Một số đề toán thi học sinh giỏi

Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 1 
MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI 

 
1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 
Bài 1 (6 ñiểm) 
1/ So sánh hai số 20092010 và 20102009. 
2/ Tìm giới hạn 
20 33
1 1lim
3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1)x x x x x x→
 
− 
+ + + + + + 
. 
Bài 2 (4 ñiểm) 
1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của 
F = x2 + y2 + z2. 
2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1
...
C C C 2007n+
+ + + <
. 
Bài 3 (4 ñiểm) 
Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180o và các cạnh bên 
SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . 
Bài 4 (4 ñiểm) 
1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 
2 2 21 2 2+ 3+ - m + n + p
m n p
≤ . 
2/ Giải hệ phương trình 
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz
 + + + = +

+ + + = −
 + + + = +
. 
Bài 5 (2 ñiểm) 
1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ 
giác ñó. 
2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 +  + anx2n+1 +  thoả mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). 
Tìm các hệ số a0, a1, a2, , an. 

 
2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 
BÀI 1: (3 ñiểm) 
Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: 
( ) ( )2 2 2 2 2cos 4 4 . cos 4 2 2 0tan x a tan x api pi− − − + + ≤ . 
BÀI 2: (3 ñiểm) 
Với những giá trị nào của a thì hàm số ( ) ( ) ( ) 3 21 3 1 2 sin sin
3 2 3
x xf x x a a api= − + − + +
 có không quá 
hai ñiểm cực trị trên khoảng ( ; 5pi pi ) ? 
BÀI 3: (4ñiểm) 
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 2 
Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x 
nguyên. 
( ) ( ) ( )144 2 +≤++− aaxaaxx . 
ðÁP ÁN 
 BÀI 1 (3 ñiểm) 
 ðặt t = ( )2 2cos 4tan xpi − , với 1t tan≤ . Dễ thấy rằng với [ ]0 1, 1t tan tan∈ − phương trình 
( )2 2 0cos 4tan x tpi − = có số nghiệm hữu hạn. Do ñó ta tìm tất cả a sao cho hệ 2 4 2 2 01 1t at atan t tan − + + ≤ − ≤ ≤ có số 
nghiệm hữu hạn. ðiều này chỉ có thể khi hệ có ñúng một nghiệm. 
 Nếu biểu thức ∆ của tam thức bậc hai tương ứng âm thì rõ ràng hệ vô nghiệm. 
 Nếu ∆ = 0, tức là a = 1 hay a = 
2
1
− , thì nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ sẽ chỉ là 
một ñiểm t = 2a. Từ hai giá trị tìm ñược của a chỉ có a = 
2
1
− là thích hợp, với a = 
2
1
− ta ñược 
t = 1 [ ]1; 1tan tan∈ − từ ñây suy ra ( )2 2cos 4tan xpi − = 1 hay pipipi nx +−=− 44cos 22 , với n Z∈ . 
Phương trình này có nghiệm chỉ khi n = 0. Lúc ñó 
4
4cos 22 pipi −=− x hay 
pi
pi
pipi 2
4
arccos4 22 kx +





−±=− , với k Ζ∈ . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm: 
2
2
4
arccos4 




 ±−±= pipipix . 
 Nếu ∆ > 0 thì nghiệm của bất phương trình sẽ là ñoạn [ ]21, tt , ñoạn này phải có chỉ một ñiểm 
chung với ñoạn [ ]1, 1tan tan− . Suy ra t1 = tan1 hay t2 = -tan1 . Lúc ñó giá trị cần tìm của tham số ñược 
tìm bằng cách giải tập hợp hai hệ sau : 
( )
0
1 0
1
f tan
tan t
 =

<
 hay ( )
0
1 0
1
f tan
tan t
 − =

− >
 với f(t) = t2 – 4at +2 + 2a . 
 Suy ra 
21 2
4 1 2
1 1
2
tan
a
tan
a tan
 +
=
−

 >

 hay 
( )21 2
4 1 2
1 1
2
tan
a
tan
a tan

− +
 = +
 < −
. 
 Dễ thấy rằng hệ thứ nhất có nghiệm , còn hệ thứ hai vô nghiệm. Giá trị vừa tìm của tham số tương 
ứng t = tan1. Suy ra ( )2 2cos 4tan xpi − = tan1, pipi nx +=− 14cos 22 , n Ζ∈ . Phương trình này chỉ có 
ba nghiệm x1 = 0 , x2 = -2pi , x3 = 2pi . 
 Kết luận : 
 Nếu a = 
2
1
 thì 
2
2
4
arccos4 




 ±−±= pipipix . 
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 3 
 Nếu 
21 2
4 1 2
tan
a
tan
+
=
−
 , thì x1 = 0 , x2 = -2pi , x3 = 2pi . 
 Với các giá trị còn lại của a phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm . 
 BÀI 2 (3 ñiểm) 
 Ta có ( ) ( )
3
2
cos
3
cos211' xxaaxf +−+−= . Nghiệm của phương trình ( ) 0' =xf sẽ là các ñiểm 
tới hạn của hàm f . Ta viết : ( ) 0
3
2
cos
3
cos211 =+−+− xxaa
 Dễ thấy rằng phương trình này tương ñương với tập hợp: 





=
−=
a
x
x
3
cos
2
1
3
cos
. 
 Phương trình thứ nhất của tập hợp có hai nghiệm x1= pi2 và x2 = pi4 trên khoảng (pi , pi5 ). Các 
ñiểm này là ñiểm tới hạn của hàm f . Khi viết ñạo hàm dưới dạng ( ) 





−





+= a
xx
xf
3
cos
2
1
3
cos2'
dễ thấy rằng các ñiểm tới hạn trở thành ñiểm cực trị chỉ khi a 
2
1
−≠
 (nếu a = 
2
1
−
 thì ñạo hàm không ñổi 
dấu , và do ñó hàm f không có ñiểm cực trị ). 
 Như vậy nếu 
2
1
−≠a
 thì hàm f có ít nhất hai ñiểm cực trị trên khoảng ñược xét . Do ñó , cần tìm 
các giá trị a sao cho phương trình thứ hai không có thêm ñiểm cực trị . 
 Trên khoảng (pi , pi5 ) hàm y = cos
3
x
 nhận tất cả các giá trị thuộc ñoạn 
11; 
2
 
−  
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16F
E
D
 Nếu 





−∈
2
1
,1a và 2
1
−≠a
 thì hàm f sẽ có 4 cực trị . Có nghĩa là với những giá trị a khác hàm 
f sẽ có không quá hai cực trị . 
 Kết luận : 
2
1≥a , 
2
1
−=a , 1−≤a . 
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 4 
BÀI 3 (4 ñiểm) 
 Bất phương trình ñã cho tương ñương với tập hợp hai hệ:



+≥
≤
4
2
ax
ax
 hay 



+≤
≥
4
2
ax
ax
. Nhờ tập 
hợp này ta biểu diễn nghiệm của bất phương trình ban ñầu. Kẻ các ñường thẳng x = k , với Ζ∈k . 
14
12
10
8
6
4
2
-5 5 10 15
- 6 12
x=a+4
x=a2
A
 Lúc ñó giá trị a0 mà với nó ñường thẳng a = a0 cắt các ñường thẳng x = k không quá 4 ñiểm 
trong tập hợp ñã ñược ñánh dấu, sẽ là giá trị cần tìm. Căn cứ vào hình vẽ ta có các giá trị a cần tìm là : 
06 <− , 10 <<a , 121 << a . 

 
3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 
Câu 1: (4 ñiểm) 
 Giải hệ phương trình:
3 2 cos cos
3 2 cos cos
3 2 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = +

+ = +
 + = +
. 
Câu 2: (4 ñiểm) 
 Cho dãy số { }nx thoả mãn: 03
1 1
3
3 2n n n
x
x x x+ +
=

− = +
. Tìm lim
n
n
x
→+∞
. 
Câu 3: (4 ñiểm) 
 Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên *+R và thoả mãn: 
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 5 
2 2
2
(1) 5
4( ) ( ) 4 , 0 .
f
f x x f x x x
x
=


− = − ∀ >
Câu 4: (4 ñiểm) 
Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi tổng 
sau: 
1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 
2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. 
Câu 5: (4 ñiểm) 
 Cho tập hợp A = {0,1,2,,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con “ngoan ngoãn” nếu với bất 
kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T. 
1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A. 
2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005. 

 
4. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) 
Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : 1( 3) 2 1x x−− = . 
Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 yx + nếu : 
3 2 6
7 3 4
x y
x y
+ ≤
− ≤



. 
Bài 3: (4ñ) Cho dãy n21 x,.....,x,x , với 




=+=
=
+ ,....)2,1n(,xxx
2
1
x
n
2
n1n
1
. Hãy tìm phần nguyên của A 
biết 
1x
1
....
1x
1
1x
1A
10021 +
++
+
+
+
= . 
Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với : 






−−
=
=
+ 2
a11
a
2
1
a
2
n
1n
1
. Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ 
hơn 1,03. 
Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song 
với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại 111 C,B,A . Tìm vị trí của M ñể thể 
tích hình tứ diện 111 CBMA lớn nhất. 

 
5. THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN 
Câu 1: Giải BPT: 
x
x
xxxxxx
2
23234 1ln)ln()1222ln( −≤+−+−++ . 
Câu 2: Cho tam giác ABC ñều. Tìm tập hợp các ñiểm M nằm trong tam giác thoả mãn hệ thức: 
222 MCMBMA += . 
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 6 
Câu 3: Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1. Tìm min của biểu thức: A=
xyyx 8
11
22 ++
. 
Câu 4: Cho dãy )( nx xác ñịnh: 1
1
2
2n n
x
x x+
 =

= +
 (n >0). Tìm lim
n
x . 
Câu 5: Cho tam giác ñều ABC cạnh bằng 1. Trên dt (d) vuông góc với mf (ABC) tại A lấy ñiểm M tuỳ ý. 
Gọi H là trực tâm tam giác MBC. Khi M chạy trên dt (d), tìm max V(HABC) 
Câu 6: Tìm các ña thức P(x) thoả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 
Câu 7: Với mỗi số tự nhiên n, gọi P(n) là tập hợp các số tự nhiên k sao cho: 150750 +<< nkn . Kí hiệu S 
là số phần tử của P(n). CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có: S=2 hoặc S=3; và CMR tồn tại vô số số tự nhiên 
k sao cho S = 3. 

 
6. KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 
Baøi 1: (5 ñieåm). 
a) Tìm taát caû caùc soá nguyeân m sao cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = 0 coù moät nghieäm nguyeân. 
b) Giaûi baát phöông trình. 
Baøi 2: (5 ñieåm). 
a) Giaûi phöông trình 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. 
b) Cho caùc soá thöïc x1,x2, ,xn thoûa maõn sin2x1+2sin2x2 ++ nsin2xn = a, vôùi n laø soá nguyeân döông, a laø 
soá thöïc cho tröôùc, ( 1)0
2
n n
a
+≤ ≤ . Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa x1, x2,  , xn sao cho toång 
S = sin2x1+2sin2x2 +  + nsin2xn ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tìm giaù trò lôùn nhaát naøy theo a vaø n. 
Baøi 3: (4 ñieåm). 
a) Cho ba soá thöïc a,b,c thoûa abc =1 .Chöùng minh : 6 2 2 6 2 2 6 2 2
1 1 1 3
.( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b+ + ≥+ + + 
b) Cho tam giaùc ABC nhoïn thoûa ñieàu kieän cot (cot 2cot ) 2cot( ) cot .
22cot( ) cot
2
A A B A B BA B B
+ +
= −
+
+
Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc caân. 
Baøi 4: (2 ñieåm). 
Cho tam giaùc ABC, treân caùc caïnh BC, CA, AB laàn löôït laáy caùc ñieåm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’ 
vaø CC’ ñoàng qui taïi ñieåm M. Goïi S1, S2 vaø S3 laàn löôït laø dieän tích cuûa caùc tam giaùc MBC, MCA, 
MAB vaø ñaët ' ' ', , .MA MB MCx y z
MA MB MC
= = = 
Chöùng minh raèng: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = 0. 
Baøi 5: (2 ñieåm). 
Cho daõy {un} , n laø soá nguyeân döông , xaùc ñònh nhö sau : . 
Tính un vaø chöùng minh raèng u1 + u2 ++ un . 
Baøi 6: (2 ñieåm). 
 Cho ña thöùc f(x)=x3+ ax2 + bx + b coù ba nghieäm x1, x2, x3 vaø ña thöùc g(x) = x3+ bx2 + bx + a. Tính 
toång S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b. 
2)12(log13)12(log 22 ≤+−++− xx
1
2
1
1
1 1
.
0
n
n
n
n
u
u
u
u
u
+
=

+ −
=

 >
])2
1(1[
4
1 1−−+≥ npi
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 7 
HÖÔÙNG DAÃN CHAÁM VAØ BIEÅU ÑIEÅM MOÂN TOAÙN 
 Baøi 1: (5 ñieåm). 
Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 
a)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi: 
x(x+m2) -m(x+m2) = -1. 
+ (x+m2)(x-m) = -1. 
+ (a) 
 hoaëc 
2 1(b)
1
x m
x m
 + = −

− =
+Giaûi (a) m =1 hoaëc m =-2. 
+Giaûi (b) voâ nghieäm. 
+Vaäy m =1 hoaëc m =-2. 
0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 
b)(2 ñieåm) + Bieán ñoåi: 
 (1) 
+Vì 
neân 
+ 
+Vaäy 2 1 2 1log 2 3log 2x+ +≤ ≤ 
0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
Baøi 2: (5 ñieåm). 
Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 
21)12(log3 ... BC, tìm giá trị nhỏ nhất của T = 2 2 2tan 3(tan tan )
2 2 2
A B C
+ + . 
Câu 3 (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên , thỏa mãn 
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀ x, y ∈ . 
Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau ở Q, 
tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P. Chứng minh rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD. 
Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005n và (2005n + 5n) có số chữ số bằng nhau với mọi n nguyên 
dương. 

 
198. ðỀ THI THAM KHẢO HSG 
Bài 1 Chứng minh phương trình xn + px + q = 0 (p, q ∈ , n ∈N*) không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n 
chẵn và không thể có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. 
∧
R
R
R
R
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 159 
Bài 2 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2], khả vi trên (0; 2), và |f ’(x)| ≤ 1, ∀x∈ (0; 2), f(0) = f(2) = -1. 
Chứng minh rằng 
2
0
1 ( ) 3f x dx≤ ≤∫ . 
Bài 3 Xét sự hội tụ của dãy {un} xác ñịnh bởi u0 ∈ [0; 1], un + 1 = sin2un, ∀ n = 1, 2, 3,  
Bài 4 Cho f : [a; b] → liên tục và thỏa mãn |f(x) – f(y)| > x – y, ∀x∈ [a; b], x ≠ y. Chứng minh rằng tồn 
tại x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) ∉ [a; b]. 
Bài 5 Tìm hàm f xác ñịnh và ñồng biến (0; + ∞ ), thỏa mãn f(x + 2006) – f(x) = e- 2006x, ∀ x ∈ (0; + ∞ ). 
Bài 6 Cho hàm f khả vi ñến cấp 2 trên (0; + ∞ ), có lim ( )
x
f x
→+∞
 = 0 và |f ’’(x)| ≤ 1, ∀ x ∈ 0; + ∞ ), Chứng 
minh rằng lim '( )
x
f x
→∞
= 0. 
Bài 7 Chứng minh 1 ≤ 
1
4
0
1 x dx+∫ ≤ 
4
3
. 
Bài 8 Giả sử hàm f khả vi trên ñoạn [a; b] và |f ’(x)| ≤ M với mọi x ∈ [a; b]. Chứng minh rằng 
|f(x)| ≤ M(b – a), ∀x ∈ [a; b], và 2
b
a
M( ) (b a)
2
f x dx ≤ −∫ . 
Bài 9 Hai hàm f, g có ñạo hàm ñến cấp hai liên tục trên ñoạn [a; b] và f(a) = g(a) = f(b) = g(b) = 0. Chứng 
minh rằng ( ) ''( ) ''( ) ( )
b b
a a
f x g x dx f x g x dx=∫ ∫ . Từ ñó chứng minh ( )( ) ''( ) 2 ( )
b b
a a
x a x b f x dx f x dx− − = −∫ ∫ . Giả 
thiết nào của f, g tại a và b có thể cho cùng kết quả? 
Bài 10 Cho a < c < b, hàm f liên tục trên các ñoạn [a; c] và [c; b]. Chứng minh f liên tục trên ñoạn [a; b]. 

 
199. ðỀ THI THAM KHẢO HSG 
Bài 1 Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình x = 1 – 2001.x2001 ñều là nghiệm cuat phương trình 
x = 1 – 2001(1- 2001.x2001)2001. 
Bài 2 Chứng minh rằng với mọi ∆ABC ta có 
a) 3sin sin sin tan tan tan 3
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + + + + ≥ + . 
b) 
3 3
22sin sin sin(sin ) .(sin ) .(sin ) ( )
3
A B CA B C > . 
Bài 3 Giải phương trình lượng giác 
27 os1 sin 1 sin
4
c x
x x
+
+ + − = . 
Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy cho B(- m; 0), C(m; 0) cố ñịnh, m ≠ 0. Gọi A là ñiểm thay ñổi trong mặt 
phẳng và thỏa mãn ñiều kiện: tung ñộ của A bằng 3 lần tung ñộ ñiểm I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC. 
Tìm quỹ tích ñiểm I. 
Bài 5 Giải hệ phương trình và bất phương trình 
R
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Xá 
ðề thi HSG môn Toán Trang 160 
a) 
2 4 28 (2 1)(8 8 1) 1
0 1
x x x x
x

− − + =

≤ ≤
. b) 
2 2 2 132 ( 1)(2 1) 1
0 1
x x x
x
x

− − = −

 < <
. c) 
1 1 13( ) 4( ) 5( )
1
x y z
x y z
xy yz zx

+ = + = +

 + + =
. 
Bài 6 Chứng minh rằng trong một tứ diện, tích của các cặp cạnh ñối chia cho tích các sin của nhị diện 
tương ứng bằng nhau (nhị diện tương ứng là nhị diện nhận cạnh ñó làm cạnh). 

 
200. ðỀ THI THAM KHẢO HSG 
Bài 1 Giải phương trình 
a) 1 1 4 3
1 1 1 1 1x x x
+ =
− − + − −
. b) 
2
1 1 35
121x x
+ =
−
. c) 1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
+ −
− + + = +
− +
. 
Bài 2 
a) Cho ∆ABC ñều cạnh a, P và Q là hai ñiểm di ñộng trên AB, AC tương ứng và thỏa mãn 
1 1 3
aAP AQ+ = . Chứng minh rằng ñường thẳng PQ luân ñi qua ñiểm cố ñịnh. 
b) Cho ∆ABC nội tiếp ñường tròn (O), M ∈ (O). Chứng minh rằng 4 4 4MA MB MC+ + có giá trị là hằng 
số không phụ thuộc vào ñiểm M. 
Bài 3 Cho O.ABC là tam diện vuông ñỉnh O, ñiểm P ∈ (ABC). ðặt u = AP
AO
, v = 
BP
BO
, w = 
CP
CO
, và gọi 
α là góc giữa OP và (ABC). Chứng minh u2 + v2 + w2 = cot2α . 
Bài 4 Cho tứ giác ABCD có B + D < A + C. Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp 
các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB. CMR R1 R3 < R2 R4. 
Bài 5 
1) Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 1 xycos cos cos ( )
2 z
yz zx
x A y B z C
x y
+ + ≤ + + . 
2) Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi ∆ABC ta có 
2
1 osA+ (cosB+cosC)
2
x
c x+ ≥ . 
Bài 6 Cho n ∈N*, cho dãy gồm n số (un) cho bởi uk = n knn kn CC −+ 22 . với k = 1, 2, , n. Xét tính ñơn ñiệu của 
dãy số (un). 
 ========== HẾT ========== 
∧ ∧ ∧ ∧
Năm tháng sẽ trôi qua một cách vô vị ñối với những ai nhìn tương lai qua một cặp kính viễn 
vọng của nhà thông thái và chỉ biết hái hoa của hiện tại, nhưng ai biết sử dụng thời gian giống như một 
cái cây cứ mỗi năm cao thêm một ngấn, thì họ sẽ có hạnh phúc! 
www.VNMATH.com
UBND tØnh B¾c Ninh 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
========== 
K× thi chän häc sinh giái cÊp tØnh 
 N¨m häc 2007 – 2008 
M«n thi: To¸n THPT 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) 
Ngµy thi: 2 th¸ng 4 n¨m 2008 
============== 
C©u1(5 ®iÓm) 
 T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè : 
 f(x) = 
2a x
2a x
+
−
 chøa tËp gi¸ trÞcña hµm sè g(x) = 2
1
x 2x 4a 2+ + −
. 
C©u2(3®iÓm) 
 Gi¶i hÖ : 
 x4 – x3y+ x2y2 = 1 
 x3y – x2 + xy = -1 
C©u 3(5 ®iÓm) 
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè : 
 f ( x,y,z ) = 
yz x 1 xz y 2 xy z 3
xyz
− + − + −
 ; 
 Trªn miÒn D ={ }(x, y, z) : x 1; y 2;z 3≥ ≥ ≥ 
C©u4(3 ®iÓm) 
 Gäi V vµ S lÇn l−ît lµ thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña mét tø diÖn 
ABCD . Chøng minh r»ng : 
3
2
S
V
> 288 
C©u 5(2 ®iÓm) 
 T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh : 
 x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy 
C©u 6(2 ®iÓm) 
 T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f(x) kh¶ vi trªn kho¶ng ( -1; 1) sao cho 
 f(x) + f(y) = f
x y
1 xy
 +
 + 
 . 
=========HÕt========== 
 §Ò nµy cã 01 trang 
 Chó ý : häc sinhBæ tócTHPT kh«ng ph¶i lµm c©u 5 , 6 
 Hä vµ tªn thÝ sinh: . Sè b¸o danh: . 
§Ò chÝnh thøc 
www.VNMATH.com
Ubnd tØnh b¾c ninh 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
=================== 
®Ò chÝnh thøc 
 ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh 
N¨m häc 2008 – 2009 
M«n thi: To¸n 12 THPT 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) 
Ngµy thi: 07 th¸ng 04 n¨m 2009 
================== 
Bµi 1 (6 ®iÓm) 
 1/ So s¸nh hai sè 20092010 vµ 20102009. 
 2/ T×m giíi h¹n 
20 33
1 1lim
3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1)x x x x x x→
 
− 
+ + + + + + 
. 
Bµi 2 (4 ®iÓm) 
1/ Cho ba sè thùc kh«ng ©m x, y, z tho¶ m8n x2009 + y2009 + z
2009
 = 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt 
cña biÓu thøc F = x2 + y2 + z
2
. 
2/ Cho sè nguyªn d−¬ng n. Chøng minh r»ng 
1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1
...
C C C 2007n+
+ + + < . 
Bµi 3 (4 ®iÓm) 
H×nh chãp S.ABC cã tæng c¸c mÆt (gãc ë ®Ønh) cña tam diÖn ®Ønh S b»ng 180o vµ c¸c c¹nh 
bªn SA = SB = SC = 1. Chøng minh r»ng diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp nµy kh«ng lín 
h¬n 3 . 
Bµi 4 (4 ®iÓm) 
1/ Gäi m, n, p lµ 3 nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Chøng 
minh r»ng 
2 2 21 2 2+ 3+ - m + n + p
m n p
≤ . 
2/ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz
 + + + = +

+ + + = −
 + + + = +
. 
Bµi 5 (2 ®iÓm) 
1/ Chøng minh r»ng bèn ®−êng trßn cã c¸c ®−êng kÝnh lµ bèn c¹nh cña mét tø gi¸c låi th× 
phñ kÝn miÒn tø gi¸c ®ã. 
2/ Cho y = a0x + a1x
3 + a2x
5
 +  + anx
2n+1
 +  tho¶ m8n (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). 
T×m c¸c hÖ sè a0, a1, a2, , an. 
===== HÕt ===== 
www.VNMATH.com
UBND TØNH B¾C NINH 
Së gi¸o dôc Vµ §µo t¹o 
 ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh 
N¨m häc: 2009-2010 
m«n thi: to¸n – líp 12 – thpt 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót ( kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
 Ngµy thi 14 th¸ng 4 n¨m 2010 
C©u 1 (3,0 ®iÓm) 
1/ Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
sin x sin 2x sin 3x 3
cos x cos 2x cos3x
− +
=
− +
2/ Cho bÊt ph−¬ng tr×nh: 
2
5 5 5log (5 x ) log x log (25x )4 6 m.3− ≤ (víi m lµ tham sè). 
a) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ®( cho, khi m = 2. 
b) X¸c ®Þnh m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh ®( cho cã nghiÖm x > 1. 
 C©u 2 (4,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = 
2
2
x 3x 1
x 1
− +
+
1/ Chøng minh r»ng hµm sè ®( cho cã duy nhÊt ®iÓm cùc trÞ, ®ã lµ ®iÓm cùc tiÓu. 
2/ §å thÞ hµm sè ®( cho c¾t trôc hoµnh Ox t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. TÝnh 
cosin cña gãc t¹o bëi c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ t¹i B cña ®å thÞ hµm sè ®( cho (víi kÕt 
qu¶ ®−îc rót gän). 
 C©u 3 (3,0 ®iÓm) 
 1/ T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng n tho¶ m(n: 
n
0 1 n
n n n
1 1 ( 1) 1C C ... C .
2 3 n 2 42
−
− + + =
+
 2/ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
1 2
2 3
3 4
4 1
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
x x
x x
x x
x x
pi
pi
pi
pi
 =

=

=

=
 C©u 4 (6,5 ®iÓm) 
Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, víi 
AB = 1 vµ AA’ = a. 
 1/ TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn BDB’C’. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng DC’ 
vµ AC. 
2/ Khi a thay ®æi, h(y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng B’D vµ mÆt 
ph¼ng (BDC’). 
 C©u 5 (3,5 ®iÓm) 
 1/ Chøng minh r»ng víi mäi Rx ∈ ta ®Òu cã: 3 ≤ 
2 2
sin x cos x 22 2 2
+
+ ≤ 
 2/ T×m ( )2 2lim cos cos sin sin nn n
x
α α α α
→+∞
+ víi (0; )
2
pi
α ∈ . 
-------------------HÕt -------------------- 
(§Ò thi gåm 01 trang) 
Hä vµ tªn thÝ sinh:..............................................Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1:.................... 
Sè b¸o danh :......................................................Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: ................... 
§Ò chÝnh thøc 
www.VNMATH.com
ðỀ CHÍNH THỨC 
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2010 – 2011 
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT 
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao ñề) 
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011 
================ 
Câu 1:(5 ñiểm) 
1/ Cho hàm số 3y x 3x 2= − + có ñồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng 
hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các ñiểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các 
ñiểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ 
thẳng hàng. 
2/ Cho hàm số 2n 1y x 2011x 2012 (1)+= + + , chứng minh rằng với mọi số nguyên 
dương n ñồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại ñúng một ñiểm. 
Câu 2:(5 ñiểm) 
1/ Giải phương trình: ( )2 4 6 3 5 7log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈ℝ . 
2/ Giải phương trình: ( ) ( )2 21 15x 6 x x
5x 7 x 1
− − = − ∈
− −
ℝ . 
Câu 3:(3 ñiểm) 
 Kí hiệu knC là tổ hợp chập k của n phần tử ( )0 k n; k,n≤ ≤ ∈ℤ , tính tổng sau: 
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010S C 2C 3C ... 2010C 2011C= + + + + + . 
Câu 4:(5 ñiểm) 
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có ñáy ABCD là hình bình hành, 
( )AD 4a a 0= > , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm 
cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối 
chóp S.ABCD là lớn nhất. 
2/ Cho tứ diện ABCD có  0 0BAC 60 ,CAD 120= = . Gọi E là chân ñường phân giác 
trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông. 
Câu 5:(2 ñiểm) 
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 2x y+ ≤ pi . Chứng minh rằng: 
( )cos x cos y 1 cos xy+ ≤ + . 
 HẾT 
(ðề thi gồm có 01 trang) 
www.VNMATH.com