Một phương pháp giải bài toán phương trình tiếp tuyến

Nguyễn Mạnh Thắng – THCS Khánh Dương – Yên Mô – Ninh Bình 
Phương pháp giải toán sơ cấp 
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 
Trước đây, khi giải các bài toán về phươn trình tiếp tuyến với 1 đường cong, thường sử 
dụng phương pháp nghiệm kép. Từ khi bộ giáo dục không công nhận phương pháp này vì 
tính chặt chẽ của nó, thì các bài toán loại này trở nên khó khăn hơn – đặc biệt là với dạng 
hàm số hữu tỷ bậc hai. 
Sau đây là một phương pháp khá hiệu quả để giải quyết các bài toán dạng này. 
I/ Cơ sở lý thuyết: 
Với hàm số: y = 
v
u
 ; Xét tại điểm biến số có giá trị làm cho đạo hàm y’ = 0. thì ta có: 
'
'
v
u
v
u
= (I) sử dụng kết quả này ta có thể giải các bài toán về sự tiếp xúc của đồ thị 
hàm số y = 
v
u
 và đường thẳng một cách dễ dàng hơn. 
II/ Các bài toán minh họa: 
 ( các bài toán sau được xét trong miền xác định của chúng) 
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
x
xx
y
12 +−
= ( C) , biết nó 
đi qua điểm A(2; -1) 
Giải: 
 Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) có hệ số góc k có dạng y = kx – 2k – 1 
(d) tiếp xúc với ( C ) khi hệ sau có nghiệm: 






=
−
−−=
+−
k
x
x
kkx
x
xx
2
2
2
1
12
1
 ⇔ 






=
−−
−−=
+−−
0
1)1(
12
1)1(
2
2
2
x
xk
k
x
xxk
 (II) 
Xét f(x) = 
x
xxk 1)1( 2 +−−
 thì f’(x) = 
2
2 1)1(
x
xk −−
Vậy theo kết quả (I) ta có: 
(II) ⇔ 



=−
−−=−−
1)1(
121)1(2
2xk
kxk
 ⇔ 



=−
−=−
1)1(
)1(
2
2
xk
kxxk
 ⇔



=−
−=
1)1(
1
2xk
kx
 ⇔ 




±
=
−=
2
51
1
k
kx
Từ đó tìm được hai tiếp tuyến đến đồ thị là y = 1)2(
2
51
−−
±
x 
Bài toán 2: Tìm m để từ gốc tọa độ có thể kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm 
số y = 
1
122
+
++
x
mxx
 (C) 
Nguyễn Mạnh Thắng – THCS Khánh Dương – Yên Mô – Ninh Bình 
Phương pháp giải toán sơ cấp 
Giải: Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ có hệ số góc k là: y = kx. Để (d) và (C) tiếp xúc 
nhau thì hệ sau có nghiệm: 






=
+
−++
=
+
++
k
x
mxx
kx
x
mxx
2
2
2
)1(
122
1
12
 ⇔ 






=
+
+−+−+−
=
+
+−+−
0
)1(
12)1(2)1(
0
1
1)2()1(
2
2
2
x
kmxkxk
x
xkmxk
 (*) 
Sử dụng kết quả (I) ta có: 
 (*) ⇔ 



=−−+−+−
=−+−
012)1(2)1(
02)1(2
2 kmxkxk
kmxk
Khử x ở hệ trên ta được: k2 -4(m-1)k + 4m2 = 0 (**) 
Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt. từ đó tìm 
được m < 
2
1
Bài toán 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ mà từ đó có thể kẻ được 2 
tiếp tuyến tới đồ thị (C) của hàm số y = 
x
x 12 +
 mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 
Giải: Gọi (x0; y0) là tọa độ các điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài, thì đường thẳng qua 
(x0; y0) có dạng: y = kx – kx0 + y0. (d) 
Để (d) tiếp xúc với đồ thị (C) thì hệ sau có nghiệm: 






=
−
+−=
+
k
x
x
ykxkx
x
x
2
2
00
2
1
1
 ⇔ 






=
−−
+−=
+−
0
1)1(
1)1(
2
2
00
2
x
xk
ykx
x
xk
 (1*) 
Sử dụng kết quả (I) cho (1*) thì: 
 (1*) ⇔ 



=−−
+−=−
01)1(
)1(2
2
00
xk
ykxxk
Khử x ở hệ trên ta được: k2x2 -2( x0y0 -2)k +y0
2 – 4 = 0 
Để có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân 
biệt k1; k2 sao cho k1k2 = -1 
Hay: 






≠
−=
−
>−−−
0
1
4
0)4()2(
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
00
x
x
y
yxyx
 ⇔ 





≠
=+
>−−−
0
4
0)4()2(
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
00
x
yx
yxyx
Từ đó suy ra được: Quỹ tích các điểm cần tìm là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 2 
bỏ đi các điểm (0; 2) và (0; -2).