Một số bài toán giải phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 1 
************************************************************ 
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT 
Bài số 1 : 
 a/ Giải hệ phương trình 
 Lời giải : Điều kiện 
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : 
Đặt: Ta có ( I ) 
Nhân hai phƣơng trình của hệ ( I ) vế theo vế , đƣợc: 3(3x+2y)(3x-2y) = (*) 
Kết hợp (1) với (*) Ta có 15 = Do đó t = 1Thế vào hệ ( I ) đƣợc hpt : 
 Thỏa mãn điều kiện đã nêu . 
 Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình 
 Lời giải 2: Điều kiện 
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : 
Nhân hai vế phƣơng trình (2) với và áp dụng = (Với mọi a,b,c 
dƣơng a và b ) Ta đƣợc : 
 ( Vì từ pt (1) suy ra 3x-2y = ) 
 3x+2y = 5 (2’) 
Kết hợp với phƣơng trình (1) Ta đƣợc hệ phƣơng trình : Thỏa 
mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho 
 b/ Giải hệ phương trình : 
 Lời giải : Điều kiện 
 Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với : 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 2 
 Thỏa mãn điều kiện 
 Nên là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho. 
Bài số 2 : 
 Giải hệ phương trình 
 Lời giải : Điều kiện xy . 
 = Suy ra: = 
 Phƣơng trình (1) trở thành : - - 2 = 0 Đặt t = Ta có t2 – t – 2 = 
0 t = 2 ( Loại t = - 1 ) 
Nhƣ vậy: = 2 Do đó = 1 (1’) . 
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình 
-Hệ (II) có hai nghiệm : và Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn 
điều kiện xy Nên đây là hai nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho. 
Bài số 3 : 
 Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt : 
 - - 2mx + m
2
 = 2 – x
2
 Lời giải : Viết phƣơng trình thành : 
 4. = 2. - (x – m)2 = 
 2. = (x – m)2 (*) (Chú ý : = ) 
Bài toán trở thành :Tìm giá trị của m để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt. 
-Viết phƣơng trình (*) thành : 
 2. = 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 3 
 (Đặt t = x – 1) 
Nhận thấy : Phƣơng trình ( 1 ) và phƣơng trình ( 1’) đều không thể có hai nghiệm trái dấu (Do 
các hệ số a , c cùng dấu ) Để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì : 
Không thể xẩy ra các trường hợp : 
*- Trong hai pt (1) và (1’) : một phương trình có hai nghiệm cùng dấu – cả 2 nghiệm thỏa mãn 
điều kiện ; Phương trình kia có hai nghiệm trái dấu – một nghiệm thỏa mãn điều kiện và một 
nghiệm bị loại 
**- Hai phương trình (1) và (1’) đều có hai nghiệm phân biệt , đồng thời chúng có một nghiệm 
chung 
 Do vậy mà phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt chỉ khi một trong 2 trƣờng hợp sau xẩy ra: 
-Trường hợp 1: pt (1) có hai nghiệm dƣơng phân biệt ,đồng thời pt ( 1’) có 
 nghiệm kép t0 
Điều này xẩy ra m = 
-Trường hợp 2: pt (1) có nghiệm kép dƣơng , đồng thời phƣơng trình (1’) có 2 
 nghiệm âm phân biệt 
 Điều này xẩy ra m = 
 Trả lời :Có hai giá trị của m để phƣơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là 
 m1 = và m2 = 
 (Bài kiểm tra Học Kỳ I năm học 2009-2010 Lớp 12 CB Trƣờng THPT Tân kỳ I 
 Tỉnh Nghệ an – Thầy Đặng Hữu Trung ra đề ) 
Bài số 4 : Giải và biện luận theo tham số m phƣơng trình sau : 
 (1) 
 Lời giải :Viết phƣơng trình thành dạng mới 
 Lời giải : (Cùng dạng với Bài số 3 ở trên).Ta có : = 
 x
2 
+ 2mx + m = 0 (2) 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 4 
 -Giải và biện luận phƣơng trình (1) Đƣa về giải và biện luận phƣơng trình (2). 
 *Nếu ’= m2-m < 0 Tức là 0 < m < 1 Thì phƣơng trình vô nghiệm 
 *Nếu ’= m2- m = 0 Tức là m1 = 1 m2 = 0 Thì phƣơng trình có nghiệm 
 Kép (m = 1nghiệm kép x = - 1 ; m = 0 nghiệm kép là x = 0 ) 
 *Nếu ’= m2- m > 0 Tức là : m 1 thì phƣơng trình có hai 
 nghiệm phân biệt x1 = - m - và x1 = - m + ./. 
 Bài số 5 : 
 Giải phương trình : - 
 Lời giải : Điều kiện x 
= Ta có = 
và = = . 
Do đó Phƣơng trình trở thành : = ( x2 – 1 ).Chia 2 vế cho 
đƣợc phƣơng trình: = x2 – 1 (*) 
 Điều kiện x2 – 1 , kết hợp điều kiện x .Ta suy ra điều kiện x . 
Với điều kiện x Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế phƣơng trình (*),đƣợc phƣơng trình 
tƣơng đƣơng : = = t (Đặt = t ) Thì có hpt: 
 x = 2 thỏa mãn điều kiện x . 
 Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 2 
 Bài số 6 : 
 Giải phương trình : 
 Lời giải : Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ,đƣợc = (x – 2) 
 (x – 2) = 0 
 Bài số 7 : Giải phương trình : 2. 
 Lời giải : Điều kiện 
 Đặt t = 2. Thì : (*) : 
 Thế (2) vào (1) suy ra Chia 
 hai vế phƣơng trình cho đƣợc : 
 Phƣơng trình này có nghiệm duy nhất t = - 1 (Nhẩm nghiệm ,Chứng minh 
 duy nhất – Dựa vào tính chất các hàm số liên tục ).Thế t = -1 vào hpt (*) 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 5 
 Nhƣ vậy ta có : x = , k z là nghiệm của pt 
 Bài số 8 : 
 Giải phương trình : = 1 (*) 
 Lời giải : Điều kiện - 3 và x 
 Chú ý : = 2. = - 
 Nên = = - và lại có = 
 Do đó ta có : 
 (*) - = 1 = 
 6 = (4-x)(3+x) x
2
-7x -18 = 0 x = 9 ( Loại x = -2 ) 
 Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 9 . 
 Bài số 9 : 
 Giải phƣơng trình : - = 2. 
 Lời giải : Điều kiện x > 0 , x 1 Phƣơng trình viết thành : 
 - = 2. 4.4
t
 – 6t - 18.9t = 0 .với t = .Chia 
 hai vế phƣơng trình cho 4t rồi đặt > 0 đƣợc pt : 
 X = ( Loại X = - ) Vậy = , t = -2 
 Nhƣ vậy ta có: = - 2 x = (Thỏa mãn 0 < x ). 
 Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 
 Bài số 10 : Giaỉ hệ phƣơng trình 
 với điều kiện , theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân (3) 
 Lời giải : Điều kiện x , y , z đều dƣơng và khác 1 
 Theo giả thiết theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân 
 suy ra: = = 1 = 1 suy ra y = z 
 Do đó ,ta có hệ phƣơng trình : là nghiệm hpt 
 Bài số 11 : 
 Với giá trị nào của tham số m thì phƣơng trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt : 
 = + 1 (*) 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 6 
 Lời giải : 
 Ta có + 1 = (m
2 
- 
)
2
 + 
 > 0 với mọi m , Do đó lấy lôgarit 
 cơ số hai vế của (*) thì ta có :(*) = + 1) 
 = - + 1) 
 -Gọi t (1) (Gọi cho gọn.) 
 Ta tìm giá trị của t để phƣơng trình = t Có 4 nghiệm phân biệt . 
 Sau đó, tìm đƣợc m , từ đẳng thức (1) 
 Dùng phƣơng pháp đồ thị,(chỉ cần lập bảng biến thiên,không cần vẽ đồ thị )Ta có: phƣơng 
 trình = t có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < t < 1 
 Suy ra :phƣơng trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < < 1 
 0 > > -1 1 > > 
 Giải hệ bpt này ta đƣợc những giá trị cần tìm của m. 
 Bài số 12 : 
 Giải hệ phƣơng trình 
 Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành: 
 Là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho 
 Bài số 13 : Cho phƣơng trình = 0 (1) 
 -Tìm tích các nghiệm số của phƣơng trình 
 Lời giải : Điều kiện x > 0 và x .Chuyển vế rồi lấy lôgarit cơ số 6 hai vế, 
 đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng : = 2 + . Đặt t = 
 ta có phƣơng trình bậc hai : t2 – t .( - . ) – 2 = 0 (2) 
 -Với mỗi giá trị của x > 0 , x tƣơng ứng với một giá trị t = .Và ngƣợc lại,mỗi giá 
 trị của t tƣơng ứng một giá trị x = ( Do t = ) 
 -Phƣơng trình (2) có tối đa là 2 nghiệm .Do đó phƣơng trình (1) có tối đa 2 nghiệm. 
 -Gọi : là hai nghiệm của phƣơng trình (1)thì ta có 
Mà t1 và t2 là hai nghiệm của phƣơng trình (2) nên theo Vi-et : t1 + t2 = - . 
Do đó : = . 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 7 
 Bài số 14 : Giải và biện luận theo tham số a hệ phƣơng trình: 
 Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành : 
 Theo Vi-et ta có: x , y là hai nghiệm của phƣơng trình : t2 – (1-a).t + (1-a)2 = 0 (*) 
 Phƣơng trình (*) có nghiệm khi = -(1-a)2 0 tức là khi a = 1.Với a = 0 ta có x = y = 0. 
 Trả lời :-Nếu a thì hệ phƣơng trình vô nghiệm . 
 - Nếu a = 1 hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất 
Bài số 15 : 
 Giải hệ phƣơng trình: 
 Lời giải :Điều kiện 
 Với điều kiện đã nêu hệ phƣơng trình tƣơng 
 đƣơng với với hệ phƣơng trình: 
 (Do điều kiện đã nêu: nên x-2 0) x = y 
 Vậy hệ phƣơng trình có vô số nghiệm ,công thức tổng quát của nghiệm 
 Tức là : 
 Bài số 16 : Cho hệ phƣơng trình: 
 1/ Giải hệ phƣơng trình khi m = 3 
 2/ Tìm giá trị của m sao cho hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất ? 
 Hãy xác định nghiệm duy nhất đó ? 
 Lời giải : Điều kiện xy 0 .Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 8 
 1/Với m =3 : Hệ phƣơng trình trở thành 
 -Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm t1 = và t2 = 3 
 *Với t = - Ta có : 
 *Với t = 3 Ta có : 
 Nhƣ vậy với m = 3 hệ phƣơng trình có hai nghiệm và 
 2/Xác định m để hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất : 
 Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ phƣơng trình : 
 có nghiệm duy nhất . 
 Khi và chỉ khi phƣơng trình (*) có nghiệm duy nhất .Khi và chỉ khi = 8m +25 = 0. 
 Vậy m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất 
 -Khi m = - thì phƣơng trình (*) có nghiệm kép t = . 
 Hệ phƣơng trình trở thành: 
 Trả lời : m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất, 
 Bài số 17 : Cho hệ phƣơng trình 
 Với a >0 và a .Xác định giá trị của a để hệ phƣơng trình có nghiệm duy 
 nhất và giải hệ phƣơng trình trong trƣờng hợp đó. 
 Lời giải : Điều kiện : Ta có : 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 9 
 . 
 -Thấy :hệ phƣơng trình (1a),(2) không thỏa mãn yêu cầu có 
 nghiệm duy nhất .Mọi cặp (x;y) thỏa mãn x+y > 0 và x2-y2 = 2 đều 
 là nghiệm .Chẳng hạn ( ) và ( là hai nghiệm của hệ phƣơng trình. 
 -Xét a ,(a > 0 ,a ): 
 -Hệ phƣơng trình (1b) ,(2) : 
 có nghiệm duy nhất là : Đây là nghiệm duy nhất của hệ phƣơng trình 
 (với 0 < a ,a và a ) 
 Trả lời : Với 0 < a , a và a Hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: : 
MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT MŨ,LÔGARIT 
 Bài số 18 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI) 
 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Hãy so sánh hai số : 
 A = và B = 
 Lời giải : Với mọi số tự nhiên n , ta có : n(n+2) (*) 
 Lấy lôgarit cơ số n hai vế bđt (*) đƣợc bđt tƣơng đƣơng : 
 1+ 2. 1+ 
 - 
 (**) 
 Vì nên bđt (**) có vp Do đó từ (**) suy ra : 
 Vậy với mọi số tự nhiên lớn hơn 1 , ta có: 
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 
 10 
 Lời giải 2 : Áp dụng bđt côsi ,có : + 2 (1) 
 -Với mọi số tự nhiên ta có (n+1)2 n(n+2) Lấy lôgarit cơ số (n+1) hai vế đƣợc bđt 
 Cùng chiều: 2 + (2) 
 -Từ (1) và (2) suy ra : đúng với mọi n là số tự nhiên 
 lớn hơn 1. 
 Bài số 19 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI - Tổng quát hóa Bài số 18) 
 Cho ba số thực a , b , k với k > 0 , b > a > 1. Hãy so sánh hai số : 
 A = B = 
 Lời giải : Vì b > a > 1 , k > 0 Nên : b(a+k) > a(b+k) 
 Lấy lôgarit cơ số b hai vế, đƣợc bđt cùng chiều : > 
 1+ > + 
 > - 1 .( Chú ý: 0 < < 1) 
 > – 1 > 
 Trả lời :Nếu a , b , k là 3 số thực với k > 0 , b > a > 1 Thì > 
 Bài số 20 : 
 Chứng minh với a , b thì : + 
 Lời giải : Với a >1 , b >1 ta có > 0 , > 0 . Do đó áp dụng bđt côsy : 
 loga+logb > 2(loga+logb) > loga+logb+ 
 4log > ( )
2
 > (1) 
 Ta lại có: > 2. (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh : > 
***************************************************************************** 
*****************************************************************************