Một số kĩ thuật giải toán bất đẳng thức

MỘT SỐ KĨ THUẬT 
GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 
 Tác giả: Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên 
 Nguyễn Đình Thi 
Lớp 10Toán 1 THPT chuyên Lương Văn Chánh. 
Tuy hòa,tháng 2 năm 2008 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 1 
 Bất đẳng thức là một nội dung rất hay và khó .Càng nghiên cứu ta càng thấy sự đa 
dạng,phong phú của nó.Chúng tôi viết bài viết nay nhằm góp một phần nhỏ của mình 
vào việc rèn luyện kĩ năng giải bất đẳng thức.Vì đây là bài viết đầu tiên,và chúng tôi 
đang ở trình độ lớp 10 nên mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không thể tránh khỏi sai 
xót.Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của độc giả. 
MỘT SỐ KĨ THUẬT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
1.Kĩ thuật tách số mũ 
+Để thuận tiện cho việc chứng minh,tôi xin đề cập lại tới bất đẳng thức(bđt) Hon-đe 
Với a,b,c,x,y,z là những số thực dương thì ta có 
( )( )( ) ( )33 3 3 3 3 3 3 3 3a b c x y z m n p axm byn czp+ + + + + + ≥ + + 
Bài toán 1 Cho , , 0a b c > .Chứng minh 
2 2 2 4 4 4
43
3
a b c a b c
b c a
+ +
+ + ≥ 
Lời giải: 
Theo bđt Hon-đe thì ta có 
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
( )
a b c
a b b c c a a b c
b c a
+ + + + ≥ + +
 
 
 
Đặt 2 2 2, ,x a y b z c= = = 
Ta cần chứng minh bđt 
3 2 2 2( )
9
3
x y z x y z
x y y z zx
+ + + +≥
+ +
3 2 2 2( ) 3 3 ( )x y z x y y zy z z x x + + +≥ ++ + 
Ta có 
3
3 2 2( ) [ ( ) ]x y z x y z+ + = + + 
( )
3
2
32 2 22 3 ( )( )x xy x xy = + ≥  ∑ ∑ ∑ ∑ 
2 2 23 3( )xy yz zx x y z= + + + + 
Vậy bài toán chứng minh 
Đây chỉ là kĩ thuật nhỏ,tách mũ 3 thành 32.
2
 nhưng nó có vẻ hiệu quả và làm cho lời 
giải bài toán gọn hơn . 
Và ta tiếp tục với kĩ thuật này qua bài toán sau 
 Bài toán 2 Với a,b,c>0 v& 2 2 2 3a b c+ + = .Chứng minh 
9a b c
b c a a b c
+ + ≥
+ +
Lời giải: 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 2 
Ta có 
2 2 2 2( )a b c a b c a b c
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + = + + ≥
+ +
Vậy việc còn lại là chứng minh bđt sau 
2( ) 9a b c
ab bc ca a b c
+ + ≥
+ + + +
Ta có 
3
3 2 2( ) [( ) ]a b c a b c+ + = + +
3
3 2
2 2 22
3( 2 ) 3 ( )( )
cyc ccyc cycyc
a ab a ab
 
= + ≥   
 
∑ ∑∑ ∑ 
9( )ab bc ca= + + 
3 9() )( aa b b bc cac ≥ + +⇒ + + (đpcm) (!) 
 Bài toán 3 Với 4 4 4, , 0& 3 a b c a b c> + + = .Chứng minh 
2 2 2
) 3
a b c
a
b c a
+ + ≥ 
2 2 2 3
)
2
a b c
b
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Lời giải: 
a)Theo bđt Hon-đe thì 
2 2 2
2 2 2 2 3( ) ( ) ( )
cyc cyc
a b c
a b
c
a
b a
+ + ≥∑ ∑ 
 Vậy ta chỉ cần chứng minh 
 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2( ) 9( )a b c a b b c c a+ + ≥ + + 
 Nếu đặt 2 2 2, ,x a y b z c= = = thì bđt cần chứng minh 
 3( ) 9( )x y z xy yz zx⇔ + + ≥ + + 
Tới đây,việc chứng minh hoàn toàn tương tự như bđt (!) 
 b)Theo bđt Hon-đe thì 
2
2 2 2 2 3( ) ( ( ) ) ( )
cyc cyc cyc
a
a b c a
b c
+ ≥
+
∑ ∑ ∑ 
 Vậy cần chứng minh bđt sau 
 2 3 2 24 ( ) 9 ( ( ) )
cyc cyc
a a b c≥ +∑ ∑ 
 2 3 2 24( ) 9 2 2 ( )
cyc cyc
a a b abc a b c
 
 ≥ + + + 
 
∑ ∑ 
Mà 2 2 2 2 2 2 ( )a b b c c a abc a b c+ + ≥ + + 
Vậy ta còn chứng minh bđt này 
( )2 2 2 3 2 2 2 2 2 24( ) 9 4( )a b c a b b c c a+ + ≥ + + 
Bđt này đã được chứng minh trong câu a 
Qua 3 bài,ta có thể thấy được hiệu quả của kĩ thuật nhỏ này 
Kết thúc kĩ thuật này,ta xét bài toán sau 
Bài toán 4: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên) 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 3 
Với 2 2 2, , 0. 3a b c a b c> + + = . Chứng minh
3 2 3cyc
a ab bc ca
a bc
+ +≥
+
∑ 
 Lời giải: 
Theo bđt(!) thì 
3
3 ( )( ) 9( )
27 3cyc cyc
a b c ab bc ca
a ab
+ + + +≥ => ≥∑ ∑ 
 Vì vậy,ta cần chứng minh bđt sau 
3
3
( )
2 27cyc
a a b c
a bc
+ +≥
+
∑ 
 Ở bđt này,vế phải có dạng mũ 3,vì thế ta nghĩ tới việc dùng bđt Hon-đe.Nhưng muốn 
dùng được thì ta phải tìm cách khử các mẫu ở vế trái.Vì thế,ta cần chứng minh bđt phụ 
sau 
 2 2 39 ( ) 2
cyc cyc cyc
a a ab= ≥ +∑ ∑ ∑ 
2 39 ( ) ( 3 ) ( )(3 ) ( 3 )
cyc cyc cyc cyc cyc
ab a abc ab ab ab abc⇔ − ≥ − + − − −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 
(3 )(3 ) ( 3 )
cyc cyc cyc
ab ab ab abc⇔ − + + −∑ ∑ ∑ 
( )(3 ) ( )(3 )
cyc cyc cyc cyc
a ab ab ab≥ − + −∑ ∑ ∑ ∑ 
(3 )(3 ) ( 3 ) 0
cyc cyc cyc cyc cyc
ab ab a ab ab abc⇔ − + − − + − ≥∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 
Vì 32 2 2 2 2 23 3 1a b c a b c abc+ + = ≥ ⇒ ≥ 
và dễ dàng ta có 3 0&3 0ab bc ca a b c− − − ≥ − − − ≥ 
3 2 2 2(3 )(3 ) 3 0 3 .1 3
cyc cyc cyc
ab a ab abc a b c abc⇒ − − + − ≥ + −∑ ∑ ∑ 
3 3 0abc abc≥ − = 
3 3 39 2 2 2a b c ab bc ca⇒ ≥ + + + + + 
 Và ta áp dụng bđt trên cho việc chứng minh bài toán 
Ta có: 3
3 3
27( ) (1 1 1)( 2 )( )
2 2cyc cyc cyc cyc
a a
a ab
a bc a bc
≥ + + +
+ +
∑ ∑ ∑ ∑ 
3( )a b c≥ + + 
3
3 3 3
( )
2 2 2 27
a b c a b c
a bc b ca c ab
+ +
⇒ + + ≥
+ + +
Vậy bài toán chứng minh xong. 
Và chúng ta sẽ kết thúc kĩ thuật đầu tiên qua bài toán sau 
Bài toán 5: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên). 
Cho a,b,c>0 và 2 2 2 3a b c+ + = .Chứng minh bđt 
234
3
3
3( )
2cyc
a
ab bc ca
a bc
≥ + +
+
∑ 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 4 
Lời giải: 
Hoàn toàn tương tự,theo bđt(!) thì 
3 9() )( aa b cc b b ca≥ + ++ + 
6
2( ) 3( )
27
a b c
ab bc ca
+ +
⇔ ≥ + + 
2
23
( )
3( )
3
a b c
ab bc ca
+ +
⇔ ≥ + + 
Vì vậy,ta cần chứng minh bđt sau 
2
4
3
3 ( )
2 3cyc
a a b c
a bc
+ +≥
+
∑ 
Tới đây,ta có 1 bổ đề khác đó là bài của Pháp 2005 
Với a,b,c>0 và 2 2 2 3a b c+ + = thì ta có 
3
ab bc ca
c a b
+ + ≥ (1) 
Chứng minh bổ đề này: 
Bđt(1)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2( ) 9 3( )
a b b c c a
a b c a b c
c a b
⇔ + + + + + ≥ = + + 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a
a b c
c a b
⇔ + + ≥ + + 
Ta có 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
. . .
a b b c c a ab bc bc ca ca ab
a b c
c a b c a a b b c
+ + ≥ + + = + + (đpcm) 
( )2 2 2 2 2 22 6a b b c c a abc⇒ + + ≥ 
Và ta trở lại với bài toán 
Chúng ta cần chứng minh bđt 
2
4
3
3 ( )
2 3cyc
a a b c
a bc
+ +≥
+
∑ 
Ta có 
4
4
3
3
2cyc
a
a bc
 
  + 
∑
( )
4
24
2 2 22
4
3
92cyc
a b ca
a abc
  + +
=  
 + 
∑ 
( )
4
4
4 4 42
4
63
92cyc
a b c abca
a abc
  + + +
≥  
 + 
∑ 
( ) ( )
4
34
4 4 4 2 2 22
4
2 2 23
.
9 272cyc
a abc b abc c abc a b ca
a abc
  + + + + + + +
=  
 + 
∑ 
( )8 82 6 4
8
4 4
3 . .( 2 )
( 2 ) .9 .2 7 3
a b ca a a a b c
a a b c
  + ++≥ = 
 + 
∑ (Theo bđt Cauchy-Schwarz suy 
rộng cho 3 biến và 8 dãy) 
2
4
3
3 ( )
2 3cyc
a a b c
a bc
+ +
⇒ ≥
+
∑ (đpcm) 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 5 
2.Kĩ thuật Cô-si đảo 
Chúng ta sẽ mở đầu kĩ thuật này qua bài toán sau 
Bài toán 1:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Chứng minh 
3
a
b c a
≥
+ −
∑ 
Lời giải: 
Ta có 1 2b c a b c a
a a
+ − + −
+ ≥ 2
b c b c a
a a
+ + −
⇔ ≥
2a a
b c a b c
⇔ ≥
+ − +
Hoàn toàn tương tự,ta có các bđt sau: 2b b
a c b a c
≥
+ − +
 và 2c c
a b c a b
≥
+ − +
Cộng 3 bđt trên vế theo vế ta được 
2
a a
b c a b c
≥
+ − +
∑ ∑ 
Mặt khác,theo bđt Nesbit thì 3
2
a
b c
≥
+
∑ 
3
a
b c a
⇒ ≥
+ −
∑ 
Vậy bài toán được chứng minh 
Lời giải này vận dụng bđt Cauchy một cách khéo léo đó là đem từng phân số nghịch 
đảo lại rồi dùng mới dùng bđt.Việc làm như vậy đã làm cho lời giải bài toán khá gọn và 
đẹp. 
 Bài toán 2: (Phạm Kim Hùng) Cho , , , 0a b c d ≥ .Chứng minh 
, , ,
2 2 2
4a b c d
cyc c d a b d
a
cb
≥
+ + + + +
∑ 
Lời giải: 
Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz ta được 
2
2
2 2 2 2 2 2
( )
a a
a b c d
b c d b c d
  
+ + + ≥     + + + +   
∑ ∑ 
Vì thế,ta cần chứng minh 
2
2 2 2
2
a
b c d
≥
+ +
∑ 
 mặt khác
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 22
2
2 2
( 1)
.1 ( )
4 2
b c d
b c d a b c da
a a
+ +
++ + + + +≤ = 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 6 
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2a a
b c d a b c d
⇒ ≥
+ + + + +
 chứng minh tương tự thì ta có 
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2b b
c d a a b c d
≥
+ + + + +
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2c c
d a b a b c d
≥
+ + + + +
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2d d
a b c a b c d
≥
+ + + + +
 Cộng các bđt trên vế theo vế ta được đpcm 
Đẳng thức xảy ra khi 2 biến bằng 0 và 2 biến còn lại bằng nhau 
Bài toán 3:(Vasile Girtoaje,MS,2006) 
Với a,b,c là các số không âm.Chứng minh 
2 2 2
( ) ( ) ( )
2
a b c b c a c a b
a bc b ca c ab
+ + +
+ + ≥
+ + +
Lời giải: 
Ta có:
2 2 2 2
1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
a bc a bc a bc ab ac a bc
a b c a b c a b c a b c
+ + + + + +
+ ≥ ⇔ ≥
+ + + +
2
( ) 2 ( )
( )( )
a b c a b c
a bc a b a c
+ +
⇔ ≥
+ + +
Chứng minh tương tự,ta có các bđt 
2
( ) 2 ( )
( )( )
b c a b c a
b ca b c b a
+ +≥
+ + +
2
( ) 2 ( )
( )( )
c a b c a b
c ab c a c b
+ +≥
+ + +
Cộng 3 bđt trên vế theo vế ta được 
2
( ) 2 ( )
( )( )
a b c a b c
a bc a b a c
+ +≥
+ + +
∑ ∑ 
Ta có: 
22 ( )2 ( )
( )( ) ( )( )( )
a b ca b c
a b a c a b b c c a
++
=
+ + + + +
∑∑
2( )( )( ) 6 6
2 2
( )( )( ) ( )( )( )
a b b c c a abc abc
a b b c c a a b b c c a
+ + + +
= = + ≥
+ + + + + +
Đẳng thức khi 1 biến bằng 0 và 2 biến còn lại bằng nhau. 
Vậy bài toán được chứng minh 
Bài toán 4:(Nguyễn Đình Thi) 
Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 7 
3
2 2
( ) 3
( ) 2
a b c
a b c
+
>
+ +
∑ 
Lời giải: 
Ta có 
2 2 2 2
3
( ) ( )
1 1 3
( ) ( )
a b c a b c
a b c a b c
+ + + +
+ + ≥
+ +
2 2 2 2
3
( ) 2 ( ) ( )
3
( ) ( )
a b c a b c a b c
a b c a b c
+ + + + + +
⇔ ≥
+ +
3
2 2 2
( ) 3 ( )
( ) ( )
a b c a b c
a b c a b c
+ +
⇔ ≥
+ + + +
Hoàn toàn tương tự,ta có các bđt sau: 
3
2 2 2
( ) 3 ( )
( ) ( )
b c a b c a
b c a a b c
+ +≥
+ + + +
 và 3
2 2 2
( ) 3 ( )
( ) ( )
c a b c a b
c a b a b c
+ +≥
+ + + +
Cộng 3 bđt trên vế theo vế 
3
2 2 2
( ) 6( )
( ) ( )
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + +
⇒ ≥
+ + + +
∑ 
Mà 
2 2
6( ) 3 4( ) 3
.
( ) 2 ( ) 2
ab bc ca ab bc ca
a b c a b c
+ + + +
= >
+ + + +
 ( Do a,b,c là 3 độ dài 3 cạnh của 1 tam giác) 
Vậy bài toán được chứng minh 
Ta sẽ tiếp tục với kĩ thuật khá thú vị qua bài toán sau 
Bài toán 5: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên) 
 Với 2 2 2, , 0& 3a b c a b c> + + = . Chứng minh 
2 2 2 2
4 4 4
3 3 3
2 2 2 ( )
2 2 2 3
a b c a b c
a bc b ca c ab
+ + + + +
+ + ≥
+ + +
Ta có 
3 3
4
2 2
2 2
1 1 1 4
2 2
a bc a bc
a a
+ +
+ + + ≥
+ +
3 2 3
4
2 2
2 3 6 2
4
2 2
a bc a a bc
a a
+ + + +
⇔ ≥
+ +
2 2
4
3 3 2
2 4( 2)
2 2 3 6
a a
a bc a bc a
+ +
⇔ ≥
+ + + +
Chứng minh tương tự ta có các  ... 
a b b c c a+ + ≤ 
lời giải: 
đặt: , ,x a b y b c z c a= + = + = + 
1, , ,
2 2 2
x z y x y z y z x
xyz a b c
+ − + − + −
=> = = = = 
Bdt cần chứng minh 
2 2 2 3 2( )x y z xy yz zx⇔ + + + ≥ + + 
2 2 2 2 1 2( )x y z xyz xy yz zx⇔ + + + + ≥ + + (đã được chưng minh) 
Bài toán 6(THTT)choa,b,c là 3 cạnh tam giác .chứng minh: 
2 2 2
3
23 3 3
a b c
a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
Lời giải: 
Ta có 
2 2 2
3 3 3
a b c
a bc b ac c ab
+ +
+ + +
=
2
3( 3 )c y c
a
a a a b c+
∑ 
2
3 3 3
( )
( )( 9 )
a b c
a b c a b c abc
+ +≥
+ + + + +
Vậy ta cần chứng minh 
( )3 3 3 34 9( 9 )a b c a b c abc+ + ≥ + + + 
Khai triển và thu gon 
2 2 3 3 312( ) 5( ) 57
cyc cyc
a b ab a b c abc⇔ + ≥ + + +∑ ∑ 
Từ bdt Schur trong tam giác ta có 
2 2 2 2 2 2 3 3 32( ) +9xyzx y y z z x xy yz zx x y z+ + + + + ≥ + + 
=> 2 2 2 2 2 2 3 3 312( ) 6( )+54xyzx y y z z x xy yz zx x y z+ + + + + ≥ + + 
Vì thế,vận dụng bdt này theo a,b,c 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 36 
2 2 2 2 2 2 3 3 312( ) 6( )+54abca b b c c a ab bc ca a b c+ + + + + ≥ + + 
Và bdt 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ 
Cộng 2 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có đpcm 
vận dụng bdt 2 2 2 2 2 2 3 3 32( ) +9xyzx y y z z x xy yz zx x y z+ + + + + ≥ + + 
chúng ta có thể giải quyết bài toán sau: 
+(Nguyễn Đinh Thi)cho a,b,c là 3 cạnh tam giác . 
chứng minh: 2 3
3 5
3 ( 9 )( ) 2( )cyc
cyc
a abc
a bc a abc a b c a b c
+ ≥
+ + + + + +
∑
∑ 
Bài toán 7 Cho A,B,C là 3 góc tam giác.chưng minh: 
( )36 co t co t co t co t co t
cyc cyc
A B C A A+ ≥∑ ∑ 
Lời giải: 
Sử dụng bdt schur bậc 1 cho ta 
( )3cot 6cot cot cot cot . cot cot
cyc cyc cyc
A A B C A A B
   
+ ≥    
   
∑ ∑ ∑ 
Và kết hợp với đẳng thức c o t c o t 1
c y c
A B =∑ 
Ta có dpcm 
Bài toán 8: (Nguyễn Đình Thi)Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác .Chứng minh: 
3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
bc ca ab
a b b c b c a c a c a b
+ + ≤
+ + + + + +
Lời giải: 
Quy đồng bdt trên ta được 
Bdt ( )2 2 2 2 2 23 6a b b c c a ab bc ca abc⇔ + + ≥ + + + 
Ta đã có bdt: 
( ) ( )2 2 2 2 2 23 2 3a b b c c a ab bc ca abc+ + ≥ + + + 
Và : 2 2 2 3ab bc ca abc+ + ≥ 
Cộng 2 bdt trên vế theo vế ta co dpcm 
Bài toán 9: (Nguyễn Đinh Thi)cho a,b,c là cạnh tam giác 
Chứng minh: 
3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2 23 4 5 3 4 5 3 4 5 4( )
a b c a b c
a bc c b ac a c ab b a b c
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
Lời giải: 
Ta có 
( )22 2 23 4
2 2 3 2 3 23 4 5 3 4 5 3 12 5cyc cyc
cyc cyc
a b ca a
a bc c a abc ac a abc ac
+ +
= ≥
+ + + + + +
∑ ∑
∑ ∑
Vậy cần chứng minh: 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 37 
( )22 2 2 2 2 2
3 23 12 5 4( )
cyc cyc
a b c a b c
a abc ac a b c
+ + + +≥
+ + + +∑ ∑
3 2 24 12
cyc cyc cyc
a a c ac abc + ≥ +∑ ∑ ∑ 
Ta đã có bdt: 
2 2
3 2 3
cyc cyc
a c ac abc≥ +∑ ∑ 
Và: 2 2 32( ) 9
cyc cyc cyc
a c ac a abc+ ≥ +∑ ∑ ∑ 
Và: 3 2 22
cyc cyc cyc
a a c ac≥ +∑ ∑ ∑ 
Cộng các bdt trên vế theo vế ta có dpcm 
Sử dụng bdt schur trong tam giác ta có thể giải quyết bài toán này sau khi đã đại số 
hóa 
+Chứng minh:
1 1 1 1
( )( ) 5
2
a b c
a b c
r
h h h
R h h h
+ + + + + ≥ 
Và đây cũng là 1 bdt tương tự 
+Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác .chứng minh: 
( )( )( ) ( )( )( ) 9a b b c c a a b c b c a c a b abc+ + + + + − + − + − ≥ 
Bài toán10: Cho a,b,c dương sao cho abc=1 
Chứng minh: 
1 1 1
) 0
1 1
) 0
a b c
a
b c a
a b b c
b
b c c a a b
− − −
+ + ≥
− − −
+ + ≥
+ + +
Lời giải: 
a)quy đồng bdt ta dược 
bdt 2 2 2a b cb ac ab bc ca⇔ + + ≥ + + 
ta có 32 2 2 4 43 3a b ba cb a b c ab+ + ≥ = 
thiết lập các bdt tương tự cộng vế theo vế ta có dpcm 
b) 3 2 2 23 3( )
cyc cyc cyc cyc
bdt a a b ab abc a ab bc ca + + + ≥ + + +∑ ∑ ∑ ∑ 
theo bdt schur bậc 1 ta có 
3 2 2 213 ( )( )
3cyc
a abc a b c a b c ab bc ca+ ≥ + + + + + + +∑ 
2 ( )
c y c
a a b b c c a≥ + + +∑ 
và ( ) 32 2 22
c y c c y c c y c
a b b a a b+ ≥∑ ∑ ∑ 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 38 
1
2
2
( ) ( ) 2( )
3
ab bc ca ab bc ca ab bc ca≥ + + + + ≥ + + 
Cộng vế theo vế 2 bdt trên ta có dpcm 
Bài toán 11:Với I ,O,H lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp,ngoại tiếp,trực tâm của 1 
tam giác.Chứng minh 2 2 2
2
2
3
I H O I O H+ ≥ 
Lời giải: 
Ta có các đẳng thức : 
3 3 3
2 2
2 2
2 2 2 2 2
4
9 ( )
a b c abc
IH R
a b c
abc
OI R
a b c
OH R a b c
+ + +
= −
+ +
= −
+ +
= − + +
Thế các đẳng thức vào bdt cần chưng minh thi ta được bdt schur trong tam giác bậc 1 
Và dưới đây là 1 cách viết khác của bdt schur bậc 1 
( )( )
a a bc
b c a b a c
+≥
+ + +
∑ ∑ (với a,b,c dương) 
Bài toán 12: (Nguyễn Đình Thi)cho a,b,c là 3 cạnh tam giác và abc=1 
Chứng minh:
2 2
2 2 ( )( ) 2
a b
a a
c
+
+ ≤∑ ∑ ∑ 
Lời giải: 
Sử dụng bdt schur mở rộng trong tam giác ta có: 
( )( )( )
0( 1)
b c a a b a c
abc
bc
+ − − − ≥ =∑ (trường hợp t=1) 
Khai triển và rút gọn bdt này ta có đpcm 
 ƯỚC LƯỢNG QUA TAM THỨC BẬC 2,3,4 
Với 1 số bài toán bdt, ta không thể sử dụng cac bdt cơ bản để chứng minh mà đôi khi 
phải ước lượng qua tam thức bậc 2,3,4 rồi dùng điều kiện để xét tính đúng sai cảu 
bdt.Sau đây là 1 số ví dụ 
Bài toán 1 (Ireland 2001).Cho x,y>0.x+y=2.Chứng minh 2 2 2 2( ) 2x y x y+ ≤ 
Lời giải: 
Ta có 
2 2 2
4 ( ) 2x y x y xy= + = + + 
2 2
2 2 2 2
2 2
4 2
( ) 2
( 4 2 ) 2
(1 , 6 1 8 ) (1 ) ( 0 , 6 1 8 ) 0
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y x y
⇒ + = −
⇒ + ≤
⇔ − ≤
⇔ − − + ≥
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 39 
Bài toán 2 Cho ,a b R∈ sao cho 1a b+ = .Chứng minh 2 2 1( )
8
a b a b+ ≤ 
 Lời giải: 
Ta có 
2 2 2
2 2
1 ( ) 1 2
( ) (1 2 )
a b a b ab
ab a b ab ab
= + => + = −
=> + = −
Cần chứng minh 
1
(1 2 )
8
a b a b− ≤ 2
1
( ) 0
4
a b − ≥ ( đúng) 
Bài toán 3Cho , ,a b c R∈ .Chứng minh 2 2 2 2( )a b c ab ac+ + ≥ + 
Lời giải: 
2 2 22 ( ) 0BDT a a b c b c − + + + ≥ (*) 
Xem (*) là tam thức bậc 2 theo a. 
Dễ dàng ta có 0 dpcm∆ ≤ = > 
Bài toán 4: (Mathlink).Cho a,b>0. 9 9 2a b+ = .Chứng minh: 3 3 2 (*)a b ab+ ≥ 
Lời giải: 
Đặt 3 3 ,a b x ab y+ = = 
3 3 3 3 3 3 3 3 32 ( ) 3 ( ) 3a b a b a b x xy=> = + − + = − 
3
3 2
3
x
y
x
−
=> = 
3 3
3
3
2 2
(*) 8
8( 2)
3
( 2) (3 4 4) 0
BDT x y
x
x
x
x x x
 ≥
 
−
 ≥  
 
 − + + ≥
 BẤT ĐẲNG THỨC VỚI DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Thường thì khi giải các bài toán bdt có trị tuyệt đối,ta thường lập thứ tự cho các biến rồi 
phá trị tuyệt đối để chứng minh.Chúng ta cùng xét qua 1 số bài toán sau. 
Bài toán 1 Cho a,b>0.Chứng minh 
1
| |
2 2
a b
ab a b
+ ≤ + − (*) 
Lời giải: Không mất tính tổng quát,giả sử a b≥ 
( * )
2 2
a b a b
b d t a b
+ −
⇔ ≤ + 
2( )
1
4
x y
d o x y d p c m
+≤ = ⇒
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 40 
( )b a b a b⇔ ≤ ≥ 
 dpcm 
Bài toán 2 Cho a,b,c 0≥ .Chứng minh 
3 | | | | | |
3 3
a b c a b b c c a
abc
+ + − + − + −≤ + 
Lời giải: 
 Không mất tính tổng quát,giả sử 
a b c≥ ≥ 
3( ) 3 2( )bdt a b c abc a c⇔ + + ≤ + − 
33 3 ( )b c a abc a b c⇔ + ≤ + ≥ ≥ 
 dpcm 
và đây là 2 bài tương tự 
1)
2 22 1
2 2 2
a b a b
a b
+ − +
+ − ≤ (với a,b>0) 
2)
3 1
3( ) (| | | | | |)
2
a b c a b c a b b c c a
−
+ + ≤ + + + − + − + − 
Bài toán 3 Cho a,b,c>0.chứng minh 
 3
9 | | | | | |
2 ( ) 6
2
a b b c c a
a b c a b c
− − −
+ + ≥ + (1) 
Lời giải: 
2 2 2 9 | || || |(1) ( )(( ) ( ) ( ) ) (*)
2
a b b c c a
bdt a b c a b b c c a
− − −
⇔ + + − + − + − ≥ 
Ta có 
2 2 2
| | ,| | ,| |
| | | | | | 2( )
| | | | | |
(*) (( ) ( ) ( ) ) (1)
2
a b a b b c b c c a c a
a b b c c a a b c
a b b c c a
VT a b b c c a VP
− ≤ + − ≤ + − ≤ +
⇒ − + − + − ≤ + +
− + − + −
⇒ ≥ − + − + − ≥
Và ta có thể sử dụng kết quả đã được chứng minh ở trên 
 3 3 3 2 2 2 2 2 22( ) 3( )a b c a b b c c a ab bc ca+ + + + + ≥ + + để chứng minh bài toán mạnh 
hơn 
+ Với a,b,c>0.chứng minh 
3 3 3
( ) ( ) ( )
3
a b c
a b c a b b c c a
 + + ≥ + − − − 
 
Bài toán 4 Nguyễn Đình Thi. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác.Chứng minh 
{ }2 2 2 2 2 2min , 3 2 ( )( )( )a b ac b c ab a c bc abc a b b c c a+ + + + ≥ + − − − (*) 
Lời giải: 
Giả sử : { }2 2 2 2 2 2 2 2 2min ,a b ac b c ab a c bc ab a c bc+ + + + = + + 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 41 
=> 2 2 2 2 2 2a b a c b c a b a c b c+ + ≥ + + 
( ) ( ) ( ) 0a b b c a c⇒ − − − ≥ 
 (*) 2 2 2 2 2 23( ) 3 2( )a b ac b c abc ab a c bc⇔ + + ≥ + + + 
Bđt này đã được chứng minh ở bài ((**)) ở phần bđt schur dạng khác 
Bài toán 5 Cho a,b,c đôi 1 khác nhau.Chứng minh 
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
− − −
(*) 
Lời giải: 
Đặt , ,a b cx y z
b c c a a b
= = =
− − −
2 2 2
1 2( ) 2xy yz zx x y z xy yz zx⇒ + + = − ⇒ + + ≥ − + + = 
(*) | | | | | | 2x y z+ + ≥ 
2 2 2 2(| | | | | |) 4x y z xy yz zx⇔ + + + + + ≥ 
Ta có 2 2 2 2 2 22(| | | | | |) 2 | | 4x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + + + + ≥ + + + + + ≥ 
 dpcm 
Bài toán 6 Cho a,b,c đôi một khác nhau.Chứng minh 
 2
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
+ + ≥
− − −
(*) 
Lời giải: 
Đặt , , 1
a b b c c a
x y z xy yz zx
a b b c c a
+ + +
= = = => + + =−
− − −
 2 2 2 2x y z⇒ + + ≥ 
Bdt | | | | | | 2x y z⇔ + + ≥ 
2 2 2 2(| | | | | |) 4x y z xy yz zx⇔ + + + + + ≥ 
Ta có 
2 2 2 2 2 22(| | | | | |) 2 | | 4x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + + + + ≥ + + + + + ≥ 
= > dpcm 
Bài toán 7:Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác.Chứng minh 
1
a b c b c a
b c a a b c
   
+ + − + + <   
   
(*) 
Lời giải: 
Bdt(*) ( ) ( ) ( ) 1b c c b a c a c a b b a
a b c
− + − + −
 < 
 , , :
1, 1, 1
do a b c
a b b c c a
c a b
∆
− − −
=> < < <
1
a b b c c a
c a b
− − −
= > < 
Ta lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a b c c b a c a c a b b a− − − = − + − + − 
Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 42 
=> đpcm 
Bài toán 8 Cho a,b,c dương và đôi một khác nhau.Chứng minh 
1
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
+ + >
− − −
(*) 
Lời giải: 
Đặt , ,
a b b c c a
x y z
a b b c c a
+ + +
= = =
− − −
2 2 21, 1, 1, 1x y z xy yz zx=> > > > + + = − 
Bdt(*) 1x y z+ + > 
Ta có 2 2 2 2( ) 2( ) 3 2 1x y z x y z xy yz zx+ + = + + + + + > − = 
 đpcm 
Bài toán 9:(Mongolia 1991)Cho , ,a b c R∈ và 2 2 2 2a b c+ + = .Chứng minh 
3 3 3 2 2a b c abc+ + − ≤ 
Lời giải: 
Đưa bđt về dạng đồng bậc ta chứng minh 
( ) ( )2 33 3 3 2 2 2a b c abc a b c⇔ + + − ≤ + + 
Khai triển và rút gọn ta được: 
( )2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2( ) ( ) 5 0a b a b c a b c a c b a b c− + + + + + ≥∑ ∑ ∑ (Đúng) 
Đẳng thức khi 2 biến bằng 0và 1 biến còn lại bằng 2