ( )=C y f x nhaän Ox laøm truïc ñoái xöùng. 
Ta coù: 3 3 3( ) : ( ) 0= = ⇒ = ≥C y f x y y y y Neáu 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 2 
Do ñoù ñoà thò 3 3( ) : ( )=C y f x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía treân Ox 
+ Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox . 
Dạng 4 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( ) ( ). ( )= =C y f x u x v x suy ra đồ 
thị hàm số 4 4( ) : ( ) . ( )=C y u x v x 
Ta coù: 
4 4
( ). ( ) ( ) ( ) 0( ) : ( ) . ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 0
= = ≥
= = 
− = − = − ≤
u x v x f x y u x
C y u x v x
u x v x f x y u x
 Neáu 
 Neáu 
Do ñoù ñoà thò 4 4( ) : ( ) . ( )=C y u x v x coù 2 phaàn ñoà thò : 
 + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm treân mieàn ( ) 0≥u x 
 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm treân mieàn ( ) 0≤u x 
 laáy ñoái xöùng qua Ox 
Ta hay gaëp daïng ñôn giaûn sau: 
Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( ) ( ). ( )= = −C y f x x a v x 
 suy ra đồ thị hàm số 4 4( ) : . ( ),= − ∈
C y x a v x a 
Ta coù: 
4 4
( ). ( ) ( )( ) : . ( ) ( ). ( ) ( )
− = = ≥
= − = 
− − = − = − ≤
x a v x f x y x a
C y x a v x
x a v x f x y x a
 Neáu 
 Neáu 
Do ñoù ñoà thò 4 4( ) : . ( ),= − ∈
C y x a v x a 
coù 2 phaàn ñoà thò : 
 + Phaàn 1: 
 laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm beân phaûi ñöôøng thaúng x = a 
 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm beân traùi 
 ñöôøng thaúng x = a laáy ñoái xöùng qua Ox. 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 3 
TOÅNG QUAÙT 
 Töø 4 daïng ñoà thò coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái cô baûn treân ta coù theå suy ra 
nhieàu daïng ñoà thò coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái khaùc chaúng haïn: 
Dạng 5 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
5 5( ) : ( )=C y f x 
Ñeå veõ 5 5( ) : ( )=C y f x ta laøm 2 böôùc nhö sau: 
+ Böôùc 1: veõ 51 ( ) ( )= =y f x g x döïa vaøo daïng 2 
+ Böôùc 2: veõ 5 ( ) ( )= =y f x g x döïa vaøo daïng 1 
Dạng 6 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
6 6( ) : ( )=C y f x 
Ñeå veõ 6 6( ) : ( )=C y f x ta laøm 2 böôùc nhö sau: 
+ Böôùc 1: veõ 61 ( ) ( )= =y f x g x döïa vaøo daïng 2 
 + Böôùc 2: veõ 6 ( )=y g x döïa vaøo daïng 3 
Dạng 7 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 
7 7( ) : ( )=C y f x 
Ñeå veõ 7 7( ) : ( )=C y f x ta laøm 3 böôùc nhö sau: 
+ Böôùc 1: veõ 71 ( ) ( )= =y f x g x döïa vaøo daïng 2 
+ Böôùc 2: veõ 72 ( ) ( ) ( )= = =y f x g x h x döïa vaøo daïng 1 
+ Böôùc 3: veõ 7 7( ) : ( )=C y h x döïa vaøo daïng 3 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 4 
 MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOÏA 
Ví duï 1. Cho haøm soá 3 22 3 1y x x= − + coù ñoà thò (C). 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) 
 vôùi ñöôøng thaúng x = −1. 
3) Tìm tham soá m ñeå phöông trình 
3 22 3 2x x m− + = coù boán 
 nghieäm phaân bieät. 
Giaûi 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 

 TXÑ: D = R 

 
2
' 6 6y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = hoaëc 1x = 

 HSÑB treân kh oaûng ( −∞ ;0 ) ; ( 1 ; +∞ ). HSNB tre ân khoaûng ( 0;1 ) 
 Haøm so á ñaït cöïc ñaïi t aïi 0; 1x y= =CÑ ; Haøm so á ñaït cöïc tie åu taïi 1; 0x y= =CT 

 lim
x
y
→±∞
= ±∞ 

 BBT 
x −∞ 0 1 +∞ 
y’ + 0 – 0 + 
 1 +∞ 
 y CÑ CT 
 −∞ 0 

 '' 12 6y x= − ; '' 0y x= ⇔ = 1 /2 
 x −∞ 1/2 +∞ 
 y ’ – 0 + 
ÑTHS Loài ÑU Loõm 
 I(1/2;1/2) 
2) Vieát PTTT cuûa ñoà thò (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng thaúng x = −1 
x = −1 => y = f(−1) = −4 => giao ñieåm M( −1;−4) 
pttt coù daïng d: 000 )).((' yxxxfy +−= . 
0'( ) '( 1) 12f x f= − = => pttt d: 12( 1) 4 12 8y x x= + − = + . 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
P
Q
O
ÑÑB:
P( − 1; − 4)
Q(2;5)
3 22 3 1y x x= − +N X: Ñoà thò nhaän
ñieåm uoán I laøm
taâm ñoái xöùng
Hì nh 1 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 5 
3) Tìm tham soá m ñeå phöông trình 
3 22 3 2x x m− + = coù boán nghieäm 
phaân bieät. 
Ta coù: 
3 32 22 3 2 2 3 1 1x x m x x m− + = ⇔ − + = − 
Ñaây laø PT HÑGÑ cuûa ñoà thò 1( )C :
3 2
1 2 3 1y x x= − + vaø ñöôøng thaúng 
d: y = m−1 
T a coù 1( )C :
3 2
1 3 2
2 3 1 0
2 3 1 0
x x x
y
x x x
 − + ≥
= 
− − + <
neuá 
neáu 
 => 1( )C coù 2 phaàn ñoà thò: 
 Phaàn I : Ñoà thò (C) naèm beân phaûi truïc Oy (caû ñieåm naèm treân Oy) 
 Phaàn II : Laáy ñoái xöùng ñoà thò Phaàn I qua Oy 
 vì haøm soá 1y laø haøm soá chaün 
Veõ 1( )C ( Hình 2) 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y Q
O
3 2
1 2 3 1y x x= − +
Hình 2 
 Döïa vaøo 1( )C ta coù: 0 1 < m < 2 
Ví duï 2. Cho haøm soá 4 21 4 3
2
y x x= − + coù ñoà thò laø (C) 
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 6 
b) Ñònh m ñeå phöông trình : 4 21 4 3 lg
2
x x m− + = coù 4 nghieäm phaân 
bieät. 
c) Ñònh m ñeå phöông trình : 4 21 4 3 lg
2
− + =x x m coù 8 nghieäm phaân 
bieät. 
Giaûi 
 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá. 

 TXÑ: D = R.Haøm soá chaün 

 
3
' 2 8y x x= − ; y ’= 0 x = 0 hoaëc x =± 2 

 Giôùi haïn : lim
x
y
→±∞
= +∞ 
BBT : 
x −∞ –2 0 2 +∞ 
y ’ – 0 + 0 – 0 + 
 +∞ 3 +∞ 
y CT CÑ CT 
 –5 –5 

 HSÑB treân khoaûng (–2;0) vaø (2;+∞ ). 
 HSNB treân khoaûng (−∞ ;–2) vaø (0;2) 

 
2
'' 6 8y x= − ; '' 0 2 3 / 3y x= ⇔ = ± 
BXD y ’’ 
x −∞ – 2 3 / 3 2 3 / 3 +∞ 
y ’’ + 0 – 0 + 
ÑT 
(C) Loõm ÑU Loài ÑU Loõm 
 (–2 3 / 3;–13/9) (2 3 / 3;–13/9) 

 Ñoà thò: 
o NX: ñoà thò nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng 
o ÑÑB: A(–3; 15/2), B(3;15/2) 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 7 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
O
CÑ
CT CT
←→
4 21 4 3
2
y x x= − +
←→
←→
BA
b) Ñònh m ñeå phöông trình : 4 2
1 4 3 lg
2
x x m− + = coù 4 nghieäm phaân bieät. 
YCBT 5 lg 3m− 5 3 5 3lg10 lg lg10 10 10m m− −< < ⇔ < < 
 c) Ñònh m ñeå phöông trình : 4 21 4 3 lg
2
− + =x x m coù 8 nghieäm phaân bieät. 
Ñaây laø PT HÑGÑ cuûa ñoà thò 1( )C : 4 21
1 4 3
2
= − +y x x vaø ñöôøng thaúng 
d: y = m−1 
T a coù : 1 1
0( ) :
0
≥
= = 
− ≤
y y
C y y
y y
 Neáu 
 Neáu 
Do ñoù ñoà thò 1 1( ) : ( )=C y f x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía treân Ox 
+ Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía döôùi Ox 
 laáy ñoái xöùng qua Ox 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
4 2
1
1 4 3
2
= − +y x x
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 8 
YCBT 0 lg 3 3lg1 lg lg10 1 1000< < ⇔ < <m m 
Ví duï 3. Veõ đồ thị hàm số 
2
1 1( ) : 1= −
xC y
x 
 Ta veõ ñoà thò haøm soá 
2
( ) :
1
=
−
xC y
x 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
( ):
1
=
−
xC y
x
Döïa vaøo (C) ta coù: 
2
1 1( ) : 1= −
xC y
x coù 2 phaàn ñoà thò : 
 + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm beân phaûi ñöôøng thaúng x = 1 
 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm beân traùi 
 ñöôøng thaúng x = 1 laáy ñoái xöùng qua Ox. 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
1 1( ) : 1= −
xC y
x
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 9 
Ví duï 4. Veõ đồ thị hàm số 1 1
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x 
 Ta veõ ñoà thò haøm soá 
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1( ):
1
−
=
+
xC y
x
Döïa vaøo (C) ta coù: 1 1
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía treân Ox 
+ Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox . 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1 1
1( ) :
1
−
=
+
xC y
x
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 10 
Ví duï 5. Veõ đồ thị hàm số 
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x 
 Döïa vaøo ñoà thò haøm soá 
2
( ) :
1
=
−
xC y
x ôû ví duï 3 ta coù: 
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò ( ) : ( )=C y f x naèm phía beân phaûi Oy 
+ Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Oy vì haøm soá chaün 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x
Ví duï 6. Veõ đồ thị hàm số 
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x 
 Döïa vaøo ñoà thò haøm soá 
2
5 5( ) : 1= −
xC y
x ôû ví duï 5 ta coù: 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 11 
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò 5( )C naèm phía treân Ox 
+ Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 5( )C naèm phía döôùi Ox 
 laáy ñoái xöùng qua Ox 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x
Ví duï 7. Veõ đồ thị hàm số 
2
7 7( ) : 1= −
xC y
x 
 Döïa vaøo ñoà thò haøm soá 
2
6 6( ) : 1= −
xC y
x ôû ví duï 6 ta coù: 
2
7 7( ) : 1= −
xC y
x coù 2 phaàn ñoà thò : 
+ Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò 6( )C naèm phía treân Ox 
+ Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox . 
 Traàn Phuù Vöông 
 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 
Traàn Phuù Vöông THPT Taân Hieäp 
Trang 12 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
2
7 7( ) : 1= −
xC y
x
 Traàn Phuù Vöông