Luyện thi đại học môn Toán - Ứng dụng tính đơn điệu

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Tóm tắt kiến thức
1. Bất phương trình f(x) ³ m đúng với mọi x thuộc khoảng khi và chỉ khi trên khoảng , đường thẳng y = m nằm dưới đồ thị của hàm số y = f(x).
2. Bất phương trình f(x) ³ m có nghiệm trên khoảng khi và chỉ khi trên khoảng , đường thẳng y = m và đồ thị của hàm số y = f(x) có điểm chung hoặc đường thẳng y = m nằm dưới đồ thị của hàm số y = f(x).
II. Phương pháp giải toán và các ví dụ minh họa
Dưới đây, thay cho khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng, ta viết chung là K.
1. Phương pháp độc lập tham số với biến số
Dạng toán: Tìm tham số m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (nghịch biến) trên K.
Cách giải:
+ Tính đạo hàm f ’(x, m)
+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Û f ’(x, m) ≥ 0 ( f ’(x, m) £ 0), "xÎK. Viết bất phương trình f ’(x,m) ≥ 0 ( f ’(x,m) £ 0) dưới dạng g(x) ≥ h(m) (g(x) £ h(m))
+ Xét sự biến thiên của hàm số g(x) trên K, từ đó tìm được m.
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên (-1; 1).
Giải
+ Hàm số xác định trên (-1; 1)
+ Ta có 
+ Hàm số nghịch biến trên (-1; 1) khi và chỉ khi:
y’ £ 0, "xÎ(-1; 1) Û (1) "xÎ(-1; 1)
+ Xét hàm số g(x) = -3x2 - 6x trên (-1; 1)
g’(x) = - 6x - 6, g’(x) = 0 Û x = -1
Bảng biến thiên của g(x):
x
-1 1
g’(x)
 -
g(x)
3
-9
Từ bảng biến thiên suy ra (1) đúng với mọi x thuộc khoảng (-1; 1) khi và chỉ khi đường thẳng y = m nằm dưới đường cong y = g(x).
Vậy các giá trị cần tìm là 
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥).
Giải
+ Hàm số xác định trên (2; +¥)
+ Ta có 
+ Hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û y’ ³ 0 "xÎ(2; +¥)
Û "xÎ(2; +¥)
Û "xÎ(2; +¥)
Û "xÎ(2; +¥) (vì nên )
+ Xét hàm số trên (2; +¥)
Bảng biến thiên của g(x):
x
2 +¥
g’(x)
+
g(x)
+¥
3
Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là m £ 3.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm sốđồng biến trên [2;+¥).
Giải
+ Hàm số xác định trên [2;+¥)
+ Ta có: 
 (vì x2 –2x+3 > 0,)
+ Xét g(x) = trên 
g'(x) = ; g'(x) = 0 
Bảng biến thiên của g(x):
x
2	 
g'(x)
	 -	 0	+
g(x)
	 0
Vậy
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y = x3 - 3x2 + m2x + m nghịch biến trên (1; 2).
Giải
+ Hàm số xác định trên (1; 2)
+ Ta có y’ = 3x2 - 6x + m2
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) khi và chỉ khi: 
y’ £ 0,(1; 2) Û m2 £ 6x - 3x2,(1; 2)
+ Xét hàm số g(x) = 6x - 3x2 trên (1; 2)
g’(x) = 6 - 6x, g’(x) = 0 Û x = 1
Bảng biến thiên của g(x):
x
1 2
g’(x)
 -
g(x)
3
0
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là .
Ví dụ 5. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).
Giải
+ Hàm số xác định trên (0; 1) với 
+ Ta có:
+ Hàm số nghịch biến trên (0; 1) Û y’ £ 0,"xÎ(0; 1)
m = 0 Þ y’ = x + 3 (loại)
m ¹ 0, y’ £ 0,"xÎ(0; 1) khi và chỉ khi:
 và 
, "xÎ(0; 1)
Û, "xÎ(0; 1)
Û , "xÎ(0; 1) (vì ) 
+ Xét hàm số trên (0; 1)
(vì nên )
Bảng biến thiên của g(x):
x
0 1
g’(x)
 +
g(x)
+¥
6
Từ bảng biến thiên suy ra không có giá trị nào của m để hàm số đã cho nghịch biến trên (0; 1).
Ví dụ 6. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).
Giải
Hàm số xác định trên (-1; 1)
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên (-1; 1) Û y’ £ 0,"xÎ(-1; 1)
Ta có y’ £ 0 Û 
m = 0 Þ y’ < 0, "xÎ(-1; 1)
m ¹ 0, Û 
Xét hàm số trên (-1; 1), ta có:
; = 0 Û x = 1
Bảng biến thiên của g(x):
x
-1 1
g’(x)
 -	
 	 0
g(x)
3
-1
Từ bảng biến thiên suy ra: 
Vậy 
Dạng toán: Tìm tham số m để bất phương trình f(x, m) ≥ 0 ( f(x, m) ≤ 0) nghiệm đúng với mọi x thuộc K.
Cách giải:
+ Viết bất phương trình dưới dạng g(x) ≥ h(m) (g(x) £ h(m))
+ Xét sự biến thiên của hàm số g(x) trên K, từ đó tìm được m.
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ³ 2.
Giải
Ta có: 
x4 – 2x3 + x2 – 1 ³ (x2 – x)m, "x ³ 2 Û ,"x ³ 2
,"t ³ 2 (với t = x2 – x ³ 2, "x ³ 2) 
Xét f (t) = liên tục trên [2, +¥), ta có:
, "t ³ 2 f (t) = đồng biến trên [2, +¥)
Vậy 
Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình – x3 + 3mx – 2 nghiệm đúng với mọi x ³ 1.
Giải
Ta có: 
–x3 + 3mx – 2Û x3 + 23mx Û>3m (1) (do x³1)
Xét f (x) = liên tục trên [1; + ¥), ta có:
, "x ³ 1 Þ f (x) đồng biến [1; + ¥)
Vậy 3m < f (1) = 2 Û 
Nhận xét: Nếu cần tìm m để (1) đúng với mọi thì ta tìm m để: 
. Vậy 
Ví dụ 3. Tìm m > 0 để bất phương trình đúng với mọi x.
Giải
Đặt , bài toán trở thành: Tìm m > 0 để bất phương trình:
 đúng với mọi t > 0.
Ta có: 
 (do t > 0 nên )
Xét liên tục trên , ta có:
Bảng biến thiên của f (t):
t
0 
f ’(t)
 -
f (t)
 1
 0
Vậy 
Ví dụ 4. Tìm m để bất phương trình đúng với mọi x thuộc tập xác định của nó.
Giải
Với xÎ[– 4; 6], đặt: 
t =, 0 £ t £ 5 
Bất phương trình trở thành: t2 + t – 24 £ m
Xét hàm số f (t) = t2 + t – 24 trên [0; 5], ta có:
f’(t) = 2t + 1; f’(t) = 0 Û t =
Bảng biến thiên:	
t
	 0	5
f’(t)
 –	 0	 +	 	 +
f(t)
	 	6
	 –24
Từ bảng biến thiên suy ra 
Nhận xét: 
1) Nếu cần tìm m để bất phương trình đúng với mọi x thuộc tập xác định của nó thì ta tìm m để 
2) Nếu dạng toán yêu cầu : Tìm m để bất phương trình có nghiệm thì ta tìm m để 
Học sinh lớp 10 và 11 có thể lập được bảng biến thiên trên [0; 5] mà không cần dùng đạo hàm.
Dạng toán: Tìm m để phương trình f (x, m) = 0 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.
Cách giải: 
+ Viết phương trình dưới dạng g(x) = h(m) 
+ Xét sự biến thiên của hàm số g(x) trên tập xác định, từ đó tìm được m.
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình x4 + mx3 + x2 + mx + 1 = 0 có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau.	
Giải
Phương trình có thể viết: 
Xét trên , ta có:
, đặt t = x2 > 0 thì
f ’(x) = 0 Þ – t3 –2t2 + 2t + 1 = 0 Û (t – 1)(t2 + 3t + 1) = 0 
	t – 1= 0 (do t > 0 nên t2 + 3t + 1> 0)
Þ x = ±1 và do đó ta cũng có
 (dễ xét dấu vì x4 + 3x2 +1 > 0,"x)
Bảng biến thiên:
x
	 –1
 0	 1
f ’(x)
	– 0
 +
 + 0
 –
f (x)
Dựa vào bảng biến thiên, tìm được 
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để phương trình 4x – m.2x+1 + 2m = 0 có hai nghiệm 0 < x1 < 1 < x2.	
Giải
Đặt t = 2x (t > 0), phương trình trở thành: t2 – 2mt + 2m = 0 
m = (vì t = 1 không phải là nghiệm của phương trình)
Với mỗi t > 0, phương trình 2x = t có duy nhất nghiệm nên yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị của m để phương trình t2 – 2mt + 2m = 0 có hai nghiệm 1 < t1 < 2 < t2.
Xét trên (0; +∞)\
f ’(t) = ; f ’(t) = 0 t = 0 hoặc t = 2
Bảng biến thiên của hàm f (t):
t
0 1 2 +∞ 
f’(t)
 – 0 +
f(t)
 +∞ +∞
	 2
Vậy m > 2.
Ví dụ 3. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng y = –3 cắt đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + 2m tại bốn điểm phân biệt thỏa mãn: có đúng một điểm có hoành độ lớn hơn 1,5; các điểm còn lại có hoành độ nhỏ hơn 0,5.	
Giải
Ta có: x4 + 2mx2 + 2m + 3 = 0 – 2m = 
Xét , f(x) liên tục trên 
f’(x) = 0 x = 0 hoặc 
Bảng biến thiên của f(x):
x
–∞ –1 0 1/2 1 3/2 +∞
f’(x)
 – 0 + 0 – 0 + 
f(x)
3
+∞ +∞
49/20
129/52
 2 2 
Vậy hay .
Ví dụ 4. Biện luận số nghiệm của hệ sau theo m
Giải
Xét trên 
; 
Bảng biến thiên:
x
1	 5
f'(x)
	+
f(x)
	0	 6
2
Biện luận: 	
: hệ vô nghiệm; : hệ có một nghiệm;
: hệ có hai nghiệm; : hệ có một nghiệm;
: hệ vô nghiệm.
Ví dụ 5. Tìm m để phương trình: 
.
có hai nghiệm thỏa điều kiện 
Giải
Đặt , khi đó nếu x < 6 thì x – 4 < 2. Suy ra:
Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình 
có hai nghiệm thỏa điều kiện 
Phương trình có thể viết (vì t = 1 không là nghiệm)
Xét hàm số trên , ta có:
, 
Bảng biến thiên:
t
–1 1 
 – 0 + –
f (t)
 3 
0
Dựa vào bảng biến thiên, ta được: hoặc 
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình m(sin x + cos x) + sin2x + m – 1= 0 có nghiệm.
Giải
Đặt sinx + cosx = t, với | t |, suy ra 
Khi đó phương trình trở thành:
mt + (t2 – 1) + m – 1 = 0 t2 + mt + m – 2 = 0
2 – t2 = m(t + 1) (vì t = –1 không là nghiệm)
Xét hàm sốliên tục trên các khoảng 
 hàm số nghịch biến trên các khoảng 
đường thẳng y = m luôn cắt đồ thị hàm số f (t). 
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 7. Cho phương trình 2tan x + tan2 x + tan3 x + 2cot x + cot2 x + cot3 x = m
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải
Điều kiện: x ≠, 
Đặt tan x + cot x = t, với | t |2, tan2 x + cot2 x = t2 – 2
Ta có: 
tan3 x + cot3 x = (tan x +cot x)3 –3tan x.cot x(tan x + cot x) = t3 – 3t
Khi đó phương trình trở thành:
2t + t2 – 2 + t3 – 3t = m t3 + t2 – t – 2 = m
Xét hàm số f (t) = t3 + t2 – t – 2, f (t) liên tục trên (–;–2]; [2; +)
f’(t) = 3t2 + 2t – 1 > 0,
Bảng biến thiên:	
x
–
–2
2
+
f’(t)
+
+
f(t)
–
–4
8
+
Dựa vào bảng biến thiên, ta được: m –4 hặc m 8.
Nhận xét: 
Trong các ví dụ trên, phương pháp độc lập tham số với biến số chỉ giải được khi các số hạng chứa tham số có cùng bậc. Nếu các số hạng có chứa tham số mà các tham số này có bậc khác nhau thì không thể cô lập tham số được. Khi đó, ta có thể gián tiếp cô lập tham số bằng cách khảo sát trực tiếp chiều biến thiên của hàm g’(x, m).
Ví dụ 8. Tìm m để hàm số đồng biến trên 
Giải
Hàm số xác định trên với 
Ta có: 
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi:
Xét hàm số trên 
Bảng biến thiên:	
x	
 2m	 1	 	 	 	 
g'(x)
 	0 +	 	 +
g(x)
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần có: 
Vì nên 
Ví dụ 9. Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; 1).
Giải
Hàm số xác định trên (0; 1) với 
Ta có: 
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) y’ ≥ 0, "xÎ(0; 1) hay 
 ≥ 0, "xÎ(0; 1)
Xét (1), ta có bảng biến thiên:
x	
	m	0	1 	
g'(x)
 	0	+	 +	 +
g(x)
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần có: 
Kết hợp với điều kiện (1), ta được: 
Xét (2), ta có bảng biến thiên:
x	
	0	 1	m	
g'(x)
 	 	 	0 +
g(x)
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần có:
Kết hợp với điều kiện (2), ta được: 
Vậy m 0 hoặc 
2. Ứng dụng tổng tích các nghiệm của Định lý Viét
Dạng toán: Tìm m để phương trình f (2)(x, m) = 0 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước (Dạng toán có thể là bất phương trình).
Cách giải: 
+ Đổi biến t = x – , ta được phương trình f (2)(t, m) = 0
(Giả sử thế thì )
+ So sánh các nghiệm của phương trình f (2)(t, m) = 0 với số 0. 
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình (m+2)x2 – 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0	
	a) Có hai nghiệm đều lớn hơn 1
	b) Có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 2 < x2
Giải
Phương trình có hai nghiệm khi: 
m + 2 ≠ 0 và ∆’ = (m+1)2 – (m+2)(m+1)(m+3) ≥ 0 
hay m ≠ –2 và m ≤ –1 (*)
a) Đặt x = t + 1. Khi đó phương trình trở thành : 
(m+2)(t+1)2 – 2(m+1)(t+1) + m2 + 4m + 3 = 0
Û (m+2)t2 + 2t + m2 + 3m + 3 = 0 (1)
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương:
Hệ vô nghiệm vì 
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán.
b) Đặt x = t + 2, phương trình trở thành:
(m + 2)t2 + (2m + 6)t + m2 + 4m + 7 = 0 (2)
Khi đó x1 2 khi t2 > 0
Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm trái dấu:
(m + 2)(m2 + 4m + 7) 0,)
Vậy m < –2 là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình x2 – 2(m–1)x + m2 + 4m – 5 = 0 
a) có hai nghiệm đều lớn hơn –1;
b) có hai nghiệm đều nhỏ hơn 1;
c) có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 1 < x2.
Giải
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: (*) 
Khi đó: x1 + x2 = 2(m–1); x1x2 = m2 + 4m – 5
a) Theo giả thuyết: 
Do đó, ta có hệ:
So với điều kiện (*), các giá trị cần tìm của m là: .
b) Từ giả thuyết:
Ta có hệ:
So với điều kiện (*), các giá trị cần tìm của m là: 
 hoặc .
c) Theo giả thuyết: 
Do đó, ta có: 
Vậy các giá trị cần tìm của m là: .
Ví dụ 3. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x2 +(2m +1)x +m2 –10 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn – 6 < x1 < 1 < x2
Giải
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi: 
∆ = (2m+1)2 – 4(m2 – 10) > 0 hay m > (1)
Khi đó x1 + x2 = – 2m – 1 và x1x2 = m2 – 10 
Theo giả thuyết: – 6 < x1; – 6 < x2 nên 0 < x1 + 6; 0 < x2 + 6. 
Ta có hệ:
Mặt khác: x1 < 1 < x2 nên x1 – 1 < 0 < x2 – 1 . Do đó: 
(x1 – 1)(x2 – 1) < 0 m2 + 2m – 8 < 0 – 4 < m < 2 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được – 4 < m < 2 là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị đó.
Giải
Xét phương trình: x + m = 
Với x ≠3, phương trình tương đương với: x2 + (m+2)x+3m+1 = 0 (1)
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 
thỏa mãn x1 <3 < x2. 
Từ đó, ta có: . 
Suy ra:
(vô nghiệm)
Vậy không tìm được m thỏa yêu cầu đề bài.
Ví dụ 5. Cho hàm số (H). Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Giải
Xét phương trình: 
 Với x ≠, phương trình tương đương với: 
 (1)
 Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 
thỏa mãn hoặc 
Đặt phương trình (1) trở thành :
 (2)
Ta cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn hoặc (hai nghiệm cùng dấu)
Vậy và là các giá trị cần tìm.
Trước khi kết thúc, ta lấy lại một ví dụ ở trang 11.
Ví dụ 6. Tìm m > 0 để bất phương trình đúng với mọi x.
Giải
Đặt , bài toán trở thành: Tìm m > 0 để bất phương trình:
 (1) đúng với mọi t > 0.
 f (t) có 
Nếu thì và nghiệm của bất phương trình (1) là: 
 hoặc (2) với là các nghiệm của tam thức f (t) 
Vì nên . Do đó, từ (2) suy ra f (t) > 0 không luôn đúng với mọi t > 0. Vậy không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nếu thì đúng với mọi t > 0
Vậy là các giá trị cần tìm.