Lý thuyết và bài tập Chương IV: Số phức

Chương IV : SỐ PHỨC
1. SỐ PHỨC
Giới thiệu về số phức : 
¨. Số i: Xét phương trình : x2 + 1= 0 (*) ( vô nghiệm trong R) 
	Đặt i2 =-1. Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm x =± i 
	Gọi i là một số phức .
¨. Căn bậc hai của một số âm : + coi 2i là căn bậc hai của -4 
	 + i là căn bậc hai của -3 
¨. Phương trình bậc hai với biệt số âm :
 Ví dụ : Xét phương trình : x2 -2x+9=0 (x-1)2 =-9 
	Giá trị : x-1 =± 3i x =1± 3i là nghiệm của pt 
Bài tập : 
1. Tìm căn bậc hai của : a) -16 	b) -11 	c) -12 
2. Tìm nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) x2 +x+1 = 0 	b) x2 -3x+3 =0 	c) x2 +2 =0 
1. Định nghĩa số phức : 
	+ Xét tập hợp C ={a+bi / a,bỴR, i2 =-1 } 
Mỗi phần tử z =a+bi Ỵ C được gọi là số phức ; a được gọi là phần thực ; b được gọi là phần ảo của z .
Ví dụ : 2+3i ; -5+i ; p-3i 
Chú ý : N Ì Z Ì R Ì C ; 
Mỗi số thực được coi như một số phức với phần tử ảo bằng 0 
+ Hai số phức bằng nhau: a+bi = c+di 
2. Biểu diễn hình học số phức : 
+ Số phức z =a+bi tương ứng biểu diễn điểm M(a;b) trên mp Oxy 
+ Mặt phẳng biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức : trục Ox gọi là trục thực ; trục Oy gọi là trục ảo 
3. Phép cộng. Phép trừ :
	(a+bi)± (c+di) = (a ± c) +(b ± d)i 
Ví dụ : (3+2i) + (5+8i) ; (7-6i) -(1+i) 
4. Phép nhân : như nhân hai nhị thức chú ý i2 =-1 
	(a+bi).(c+di) = (ac-bd) +(ad+bc)i 
Ví dụ : (5-2i)(4+3i) = ? ; ( 2-3i)(2+3i) = ? ; (-4-7i)(2-5i) = ?
Ví dụ : cho z= 2-i. Tính z2 ; z3 ?
5. Số phức liên hợp , Mô đun của số phức :
Cho số phức z =a+bi ; số phức liên hợp =a-bi 
+ Biểu diễn z và đối xứng nhau qua trục thực 
· Chú ý : = z ; 
+ Môn đun của số phức : == =
Ví dụ : Tính mô đun của các số phức sau :
a) 2-3i 	b) -1-2i 	c) -+i 	d) -11 	e) -7i 
6. Phép chia cho số phức khác 0 
¨ Nghịch đảo của số phức :
Cho số phức z khác 0 . Khi đó là số thực khác 0 
Từ công thức : z. = => =;Vậy z =a+bi thì =-i 
Chú ý : ≠ ; ≠ z2 
Ví dụ : Cho số phức z = 3-4i . Tìm =? 
¨ Phép chia :Cho hai số phức : c+di và a+bi ≠ 0 . Phép chia c+di cho a+bi là phép nhân c+di với nghịc đảo của a+bi .
	=(c+di).(-i)=+ 
Ví dụ : Tính : ; ; 
7. Một số kết quả khác 
a) Các lũy thừa của i: 
Ta có : i2 =-1 ; i3= i2.i =-i .
Suy ra : i4n =1 ; i4n+1 =i ; i4n+2 =-1 ; i4n+3 =-i  
b). Tổng và tích của hai số phức liên hợp :
Cho số phức z= a+bi Ỵ C thì =a-bi 
Ta có : z + = 2a và z. = a2 +b2 =
Ví dụ : cho z = 3-2i . Tính z+= ? ; z. = ? 
c) Liên hợp của tổng, hiệu, tích,thương các số phức :
" z1 , z2 Ỵ C ta có các tính chất sau :
	· =+	· =-
	· =.	· = ( z2 ≠ 0) 
Ví dụ : cho z1= -3+2i , z2 = 4-3i . Tính ; ; ; 
Bài tập :
1) Tìm các số thực x, y biết :
a) (-3x-9)+3i =12+(5y-7)i 	b) (2x-3)-(3y+1)i=(2y+1)+(3x-7)i
2. Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa ĐK :
a) Phần thực của z bằng -2 	b) phần ảo của z bằng 2 
c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1;2) d) Phần ảo thuọc đoạn [1;2] 
3) Tính môn đun của số phức z :
a)z=2-i	b) z=-2i 	c) z =-11 	d) z =7i 
4. Thực hiện các phép tính :
a) (3-5i) +(2+4i) 	b) (11-6i)-(2-4i) 	c) (3-i)(-2+5i) 
d) 2i(7-4i) 	e) 	f) 
g) (3-i)(4+2i)(-2+3i) 	h) 2i(-6+i) -11i 	i) 
5. Thực hiện các phép tính :
a) (3+2i)(1-i) +(3-2i)(1+i) 	b) +
c) 	d) (1+i)2 	e) (1+i)3 
f) (1-i)2009 	g) i17 	h) (1+i)2008 	i) 	h) i2008 = ? 
6. Cho z= -+i. Hãy tính : ; ; z2 ; ; 1+z +z2
7. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn từng điều kiện sau :
a) =1 	b) =1 	c) = 	d) z2 là số thực âm 
e) z2 =	f) là số ảo 
----------¨¨¨----------