Luyện thi Đại học - Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số (phần 1)

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 
..
 Ứng Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số 
 (phần 1) 
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Định lí 1:
 Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một nghiệm 
Chứng minh: 	
 Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x = nghĩa là 
Nếu thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu thì phương trình vô nghiệm
Chú ý : 
Nếu hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một nghiệm 
Cách chứng minh hoàn toàn giống với định lí được phát biểu ở trên 
Ví dụ 1: 
 Giải phương trình 3x = 4 - x.
Bài giải: 
Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0.
Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 " x ÎR. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R. phương trình (1) có không quá một nghiệm . mà f(1) = 0 ; vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình 
ví dụ 2 : 
giải phương trình : 
bài giải : 
điều kiện : 
xét hàm số xác định và liên tục trong nửa đoạn 
ta có với mọi ; vậy hàm số đồng biến trên nửa đoạn phương trình (1) không có quá một nghiệm . mặt khác là nghiệm duy nhất của phương trình 
Ví dụ 3: 
Giải bất phương trình sau : (1)
Bài giải :
(1) 
Đặt 
Phương trình trở thành : kết hợp điều kiện 
 ta được : 3 (2) ; điều kiện 
http:chuyentoan.wordpress.com
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 
..
xét hàm : ; hàm số xác định và liên tục trên 
ta có hàm số đồng biến trên ; mặt khác nên vậy nghiệm của bất phương trình là hay 
Ví dụ 4: 
 giải bất phương trình 
bài giải: 
Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) = .
Ta có f’(x) = " x Î (- 6; 7). 
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7] 
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ³ f(3) Û x ³ 3. 
 Bài Tập áp dụng 
bài tập 1: Giải phương trình 
bài tập 2: Giải phương trình : 
bài tập3: Giải phương trình: 
bài tập 4: Giải phương trình: 
bài tập 5 :Giải bất phương trình 
bài tập 6: Giải bất phương trình 
bài 8 : Giải bất phương Trình .
Bài tập 9: Giải bất phương trình 
Bài tập 10 : Giải bất phương trình 
Định lý 2 : cho hàm số ; xác định trên D 
Nếu là hàm luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , với 
Nếu phương trình 
Nếu phương trình 
Vậy để thì ( khi là hàm luôn nghịch biến làm hoàn toàn tương tự)
Ví dụ 1 : 
 Giải phương trình : 
Bài giải: 
Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với
 (*)
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 
..
Xét hàm số f(t) = .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ¥)
 f’(t) = > 0 "t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ¥)
Phương trình (*) Û f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)
Û x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 Û 
Ví dụ 2 : 
 Giải phương trình : (1) 
Bài giải : 
 (1) xét hàm trung gian : ; 
 , vậy là hàm đồng biến 
vậy 
 Bài Tập Áp Dụng
Bài tập 1: Giải hệ phương trình 
Bài tập 2: Giải hệ phương trình 
Bài tập 3: Giải hệ phương trình 
Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
Bài tập 5 : giải phương trình 
Bài tập 7 : giải và biện luận theo m : 
Bài tập 8 :Giải hệ Phương Trình 
Bài tập 9 : Giả hệ phương trình 
Bài giảng này gồm tất cả 10 phần trên đây là phần 1 , các phần tiếp theo tôi tiếp tục đăng trên trang web của tôi để các bạn tham khảo 
 Nha trang 8/2009