Một số bài toán cực trị của các hàm số lượng giác

Về bài toán cực trị của các hàm số lượng giác
I. Kiến thức cơ bản:
1. Bất đẳng thức Côsi: 
+) Với mọi ta có: .
+) Với mọi a, b>0 ta có: .
Dấu bằng ở các BĐT trên xảy ra khi và chỉ khi a = b.
BĐT được phát biểu tương tự cho n số.
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpsky: 
.
 Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi .
3. BĐT chứa giá trị tuyệt đối:
+) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi .
+) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi .
4. Các tính chất cơ bản của hàm số lượng giác
 4.1. Các hệ thức cơ bản
 4.2. Các công thức biến đổi, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc
 4.3. Các tính chất khác:
 * :
 * .
 * . 
 * Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx+ bcosx =c có nghiệm là 
 * . Nếu tanx > 0 thì ; nếu tanx < 0 thì 
II. Các bài toán thường gặp
Phần 1. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a. y=3+5sinx
b. 
c. 
d. 
e. 
Lời giải:
a. Do nên . Vậy maxy=8, miny=-2.
b. Do .
c. Do nên .
d. Ta có . Do nên .
e. Sử dụng công thức hạ bậc ta được: . Do nên .
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a. y= 3sinx- 4cosx
b. 
c. 
d. 
e. y= 
Lời giải: 
a. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta được: . Vậy maxy=5, khi . Minx= -5, khi 
b. Ta có y= 40cosx+ 9sinx. Suy ra maxy=41, miny=-41.
c. áp dụng công thức hạ bậc ta được . Suy ra .
d. Do nên đẳng thức đã cho tương đương với (1). Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là 
 . Vậy maxy= , miny= .
e. Sử dụng công thức cộng cung ta được .
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a. 
b. 
c. 
 Lời giải: 
a. Ta có . Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi x=0. Vậy maxy=1.
 áp dụng bổ đề (dễ dàng chứng minh bằng qui nạp). Ta được:
. Đẳng thức xảy ra khi x=. Vậy 
miny= .
b. Ta có .
y=1, chẳng hạn khi x=0, y= - 1, chẳng hạn khi x= . Vậy maxy=1, miny= -1.
c. Tương tự câu b) ta có maxy=1 khi x=0, miny=-1 khi x=.
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của:
a. 
b. 
Lời giải:
a. Ta có . Do đó: .
Dấu bằng xảy ra khi sin2x= 0 hay cox2x =0, tức là . Vậy maxy= 10.
b. Đặt sinx= t, với , ta có . Do nên:
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên lại tađược . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy .
Bài 5. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky ta có:
Đặt (1), với , ta có 
Đặt với thì (1) trở thành 
Bảng biến thiên của g(t) :
 t
0 1
g(t)
1 3 
Vậy giá trị lớn nhất của g(t) là , đạt được khi tức là f(x) đạt giá trị lớn nhất là , tương ứng với .
Do đó hay , tức là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 hoặc 
Vậy và 
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky cho hai bộ số và ta được:
Do đó .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy 
Cách 2: Đặt thì và 
Dễ thấy, để xác định giá trị lớn nhất của f(x) chỉ cần xét các giá trị của x để . Khi đó xét hàm số trên , ta có
Ta thấy khi và khi . Vậy g(t) đạt giá trị lớn nhất (trùng với giá trị cực đại) tại và . Suy giá trị lớn nhất của f(x) bằng 6 khi .
Phần 2. Lượng giác hoá các bài toán nhờ việc đặt ẩn phụ
Thông thường, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi nhờ các công thức và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc.
1. Một số kinh nghiệm về việc đặt ẩn phụ 
- Nếu thì đặt hoặc .
- Nếu thì đặt hoặc .
- Nếu thì đặt và.
- Nếu thì đặt và.
- Nếu thì . Khi đó đặt và.
- Nếu thì đặt hay .
2. Một số ví dụ điển hình
Bài 7. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của 
a) 
b) 
Lời giải: 
a) Do nên đặt , với , ta có:
.
Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 1. Vậy maxy = 1.
b) Với cách đặt như trên ta có:
. 
Suy ra . Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 0. Vậy maxy = 1.
Bài 8. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của 
, với .
Lời giải:
Vì nên đặt . Khi đó
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
Bài 9. Cho các số thoả mãn điều kiện 
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải:
Vì nên có thể đặt ; nên có thể đặt . Khi đó .
Suy ra .
Do đó .
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Lời giải:
(1)
(2)
Ta có . Xét hệ
Để ý các công thức ta suy ra
Mặt khác nên nếu chọn thì cả (1) và (2) được thoả mãn, tức là dấu bẳng ở bbất đẳng thức xảy ra. Vậy .
Bài 11. Trong các nghiệm của phương trình 
Hãy tìm nghiệm sao cho x + y là lớn nhất.
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với hai hệ 
(I)
 (II)
Xét hệ (I) ta có:
Đặt 
Với . Thay vào (2) ta được .
Do đó . Vậy x + y đạt giá trị lớn nhất khi và , tức là khi và , lúc đó x + y = 2. Mặt khác, với mọi nghiệm bất kì ở hệ (II) ta đều có x + y <1 nên ta đI đến kết luận: giá trị lớn nhất của 
x + y, trong đó là nghiệm của bất phương trình đã cho là 2, đạt được khi 
Bài 12. Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải:
Để tìm giá trị lớn nhất của M, ta chỉ cần xét các giá trị dương x, y, z. Vì nên ta có thể đặt
với 
Khi đó 
Vì nên (1)
Dấu bằng xảy ra khi 
Biến đổi (1) dưới dạng 
Dấu bằng xảy ra khi 
, tức là 
Vậy .
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
trong đó a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1.
Lời giải:
Ta có 
Đặt 
Để ý rằng suy ra 
Do đó và với .
Vậy 
Mặt khác 
.
Vậy .
Đẳng thức xảy ra khi 
tức là 
 .
Phần 3. Một số bài toán cực trị hình học đưa về bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác.
Bài 14. Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón tròn xoay. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Gọi là góc hợp bởi trục của hình nón và một đường sinh bất kì của hình nón; r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h là đường cao và l là độ dài đường sinh của hình nón. Ta có 
.
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Do nên . Vậy:
.
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số , , ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Bài 15. Cho đường tròn bán kính bằng 1, A là một điểm cố định trên đường tròn. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A lấy điểm T sao cho AT = 1. Một đường thẳng quay quanh T cắt đường tròn tại B và C. Xác định vị trí của để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
Ta có AT = R = 1. Đặt ta có (khi quay quanh T). Khi đó:
.
Mà (theo tính chất của tiếp tuyến) nên
Hạ ta có 
.
áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC ta có .
Vậy 
áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABT ta có
Ta có 
,
. 
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Hay . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy , đạt được khi 
Bài 16. Cho tứ diện vuông OABC đỉnh O. Đặt OA = a, OB = b, OC = c . M là một điểm tuỳ ý trong đáy ABC. Gọi d là khoảng cách từ các điểm A, B, C xuống đường thẳng DM. Chứng minh .
Lời giải:
Đặt , ta có:
.
Vì góc tam diện đỉnh O là vuông nên ta luôn dựng được một hình hộp chữ nhật có OM là đường chéo, còn OA, OB, OC là phương của các cạnh bên.
Khi đó: 
Do nên 
 (1)
Mặt khác (2).
Từ (1) và (2) ta có
 (3)
Lại do 
 (4)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (3) và (4), tức là , hay M trùng C.
Bài 17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai cạnh AD và CD sao cho . Chứng minh rằng
Lời giải:
Đặt . Ta có:
Do 
Vậy từ (1) suy ra: 
hay 
 . Khi đó M trùng D, N trùng C hoặc M trùng A, N trùng D.
. Khi đó M trùng E, N trùng F, trong đó E và F lần lượt là chân đường phân giác của các góc và .
Phần 4. ứng dụng vào việc giải các phương trình lượng giác
Bài 18. Giải phương trình 
Lời giải: 
Do nên 
Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ
Bài 19. Giải phương trình
Lời giải:
Theo kết quả bài 6 ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Mặt khác 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ 
Tập nghiệm của phương trình đã cho là 
phần 5. một số bài toán khác
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
(Đề thi vào Học viện quan hệ quốc tế)
Bài 2. Cho n số . Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 3. Cho 4 số thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của
Bài 4. Cho . Tìm k để giá trị lớn nhất của đạt nhỏ nhất.
Bài 5. Cho là 13 số thực phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại hai số sao cho
.
Bài 6. Giải các phương trình sau
	a) 
	b) 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------