Mốt số nhận xét và các cách giải đề thi ĐH môn Toán năm 2011

MỐT SỐ NHẬN XÉT VÀ CÁC CÁCH GIẢI ĐỀ THI Đ H MÔN TOÁN NĂM 2011
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
Nhận xét: 
Câu I.1 thì không có gì phải bàn
Câu I.2 cũng là câu cơ bản, thí sinh chỉ cần nhớ cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm và khéo léo vận dụng Viet là được.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình: 
Câu này cũng là câu kiếm điểm, không đòi hỏi nhiều về kĩ năng biến đổi
2. Giải hệ phương trình: 
Nhận xét: Câu này theo đánh giá của cá nhân là hay, ngay trong bài này cũng đã phân loại được khả năng của học sinh. Qua thăm dò ý kiến của một số thí sinh vừa đi thi về thì chỉ có một số ít giải trọn vẹn bài này, số còn lại tìm chưa hết nghiệm. 
Từ (2) ta có: (Nhiều thí sinh biến đổi được kết quả này)
Do đó:
Giải hệ (I) đơn giản, nhiều em làm được. Hệ (I) có 2 nghiệm (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) = (-1; -1) 
Khó khăn hơn là việc giải hệ (II). Tôi xin đưa ra 4 cách giải như sau :
Cách 1: 
 (do x =0 không t/m)
(đến đây giải đơn giản)
Hệ (II) có 2 nghiệm: hoặc 
Cách 2:
 (đến đây coi như xong)
Cách 3:
 (đến đây đơn giản)
Cách 4:
 (Đưa về bậc 3 đối với x2 giải được)
Câu III(1 điểm). Tính tích phân: 
Nhận xét: Câu này tương đối cơ bản, chỉ đòi hỏi kĩ năng "tách mẫu và đạo hàm của mẫu"
 = = 
= = 
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC). Gọi M là trung điểm AB. Mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN theo a
Nhận xét : Bài này chỉ khó hơn đề thi tốt nghiệp chút xíu. 
Để tính thể tích thì chỉ việc vận dụng công thức, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) chính là góc SBA = 60o từ đó tất cả các yếu tố khác đều xác định được
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN thì có thể có nhiều hướng để giải quyết.
Cách 1 : 
Gọi P là trung điểm BC
Dễ thấy AB // (SNP) do đó khoảng cách giữa AB và SN
= khoảng cách từ B đến mp(SNP)
= Khoảng cách từ C đến mp(SNP) – do P là trung
điểm BC = độ dài đường cao của chóp C.SNP. Mà
thể tích chóp này dễ dàng tìm được, diện tích đáy
SNP tìm được vì 3 cạnh SN, NP, SP tìm được. 
Bài toán coi như giải quyết xong
Đ S : khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN bằng 
Cách 2: Với khối chóp "đẹp" như thế này thì việc
giải quyết bài toán này bằng phương pháp tọa độ
không cần phải bàn cãi.
Cách 3: Gọi Q là điểm đối xứng P qua N. Gọi H là hình chiếu của A lên SQ. Dễ thấy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SN bằng AH. Dùng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAQ sẽ tìm được AH.
Câu V(1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Nhận xét : Tất nhiên đây là bài toán "hóc" nhất của đề thi năm nay. Câu này có thể có nhiều cách giải nhưng nói chung đây là câu chọn học sinh giỏi.
Cách 1: Sử dụng BDT phụ : (*) với a, b dương và 
Sử dụng (*) ta có 
Bằng cách đặt với và xét hàm số f(t) = trên đoạn [1 ; 2] ta tìm được GTNN của P là 34/33, đạt được khi x = 4, y = 1, z = 2
Cách 2:
Xem P là hàm theo biến z, lấy đạo hàm theo z ta được 
Nếu x = y thì P = 6/5
Nếu x > y (theo giả thiết ) thì 
Bằng cách lập bảng biến thiên ta thấy P(z) = 
 = 
Đến đây đặt với và giải tương tự trên.
Đang còn nữa (Do GV có việc bận nên chưa kịp gõ tiếp)
Trong quá trình biên soạn không tránh khỏi sơ suất mong được GV và HS góp ý
Nhận xét: Đây là đề thi khá hay, đề thi không dành cho các thí sinh có kiến thức làng nhàng mà cần đòi hỏi nắm vững kiến thức, linh hoạt trong cách suy nghĩ và biến đổi. 
Phần hình học giải tích ở các câu sau cũng hay và có nhiều ý tưởng giải.