Một số dạng toán về số phức

Một số dạng toán về số phức

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức

Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn z3 = 18 + 26i

pdf 12 trang Người đăng ngochoa2017 Lượt xem 1114Lượt tải 1 Download
Bạn đang xem tài liệu "Một số dạng toán về số phức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 1 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 
I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 
Dạng 1) Bài toán liên quan đến biến đổi số phức 
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26z i= + 
Giải: 
3 18 26z i= + ( ) ( ) ( )3 23 2 3 3 22 33 1818 26 18 3 26 33 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y
 − =
⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −
− =
Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được 1 3, 1
3
t x y= ⇒ = = . Vậy z=3+i 
Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2;z z thoả mãn 1 2 1 2; 3z z z z= + = Tính 1 2z z− 
Giải: 
Đặt 1 1 1 2 2 2;z a b i z a b i= + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b
 + = + =

+ + + =
( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1a b a b a a b b z z⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = 
Dạng 2) Bài toán liên quan đến nghiệm phức 
Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2 8(1 ) 63 16 0z i z i− − + − = 
Giải: Ta có ( )22' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8i i i i∆ = − − − = − − = − Từ đó tìm ra 2 nghiệm là 
1 25 12 , 3 4z i z i= − = + 
Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − = 
Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 
z1 = i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−−
=
+
−
=
+
+−
z2 = i
ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=
−−
=
+
−
=
+
−−
Ví dụ 3) Giải phương trình 3 29 14 5 0z z z− + − = 
Giải: Ta có phương trình tương đương với ( )( )22 1 4 5 0z z z− − + = . Từ đó ta suy ra 
phương trình có 3 nghiệm là 1 2 3
1
; 2 ; 2
2
z z i z i= = − = + 
Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 22 5 3 3 (2 1) 0z z z z i− + + + + = biết phương trình có 
nghiệm thực 
Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên 
3 22 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z
 − + + =

+ =
1
2
z
−
⇒ = thoả mãn cả 
hai phương trình của hệ:Phương trình đã cho tương đương với 
( ) ( )22 1 3 3 0z z z i+ − + + = . Giải phương trình ta tìm được 1 ; 2 ; 12z z i z i= − = − = + 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 2 
Ví dụ 5) Giải phương trình: 3 2(1 2 ) (1 ) 2 0z i z i z i+ − + − − = biết phương trình có 
nghiệm thuần ảo: 
Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có 
( ) ( )3 2 2 3 2(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0bi i bi i bi i b b b b b i+ − + − − = ⇔ − + − + + − = 
2
3 2
0
1
2 2 0
b b
b z i
b b b
 − =
⇔ ⇒ = ⇒ =
− + + − =
 là nghiệm, từ đó ta có phương trình tương 
đương với ( )( )2 (1 ) 2 0z i z i z− + − + = . Giải pt này ta sẽ tìm được các nghiệm 
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: 2z z= . 
Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( )2a bi a bi+ = + 
2 2
2
a b a
ab b
 − =
⇔ 
= −
 Giải hệ trên ta tìm được 1 3( , ) (0;0), (1;0), ( ; )
2 2
a b = − ± . Vậy phương 
trình có 4 nghiệm là 1 30; 1;
2 2
z z z i= = = − ± 
Dạng 3) Các bài toán liên quan đến modun của số phức: 
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 
1 2 2z i z i+ − = − + và 5z i− = 
Giải: 
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có 
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −

+ − =
( )
( )
2 2 2 2
22
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y
x y
 + + − = − + −
⇔ 
+ − =
2
3
10 6 4 0
y x
x x
=
⇔ 
− − =
1, 3x y⇔ = = hoặc 
2 6
,
5 5
x y= − = − . Vậy có 2 số phức thoả mãn điều kiện. 
Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −
a) Tìm m để 1.
2
z z = 
b)Tìm m để 1
4
z i− ≤ 
c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. 
Giải: 
a) Ta có 
( )( )
( )( ) ( )
2 2 2 2
22 2 2 2 2
1 2 (1 ) 2 (1 2 )
1 2 1 2 1 2 1 4
i m m mii m m m m m m
z
m mi m mi m mi m m
− − −
− − − + + − +
= = =
− +
− + − −
− +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 3 
( )
2 2
2 2 2 2 22
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 11
m m i m m mi z i
m m m mm
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + ++
( )
2
2
22
1 1 1
. 1 2 1
2 21
m
z z m m
m
+
⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+
b) Ta có 
2
2 2 2 2
1 1 1 11
4 1 1 4 1 1 4
m m m
z i i i
m m m m
 
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ + + + + 
⇔ 
2 4 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 116 1(1 ) (1 ) 16 1 6 15 15
m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤
+ + +
c) Ta có ( )
2
max2 22
1 1 1 | | 1 0
11
m
z z m
mm
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
++
Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 4 5z i− − = Tìm số phức z có 
modun lớn nhất, nhỏ nhất. 
Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( )2 22 4 5x y− + − = Suy ra tập hợp 
điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4) bán kính 5R = 
Dễ dàng có được (2 5 sin ;4 5 cos )M α α+ + . Modun số phức z chính là độ dài véc tơ 
OM. 
Ta có |z|2= 2 2 2(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )OM α α α α= + + + = + + 
Theo BDT Bunhiacopxki ta có ( )2 2 2(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5α α α α+ ≤ + + = 
5 sin 2cos 5α α⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5z⇒ ≤ ≤ . Vậy 
min
1 2| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z iα α α α− −= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5
z x y z iα α α α= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn điều kiện 2 4 2z i z i− − = − .Tìm số phức z có 
moodun nhỏ nhất. 
Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra 
( ) ( ) ( )2 2 222 4 2 4 0x y x y x y− + − = + − ⇔ + − = Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn 
số phức z là đường thẳng y=-x+4 
Ta có 2 2 2 2 2 2(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ đó suy 
min 2 2 2 2 2 2z x y z i= ⇔ = ⇒ = ⇒ = + 
Dạng 4) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 
Ví dụ 1) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: 
a) 3z
z i
=
−
 b) 3 4z z i= − + c) 4z i z i− + + = 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 4 
Giải: 
Gọi z=x+yi 
a) Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 29 93 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − = 
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm 9 3(0; ),
8 8
I R = 
b) Từ giả thiết ta có ( )22 2 23 (4 ) 6 8 25x y x y x y+ = − + − ⇔ + = . Vậy tập hợp các điểm 
M là đường thẳng 6x+8y-25=0 
c) Giả sử z =x+yi thì 4z i z i− + + = ( ) ( )2 22 21 1 4x y x y⇔ + − + + + = ⇔ 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
22 22
22 2 2 22 2 2
1 161 4
2 1 41 16 8 1 1
x yx y
x y yx y x y x y
  + + ≤+ + ≤ 
⇔ ⇔ 
+ − = + + − = − + + + + + 
( ) ( )
22
22
2 2
2 2 2
1 16(1)1 16
4 4 8 4 8 16 1(2)
3 4
4 4(3)
x y
x y
x y
x y y y y
y y
 + + ≤ + + ≤ 
 
⇔ + + + = + + ⇔ + = 
 ≥ − ≥ − 

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung độ các điểm nằm trên (Elip) 
luôn thoả mãn điều kiện y >-4. Vậy tập hợp điểm M là Elip có pt 
2 2
1
3 4
x y
+ = . 
Ví dụ 2) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số 
phức ( )1 3 2i zω = + + biết rằng số phức z thoả mãn: 1z − ≤ 2. 
Giải: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ 
Ta có 1z − ≤ 2 ( )2 21 4a b⇔ − + ≤ (1) 
Từ 
( ) ( )( ) 3 2 3 1 31 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b
i z x yi i a bi
y a b y a b
ω
 = − + − = − + 
= + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔ 
= + − = − +  
Từ đó ( ) ( ) ( )22 2 23 3 4 1 16x y a b − + − ≤ − + ≤  do (1) 
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn ( ) ( )223 3 16x y− + − ≤ ; tâm ( )3; 3I , bán 
kính R=4. 
Ví dụ 3) Xác định tập hợp các điểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số 
phức z sao cho số 2
2
z
z
−
+
 có acgumen bằng 
3
pi
. 
Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 5 
Giả sử z=x+yi, thì ( )( )
( ) ( )
( )2 2
2 222
2 2 2
x yi x yix yiz
z x yi x y
− + + +   
− +
−    
= =
+ + + + +
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 22 2 2
4 2 2 4 4
2 2 2
x y yi x x x y y i
x y x y x y
− + + + − + + −
= = +
+ + − + − +
 (1) 
Vì số phức 2
2
z
z
−
+
 có acgumen bằng 
3
pi
, nên ta có: 
( ) ( )
2 2
2 22 2
4 4
cos sin
3 32 2
x y y i i
x y x y
pi pi
τ
+ −  
+ = + 
 − + − +
 với 0τ > 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4
22
4 3
22
x y
x y
y
x y
τ
τ
 + −
=
− +
⇒ 

=

− +
 Từ đó suy ra y>0 (1) và 
2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 43 4 (2)
4 3 3 3
y y
x y x y
x y
   
= ⇔ + − = ⇔ + − =   + −    
.Từ (1) và (2) suy ra 
tập hợp các điểm M là đường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). 
Dạng 5) Chứng minh bất đẳng thức: 
Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu 1z ≤ thì 2 1 1
2
z
iz
− ≤
+
Giải: 
Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì 2 2 2 21 1z a b a b= + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có 
2 2
2 2
4 (2 1)2 1 2 (2 1)
2 (2 ) (2 )
a bz a b i
iz b ai b a
+ −− + −
= =
+ − +
− +
.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 
với 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 (2 1) 1 4 (2 1) (2 ) 1
(2 )
a b
a b b a a b dpcm
b a
+ −
≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒
− +
Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn điều kiện 3 3
1 2z
z
+ ≤ . Chứng minh 
rằng: 1 2z
z
+ ≤ 
Giải: Dễ dàng chứng minh được với 2 số phức 1 2,z z bất kỳ ta có 1 2 1 2z z z z+ ≤ + 
Ta có 
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 13 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   
+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +   
   
Đặt 
1
z
z
+ =a ta có ( ) ( )23 3 2 0 2 1 0a a a a dpcm− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 6 
II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 
Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC 
Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: 
a) ( )1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
 b) ( ) ( )1 cos sin 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +   
Giải: 
a) ( ) ( )( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −
=
+ + + +
2
2
2sin 2 sin cos sin cos
2 2 2 2 2tan tan
2 22cos 2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2
i i
i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
= = = −
+ +
- Khi tan 0
2
ϕ
> dạng lượng giác là: tan cos sin
2 2 2
iϕ pi pi    − + −    
    
- Khi tan 0
2
ϕ
< dạng lượng giác là: tan cos sin
2 2 2
iϕ pi pi    − +    
    
- Khi tan 0
2
ϕ
= thì không có dạng lượng giác. 
( ) ( )) 1 cos sin 1 cos sin
2sin sin cos .cos cos sin
2 2 2 2 2 2
b i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +  
   
= − +   
   
2sin cos isin
2 2
pi piϕ ϕ ϕ    = − + −    
    
- Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác định. 
- Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + −    
    
- Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là: ( 2sin ) cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + + +    
    
Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: 
a) ( )1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
 b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + + 
Giải: 
a) ( )
2
sin cos1 cos sin 1 cos sin 2 2tan tan
1 cos sin 2 22cos 2 sin .cos cos sin
2 2 2 2 2
ii i i
i i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ
−
− +
− −
= = = −
+ + + −
Khi tan
2
ϕ
>0 thì dạng lượng giác là tan
2
ϕ
cos sin
2 2
ipi pi    − + −    
    
TEL:0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 7 
Khi tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là - tan
2
ϕ
cos sin
2 2
ipi pi    +    
    
Khi tan
2
ϕ
=0 thì không tồn tại dạng lượng giác. 
b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + + 
2sin sin cos .2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2sin cos sin
2 2
i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
pi piϕ ϕ ϕ
   
= − +   
   
    
= − + −    
    
- Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác định 
- Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + −    
    
- Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là: ( )2sin cos sin
2 2
ipi piϕ ϕ ϕ    − + + +    
    
Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN 
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết 2 2 2 3z i= − + 
Giải: Ta có: 2 2 2 22 2 3 4 co s sin
3 3
z i z ipi pi = − + ⇔ = + 
 
Do đó: 2 2 2 22 2 3 4 cos sin
3 3
z i z ipi pi = − + ⇔ = + 
 
2 22 cos sin
1 33 3
1 32 cos sin
3 3
z i
z i
z iz i
pi pi
pi pi
  
= +   = + ⇔ ⇔ 
   = − −
= − +  
 
Từ đó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và 3− 
Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: ( )1 3z i− + biết một acgumen của z 
bằng
3
pi
Giải: z có một acgumen bằng
3
pi
 nên 1 3
2 2
z z i
 
= +  
 
Do đó: ( )1 3z i− + = 1 3( 2) 2 2z i
 
− +  
 
- Khi 2z > , một aacgumen của ( )1 3z i− + là 3pi 
- Khi 0 2z< < , một acgumen của ( )1 3z i− + là 43pi 
TEL:0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 8 
- Khi 2z = thì ( )1 3z i− + =0 nên acgumen không xác định. 
Ví dụ 3) Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ , tìm một 
acgumen của: 
a) 22z b) 1
2z
− c) z z+ d) 2z z+ 
Giải: 
1z = , z có một acgumen là ϕ . Do đó cos sinz iϕ ϕ= + 
a) ( ) ( )2 2cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = + ⇒ = − 
Vậy 2z2 có một acgumen là 2ϕ 
b) ( )cos sin cos sin 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = − ⇒ = − 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 1
cos sin cos sin
2 22
1 1 1
cos sin cos sin
2 22
i i
z
i i
z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ pi ϕ ϕ pi
⇒ = − − − = +
⇒ − = − − = + + +
Vậy 1
2z
− có một acgumen là ϕ pi+ 
c) Ta có: 2cosz z ϕ+ = 
Nếu cos 0ϕ > thì có một acgumen là 0 
Nếu cos 0ϕ < thì có một acgumen làpi 
Nếu cos 0ϕ = thì acgumen không xác định. 
d) 2 cos 2 sin 2 , cos sinz z i z iϕ ϕ ϕ ϕ+ = + = − 
( )2 3 3cos 2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin
2 2 2 2
32cos cos sin
2 2 2
z z i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ + = + + − = +
 
= + 
 
Vậy acgumen 2z z+ là 
2
ϕ
 nếu 
3
cos 0
2
ϕ
> , là 
2
ϕ
pi+ nếu 
3
cos 0
2
ϕ
< và không xác định 
nếu 
3
cos 0
2
ϕ
= 
Ví dụ 4) Cho số phức 1 cos sin
7 7
z ipi pi= − − . Tính môđun, acgumen và viết z dưới 
dạng lượng giác. 
Giải: 
Ta có: 
2
2 8 41 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos
7 7 7 7 7
z
pi pi pi pi pi     
= − + = − = + =     
     
Đặt ( )arg zϕ = thì 
2
8
sin sin 47 7tan cot tan4 7 141 cos 2sin
7 7
pi pi
pi piϕ
pi pi
−
 
= = = = − 
 
−
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 9 
Suy ra: ,
14
k k zpiϕ pi= − + ∈ 
Vì phần thực 1 cos 0
7
pi
− > , phần ảo sin 0
7
pi
− < nên chọn một acgumen là
14
pi
− 
Vậy 42cos cos i sin
7 14 14
z
pi pi pi    
= − + −    
    
Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho 1
3
z = và một 
acgumen của 
1
z
i+
 là 3
4
pi
− 
Giải: 
Theo giả thiết 1
3
z = thì ( )1 cos sin
3
z iϕ ϕ= + 
( ) ( ) ( )( )1 1cos sin cos sin3 3z i iϕ ϕ ϕ ϕ⇒ = − = − + − 
Vì 1 21 2 2 cos sin
2 2 4 4
i i ipi pi
   
+ = + = +       
Nên 1 os sin
1 4 43 2
z
c i
i
pi piϕ ϕ    = − − + − −    +     
Do đó: 3 2 2 , .
4 4 2
k k kpi pi piϕ pi ϕ pi− − = − + ⇔ = + ∈ Ζ vậy 1 os sin .
3 2 2
z c ipi pi = + 
 
Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho: 3 1z i
z i
+
=
+
 và z+1 có một ácgumen là 
6
pi
− 
Giải: Từ giả thiết 
3 1z i
z i
+
=
+
( ) ( )2 22 23 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒ + = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒ = −
z+1 có 1 acgumen bằng 
6
pi
− tức là ( )1 [ os sin ] 36 6 2z c i ipi pi ττ    + = − + − = −       với r>0. 
Ta có z+1=x+1-2i suy ra 
31 42 2 3 1 2
2 3 12
2
x
z i
x
τ
τ
τ

+ = = 
⇔ ⇒ = − − 
= −
− = −

Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP 
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1 
a) 0 2 4 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n nn n n n nS C C C C C−+ + + + += − + − + − 
b) 1 3 5 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n nn n n n nS C C C C C− ++ + + + += − + − + − 
Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 10 
Xét 
( )2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ..... ... ( .. )n n n n nn n n n n n n n n ni C iC i C i C C C C i C C C+ + + ++ + + + + + + + + ++ = + + + + = − + − + − + −
Mặt khác ta lại có: 
( ) 2 12 1 (2 1) (2 1)1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
nn n ni i i ipi pi pi pi
++ + +   
+ = + ⇒ + = +      
=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n nn n k ki ipi pi pi pi+ + + +   + = +      
3 32 2 cos sin 2 2
4 4
n n ni ipi pi = + = − +  
Từ đó ta có 
a) S=-2n 
b) S=2n 
Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau: 
a) 2 4 61 ..........
n n nS C C C= − + − + 
b) 1 3 5 7 ..........n n n nS C C C C= − + − + 
Giải: 
Xét ( ) 0 1 2 2 2 4 1 3 5 71 ..... 1 ... ( ....)n n nn n n n n n n n n ni C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − + 
( )1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
nn n ni i i ipi pi pi pi   + = + ⇒ + = +      
Từ đó ta có kết quả 
a) 2 cos
4
n nS pi= b) 2 sin
4
n nS pi= 
Ví dụ 3) Chứng minh rằng: 3 6 11 ... 2 2cos
3 3
n
n n
nC C pi + + + = + 
 
Giải: Ta có 0 1 2 32 ....n nn n n n nC C C C C= + + + + (1) 
Xét 32 2cos sin 1
3 3
ipi piε ε= + ⇒ = 
Ta có 
( ) 0 1 2 2 0 1 2 2 3 41 ...... .....n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + (2) 
( )2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 41 ...... .....(3)n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + 
Ta có 2 21 0;1 os sin ;1 os sin
3 3 3 3
c i c ipi pi pi piε ε ε ε+ + = + = − + = + 
Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có 
( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 6 0 3 62 1 1 3 ... 2 2cos 3 ...3
nnn n
n n n n n n
nC C C C C Cpiε ε+ + + + = + + + ⇔ + = + + + 
3 6 11 ... 2 2cos
3 3
n
n n
nC C pi ⇔ + + + = + 
 
TEL:0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 11 
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1) Giải phương trình sau trên tập số phức: 
3)a z z= ) 3 4b z z i+ = + ( )22) 4 3c z z i− = 2) 2 1 0d z z i+ + − = 
2) 4 5 0e z z+ + = 2)(1 ) 2 11 0f i z i+ + + = 2) 2( ) 4 0g z z z− + + = 
2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình: 
) 1 4 2 5xa i −+ − ≤ 2
1 7) log 1
4
ib x+ − ≤ 2
1 2 2)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥ 
− 
3) Tìm số phức z sao cho ( 2)( )A z z i= − + là số thực 
4) Tìm số phức z thoả mãn điều kiện 75;
1
z i
z
z
+
=
+
 là số thực 
5) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 
điều kiện 
( )22) 9a z z− = 2) 4
2
z ib
z i
−
=
+
 )3 3c z i z z i+ = + − ) 3 4 2d z i+ − = ) 1e z z i+ ≥ + 
) 4 3f z z i= + − 2) 1
2
z ig
z i
−
>
+
 )2 2h z i z z i− = − + 1
3
2 2) log ( ) 1
4 2 1
z
k
z
− +
>
− −
6) Trong các số phức thoả mãn điều kiện 32 3
2
z i− + = . Tìm số phức z có modun lớn 
nhất,nhỏ nhất. 
7) Tìm số phức z thoả mãn điều kiện ( ) ( )1 2z z i− + là số thực và z nhỏ nhất. 
8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z z i z+ = 
9) Tìm số phức z thoả mãn 2 2z z+ = và 2z = 
10) Giải hệ pt sau trong tập số phức: 
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z
 − = − +

− =
1 2
1 2
3
) 1 1 3
5
z z i
b i
z z
+ = −

+ + =

2
1 2
2
2 1
1 0)
1 0
z z
c
z z
 − + =

− + =
12 5
8 3)
4 1
8
z
z id
z
z
 −
=
−

−
=

−
3 2
2010 2011
2 2 1 0)
1 0
z z z
e
z z
 + + + =

+ + =
11) Cho phương trình 3 22 (2 1) (9 1) 5 0z i z i z i− + + − + = có nghiệm 
thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. 
12) Tìm phần thực phần ảo của 20112011
1
w
w
z = + biết 1 w 1
w
+ = 
13) Tìm n nguyên dương để các số phức sau là số thực, số ảo: 
2 6)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=   + 
4 6)
1 5
nib z
i
+ 
=  
− + 
7 4)
4 3
ni
c z
i
+ 
=  
− 
3 3)
3 3
id z
i
 
−
=   
− 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
 12 
14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng 
( )0 2 4 6 2 22 2 2 2 2 23 9 27 ..... 3 2 cos 3
n n n
n n n n n
nC C C C C pi− + − + + − = 
15) Tìm số phức z sao cho 2z z= − và một acgumen của z-2 bằng một acgumen 
của z+2 cộng với 
2
pi
16) Giải phương trình 
a) 2 2 00
2
tan 10 4 2
os10
z
z i
c
= + + − b) 2 2 00
2
cot 12 6 7
sin12
z
z i= + + − 
Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Tài liệu đính kèm:

  • pdfSO PHUC VA CAC BAI TOAN LIEN QUAN-2.pdf