Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)

Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)
Đề 1
Bài 1: (8 điểm)
Cho parabol .
Viết phương trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm .
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 2: (4điểm)
Giải hệ phương trình:
Bài 3: (8 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.
Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.
Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.
Hết
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung
Điểm
1.
8,0
1.1
(2,0 điểm)
Phương trình đường thẳng d1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a + b, suy ra b = 1 - 2a, do đó d1: y = ax - 2a+1.
0,50
 Phương trình cho hoành độ giao điểm của d1 và (P) là:
0.50
Để d1 là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:
2,0
Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là: 
0,50
1.2
(4,0 điểm)
Phương trình đường thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là:
0,50
Phương trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
0,50
Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì cần và đủ là:
1,5
Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:
1,0
Vậy khi m thay đổi, quĩ tích của I là phần của parabol , giới hạn bởi .
0,50
1.3
(2,0 điểm)
Gọi là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P). Phương trình đường thẳng d' qua M0 và có hệ số góc k là: , đường thẳng này đi qua M0 nên , suy ra pt của d': .
0,50
Phương trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
 (**)
0,50
Để từ M0 có thể kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc tới (P) thì phương trình:
 có 2 nghiệm phân biệt và 
0,50
Vậy quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc của (P) là đường thẳng 
0,50
2.
(4,0 điểm)
(1)
1,0
Giải hệ (1) ta được: 
1,0
Giải các hệ phương trình tích, tổng: và ta có các nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
2,0
3.
8,0 
3.1
Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của By và ED. Ta có: 
 (góc có các cạnh tương ứng vuông góc)
,
Do đó:
mà By cố định, suy ra điểm I cố định.
+ Tương tự, K ccố định.
+ Vậy khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì dường thẳng ED đi qua điểm I cố định và đường thẳng GF đi qua điểm K cố định.
3,0
3.2
Suy ra quĩ tích của I là nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By, ); quĩ tích của K là nửa đường tròn đường kính AK(bên trái Ax, ).
2,0
3.3
Xét 2 tam giác BEI và BDK, ta có:
Do đó:
+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đường tròn đường kính BK.
+ Tương tự, quĩ tích của F là nửa đường tròn đường kính AI.
3,0
Đề 2
Bài 1: (7 điểm)
Giải phương trình: 	
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có:
Bài 2: (6 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 3: (7 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N. 
Chứng minh rằng tích là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
Gọi GH là dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đường kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.
Hết
Đáp án và thang điểm:
Bài 
ý
Nội dung
Điểm
1.
7,0
1.1
(2,0 điểm)
 (1)
1,0
, nên (thoả ĐK)
 là một nghiệm của phương trình (1)
, nên pt (2) 
do đó pt (2) có vô số nghiệm y (), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x ( ).
1,0
, nên pt (2), pt vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của pt (1) là: 
1,0
1.2
(3,0 điểm)
0,50
Ta có: 
0,50
Theo giả thiết: , nên:
1,0
Đẳng thức (*) được nghiệm đúng.
1,0
2.
6,0
2.1
(3,0 điểm)
 (xác định với mọi ) 
0,5
 pt (**) có nghiệm 
 để pt (**) có nghiệm thì: 
1,0
1,0
Vậy tập giá trị của y là , do đó 
0,5
2.2
(3,0 điểm)
 (***)
0,5
Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì:
 là số chính phương.
1,0
Ta có: Tổng là số chẵn, nên 
 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phương trình sau:
0,5
Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a): 
0,5
Thay các giá trị vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm nguyên (x; y) là:
0,5
3.
7,0
(4 đ)
3.1
Ta có: vì:
; chung. Suy ra:
Ta có: vì:
, . Suy ra:
Từ (1) và (2): 
1,0
Từ (4) và (5): . Từ (3) và (6): 
1,0
Đặt . Ta có: x, y không âm và: 
Dấu "=" xẩy ra khi: 
1,0
Vậy: Tổng 
Û E là trung điểm của dây cung .
1,0
3.2
(3,0 điểm)
 có cạnh GH cố định, nên chu vi của nó lớn nhất khi tổng lớn nhất.
Trên tia đối của tia KG lấy điểm N sao cho KN = KH. Khi đó, cân tại K. Suy ra và 
mà (góc nội tiếp chắn cung nhỏ cố định), do đó không đổi. Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dưới góc không đổi.
1,5
GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đường kính của cung tròn, suy ra vuông tại H, do đó (vì lần lượt phụ với hai góc bằng nhau). Khi đó, K là trung điểm của cung lớn .
Vậy: Chu vi của lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn .
1,5
Đề 3
Bài 1: (8 điểm)
Cho phương trình .
Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thoả mãn hệ thức .
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của để nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: (4điểm)
Giải phương trình: (2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có ( là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó. 
 Hết
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung
Điểm
1.
8,0
1.1
(2,0 điểm)
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, cần và đủ là:
0.5
1.5
1.2
(3,0 điểm)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt (*)
0,50
0,50
0,5
0,5
Ta có: 
 và 
0,5
Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán: 
0,5
1.3
(3,0 điểm)
Phương trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi:
0,50
Khi đó 2 nghiệm của phương trình là: 
0,50
Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm dương của phương trình là . Suy ra: 
0,50
Theo bất đẳng thức Cô-si: 
0,50
Suy ra: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi: .
0,5
Vậy nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất là 
0,5
2.
(4,0 điểm)
 (2)
 (3)
0,5
1,0
Giải phương trỡnh theo t, ta cú:
 (loại); 
. Suy ra nghiệm của (3) là .
1,0
Giải phương trình 
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
1,0
0,5
3.
8,0 
3.1
+ Đặt .
Ta có:
.
Suy ra diện tích của MNPQ là:
2,0
+ Ta có bất đẳng thức: 
áp dụng, ta có: . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi: .
Suy ra: .
Vậy: khi hay M là trung điểm của cạnh AC.
2,0
3.2
+ Giả sử đã dựng được hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'.
 Dựng hình chữ nhật:
 E'F'G'H' .
Ta có: E'F'//EF và F'G'//FG, nên:
. Do đó E'F'G'H' là hình vuông.
1,0
+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông.
1,0
+ Ta có: ; 
.
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F duy nhất.
Trường hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở trên cạnh BC, lý luận tương tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.
1,0
+ Đặt . Ta có ; 
EFGH là hình vuông, nên 
Suy ra diện tích hình vuông EFGH là: 
1,0
Đề 4
Bài 1: (7 điểm)
Giải hệ phương trình: 	
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:
	Thì 
Bài 2: (6 điểm)
Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.
A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia ?
Bài 3: (7 điểm)
Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Đường tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD. Đường tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O1). Tính bán kính của các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R.
Hết
Đáp án và thang điểm:
Bài 
ý
Nội dung
Điểm
1.
7,0
1.1
(4,0 điểm)
. Điều kiện để hệ có nghiệm là: (*)
0,5
Với điều kiện (*), ta có: 
1,0
(vì nên ).
1,0
Thay vào (a): 
vì .
So với điều kiện (*), ta có: .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : 
1,5
1.2
(3,0 điểm)
Điều kiện: 
0,50
Ta có
0,50
Suy ra: 
Do đó: 
1,0
1,0
2.
6,0
2.1
(4,0 điểm)
Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng 
0,5
, nên k chỉ gồm 2 chữ số: 
.
1,0
Nếu y lẻ: . Khi đó có chữ số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của phải là số chẵn khác với 1; 5; 9, do đó S không thể là .
1,0
Nếu y chẵn: 
Với y = 0: chỉ có thể là 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả điều kiện bài toán.
Với y = 2: . Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng chục của k2 mới là 4, suy ra .
Với y = 4; 6: , khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là .
Với y = 8: y2 = 64; , khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì chữ số hàng chục của k2 mới bằng 4, suy ra hoặc (không thoả điều kiện bài toán).
Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh và diện tích .
0,5 
0,5
0,5
2.2
(2,0 điểm)
Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C:
Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu như thế thì C là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C là phái nữ. Mặt khác, con gái của B không thể là C nên phải là A, do đó A là phái nữ. Vậy B khác giới tính với hai người còn lại là A và C (cùng là phái nữ).
1,0
Nếu C là cha của A thì C chỉ có thể là song sinh với B, theo giả thiết B phải là phái nữ. Mặt khác, con gái  ... C ~ ∆AEF
H cỏch đều cỏc cạnh của tam giỏc DDEF
Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng
Bài 6 (1đ). Giải bất phương trỡnh 
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Gợi ý đỏp ỏn
Điểm
Bài 1a)
 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49
=(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)
(1 đ)
(1đ)
Bài 1b)
x2+7x+10 =x2+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(1đ)
(1đ)
Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A cú nghĩa là 
x ≠5và x ≠2
(0,5đ)
(2đ)
2b), với x nguyờn, A nguyờn khi và chỉ khi nguyờn, khi đú x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
(1,5đ)
Bài 3a) Ta xột cỏc trường hợp sau
TH1: 
Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xột vậy nú là nghiệm của phương trỡnh.
TH2:
Ta thấy x=0,2 khụng thuộc khoảng đang xột vậy nú khụng là nghiệm của phương trỡnh.
Kết luận phương trỡnh cú nghiệm x=3.
(1đ)
(1đ)
Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 Ûx2-25=(2x+3)(x+5)
Û(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) Û(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0
Û(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 Û(x+5)(-x-8)=0 Û x-5=0 hoặc x+8 =0 Û x=-5 hoặc x=-8
(2đ)
Bài 4a) Ta cú BG ^AB, CH ^AB, nờn BG //CH,
 tương tự: BH ^AC, CG ^AC, nờn BH//CG.tứ giỏc BGCH cú cỏc cặp cạnh đối sụng song nờn nú là hỡnh bỡnh hành. Do đú hai đường chộo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của BC.
(2đ)
4b) Do BE và CF là cỏc đường cao của tam giỏc ABC nờn cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng. Hai tam giỏc vuụng ABE và ACF cú chung gúc A nờn chỳng đồng dạng. Từ đõy suy ra 
Hai tam giỏc ABC và AEF cú gúc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF.
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DECị.
(1,5đ)
4d) Ta cú 
Suy ra DH là tia phõn giỏc gúc EDF. Chứng minh tương tự ta cú FH là tia phõn giỏc gúc EFD. Từ đõy suy ra H là giao điểm ba đường phõn giỏc tam giỏc DEF. Vậy H cỏc đều ba cạnh của tam giỏc DEF.
(1đ)
Bài 5) Ta cú
 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy]= x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 
= 
= dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện , bất phương trỡnh 	
Hoặc biểu diễn trờn trục số : 
1đ
Trong từng phần, từng cõu, nếu thớ sinh làm cỏch khỏc nhưng vẫn cho kết quả đỳng, hợp logic thỡ vẫn cho điểm tối đa của phần, cõu tương ứng.
HẾT
De 8
Bài 1: a) Giải phương trỡnh: .
 b) Tỡm x, y thoả món:.
Bài 2. Rỳt gọn .
Bài 3. Tỡm GTNN (nếu cú) của cỏc biểu thức sau:
.
.
Bài 4. Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB. Trờn đường kớnh AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khỏc A và B) trờn (O); cỏc đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.
Chứng minh tứ giỏc DHEF nội tiếp được.
Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường trũn (O).
.................................................
ĐÁP ÁN
Bài 1: a) .
 (vỡ ).
b) 
Bài 2..
Bài 3. 
Vậy, Pmin=8 khi 
Vậy, Qmin=2006 khi 
Bài 4.
a) Ta cú: 
mà nội tiếp được.
 b) Từ cõu a suy ra 
 mà nội tiếp được
 . Vậy CE là tiếp tuyến của (O).
De 9
Baỡi 1 (2 õióứm): Cho bióứu thổùc 
a) Phỏn tờch A thaỡnh nhỏn tổớ.
b) Tỗm càỷp sọỳ x, y thoaớ maợn õióửu kióỷn y - x = õọửng thồỡi A = 0
Baỡi 2 (2 õióứm):
	Cho bióứu thổùc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 vồùi x, y, z, t laỡ caùc sọỳ nguyón khọng ỏm. Tỗm caùc giaù trở cuớa x, y, z, t õóứ bióứu thổùc M coù giaù trở nhoớ nhỏỳt thoaớ maợn õióửu kióỷn:
	2x2 - 2y2 + 5t2 = 30
	x2 + 8y2 + 9z2 = 168
Baỡi 3 (2 õióứm):
	Cho haỡm sọỳ f(x) = 	(x ẻ R)
a) Chổùng minh ràũng vồùi hai giaù trở x1 , x2 tuyỡ yù cuớa x sao cho 1≤ x1< x2 thỗ f(x1) < f(x2) 
b) Vồùi giaù trở naỡo cuớa x thỗ 
Baỡi 4 (4 õióứm):
	Cho tam giaùc cỏn ABC (AB = AC), õổồỡng cao AH. Trón caỷnh BC lỏỳy 2 õióứm M vaỡ E sao cho ME = BC (BM < BE). Qua M keớ õổồỡng thàúng vuọng goùc vồùi BC càừt AB taỷi D. Qua E keớ õổồỡng thàúng vuọng goùc vồùi DE càừt õổồỡng thàúng AH taỷi N.
a) Chổùng minh: BM . BH = MD . HN
b) Chổùng toớ N laỡ mọỹt õióứm cọỳ õởnh.
c) Bióỳt AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tờnh khoaớng caùch giổợa tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp vaỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp cuớa tam giaùc ABC.
HặÅẽNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃệ THI HOĩC SINH GIOÍI NÀM 2006-2007
Mọn: Toaùn - Lồùp 9
Baỡi 1(2 õióứm)
a) (1 õióứm)
 (0,5 õ)
 (0,5 õ)
b) (1 õióứm)
	 	hoàỷc	 	hoàỷc	
Û
Û
Û
* 	 
Û
Û
* 
Û
Û
* 
hoặc
hoặc
Û
Û
Vỏỷy coù 3 càỷp sọỳ thoớa maợn õióửu kióỷn A = 0 vaỡ laỡ:
 (; ) ; (x = ; y = ) vaỡ (; )
Baỡi 2 (2 õióứm)
	Tổỡ 	2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaỡ x2 + 8y2 + 9z2 = 168
	Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198
	 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2
 3M = 198 + 7t2
	Giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66 khi t = 0
	Do õoù: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaỡ x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2)
	Tổỡ (1) ị (x + y)(x - y ) = 15 
	Vỗ x, y laỡ caùc sọỳ nguyón khọng ỏm, nón x + y = 15 vaỡ x - y = 1 (3)
	Hoàỷc: x + y = 5 vaỡ x - y = 3 (4)
	Tổỡ (3) ị x = 8, y = 7, caùc giaù trở naỡy khọng thoớa (2)
	Tổỡ (4) ị x = 4, y = 1. Thay vaỡo (2) ta coù:
	 16 + 8 + 9z2 = 168
 9z2 = 144
 z2 = 16
 z = 4 (z = - 4 loaỷi)
	Vỏỷỷy giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = 0
Baỡi 3 (2 õióứm) 
a) 1 õióứm
- Vồùi x1 = 1, x2 >1 thỗ f(x1) = 0, f(x2) > 0 nón f(x1) < f(x2) 
- Nóỳu x ạ 1, ta coù 
Vồùi 1 
Do õoù: < hay f(x1) < f(x2) 
Vỏỷy vồùi 1Ê x1 < x2 	 thỗ f(x1) < f(x2) 
b) 1 õióứm 
f(x) > > > > 0
	 Û x (x - 2) > 0 Û x > 2 hoàỷc x < 0 (1) 
 f(x) <Û< Û 4x2 - 8x + 4 < 3x2 - 6x + 6
	 Û x2 - 2x - 2 < 0 Û (x - 1)2 - 3 < 0 Û (x -1 + ) (x - 1 - ) < 0
	 Û 1 - < x < 1 + (2)
	Tổỡ (1) vaỡ (2) suy ra < f(x) < Û 1 - < x < 0 hoàỷc 2 < x < 1 + 
Baỡi 4 (4 õióứm)
 A
 D
a) Xeùt D MDE vaỡ D HEN coù:
 = = 900
 = (goùc coù caỷnh tổồng ổùng vuọng goùc)
nón DMDE ∾ DHEN , suy ra: 
Hay MD.HN = HE.ME
Do BH = ME () nón BM = HE
Do õoù: MD.HN = BM.BH (1)
b) 	Tổỡ (1) ị (2)
DABH coù MD//AH nón (3)
Tổỡ (2) vaỡ (3) ị ị 
N ẻ AH cọỳ õởnh vaỡ HN khọng thay õọứi nón N laỡ õióứm cọỳ õởnh.
c)	
 A
K
I
 P 
 B H C
BC = 6cm ị BH = 3cm
DAHB () coù AH2 = AB2 - BH2
 = 52 - 32 = 16 = 42
 ị AH = 4cm
Goỹi K laỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp ABC, thỗ BK laỡ phỏn giaùc cuớa vaỡ K AH.
 Do õoù: 
Suy ra: 
 KH = 1,5cm
 KA = 2,5cm
Goỹi I laỡ tỏm dổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp DABC thỗ IP laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa caỷnh AB vaỡ I AH nón .
DABH () coù cos ()
DAPI () coù cos ()ị
	Do õoù KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)
Vỏỷy khoaớng caùch giổợa tỏm õổồỡng troỡn ngoỹai tióỳp vaỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp cuớa tam giaùc ABC laỡ 0,625cm.
Đề 10
Bài 1: (2 điểm) 
Rỳt gọn biểu thức
 với x > 0, y > 0
Bài 2: (4 điểm) 
a. Xỏc định m để phương trỡnh sau vụ nghiệm
b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2.
Bài 3: (2 điểm)
Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị. Biết rằng :
a. Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Phỏp, Việt.
b. Người 1 biết tiếng Nga, khụng biết tiếng Phỏp.
c. Người 2 biết tiếng Anh, khụng biết tiếng Phỏp và phải phiờn dịch cho người 1 và người 3.
d. Người 4 khụng biết tiếng Nga, khụng biết tiếng Việt nhưng núi chuyện trực tiếp được với người 1.
Hỏi mỗi người biết cỏc thứ tiếng nào ?
Bài 4: (4 điểm) 
a. Cho a ³ b, x ³ y. Chứng minh (a + b) (x + y) Ê 2(ax + by) (1)
b. Cho a + b ³ 2. Chứng minh a2006 + b2006 Ê a2007 + b2007	(2)
Bài 5: (8 điểm) 
Cho đoạn thẳng AB = a .
a. Nờu cỏch dựng và dựng ABC sao cho và trực tõm H của ABC là trung điểm của đường cao BD. 	(2 điểm)
b. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp ABC, vẽ đường kớnh AG, HG cắt BC tại K. Chứng minh OKBC.	(2 điểm)
c. Chứng minh cõn và tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC theo a.	(2 điểm)
d. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo a.	(2 điểm)
De 11 
Cõu 1/ (1đ) Cho x = .Chứng minh rằng x là một số nguyờn . 
Cõu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . 
Chứng minh rằng : .
Cõu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c cú nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) cũng cú nghiệm dương x = n và thỏa món m + .
Cõu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) cú phương trỡnh :
(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . 
Tỡm m để khoảng cỏch từ điểm O đến đường thẳng d(m) cú giỏ trị lớn nhất . Xỏc định đường thẳng đú .
Cõu 5/ (4đ) Cho hai đường trũn đồng tõm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường trũn (O; r) , trong đú A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AE cắt đường trũn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 khụng phụ thuộc vị trớ điểm A .
b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trờn đường trũn (O; r) và A≠ E thỡ đường thẳng CM luụn đi qua một điểm cố định ( gọi tờn điểm cố định là K ) .
c/ (1đ) Trờn tia AK đặt một điểm H sao cho AH = AK . Khi A di động trờn đường trũn (O;r) thỡ điểm H di động trờn đường nào ? Chứng minh nhận xột đú ?
 Đỏp ỏn và biểu điểm chấm Toỏn 9
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu1
(1đ)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Cõu 2
 (1,5đ)
 Từ đẳng thức với điều kiện do đề bài đó cho suy ra :
 (1)
 (2)
 (2) (3)
 Từ (3) 
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
Cõu 3
(1,5đ)
Ta cú : x = m là nghiệm của đa thức f(x)= ax2 + bx + c
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25
Cõu 4
(2đ)
Nếu m =1 thỡ d(1) là đường thẳng y= -1 nờn khoảng cỏch từ O đến d(1) là 1
Nếu m =2 thỡ d(2) là đường thẳng x = 1 nờn khoảng cỏch từ O đến d(2) là 1 
 (1)
Nếu m ≠1 và m≠ 2 thỡ d(m) cắt trục hoành tại Avà cắt trục tung tại BGọi OH là khoảng cỏch từ O đến đường thẳng AB ta cú :
Từ (1) và (2) và do 1 < suy ra khoảng cỏch lớn nhất từ O đến d(m) là
 Khi đú đường thẳng d cú cụng thức là x - y- 2 = 0 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Cõu 5
Cõu a (1,5đ) 
Cõu b (1,5đ)
Cõu c
 (1đ)
Gọi G là trung điểm BC thỡ OGBC (đl) suy ra 
 GB = GC và GE = GD (đl) 
và OG là đường trung bỡnh ADE nờn OG=AE hay AE = 2OG 
Ta cú EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 
Suy ra EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) 
Áp dụng định lý Pi ta go vào cỏc tam giỏc vuụng OGE và OGB ta cú :
OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2 
Do đú EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2)
 = 2R2 +2r2 ( khụng đổi)
Trường hợp đặc biệt :
Thỡ chứng minh trờn vẫn đỳng
Hai tam giỏc ABC và ADE cú chung trung tuyến AG nờn cú chung trọng tõm 
Mà tam giỏc ADE cú trung tuyến OE cố định , 
Nờn điểm cố định K mà trung tuyến CM của ABC đi qua chớnh là trọng tõm của ADE
Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tõm ADE và AH AK nờn H trựng với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC ) 
Mà vuụng tại E ( chứng minh trờn) , O,E cố định (theo gt) )
 Vậy khi A di động trờn đường trũn (O; r) thỡ H di động trờn đường trũn đường kớnh OE 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
De 12
Bài 1: (3 điểm)
a. Cho n là một số nguyờn dương. Hóy so sỏnh:
 và 
b. Tớnh:
Bài 2: (3 điểm) 
Chứng minh rằng:
 với và 
Bài 3: (4 điểm) 
Cho đường trũn tõm O cú 2 đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Đường thẳng CN cắt (O) tại I. 
Chứng minh .