I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨC
III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 1 1 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 PHẦN MỤC LỤC Trang I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Các diễn đàn : www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn , 2. Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4 3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) 4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) 6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải ) 7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) 8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) 9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin ) 13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 14. và một số tài liệu tham khảo khác . 15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. MATHVN.COM Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 2 2 PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 1. = − + + − +2y 2x 2 m 4xx 5Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : có cực đại . ĐS : m < -2 2. + − =/= = 3 21 xsin 1, xf(x) 0 , x 0 x 0Cho hàm số : . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x =0 . 3. ( )= = −y f(x) | x | x 3Tìm cực trị của hàm số : . ĐS : x =0 ; x=1 4. Xác định các giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm thực : ( ) ( )+ + − − −− + =x 3 3m 4 1 x3 m4 1m 0 a) . ĐS : ≤ ≤79 9m 7 + − =4 2x 1 x mb) . ĐS : ≤<0 m 1 ( )+ − − + = − + + − −2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 xc) 5. + = = 2 3 3 2 y 2 xlog y 1 x log Xác định số nghiệm của hệ phương trình : ĐS : 2 6. − = + + + + = + + + 2 2 2y x 2 3 2 x 1y 1 (x 2y 6) 2log (x y 2) 1 e 3log Giải hệ phương trình : . ĐS : (x,y)=(7;7) 7. − − − + = + + + − + = + 2 y 1 2 x 1x 2x 2 3 1y 2y 2 3 1xyGiải hệ phương trình : 8. ( ) ( ) − − + − + + = + + + + + = 2x y y 2x 1 2x y 1 3 21 4 .5 2 1y 4x ln y 2x 1 0Giải hệ phương trình : 9. ( ) − + −− = + 3 5(x 5) logx 3 log (x ) x3 2Giải phương trình : 10. ≤ − + − ++ − +− + 4 (x 6)(2x(x 2) 1)(2x 1) 3 6 3 xx 2Giải bất phương trình : . ĐS : ≤ ≤12 x 7 11. − + − ≤ − 53 2x 2x 62x 13Giải bất phương trình : 12. ( ) ( )( )+ + + + =+ + +2 23x 2 4x 29x 3 1 x x 1 0Giải phương trình : 13. − − + = + −33 2 24x 5x 6 7x 9x 4xGiải phương trình : 14. − + + = − + − = 2 xy y x y 55 x 1 y mTìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : . ĐS : ∈ m 1; 5 15. ( ) ( ) + − + + − = − 41x x 1 m x x x 1 1x 1Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : . 16. + + + = + + + + + + + = x 1 y 1 3x y 1 y x 1 x 1 y 1 mTìm m để hệ có nghiệm: 17. 1 2x ;xGiả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại . CMR: < ∀ ≠ 2 1 2f '''(x) 1 f ''(x) , x x ,xf '(x) 2 f '(x) 18. = + + − +2 3f(x) cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x mCho hàm số : . Tìm m sao cho ≤ ∀2(x) 36,f m 19. ( )+ + ≥2 2x ylog x y 1Trong các nghiệm(x;y) của BPT : . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trình : ( )x 22009 x +1 - x =1 . ĐS : x=0 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : ( ) ( ) + = + + = + 2x y my 1 x xy m x 1 ĐS : ≥ 3 3m 2 MATHVN.COM Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 3 3 22. Giải hệ PT : ( ) ( ) − = − = − − − 4 43 3 2 2x y 240x 2y 3 x 4y 4 x 8y 23. Giải hệ phương trình : ( ) + + = + + − = 4 3 3 2 23 3x x y 9y y x y x 9xx y x 7 . ĐS : (x,y)=(1;2) 24. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) + + − − = + + − = 2 2 24x 1 x y 3 5 2y 04x y 2 3 4x 7 25. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : − + + = − + − = 2 xy y x y 55 x 1 y m . ĐS : ∈ m 1; 5 26. Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : ( ) ( ) + − + + − = − 41x x 1 m x x x 1 1x 1 . 27. Tìm m để hệ phương trình : ( ) + + − = + = 23 x 1 y m 0x xy 1 có ba cặp nghiệm phân biệt . 28. Giải hệ PT : − − + − + = + + − + = + 2 y 1 2 x 1x x 2x 2 3 1y y 2y 2 3 1 29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : − = − = + − Π ∈ x y sinxe siny sin2x cos2y sinx cosy 1 x,y 0; 4 30. Giải phương trình : − + − =3 2 316x 24x 12x 3 x 31. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) − − + − + + = + + + + + = 2x y y 2x 1 2x y 1 3 21 4 .5 2 1y 4x ln y 2x 1 0 32. Giải phương trình : ( )= + + +x 33 1 x log 1 2x 33. Giải phương trình : − + − + = −33 2 2 32x 10x 17x 8 2x 5x x ĐS 34. Giải hệ phương trình : + = + + + + = 5 4 10 6 2x xy y y4x 5 y 8 6 35. Giải hệ phương trình : + + − = + + + + − = + + 2 2 2 2x 2x 22 y y 2y 1y 2y 22 x x 2x 1 36. Giải hệ phương trình : + = + = + y x 1x y 21 1x yy x 37. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : = − − − −−2 21 1x5x 7( x 6) x5 1 Lời giải : ĐK : > 7x 5 Cách 1 : PT −⇔ − − + = ⇔ = − − − + − 4x 6 36(4x 6)(x 1) 0 x 2(x 1)(5x 7). x 1 5x 7 Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : ( ) −− = − − − − 2 21 15x 6 x(5x 6) 1 x 1 Và xét hàm số : = > − −2 1 5f(t) t , t 7t 1 MATHVN.COM Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 4 4 38. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có nghiệm : + − ≤ − −3 2 33x 1 m( x x 1)x HD : Nhân liên hợp đưa về dạng : ( )+ − + − ≤3 3 2x x 1 (x 3x 1) m 39. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình : + + + = + +3 2x 3x 4x 2 (3 2) 3xx 1 HD : PT ( )⇔ + + ++ = + +33(x 1) (x 1) 3x 1 3x 1 . Xét hàm số : = + >3 tf t) t , t( 0 40. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình : − = − + −3 23 2x 1 27x 27x 13x2 2 HD : PT − = − + − ⇒ −− + − =⇔ 33 32x 1 (3x 1) 2(2x 1) 2 (3x 1) f( 2x 1) f(3x 1) 41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình : + + − − = + + − = 2 2 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 04x y 2 3 4x 7 HD : Từ pt (1) cho ta : ( ) + + = − − ⇒ = −22 1].2x 5 2y 5 2y f([(2x 2x) f(1 5) 2y ) Hàm số : + ⇒ == + > ⇒2 21).t f '(t) 3tf(t) (t 1 0 −= − ⇒ = − ⇒ =2 25 4x2x 5 2y 4x 5 2y y 2 Thế vào (2) ta có : − + + − = 222 5 4x4x 2 3 4x 72 , với ≤ ≤0 3x 4 ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có nghiệm duy nhất : =x 12 . 42. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ: + = + + + ≤ x y 4 x 7 y 7 a (a là tham số). Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện ≥x 9. HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo sát : ⇒− = ≥ ≤x y 0 x4 16 . Đặt ∈= x , t [t 3;4] và khảo sát tìm Min . ĐS : ≥ +a 4 2 2 43. Giải hệ phương trình : − + − + = + = + 4 xy 2x 4 x 3 3 yy 4x 2 52 x y 2 44. Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : ( ) − ≤+ − − − −2sinx sinx sinxe 1 (e 1)sinx2e e 1e 1 45. ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : + + − − = − −2 22 5 2 2 5log (x 2x 11) log (x 2x 12) 46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )− + + − − + − =4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0 47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trình sau: − += + + + = + + + 2 2 2y x 2 3 2 x 1e y 1 3log (x 2y 6) 2log (x y 2) 1 48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : Cho − + ≤ > = − − + x2(x 1)e , x 0f(x) x ax 1, x 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) . Cho += + + < ≤acosx bsinx, xF(x) ax b 1, x 0 0 . Tìm a,b để tồn tại f’(0) . − >= = 2 2x x lnx , x 0F(x) 2 4 0, , x 0 và >= = xlnx, x 0f(x) 0, x 0 . CMR : =F'(x) f(x) Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀ >a 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀ ∈x R : + − − < 2| f(x a) f(x) a | a . Chứng minh f(x) là hàm hằng . MATHVN.COM Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 5 5 Tính giới hạn : → π − = −x 31 24 tan N lim 2sin x 1x 1 Tính giới hạn : → − − += +2 32x 22 2x 0 e 1N lim ln(1 x x) Tính giới hạn : → + + − = + 33 x 0 3 32x x 1 N 1m xli x Tính giới hạn : → −= sin2x4 sx nx0 ie eN lim sinx Tính giới hạn : → + = −0 35 x x 8 2siN lim n10x Tính giới hạn : → − − += +2 32x 26 2x 0 e 1N lim ln(1 x x) Tính giới hạn : → − = sin2x sin37 x 3x 0 eN lim esin4x Tính giới hạn : → −= −x 43x 0 38 4 xN xim 2l Tính giới hạn : → − = + − − 9 x 0 3x 2x.3 cos4x 1 sinx 1 2 N lim sinx Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt 1 2 3 nx x x; ; ...x . Chứng minh các đẳng thức sau : a) + + + =2 n 2 n 11 P''(x ) P''(x ) P''(x ) ... 0 P'(x P'( P'(x) )x) b) + + + = 2 n1 ) )1 1 1... 0P'(x P'(x P'(x ) Tính các tổng sau : a) = + + +nT osx 2cos2x ... nc(x) c osnx b) = + + +n 2 2 n n1 x 1 x 1 x(x) tan tan ... tan2 2 2 2 2 2T c) −+ + + − = −2 3 n n 2n n nCMR : 2.1.C 3.2.C ... n(n 1)C n(n 1).2 d) + + + += 2nS inx 4sin2x 9sin3x ...(x) s sn innx e) + + + −= + + + + + + + − + n 2 2 2 2 2 22x 1 2x 3 2x (2n 1)(x) ...x (x 1) (x 1) (x 2) x (n 1) (x n)S 49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số : a) Cho α∈ + ≥R: a b 0 . Chứng minh rằng : α + +≤ n na b a b2 2 b) Chứng minh rằng với ≥>a 3,n 2 ( ∈n N,n chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm : + + ++ − + + =n 2 n 1 n 2(n 1)x 3(n 2)x a 0 c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị : + + = + − + 22 22 2y (m 1) 3x x1 x 1 xm 4m d) Cho ≥ ∈n 3,n N ( n lẻ ) . CMR : ∀ =/x 0 , ta có : + + + + − + − − < 2 n 2 nx x x x 1 x ... 1 x ... 1 2! n! 2! n! e) Tìm cực trị của hàm số : += + + − +2 2x x 1 x xy 1 f) Tìm a để hàm số : = + += − 2y f(x) 2 xx a 1 có cực tiểu . g) Tìm m để hàm số : − −= msinx cosx 1y mcosx đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng π 9 0; 4 50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : ... a có : A M A A AM M(x;0; a)′ ′= + ⇒ − ; A C A B A D A A C(a;a; a)′ ′ ′ ′= + + ⇒ − A N A D D N N(a x;a;0)′ ′ ′= + ⇒ − Ta lại có : MATHVN.COM Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 41 41 A B MCN A B MC A B CN A M. A B';A C A N. A 1 1V V V 6 6 B';A C′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = + = + ′ ′ ′ Mà : ( )2 20 0 0 a a 0; ; 0;a ;a a a A B'; a a a C a A = = ′ ′ − − . Do đó : 33 3 A B MCN 1 1 a V a a6 6 3′ ′ = − + = (đv.tt) Lại có : A M NC′ = , suy ra tứ giác A’MCN là hình bình hành . Do đó : ( )4 2 2 2 2 2 2A MCN A M,A N (a x) a xS a a x a 2 a ax′ = =′ ′ − ++ + = − . Nên : ( ) 2 2 B .A ,MCN 2 2 2 2 A MCN 2 a 63V a a d 3ax x )B',(A'MCN) S 2(a 3a a2 4 4 ax x ′ ′ ≤ − + = = = + − + . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : ax 2= hay M là trung điểm của AB . f : R R→Câu 7 . Cho hàm số thỏa mãn hệ điều kiện : 4 x,y R f(1) 1 f(x y) f(x) f(y) 2xy,1 f(x) 0f ,x x x = + = + + = ∈ ∀ ∀ =/ . ( ) 32f(x)x 0 1 f1e (xL lim ln 1 f ) )(x→ −+ += Tính giới hạn : Từ : Lời giải : f(x y) f(x) f(y) 2xy x,y R,∀= + + ∈+ (1) . Cho x 0 f(y) f(0) f(y) f(0) 0= ⇒ = + ⇒ = Cho 2x y f(2x) 2f(x) 2x= ⇒ = + (2) Với t R, t 0∈ =/ : Từ (2) cho ( ) ( ) 2x t f 2t 2f t 2t= ⇒ = + (a) ; Cho 21 1 1 1x f 2f2t t 2t 2t = ⇒ = + (b) Từ 41 f(x)f ,x x x 0 = ∀ =/ . Cho ( )4 41 f(t) 1 f(2t)x t f ; x 2t ft 2tt 2t = ⇒ = = ⇒ = thay vào (b) ta có : 4 4 2f(t) f(2t) 1t 8t 2t= + (c) Từ (a), (c) ta có : 2 2 2 24 4 2f(t) 2f(t) 2t 1 8f(t) 2f(t) 2t 4t f(t) tt 8t 2t+= + ⇒ = + + ⇒ = . Hay 2f(x) x= . Thử lại ta thấy 2f(x) x= thỏa mãn yêu cầu bài toán . Lúc đó : ( ) 2 3 22x 2x 0 11eL lim ln 1 x x → − + + = 2t ln(1 )x= + . Đặt , khi x 0→ thì t 0→ và : 2 t1 x e+ = . Nên : t t3 t31) t 2 2t (e 020 t e1 e e eeL lim limt t−→ → −− −= = . f(t)=Xét hàm số : t t32 2ee e− − , ta có : tt 2e 32 t1 7f(0) 0; f '(t) 2e .e e f '(0)3 3−= = − − ⇒ = − . t t2 2 3et 0 t 0f(t) f(0) e e 7f '(0) lim lim Lt 0 t 3→ −→ − −= = ⇒ = −−Theo định nghĩa đạo hàm : MATHVN.COM Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 42 42 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên ra đề : Phạm Kim Chung BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ 3 ) Thời gian làm bài : 180 phút _____________________________________ 22 2sin2x m(1 cos x)+ = +Câu 1 . Tìm m để phương trình : có nghiệm trên đoạn ;2 2 π π − Câu 2 . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm : 22 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 04x y 2 3 4x m + + − − = + + − = Câu 3 . 2 2 23 3 3 2 2 2y y z z x 13xyzx y 3(xxP z y yz zx )+ + + += +Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : Câu 4 . 1n 2 n 1 n 1 n 1 n 1x 2 ): x 4x xx 2( , n 2x − − − = + + = ∀ ≥ Cho dãy số . Chứng minh rằng dãy n(y ) với n 2ni 1 i1y x==∑ có giới hạn hữu hạn khi n→∞ và tìm giới hạn đó . 0 1 2 n 1a ,a , a , ...,a −Câu 5 . Cho n s ố không âm và có tổng 1 2 n 1a ...a a 0−+ + + > . Chứng minh rằng phương trình : n n 1 n 2n 1 n 2 1 0x xx a a ... a 0x a− −− − − −− − − = có một nghiệm dương duy nhất . Câu 6 . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có đẳng thức : 0 1 2 n 1 n n 1n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (n 4)2− −+ + + + + = ++ ( Trong đó knC là tổ hợp chập k của n ) . 1 1 1A ;B ;CCâu 7 . Cho tứ diện S.ABC , M là một điểm bất kì nằm trong tứ diện . Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M và cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại . Đặt A B CV,V ,V ,V lần lượt là thể tích các tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB . Chứng minh rằng : CBA1 1 1VV VV SA SB SC= + + . ABCD.A'B'C'D'Câu 8 . Cho hình h ộp chữ nhật , đường chéo AC' a= ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD một góc α và hợp với mặt bên BCC’B’ một góc β . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, ,α β . Khi tứ giác A'D'CB là hình vuông, hãy xác định ,α β để V đạt giá trị lớn nhất. __________________________Hết__________________________ Thanh Chương ,ngày 16 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 43 43 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 22 2sin2x m(1 cosx)+ = +Câu 1 . Tìm m để phương trình : có nghiệm trên đoạn ;2 2 π π − Rõ ràng với Lời giải : ;2 2x − π∈ π thì 1 cos 0x+ =/ . Do đó phương trình đã cho tương đương với : 22 2sin2x m(1 cosx)+ =+ . Đặt xt tan ,2= x ; t2 4 1;14π π − ⇒ ∈ ∈ − 2 2 2 2 4 3 22 22 222 2t 1 t 2 4. . 2 2sin2x 2(1 t 8t(1 t t 4t 2t 4t 11 t 1 t 4 2(1 cosx) 1 t1 1 t ) )−++ + + − − + + ++ += = = + − + + Ta có : . Suy ra phương trình đã cho trở thành : 4 3 2t 4t 2t 4t 1 2m− + + + = (*) . Do đó bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiệm 1;1t∈ − . 4 3 2 1f(t) t 4t 2t 4t t ;, 11= − + + ∈ −+ Xét hàm số : . Ta có : 3 2 2 t 1 2f '(t) 4t 12t 4t 4 4(t 1)(t 2t 1) f '(t) 0 t 1 = −= − + + = − − − ⇒ = ⇒ = ( Với 1;1t∈ − ) . Từ đó ta có bảng biến thiên : t ( 1;1)∈ − Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi : 2m 4 ha0 0y m 2≤ ≤ ≤ ≤ . 2 2 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 04x y 2 3 4x m + + − − = + + − =Câu 2 . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm : Hướng dẫn giải : ĐK : 3452 xy ≤ ≤ Từ pt (1) cho ta : ( )22 1].2x 5 2y 5 2y f(2x) f( 5[(2 y) 1 )x 2 + − =+ = − ⇒ − Xét Hàm số : 2 21).t f '(tf(t) ( tt 1) 03+ ⇒ == + > ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R, do đó từ : ( )f(2x) f 5 2y= − ⇒ 22 x 00x2x 5 2y 5 4x4x 5 2y y 2 ≥ ≥ = − ⇒ ⇒ −= − = MATHVN.COM Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 44 44 Thế vào pt (2) ta có : 222 4 25 4x 254x 2 3 4x m 4x 6x 2 3 4x m (*)2 4 −+ + − = ⇔ − + − = + , với 0 3x 4≤ ≤ . Bài toán trở thành, tìm m để phương trình (*) có nghiệm 4x 0; 3∈ . Xét hàm số : 4 2 25f(x) 4x 6x 2 3 4x4+= − + − , 4x 0; 3∈ . Ta có : 3 24 4f '(x) 16x 12x 4x(4x 0, x 0;3 4x 3) x 33 44− = − −− = < − − ∈ ∀ . Do đó yêu cầu bài toán tương đương với : ( )3 3 0; 0;4 4 265 3 25 f Minf(x) Maxf(x) f 0 264 m 34 4 = = = = + ≤ ≤ ( Chú ý : Tham khảo thêm ở Câu 41. Phần I ) Câu 3 . 2 2 23 3 3 2 2 2y y z z x 13xyzx y 3(xxP z y yz zx )+ + + += + Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : HD : Xem lời giải ở : Câu 34 . Phần III Câu 4 . 1n 2 n 1 n 1 n 1 n 1x 2 ): x 4x xx 2( , n 2x − − − = + + = ∀ ≥ Cho dãy số . Chứng minh rằng dãy n(y ) với n 2ni 1 i1y x==∑ có giới hạn hữu hạn khi n →∞ và tìm giới hạn đó . HD : Xem lời giải ở : Câu 20.Phần IV 0 1 2 n 1a ,a , a ,...,a −Câu 5 . Cho n số không âm và có tổng 1 2 n 1a ...a a 0−+ + + > . Chứng minh rằng phương trình : n n 1 n 2 n 1 n 2 1 0x xx a a ... a 0x a− −− − − −− − − = có một nghiệm dương duy nhất . Lời giải : Khi x>0, ta có : PT : n n 1 n 2 n 1 n 2 nn 1 n 2 1 0 n 1 n 2 1 0x a a ... a 0x x x a x x xa xaa ... a− − − −− − − −− − − − = ⇔ + + + =− + 0n 1 n 2 1 2 n 1 n aa a a ... 1x x x x− − −⇔ + + + + = . Xét hàm số : 0n 1 n 2 12 n 1 naa a af(x) ...x x x x− − −= + + + + , trên khoảng (0; )+∞ , ta có : 0n 1 n 2 2 3 n 1 naa 2a f '(x) ... 0, x 0x x x− − += − − − − ( Do 0 1 2 n 1a ,a , a ,...,a − không đồng thời bằng 0 ) Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình : f(x)=m luôn có 1 nghiệm dương duy nhất khi m >0 . Do đó phương trình f(x) = 1 có một nghiệm dương duy nhất. Từ đó ta có bảng biến thiên : MATHVN.COM Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 45 45 Câu 6 . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có đẳng thức : 0 1 2 n 1 n n 1 n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (n 4)2 − −+ + + + + = ++ ( Trong đó knC là tổ hợp chập k của n ) Lời giải : Khai triển : n 0 1 2 2 4n n 2 n 0 2 1 3 2 n n 2 n n n n n n n n(1 x) C C x C ... C x (1x x x) C x C x C ... xCx ++ = + + + + ⇒ + = + + + + (1) Lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được : n 2 n 1 0 2 1 n 1 n n n n2x(1 x) nx (1 x) 2xC 3x C ... (n 2)x C − ++ + + = + + + + (2) Từ đẳng thức (2), cho x = 1 , ta có : n 1 0 1 2 n 1 n n n n n n(n 4)2 2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C − −+ += + + + + + (đpcm) Câu 7 . Cho tứ diện S.ABC M là một điểm bất kì nằm trong tứ diện . Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M và cắt các cạnh SA, 1 1 1A ;B ;CSB, SC lần lượt tại . Đặt A B CV,V ,V ,V lần lượt là thể tích các tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB . Chứng minh rằng : A1 1 B C1SA SB SCV V V VSA SB SC= + + . Gọi Lời giải : 1S SM (ABC)= ∩ . Theo công thức tính tỷ số thể tích ta có 1 1 1 1 1 11 1B BSABM 1 1 1 1 1 1B CSABS 1 1 SABS 1 SABSA M SA M SA MMV VV SA SB SA SB SA SBSA SB SM SM SM. . ; . . . V . .V (1)V SA SB SS SS V SA SB SS V SA SB SA SB= = = ⇒ = ⇒ = Tương tự ta có : 1 1 1 11 1SB C M A SA C M 1 B1SB SC SA SCV . .V (2) ; V . .V (3)SB SC SA SC= = Lại có : 1 1 1SA B C 1 1 1 SABC V SA SB SC . . V SA SB SC = (4) Từ (1), (2), (3) ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1SA B C SA B M SB C M SA C MV V V V= + + = 1 1 CSA SB. .VSA SB + B1 1SA SC. .VSA SC + A1 1SB SC. .VSB SC (5) Từ (4), (5) suy ra : 1 1 1SA SB SC. . .V SA SB SC = 1 1 CSA SB. .VSA SB + B1 1SA SC. .VSA SC + A1 1SB SC. .VSB SC C1 1 1A B SC SA SB V .V .V .V SC SA SB ⇒ = + + .đpcm ABCD.A'B'C'D'Câu 8 . Cho hình hộp chữ nhật đường chéo AC' a= ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD một góc α và hợp với mặt bên BCC’B’ một góc β . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, ,α β . Khi tứ giác A'D'CB là hình vuông hãy xác định ,α β để V đạt giá trị lớn nhất. Lời giải : Ta có : Hình chiếu của AC’ lên mp(ABCD) là AC , lên mp(BCC’B’) là BC’ do đó : C AC ;AC B′ ′= α =β . Xét các tam giác vuông : CAC’ v à BAC’ ta có : CC' AC'sin a.sinα == α ; AB AC'.sin asin ;β == β 2 2 2 2a.c BC a c sBC' AC'.cos os C'B C'C o insβ = β⇒ = = β−= − α Do vậy : 3 2 2 ABCD.A B C DV C'C.CB.BA .sina sin cos sin′ ′ ′ ′ = = βα β− α (đvtt) Tứ giác A’D’CB l à hình vuông khi : A’B=A’D MATHVN.COM Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 46 46 2 2 2 2 2 2 2 2 2AB A'A A'D' sin cosin sin 2ss os siin c nα + β β− α α⇔ + = ⇒ = =⇔ β− β (1) Từ đó ta có : ( ) 2 2 33 2 2 3 2 2 2 2 ABCD.A B C D 1 2sin 1 2sin a V a sin os . . sin . 1 s.sin in. c sin a .(sin 1 2sin )2 2 2′ ′ ′ ′ − −= β βα β β− α = β β β −− = β− (*) Áp dụng BĐT AM-GM ta có : 2 22 2 2 2.(1 2sin ) 1 1.(1 2sin ) 2sin (1 2sin )2 2 2 22sinsin 2β − β β − β ≤ β+ − β = = . Dấu “=” xảy ra 01 302sinβ = ⇒β =⇔ . Vậy : 3 0Max 302aV 4 α =β == ⇔ . MATHVN.COM
Tài liệu đính kèm: