Một số định hướng khi giải phương trình lượng giác

 - 1 - 
LƯỢNG GIÁC 
Phần 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN 
1. Hệ thức LG cơ bản 
2 2
2
2
sin cos 1
sintan
cos 2
1 tan 1
2cos
k
k
 
 
  


  

 
    
 
     
 
  
 22
tan .cot 1
coscot
sin
1 cot 1
sin
k
k
 

  

  


 
  
2. Công thức LG thường gặp 
Công thức cộng: 
 
 
 
sin sinacosb sinbcosa
cos cos a cos b sinasinb
tan tantan b
1 tan tan
a b
a b
a ba
a b
  
 

 


Công thức nhân: 
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tantan 3 =
1 3 tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a aa
a

     
 
 


Tích thành tổng: cosa.cosb = 1
2
[cos(ab)+cos(a+b)] 
sina.sinb = 1
2
[cos(ab)cos(a+b)] 
sina.cosb = 1
2
[sin(ab)+sin(a+b)] 
Tổng thành tích: sin sin 2sin cos
2 2
a b a ba b    
sin sin 2cos sin
2 2
a b a ba b    
cos cos 2cos cos
2 2
a b a ba b    
cos cos 2sin sin
2 2
a b a ba b     
sin( )tan tan
cos .cos
a ba b
a b

  
Công thức hạ bậc: cos2a = 1
2
(1+cos2a); sin2a = 1
2
(1cos2a) 
Biểu diễn các hàm số LG theo tan
2
at  : 
2
2 2 2
2 1- 2sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t ta a a
t t t
  
  
3. Phương trình LG cơ bản 
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k

 
 
    
 * cosu=cosvu=v+k2 
* tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k  Zk  . 
4. Một số phương trình LG thường gặp 
www.VNMATH.com
 - 2 - 
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng 
các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. 
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng 
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các 
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. 
Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c  . 
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tanb
a
 , ta được: sinx+tancosx= cosc
a
 
 sinx cos + sin cosx= cosc
a
  sin(x+ )= cosc
a
 sin
ñaët
. 
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2a b , ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cosa b cx x
a b a b a b
 
  
Đặt: 
2 2 2 2
cos ; sina b
a b a b
  
 
. Khi đó phương trình tương đương: 
2 2
cos sin sin cos cx x
a b
  

 hay  
2 2
sin sincx
a b
   

ñaët
. 
Cách 3: Đặt tan
2
xt  . 
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: 
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). 
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 
2
x k   . 
+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. 
Chú ý: 22
1 tan 1
2cos
x x k
x

     
 
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 
Chú ý:+ Cách giải 1 được áp dụng đối với phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx! 
+ Phương trình chỉ chứa sinx và cosx mà mỗi đơn thức trong đó có bậc cùng chẵn hoặc 
cùng lẻ được coi là phương trình đẳng cấp (nhờ hệ thức 2 2sin cos 1x x  ) 
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: 
Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. 
Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t  2 . 
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x           
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc : 
Chú ý: Với sin cost x x  thì 
3
3 3
3
3sin cos
2
t tS x x     ; 
4 2
4 4
4
2 1sin cos
2
t tS x x      ; 
2
1 2
1sin cos .
2
n n
n n n
tS x x S t S 
 
     
 
5. Phương trình đối xứng đối với tan x và cot x 
Phương trình được đại số hóa nhờ phép đặt 2tan cot
sin 2
t x x
x
   . Điều kiện 2t  . 
Khi đó 2 2 22 tan cot 2S x x t    ; 
3 3 3
3 tan cot 3S x x t t    
 4 4 4 24 tan cot 4 2S x x t t     ; 1 2tan cot .
n n
n n nS x x t S S     
Chú ý: Nếu phương trình cần đặt tan cot 2cot 2t x x x    thì không cần điều kiện cho t.và 
khi đó 2 2 22 tan cot 2S x x t    
www.VNMATH.com
 - 3 - 
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC 
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. 
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). 
Giải 
Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x   
   
 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 
 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0 
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). 
Giải 
Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x) cos2x(sin6x–cos6x) = 0 
 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 cos2x = 0 
 2 , ( )
2 4 2
π π kπx kπ x k      
Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x    (3). 
Giải Ta có: 
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
22(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )
2
2 2cos2 .cos 2 cos 2
4 2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
πx x x x
    
  
      
     
       , ( )kπ k 
Phương pháp 2:Đặt thừa số chung. 
Những phương trình loại này đòi hỏi kĩ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định 
hướng cho phép giải. Ở đây chỉ nêu lên một vài kinh nghiệm. 
 Trước hết, ta cần nắm được những họ các biểu thức có thừa số chung thường gặp sau: 
 f x Biểu thức chứa thừa số  f x 
sinx sin2x ; sin3x; tanx; tan2x; tan3x 
cosx sin2x ; cos3x; tan2x; cotx; cot3x 
1+cosx 2 2 2 2cos ;cot ;sin ;tan
2 2
x x x x 
1-cosx 2 2 2 2sin ; tan ;sin ; tan
2 2
x x x x 
1+sinx 2 2 2 2cos ;cot ;cos ; sin
4 2 4 2
x xx x         
   
1-sinx 2 2 2 2cos ;cot ;cos ; sin
4 2 4 2
x xx x         
   
sinx+cosx cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ;tan cotx x x x x x x    
cosx-sinx cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ; tan cotx x x x x x x    
Ví dụ 4: Giải phương trình sin sin 2 sin3 0a x b x c x   
HD:  3sin 2 sin cos 3sin 4sin 0PT a x b x x c x x     
www.VNMATH.com
 - 4 - 
  2sin 4sin 2 cos 3 0x x b x a c      
Ví dụ 5: Giải phương trình 1 tan 1 sin 2
1 tan
x x
x

 

HD: ĐK: 
tan 1 4
cos 0
2
x kx
k Z
x x k




   
  
   

PT    
 
1sin cos sin cos 0
1 tan cos
x x x x
x x
 
      
 
2 2
2 2
cos sin 1sin cos 0
cos sin
sin cos 0 tan 1
cos2 1cos sin 1 0
x xx x
x x
x x x
xx x
  
    
    
      
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: 
Ví dụ 6. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17sin cos
32
x x  (4). 
Giải Ta có (4) 
4 4
4 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6 cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x x x             
   
Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2
1
17 13 26 1 6 0
134 4
2
t
t t t t
t
 
        
  
Vì t[0;1], nên 21 1 cos 4 1 1cos 2
2 2 2 2
xt x      cos4x = 0 
 4 , ( )
2 8 4
π π πx kπ x k k      
Ví dụ 7. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) 
Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0 
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 
cos 1 2 , ( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) 
x x k π k
x x x x
   
     

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t  , khi đó phương trình (*) trở thành: 
2t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0
0
sin -cos , ( )
2 ( 4
t πx x x nπ n
t lo

         

¹i)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
πx nπ   ; 2 , ( , ) x k π n k  
Phương pháp 4: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng 
cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. 
Ví dụ 8. Giải phương trình: |sin | cosxπ x (6). 
Giải Điều kiện: x ≥ 0 
Do | sin | 0,x  nên |sin | 0 1xπ π  , mà |cosx| ≤ 1. 
www.VNMATH.com
 - 5 - 
Do đó 
2 2 2 0| sin | 0 , ( )(6)
0| cos | 1 ,( )
k nx k π k π nx x kπ k
xx nπ x nπx x nπ n
         
        
       


(Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. 
Phương pháp 5: Sử dụng tính chất hàm số. 
Ví dụ 9: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 
2
1 cos
2
x x  . 
Giải Đặt 
2
( )=cos
2
xf x x  . Dễ thấy f(x) = f(x), x  , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy 
trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. 
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 
 f(x) đồng biến với x≥0 . 
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. 
Ví dụ 10: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
2
π 
 
 
thoả mãn phương trình:
2
2sin cos 2
n
n nx x

  . 
Giải 
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. 
 = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
2
 
 
 
, ta có minf(x) = f
4
 
 
 
 = 
2
22
n
Vậy x = 
4
 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau: 
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2
2
x k x n    
2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) 
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2
4 3
x k x n        
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 
ĐS: 7; ; .
4 4 12 12
x k x n x m            
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k  . 
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) 
ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l             với 1sin
4
   . 
6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 
4
x k   . 
7. sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x         
   
; (Học Viện BCVT) ĐS: 
4 2
x k   
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x 
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: 
12
x k  . 
www.VNMATH.com
 - 6 - 
9. 1 1 74sin
3sin 4sin
2
x
x x


        
 
 ĐS: 
4
8
5
8
x k
x k
x k






  

  


  

10. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 
3
k   , 
4
x k    
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( )
4 3
x k x k k         
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). 
HD 
(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 
2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 
2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. 
Đặt t=cosx, ĐK 1t  , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. 
=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. 
 
 
1
12 cos
2sin - 2
t
x
t x

  
 loaïi
 (biết giải) 
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. 
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. 
Đặt t=sinx, ĐK 1t  . 
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0  =(4cosx–1)2. 
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. 
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. 
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. 
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp  
15. Giải phương trình lượng giác:  2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
Giải: Điều kiện:  cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
 


Từ (1) ta có: cos .sin 2 2 sin
cos
x x x
x
    
2
4 2
42
4
DK
x k
k x k k
x k






  
      
   

  
16. Giải phương trình:  
4 4sin cos 1 tan cot
sin 2 2
x x x x
x

  (1) 
Giải:Điều kiện: sin 2 0x  
211 sin 2 1 sin cos2(1)
sin 2 2 cos sin
x x x
x x x

    
 
2
2
11 sin 2 1 12 1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x

       
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
17. Giải phương trình: 2 22sin 2sin tan
4
x x x    
 
. 
www.VNMATH.com
 - 7 - 
Giải:Pt 2 22sin 2 sin tan
4
x x x    
 
 (cosx )0 21 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x        
  
 (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 
18. Giải phương trình:    3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x       . 
HD 
2 3 22sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0PT x x x x x x x x         
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x x
     
 
   
   
     lo
,3
2
x k
k
x k



   


 
19. Giải phương trình: cosx=8sin3
6
x   
 
HD: cosx=8sin3
6
x   
 
 cosx =  33 sin cosx x 
 3 2 2 33 3 sin 9sin cos 3 3 sin cos cos cos 0x x x x x x x     (3) 
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm 
 (3)  3 23 3 tan 8 tan 3 3 tan 0x x x   tan 0 x x k    
20. Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x    
Giải: Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 
cos sin 1
cos sin 5 ( )
x x
x x loai
  
   
    222 sin 1 sin sin ( )4 4 4 2
x k
x x k Z
x k
   
 
  
       
  
21. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 
ĐS: x = 
3 2
k 
 (kZ) 
22. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
 
HD: Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
 
 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2
8
 
  2 2 2 3 2cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x      2cos 4 ,
2 16 2
x x k k Z       . 
23. Định m để phương trình sau có nghiệm 
24sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m                  
     
Giải: Ta có: *  4sin 3 sin 2 cos 2 cos 4x x x x  ; 
*  4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 4
4 4 2
x x x x x x                    
      
*  2 1 1cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x              
    
Do đó phương trình đã cho tương đương:   1 12 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m     
Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x      
 
 (điều kiện: 2 2t   ). 
www.VNMATH.com
 - 8 - 
Khi đó 2sin 4 2sin 2 cos2 1x x x t   . Phương trình (1) trở thành: 
2 4 2 2 0t t m    (2) với 2 2t   2(2) 4 2 2t t m    
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : 2 2D y m  (là đường song song với 
Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t  với 2 2t   . 
x 2 2 
y’ + 
y 2 4 2 
 2 4 2 
Trong đoạn 2; 2   , hàm số 
2 4y t t  đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t   và đạt giá 
trị lớn nhất là 2 4 2 tại 2t  . 
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m     
2 2 2 2m    . 
o0o 
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CỦA BỘ GD&ĐT 
Bài 1: Tìm nghiệm thuộc (0;2 ) của pt: os3 sin 35 sin os2 3.
1 2sin 2
c x xx c x
x
     
 (A 2002) 
ĐS: 1 2
5; .
3 2
x x   
Bài 2: Giải phương trình: 2 2 2 2sin 3 os 4 sin 5 os 6 .x c x x c x   (B 2002) 
ĐS: ; ( ).
9 2
x k x k k    
Bài 3: Tìm x thuộc  0;14 nghiệm đúng pt: cos3 4cos 2 3cos 4 0.x x x    (D 2002) 
ĐS: 3 5 7; ; ;
2 2 2 2
x x x x       . 
Bài 4: Giải phương trình: 2os2 1cot 1 sin sin 2 .
1 tan 2
c xx x x
x
   

 (A 2003) 
ĐS: ( ).
4
x k k    
Bài 5: Giải phương trình: 2cot tan 4sin 2 (1)
sin 2
x x x
x
   (B 2003) 
ĐS: , .
3
x k k     
Bài 6: Giải phương trình: 2 2 2sin tan os 0.
2 4 2
x xx c    
 
 (D 2003) 
ĐS: 2 ( ).
4
x k hay x k k        
Bài 7: Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện 
os2 2 2 os 2 2 osC=3.c c c  Tính ba góc của tam giác ABC. (A 2004) 
ĐS: 
0
0
90
45C
 

  
Bài 8: Giải phương trình: 25sin 2 3(1 sin ) tan .x x x   (B 2004) 
ĐS: 2
6
x k   hoặc 5 2 ,
6
x k k    . 
Bài 9: Giải phương trình: (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin .x x x x x    (D 2004) 
www.VNMATH.com
 - 9 - 
ĐS: 2 à , .
3 4
x k v x k k         
Bài 10: Tìm nghiệm trên (0; ) của pt: 2 2 34sin 3 os2 1 2cos
2 4
x c x x      
 
. (Dự bị 1A 2005) 
ĐS: 1 2 3
5 17 5; ; .
18 18 6
x x x     
Bài 11: Giải phương trình: 32 2 os 3cos sin 0 .
4
c x x x     
 
 (Dự bị 2A 2005) 
ĐS: , .
2 4
x k hay x k k       
Bài 12:Giải phương trình: 2 2 3sin cos 2 os (tan 1) 2sin 0x x c x x x    (Dự bị 1B 2005) 
ĐS: 52 2 , .
6 6
x k hay x k k       
Bài 13: Giải phương trình: 3 sintan 2.
2 1 cos
xx
x
      
 (Dự bị 1D 2005) 
ĐS: 52 2 , .
6 6
x k hay x k k       
Bài 14: Giải phương trình: 2 2
os2 1tan 3 tan .
2 os
c xx x
c x
     
 
 (Dự bị 2B 2005) 
ĐS: ; .
4
x k k     
Bài 15: Giải phương trình: sin 2 os2 3sin cos 2 0.x c x x x     (Dự bị 2D 2005) 
ĐS:
52 ; 2 ; 2 ; 2 ( )
2 6 6
x k x k x k x k k               
Bài 16: Giải phương trình: 2 2cos 3 cos 2 os 0.x x c x  (A 2005) 
ĐS: ( ).
2
x k k  
Bài 17: Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 os2 0.x x x c x     (B 2005) 
ĐS: 2 2 ( ).
3
x k k     
Bài 18: Giải phương trình: 4 4 3os sin os sin 3 0.
4 4 2
c x x c x x            
   
 (D 2005) 
ĐS: ( ).
4
x k k    
Bài 19: Giải phương trình: 
6 62( os sin ) sin cos 0.
2 2sin
c x x x x
x
 


 (A 2006) 
ĐS: 5 2 , ( ).
4
x m m    
Bài 20: Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4.
2
xx x x    
 
 (B 2006) 
ĐS: 5; ( ),
12 12
x k x k k       
Bài 21: Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0.c x c x x    (D 2006) 
ĐS: 2 2 ( ).
3
x k k     
Bài 22: Giải phương trình: 3 3 2os sin 2sin 1 (1).c x x x   (Dự bị 1D 2006) 
ĐS: 
4
x k   ; 2 ( ).
2
x k k    
Bài 23:Giải phương trình: 14 2 2(2 1)sin(2 1) 2 0x x x x y       (Dự bị 1D 2006) 
www.VNMATH.com
 - 10 - 
ĐS: 1 à 1 2 , .
2
x v y k k       
Bài 24: Giải phương trình: cos 2 (1 2cos )(sin - cos ) 0x x x x   (Dự bị 2B 2006) 
ĐS: ; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k           
Bài 25: Giải phương trình: 3 24sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x    (Dự bị 2D 2006) 
ĐS: 22 ; 2
2 3
x k x k        , .k  
Bài 26: Giải phương trình: 2 2 2(2sin 1) tan 3(cos 1) 0x x x    (Dự bị 1B 2006) 
ĐS: , .
6 2
x k k     
Bài 27: Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0
6
x x     
 
 (Dự bị 2A 2006) 
ĐS: 7; 2
6
x k x k    , .k  
Bài 28:Giải phương trình: 3 3 2 3 2os3 cos sin 3 sin
8
c x x x x   (Dự bị 1A 2006) 
ĐS: , .
16 2
x k k     
Bài 29:Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sin .x x x   (B 2007) 
ĐS: 2 5 2; ( ).
8 4 18 3 18 3
x k x k hay x k k            
Bài 30: Giải phương trình: 
2
sin os 3 cos 2.
2 2
x xc x    
 
 ( D 2007) 
ĐS: 2 2 ( ).
2 6
x k hay x k k        
Bài 31: Giải phương trình: 2 2(1 sin )cos (1 os )sin 1 sin 2 .x x c x x x     (A 2007) 
ĐS: ; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k          
Bài 32: Giải phương trình: 5 3sin os 2 os .
2 4 2 4 2
x x xc c          
   
 (Dự bị 1B 2007) 
ĐS: 2 ; 2 ; 2 , .
3 3 2
x k x k x k k            
Bài 33: Giải phương trình:  22cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cos .x x x x x    (Dự bị 2A 2007) 
ĐS: 2 , .
3
x k k    
Bài 34: Giải phương trình: 1 1sin 2 sin 2cot 2 .
2sin sin 2
x x x
x x
    (Dự bị 1A 2007) 
ĐS: ( ).
4 2
x k k    
Bài 35:Giải phương trình: sin 3 3 cos 2sin 2 .x x x  (CĐ 2008) 
ĐS: 4 2 ( ).
15 5
kx k    
Bài 36: Giải phương trình: 2sin (1 os2 ) sin 2 1 os2 .x c x x c x    (D 2008) 
ĐS: 2; 2 ( ).
4 3
x k x k k        
Bài 37: Giải phương trình: 3 3 2 2sin 3 os sin cos 3 sin cos .x c x x x x x   (B 2008) 
www.VNMATH.com
 - 11 - 
ĐS: ; ( ).
4 2 3
x k x k k         
Bài 38: Giải phương trình: 1 1 74sin .
3sin 4sin
2
x
x x


        
 
 (A 2008) 
ĐS: 5; ( ).
4 8 8
x k x k hay x k k             
Bài 39: Giải phương trình:  
   
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x


 
. (A 2009) 
ĐS:  2 ,
18 3
x k k     
Bài 40: Giải phương trình:  3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x    . (B 2009) 
ĐS:  2 , 2 ,
42 7 6
kx x k k         
Bài 41: Giải phương trình 3 cos 5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x   (D 2009) 
ĐS:  , ,
18 3 6 2
x k x k k         
Bài 42: Giải phương trình  21 2sin cos 1 sin cosx x x x    (CĐ 2009) 
ĐS:  5, ,
12 12
x k x k k       
Bài 43: Giải phương trình 
 1 sin cos2 sin 14 cos .
1 tan 2
x x x
x
x
    
  

 (Khối A_2010) 
ĐS:  72 2
6 6
x k x k k         
Bài 44: Giải phương trình  sin 2 cos 2 cos 2cos 2 sin 0x x x x x    (Khối B_2010) 
ĐS:  
4 2
x k k    
Bài 45: Giải phương trình sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x     (Khối D_2010) 
ĐS:  52 2
6 6
x k x k k        
Bài 46: Giải phương trình 2
1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 .
1 cot
x x x x
x
 

 
(Khối A_2011) 
ĐS: x = 
2
k  hay x = 2
4
k  (k  Z) 
Bài 47: Giải phương trình sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x    (Khối B_2011) 
ĐS: x = 2
2
k  hay x =  + k2 hay x = 2
3
k   (k  Z) 
Bài 48: . Giải phương trình s in2x 2cos x sin x 1 0
tan x 3
  


 (Khối D_2011) 
ĐS: 2 ( )
3
x k k    
www.VNMATH.com