Một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 12

Một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 12

I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM

II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨC

III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI

pdf 46 trang Người đăng ngochoa2017 Lượt xem 823Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
1 
1 
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA 
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG 
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 
VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 
PHẦN MỤC LỤC Trang 
I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 
II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC 
III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI 
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. 
Các diễn đàn : 
www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, 
www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn , 
2. Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4 
3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) 
4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 
5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI  ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) 
6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải ) 
7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) 
8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) 
9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 
10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 
11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 
12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin ) 
13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 
14.  và một số tài liệu tham khảo khác . 
15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
2 
2 
PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 
1. = − + + − +2y 2x 2 m 4xx 5Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : có cực đại . ĐS : m < -2 
2. 
 + − =/= 
=
3 21 xsin 1, xf(x)
0 , x 0
x 0Cho hàm số : . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x =0 . 
3. ( )= = −y f(x) | x | x 3Tìm cực trị của hàm số : . ĐS : x =0 ; x=1 
4. Xác định các giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm thực : 
( ) ( )+ + − − −− + =x 3 3m 4 1 x3 m4 1m 0 a) . ĐS : ≤ ≤79 9m 7 
+ − =4 2x 1 x mb) . ĐS : ≤<0 m 1 
( )+ − − + = − + + − −2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 xc) 
5. 



+ =
=
2 3
3 2
y 2
xlog y 1
x
log
Xác định số nghiệm của hệ phương trình : ĐS : 2 
6. 
− =


+
+
+ + = + + +
2 2 2y x 2
3 2
x 1y 1
(x 2y 6) 2log (x y 2) 1
e
3log
Giải hệ phương trình : . ĐS : (x,y)=(7;7) 
7. 
−
−
− + = + +

+ − + = +
2 y 1
2 x 1x 2x 2 3 1y 2y 2 3 1xyGiải hệ phương trình : 
8. 
( )
( )
− − + − + + = +

+ + + + =
2x y y 2x 1 2x y 1
3 21 4 .5 2 1y 4x ln y 2x 1 0Giải hệ phương trình : 
9. ( ) − + −− = +  3 5(x 5) logx 3 log (x ) x3 2Giải phương trình : 
10. ≤ − + − ++ − +− + 4 (x 6)(2x(x 2) 1)(2x 1) 3 6 3 xx 2Giải bất phương trình : . ĐS : ≤ ≤12 x 7 
11. − + − ≤
−
53 2x 2x 62x 13Giải bất phương trình : 
12. ( ) ( )( )+ + + + =+ + +2 23x 2 4x 29x 3 1 x x 1 0Giải phương trình : 
13. − − + = + −33 2 24x 5x 6 7x 9x 4xGiải phương trình : 
14. 
 − + + =

− + − =
2 xy y x y 55 x 1 y mTìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : . ĐS :  ∈ m 1; 5 
15. ( ) ( ) + − + + − = 
− 
41x x 1 m x x x 1 1x 1Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : . 
16. 
 + + + =

+ + + + + + + =
x 1 y 1 3x y 1 y x 1 x 1 y 1 mTìm m để hệ có nghiệm: 
17. 1 2x ;xGiả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại . CMR:  < ∀ ≠ 
 
2 1 2f '''(x) 1 f ''(x) , x x ,xf '(x) 2 f '(x) 
18. = + + − +2 3f(x) cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x mCho hàm số : . Tìm m sao cho ≤ ∀2(x) 36,f m 
19. ( )+ + ≥2 2x ylog x y 1Trong các nghiệm(x;y) của BPT : . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 
20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trình : ( )x 22009 x +1 - x =1 . ĐS : x=0 
21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : 
( ) ( )
+ =
 + + = +
2x y my 1 x xy m x 1 ĐS : ≥ 3 3m 2 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
3 
3 
22. Giải hệ PT : ( ) ( ) − = − = − − − 4 43 3 2 2x y 240x 2y 3 x 4y 4 x 8y 
23. Giải hệ phương trình : ( ) + + = + + − = 4 3 3 2 23 3x x y 9y y x y x 9xx y x 7 . ĐS : (x,y)=(1;2) 
24. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) + + − − =
 + + − =
2
2 24x 1 x y 3 5 2y 04x y 2 3 4x 7 
25. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :  − + + =
− + − =
2 xy y x y 55 x 1 y m . ĐS :  ∈ m 1; 5 
26. Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : ( ) ( ) + − + + − = 
− 
41x x 1 m x x x 1 1x 1 . 
27. Tìm m để hệ phương trình : ( ) + + − =
+ =
23 x 1 y m 0x xy 1 có ba cặp nghiệm phân biệt . 
28. Giải hệ PT : −
−
 + − + = +

+ − + = +
2 y 1
2 x 1x x 2x 2 3 1y y 2y 2 3 1 
29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : −

=
 − = + −
 Π  ∈   
x y sinxe
siny
sin2x cos2y sinx cosy 1
x,y 0; 4
30. Giải phương trình : − + − =3 2 316x 24x 12x 3 x 
31. Giải hệ phương trình : ( )
( )
− − + − + + = +

+ + + + =
2x y y 2x 1 2x y 1
3 21 4 .5 2 1y 4x ln y 2x 1 0 
32. Giải phương trình : ( )= + + +x 33 1 x log 1 2x 
33. Giải phương trình : − + − + = −33 2 2 32x 10x 17x 8 2x 5x x ĐS 
34. Giải hệ phương trình :  + = +
+ + + =
5 4 10 6
2x xy y y4x 5 y 8 6 
35. Giải hệ phương trình :  + + − = + +
+ + − = + +
2 2
2 2x 2x 22 y y 2y 1y 2y 22 x x 2x 1 
36. Giải hệ phương trình :  + =
    + = +      
y x
1x y 21 1x yy x 
37. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : =
− −
− −−2 21 1x5x 7( x 6) x5 1 Lời giải : ĐK : > 7x 5 
Cách 1 : PT −⇔ − − + = ⇔ =
 − − − + − 
4x 6 36(4x 6)(x 1) 0 x 2(x 1)(5x 7). x 1 5x 7 
Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : ( ) −− =
− −
−
−
2 21 15x 6 x(5x 6) 1 x 1 Và xét hàm số : = >
−
−2 1 5f(t) t , t 7t 1 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
4 
4 
38. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có nghiệm : 
+ − ≤ − −3 2 33x 1 m( x x 1)x 
HD : Nhân liên hợp đưa về dạng : ( )+ − + − ≤3 3 2x x 1 (x 3x 1) m 
39. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình : 
 + + + = + +3 2x 3x 4x 2 (3 2) 3xx 1 
HD : PT ( )⇔ + + ++ = + +33(x 1) (x 1) 3x 1 3x 1 . Xét hàm số : = + >3 tf t) t , t( 0 
40. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình : 
− = − + −3 23 2x 1 27x 27x 13x2 2 
 HD : PT − = − + − ⇒ −− + − =⇔ 33 32x 1 (3x 1) 2(2x 1) 2 (3x 1) f( 2x 1) f(3x 1) 
41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :  + + − − =
+ + − =
2
2 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 04x y 2 3 4x 7 
HD : Từ pt (1) cho ta : ( ) +  + = − − ⇒ = −22 1].2x 5 2y 5 2y f([(2x 2x) f(1 5) 2y ) 
Hàm số : + ⇒ == + > ⇒2 21).t f '(t) 3tf(t) (t 1 0 −= − ⇒ = − ⇒ =2 25 4x2x 5 2y 4x 5 2y y 2 
Thế vào (2) ta có : 
 −
+ + − = 
 
222 5 4x4x 2 3 4x 72 , với ≤ ≤0 3x 4 ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có 
nghiệm duy nhất : =x 12 . 
42. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ:  + =
+ + + ≤
x y 4
x 7 y 7 a
(a là tham số). 
Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện ≥x 9. HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo sát : 
⇒− = ≥ ≤x y 0 x4 16 . Đặt ∈= x , t [t 3;4] và khảo sát tìm Min . ĐS : ≥ +a 4 2 2 
43. Giải hệ phương trình : − + − + =
+ = +
4 xy 2x 4
x 3 3 yy 4x 2 52 x y 2 
44. Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : ( )  − ≤+ − − − −2sinx sinx sinxe 1 (e 1)sinx2e e 1e 1 
45. ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : 
+ +
− − = − −2 22 5 2 2 5log (x 2x 11) log (x 2x 12) 
46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )− + + − − + − =4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0 
47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trình sau: − += +
 + + = + + +
2 2 2y x 2
3 2
x 1e y 1
3log (x 2y 6) 2log (x y 2) 1
48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : 
 Cho − +
≤
>
= 
− − +
x2(x 1)e , x 0f(x) x ax 1, x 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) . 
 Cho += 
+ + <
≤acosx bsinx, xF(x)
ax b 1, x 0
0 . Tìm a,b để tồn tại f’(0) . 
 

− >= 
 =
2 2x x
lnx , x 0F(x) 2 4
0, , x 0
 và >= 
=
xlnx, x 0f(x)
0, x 0
 . CMR : =F'(x) f(x) 
 Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀ >a 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀ ∈x R : + − − < 2| f(x a) f(x) a | a 
. Chứng minh f(x) là hàm hằng . 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
5 
5 
 Tính giới hạn : 
→
π
−
=
−x
31 24
tan
N lim
2sin
x 1x 1 Tính giới hạn : → − − += +2 32x 22 2x 0 e 1N lim ln(1 x x) 
 Tính giới hạn : 
→
+ + −
=
+ 33 x 0
3 32x x 1
N
1m xli x Tính giới hạn : → −= sin2x4 sx nx0 ie eN lim sinx 
 Tính giới hạn : 
→
+
=
−0
35 x x 8 2siN lim n10x Tính giới hạn : → − − += +2 32x 26 2x 0 e 1N lim ln(1 x x) 
 Tính giới hạn : 
→
−
=
sin2x sin37 x
3x
0 eN lim esin4x Tính giới hạn : → −= −x 43x 0 38 4 xN xim 2l 
 Tính giới hạn : 
→
−
=
+ − −
9 x 0
3x 2x.3 cos4x
1 sinx 1
2
N lim
sinx
 Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt 
1 2 3 nx x x; ; ...x . Chứng minh các đẳng thức sau : 
a) + + + =2 n
2 n
11
P''(x ) P''(x ) P''(x )
... 0
P'(x P'( P'(x) )x) b) + + + =
2 n1 ) )1 1 1... 0P'(x P'(x P'(x ) 
 Tính các tổng sau : 
a) = + + +nT osx 2cos2x ... nc(x) c osnx b) = + + +n 2 2 n n1 x 1 x 1 x(x) tan tan ... tan2 2 2 2 2 2T c) −+ + + − = −2 3 n n 2n n nCMR : 2.1.C 3.2.C ... n(n 1)C n(n 1).2 
d) + + + += 2nS inx 4sin2x 9sin3x ...(x) s sn innx e) + + + −= + + +
+ + + + − +  
n 2 2 2 2 2 22x 1 2x 3 2x (2n 1)(x) ...x (x 1) (x 1) (x 2) x (n 1) (x n)S 
49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số : 
a) Cho α∈ + ≥R: a b 0 . Chứng minh rằng : α  + +≤
 
n na b a b2 2 
b) Chứng minh rằng với ≥>a 3,n 2 ( ∈n N,n chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm : 
+ + ++ − + + =n 2 n 1 n 2(n 1)x 3(n 2)x a 0 
c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị :   
+ +

= + − +   
   
22 22 2y (m 1) 3x x1 x 1 xm 4m 
d) Cho ≥ ∈n 3,n N ( n lẻ ) . CMR : ∀ =/x 0 , ta có :    + + + + − + − − <   
   
2 n 2 nx x x x
1 x ... 1 x ... 1
2! n! 2! n!
e) Tìm cực trị của hàm số : += + + − +2 2x x 1 x xy 1 
f) Tìm a để hàm số : = + += − 2y f(x) 2 xx a 1 có cực tiểu . g) Tìm m để hàm số : − −= msinx cosx 1y
mcosx
 đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng   

π

9
0; 4 
50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : ... a có : A M A A AM M(x;0; a)′ ′= + ⇒ −   ; A C A B A D A A C(a;a; a)′ ′ ′ ′= + + ⇒ −    A N A D D N N(a x;a;0)′ ′ ′= + ⇒ −   Ta lại có : 
MATHVN.COM
Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
41 
41 
A B MCN A B MC A B CN A M. A B';A C A N. A
1 1V V V 6 6 B';A C′ ′ ′ ′ ′ ′  ′ ′ ′  = + = +   ′ ′ ′      
Mà : ( )2 20 0 0 a a 0; ; 0;a ;a
a a
A B';
a a a
C
a
A
   = = ′ ′  − − 
  . Do đó : 33 3
A B MCN
1 1 a
V a a6 6 3′ ′ = − + = (đv.tt) 
Lại có : A M NC′ =
 
, suy ra tứ giác A’MCN là hình bình hành . Do đó : 
( )4 2 2 2 2 2 2A MCN A M,A N (a x) a xS a a x a 2 a ax′  = =′ ′ − ++ + = −   . Nên : 
( )
2 2
B .A ,MCN 2 2 2 2
A MCN 2
a 63V a a
d 3ax x )B',(A'MCN) S 2(a 3a a2 4 4 ax x
′
′
≤
− +
= = =
  
+  
  
− +
 . 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : 
ax 2= hay M là trung điểm của AB . 
f : R R→Câu 7 . Cho hàm số thỏa mãn hệ điều kiện : 
4
x,y R
f(1) 1
f(x y) f(x) f(y) 2xy,1 f(x) 0f ,x x x

 = + = + +
   =   
∈
∀

∀
=/
. 
( )
32f(x)x 0
1 f1e (xL lim
ln 1 f )
)(x→ −+ += Tính giới hạn : 
Từ : Lời giải : f(x y) f(x) f(y) 2xy x,y R,∀= + + ∈+ (1) . 
Cho x 0 f(y) f(0) f(y) f(0) 0= ⇒ = + ⇒ = 
Cho 2x y f(2x) 2f(x) 2x= ⇒ = + (2) Với t R, t 0∈ =/ : Từ (2) cho ( ) ( ) 2x t f 2t 2f t 2t= ⇒ = + (a) ; Cho 21 1 1 1x f 2f2t t 2t 2t   = ⇒ = +       (b) Từ 41 f(x)f ,x x x 0  =   ∀ =/ . Cho ( )4 41 f(t) 1 f(2t)x t f ; x 2t ft 2tt 2t   = ⇒ = = ⇒ =       thay vào (b) ta có : 4 4 2f(t) f(2t) 1t 8t 2t= + (c) Từ (a), (c) ta có : 2 2 2 24 4 2f(t) 2f(t) 2t 1 8f(t) 2f(t) 2t 4t f(t) tt 8t 2t+= + ⇒ = + + ⇒ = . Hay 2f(x) x= . 
Thử lại ta thấy 2f(x) x= thỏa mãn yêu cầu bài toán . 
Lúc đó : 
( )
2 3 22x 2x 0
11eL lim
ln 1 x
x
→
−
+
+
= 2t ln(1 )x= + . Đặt , khi x 0→ thì t 0→ và : 2 t1 x e+ = . Nên : 
t t3 t31) t 2 2t (e 020 t
e1 e e eeL lim limt t−→ → −− −= = . f(t)=Xét hàm số : t t32 2ee e− − , ta có : tt 2e 32 t1 7f(0) 0; f '(t) 2e .e e f '(0)3 3−= = − − ⇒ = − . 
t t2 2 3et 0 t 0f(t) f(0) e e 7f '(0) lim lim Lt 0 t 3→ −→ − −= = ⇒ = −−Theo định nghĩa đạo hàm : 
MATHVN.COM
Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
42 
42 
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA 
Giáo viên ra đề : Phạm Kim Chung 
BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH 
NĂM HỌC 2010 – 2011 
( Lần thứ 3 ) 
Thời gian làm bài : 180 phút 
_____________________________________ 
22 2sin2x m(1 cos x)+ = +Câu 1 . Tìm m để phương trình : có nghiệm trên đoạn ;2 2 π π −   
 Câu 2 . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm : 22 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 04x y 2 3 4x m + + − − = + + − = 
Câu 3 . 2 2 23 3 3 2 2 2y y z z x 13xyzx y 3(xxP z y yz zx )+ + + += +Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
Câu 4 . 1n 2
n 1 n 1 n 1
n
1x 2
): x 4x xx 2( , n 2x − − −

=

+ + = ∀ ≥
Cho dãy số . Chứng minh rằng dãy n(y ) với n 2ni 1 i1y x==∑ có giới hạn hữu hạn khi n→∞ và tìm giới hạn đó . 
0 1 2 n 1a ,a , a , ...,a −Câu 5 . Cho n s ố không âm và có tổng 1 2 n 1a ...a a 0−+ + + > . Chứng minh rằng 
phương trình : n n 1 n 2n 1 n 2 1 0x xx a a ... a 0x a− −− − − −− − − = có một nghiệm dương duy nhất . 
Câu 6 . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có đẳng thức : 0 1 2 n 1 n n 1n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (n 4)2− −+ + + + + = ++ ( Trong đó knC là tổ hợp chập 
k của n ) . 
1 1 1A ;B ;CCâu 7 . Cho tứ diện S.ABC , M là một điểm bất kì nằm trong tứ diện . Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M và cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại . Đặt A B CV,V ,V ,V lần lượt là thể tích các tứ diện 
SABC,SMBC,SMCA,SMAB . Chứng minh rằng : CBA1 1 1VV VV SA SB SC= + + . 
ABCD.A'B'C'D'Câu 8 . Cho hình h ộp chữ nhật , đường chéo AC' a= ( a không đổi ) hợp với đáy 
ABCD một góc α và hợp với mặt bên BCC’B’ một góc β . Tính thể tích V của hình hộp 
ABCD.A'B'C'D' theo a, ,α β . Khi tứ giác A'D'CB là hình vuông, hãy xác định ,α β để V đạt giá trị lớn 
nhất. 
__________________________Hết__________________________ 
 Thanh Chương ,ngày 16 tháng 12 năm 2010 
MATHVN.COM
Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
43 
43 
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 
22 2sin2x m(1 cosx)+ = +Câu 1 . Tìm m để phương trình : có nghiệm trên đoạn ;2 2 π π −   
Rõ ràng với 
Lời giải : 
;2 2x  −  π∈ π thì 1 cos 0x+ =/ . Do đó 
phương trình đã cho tương đương với : 22 2sin2x m(1 cosx)+ =+ . Đặt xt tan ,2= x ; t2 4 1;14π π − ⇒  ∈ ∈ −   2 2 2 2 4 3 22 22 222
2t 1 t
2 4. .
2 2sin2x 2(1 t 8t(1 t t 4t 2t 4t 11 t 1 t 4 2(1 cosx) 1 t1 1 t
) )−++ + + − − + + ++ += = =
+  −
+ + 
Ta có : . Suy ra phương trình đã cho trở 
thành : 4 3 2t 4t 2t 4t 1 2m− + + + = (*) . Do đó bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiệm 1;1t∈ −   . 4 3 2 1f(t) t 4t 2t 4t t ;, 11= − + + ∈ −+   Xét hàm số : . Ta có : 
3 2 2 t 1 2f '(t) 4t 12t 4t 4 4(t 1)(t 2t 1) f '(t) 0 t 1 = −= − + + = − − − ⇒ = ⇒  = ( Với 1;1t∈ −   ) . Từ đó ta có bảng biến thiên : t ( 1;1)∈ − Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi : 2m 4 ha0 0y m 2≤ ≤ ≤ ≤ . 
2
2 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 04x y 2 3 4x m + + − − = + + − =Câu 2 . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm : 
Hướng dẫn giải : ĐK : 
3452
xy



≤
≤

Từ pt (1) cho ta : ( )22 1].2x 5 2y 5 2y f(2x) f( 5[(2 y) 1 )x 2 +  − =+ = − ⇒ − 
Xét Hàm số : 2 21).t f '(tf(t) ( tt 1) 03+ ⇒ == + > ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R, do đó từ : 
( )f(2x) f 5 2y= − ⇒ 22 x 00x2x 5 2y 5 4x4x 5 2y y 2
≥
≥
= − ⇒ ⇒ −= − =



MATHVN.COM
Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
44 
44 
Thế vào pt (2) ta có : 
222 4 25 4x 254x 2 3 4x m 4x 6x 2 3 4x m (*)2 4 −+ + − = ⇔ − + − =   + , với 0 3x 4≤ ≤ . Bài 
toán trở thành, tìm m để phương trình (*) có nghiệm 4x 0; 3∈    . 
Xét hàm số : 4 2 25f(x) 4x 6x 2 3 4x4+= − + − , 4x 0; 3∈    . Ta có : 3 24 4f '(x) 16x 12x 4x(4x 0, x 0;3 4x 3) x 33 44−  = − −− = <  − − ∈ ∀ . 
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với : ( )3 3
0; 0;4 4
265 3 25
f Minf(x) Maxf(x) f 0 264 m 34 4   
      
 
= = = = + 
 
≤ ≤ 
( Chú ý : Tham khảo thêm ở Câu 41. Phần I ) 
Câu 3 . 2 2 23 3 3 2 2 2y y z z x 13xyzx y 3(xxP z y yz zx )+ + + += +
Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
HD : Xem lời giải ở : Câu 34 . Phần III 
Câu 4 . 1n 2
n 1 n 1 n 1
n
1x 2
): x 4x xx 2( , n 2x − − −

=

+ + = ∀ ≥
Cho dãy số . Chứng minh rằng dãy 
n(y ) với n 2ni 1 i1y x==∑ có giới hạn hữu 
hạn khi n →∞ và tìm giới hạn đó . 
HD : Xem lời giải ở : Câu 20.Phần IV 
0 1 2 n 1a ,a , a ,...,a −Câu 5 . Cho n số không âm và có tổng 1 2 n 1a ...a a 0−+ + + > . Chứng minh rằng phương trình : 
n n 1 n 2
n 1 n 2 1 0x xx a a ... a 0x a− −− − − −− − − = có một nghiệm dương duy nhất . 
Lời giải : Khi x>0, ta có : PT : n n 1 n 2 n 1 n 2 nn 1 n 2 1 0 n 1 n 2 1 0x a a ... a 0x x x a x x xa xaa ... a− − − −− − − −− − − − = ⇔ + + + =− + 0n 1 n 2 1
2 n 1 n
aa a a
... 1x x x x− − −⇔ + + + + = . Xét hàm số : 0n 1 n 2 12 n 1 naa a af(x) ...x x x x− − −= + + + + , trên khoảng (0; )+∞ , ta có : 
0n 1 n 2
2 3 n 1
naa 2a
f '(x) ... 0, x 0x x x− − += − − − − ( Do 0 1 2 n 1a ,a , a ,...,a − không đồng thời bằng 0 ) Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình : f(x)=m luôn có 1 nghiệm dương duy nhất khi m >0 . Do đó 
phương trình f(x) = 1 có một nghiệm dương duy nhất. 
Từ đó ta có bảng biến thiên : 
MATHVN.COM
Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
45 
45 
Câu 6 . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có đẳng thức : 0 1 2 n 1 n n 1
n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (n 4)2
− −+ + + + + = ++ ( Trong đó knC là tổ hợp chập k của n ) 
Lời giải : 
Khai triển : n 0 1 2 2 4n n 2 n 0 2 1 3 2 n n 2
n n n n n n n n(1 x) C C x C ... C x (1x x x) C x C x C ... xCx ++ = + + + + ⇒ + = + + + + (1) 
Lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được : n 2 n 1 0 2 1 n 1 n
n n n2x(1 x) nx (1 x) 2xC 3x C ... (n 2)x C
− ++ + + = + + + + (2) Từ đẳng thức (2), cho x = 1 , ta có : n 1 0 1 2 n 1 n
n n n n n(n 4)2 2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C
− −+ += + + + + + (đpcm) 
Câu 7 . Cho tứ diện S.ABC M là một điểm bất kì nằm trong tứ diện . Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M và cắt các cạnh SA, 
1 1 1A ;B ;CSB, SC lần lượt tại . Đặt A B CV,V ,V ,V lần lượt là thể tích các tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB . Chứng minh rằng : A1 1 B C1SA SB SCV V V VSA SB SC= + + . 
 Gọi Lời giải : 1S SM (ABC)= ∩ . Theo công thức tính tỷ số thể tích ta có 1 1 1 1 1 11 1B BSABM 1 1 1 1 1 1B CSABS 1 1 SABS 1 SABSA M SA M SA MMV VV SA SB SA SB SA SBSA SB SM SM SM. . ; . . . V . .V (1)V SA SB SS SS V SA SB SS V SA SB SA SB= = = ⇒ = ⇒ = 
 Tương tự ta có : 1 1 1 11 1SB C M A SA C M 1 B1SB SC SA SCV . .V (2) ; V . .V (3)SB SC SA SC= = Lại có : 1 1 1SA B C 1 1 1
SABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
= (4) Từ (1), (2), (3) ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1SA B C SA B M SB C M SA C MV V V V= + + = 1 1 CSA SB. .VSA SB + B1 1SA SC. .VSA SC + A1 1SB SC. .VSB SC (5) Từ (4), (5) suy ra : 
 1 1 1SA SB SC. . .V
SA SB SC
= 1 1 CSA SB. .VSA SB + B1 1SA SC. .VSA SC + A1 1SB SC. .VSB SC C1 1 1A B
SC SA SB
V .V .V .V
SC SA SB
⇒ = + + .đpcm 
ABCD.A'B'C'D'Câu 8 . Cho hình hộp chữ nhật đường chéo AC' a= ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD một góc α và 
hợp với mặt bên BCC’B’ một góc β . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, ,α β . Khi tứ giác A'D'CB là 
hình vuông hãy xác định ,α β để V đạt giá trị lớn nhất. 
Lời giải : Ta có : Hình chiếu của AC’ lên mp(ABCD) là AC , lên mp(BCC’B’) là BC’ do đó :  C AC ;AC B′ ′= α =β . Xét các tam giác vuông : CAC’ v à BAC’ ta có : CC' AC'sin a.sinα == α ; AB AC'.sin asin ;β == β 
 2 2 2 2a.c BC a c sBC' AC'.cos os C'B C'C o insβ = β⇒ = = β−= − α
 Do vậy : 3 2 2
ABCD.A B C DV C'C.CB.BA .sina sin cos sin′ ′ ′ ′ = = βα β− α (đvtt) Tứ giác A’D’CB l à hình vuông khi : A’B=A’D 
MATHVN.COM
Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
46 
46 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2AB A'A A'D' sin cosin sin 2ss os siin c nα + β β− α α⇔ + = ⇒ = =⇔ β− β (1) Từ đó ta có : 
( )
2 2 33 2 2 3 2 2 2 2
ABCD.A B C D
1 2sin 1 2sin a
V a sin os . . sin . 1 s.sin in. c sin a .(sin 1 2sin )2 2 2′ ′ ′ ′ − −= β βα β β− α = β β β −− = β− (*) 
Áp dụng BĐT AM-GM ta có : 2 22 2 2 2.(1 2sin ) 1 1.(1 2sin ) 2sin (1 2sin )2 2 2 22sinsin 2β − β  β − β ≤ β+ − β = = . 
Dấu “=” xảy ra 01 302sinβ = ⇒β =⇔ . Vậy : 3 0Max 302aV 4 α =β == ⇔ . 
MATHVN.COM

Tài liệu đính kèm:

  • pdfTL BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 12.pdf