Luyện thi Đại học môn Toán - Ứng dụng tích phân

chuyên đề: ứng dụng tích phân
 tính thể tích vật thể
I.Lý thuyết
1.Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b khi quay xung quanh trục Ox là:
 V = 
*Cho hàm số x = g(y) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b khi quay xung quanh trục Oy là:
 V = 
2.Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a; y = b khi quay quanh trục Ox là:
 V = 
II.CáC bài toán thường gặp
1.Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y = f(x); y = 0 và x = a; x = b khi quay quanh trục Ox.
*Phương pháp giải:
 áp dụng công thức: V = 
*Bài tập áp dụng:
VD1: Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = xe, trục Ox và x = 0; x = 1.
Giải:
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = 
Xét I = 
Đặt 
Khi đó: I = - = e – 2J (1)
Tính J = 
Đặt 
Khi đó: J = - = e – = 1 (2)
Từ (1) và (2) I = e – 2
Vậy V = (e – 2) (đvtt).
VD 2: (ĐH Nông Nghiệp- 99)
Cho hình (D) giới hạn bởi các đường: y = ; y = 0 và x = 0; x = .
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho (D) quay quanh trục Ox.
Giải:
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = = 
 = = 
 = = (đvtt)
VD 3: Tính thể tích khối tròn xoay do hình (H) giới hạn bởi: y = 
trục Ox và x = ; x = 
Giải:
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = = = 
 = + = - (đvtt)
VD 4:( HVNH.TPHCM- 99)
Cho (H) là miền kín giới hạn bởi các đường: y = x (L), trục Ox và x = 1.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho ( H) quay quanh trục Ox.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (L) và trục Ox là nghiệm phương trình:
 x = 0 x = 0
Thể tích vật thể cần tìm:
 V =
Xét I = 
Đặt t = 1 + x dt = 3xdx
Đổi cận: x = 0 t = 1
 x = 1 t = 2
Khi đó: I = 
Đặt 
 I = - = 2ln2 - = (2ln2 – 1)
Vậy V = (2ln2 – 1) (đvtt)
*Chú ý: Bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi: y = f(x); y = 0 hoặc y = f(x);
 y = 0 và x = a.Khi đó giải phương trình f(x) = 0 để tìm cận.
VD 5: ( ĐH-CĐ - Khối B- 2007)
Cho hình (H) giới hạn bởi : y = xlnx; y = 0 và x = e .Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.
Giải:
Xét phương trình: xlnx = 0 x = 1
Thể tích vật thể cần tìm:
 V =
Xét I = Đặt 
Khi đó: I = - = - J
Tính J: Đặt 
Khi đó: J = - = - = + 
I = - 
Vậy V = (- 2) (đvtt)
VD 6: (ĐH Y Hà Nội – 99)
Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình elip: + = 1 khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
Hình elip trên nhận Ox làm trục đối xứng nên khối elipxôit tròn xoay được sinh ra bởi nửa phía trên Ox của elip khi quay quanh Ox.
Ta có: y2 = Phương trình nửa trên Ox của elip: y = 
Thể tích cần tìm: V = = = (đvtt).
2.Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x); 
y = g(x) quay quanh trục Ox.
 *Phương pháp giải:
 + Giải phương trình: f(x) = g(x) có nghiệm x = a; x = b 
 + Khi đó thể tích cần tìm : V = 
*Bài tập áp dụng:
VD 1: ( ĐHQG Hà Nội- 99)
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 – 4x + 6 và 
y = - x2 – 2x + 6 quay quanh trục Ox.
Giải:
Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình:
 x2 – 4x + 6 = - x2 – 2x + 6 2x2 – 2x = 0 
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = 
 = = 
 = = 3(đvtt)
Chú ý: Nếu vẽ đồ thị ta có:
 V = 
VD 2: (HVQY- 97)
Cho hình phẳng giới hạn bởi : D = { y = x2 ; y = }. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh trục Ox.
Giải:
Xét phương trình: x2 = x4 = x 
Thể tích vật thể cần tìm: V = = = (đvtt).
VD 3: (ĐH Nông Nghiệp I – 99)
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường: y = và y = . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox.
Giải:
Xét phương trình: = 
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = = 
 = = với I = 
Tính I:
 Đặt x = tant , t dx = (1 + tan)dt
 Đổi cận: x = -1 t = -
 x = 1 t = 
Khi đó: I = = = 
 = = (đvtt)
Vậy V = (đvtt)
VD 4: (ĐHSP Hà Nội 2 – 99)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y = ; y = x ; x = 5.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (D) quanh trục Ox.
Giải:
Xét phương trình: = x 
Vẽ đồ thị:
Thể tích cần tìm:
 V = + 
 = + = (đvtt)
VD 5: (ĐH Y dược tp.hcm- 2001)
Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường: y = -3x + 10 ; y = 1 ; y = x2 (x > 0) và (D) nằm ngoài parabol y = x2.
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Ox.
Giải:
Xét phương trình: x2 = -3x + 10 x2 + 3x – 10 = 0 x = 2
Vẽ đồ thị:
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = + - 
 = - - = (đvtt). 
3.Bài toán3: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x = g(y); 
 x = 0 và y = a; y = b quay xung quanh trục Oy.
*Phương pháp giải:
áp dụng công thức: V = 
*Bài tập áp dụng:
VD 1: 
Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 + 1; y = 1; y = 2 và trục Oy quay quanh trục Oy.
Giải:
Ta có: y = x2 + 1 x2 = y – 1
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = = = = = (đvtt).
VD 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi elip (E): x + = 1 khi nó quay quanh trục Oy.
Giải:
Hình elip trên nhận Oy làm trục đối xứng nên vật thể tròn xoay được sinh ra bởi nửa bên phải trục Oy của elip khi quay quanh Oy.
Ta có: x2 = 1 - Phương trình nửa bên phải Oy của elip: x = 
Thể tích vật thể cần tìm:
 V = = = 4(đvtt).
VD 3: Hỡnh phẳng (H) giới hạn bởi: Parabol (P): y = x2 – 2x ; trục Oy và tiếp tuyến tại đỉnh của (P), Tớnh thể tớch khối trũn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy.
Giải:
Gọi I là đỉnh của (P) I(1;-1)
Ta cú: y= 2x – 2 y(1) = 0
Phương trỡnh tiếp tuyến của (P) tại I:
 y = y(1)(x – 1) – 1 
 y = -1
Ta cú: y = x2 – 2x x2 – 2x – y = 0 x = 1 - 
Thể tớch cần tớnh:
 V = = = 
 = (đvtt).
4.Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: x = f(y); x = g(y) và y = a; y = b.
*Phương phỏp giải:
Áp dụng cụng thức: V = 
*Bài tập ỏp dụng:
VD 1: (ĐHQG TP.HCM – 2000)
Cho (D) là miền kớn giới hạn bởi cỏc đường: y = ; y = 2 – x và y = 0.
Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay được tạo thành khi quay (D) quanh trục Oy.
Giải:
Ta cú: y = 
Tung độ giao điểm thỏa món: y = 1
:
Thể tớch cần tớnh: V = 
=(đvtt).
VD 2: Tớnh thể tớch vật thể tạo thành do miền (D) giới hạn bởi: y = 2x – x2 ; y = 0 khi nú
 quay quanh trục Oy.
Giải:
Ta cú: y = 2x – x2 x2 – 2x + y = 0 
Thể tớch cần tớnh:
V = 
 = = 
VD 3: (ĐH Hằng Hải – 2000)
Cho hỡnh phẳng (D) giới hạn bởi: y = (x – 2)2 và y = 4.
Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh ra bởi hỡnh phẳng (D) khi nú quay quanh trục Oy.
 = (đvtt).
Giải:
Ta cú: y = (x – 2)2 
Thể tớch cần tớnh:
 V = = = = (đvtt).
Bài toỏn 5: Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi một đường 
cong (C) kớn.
*Phương phỏp giải:
1/ Khi (D) quay quanh trục Ox:
 Chia đường cong (C) thành 2 cung: y= f(x) và y= f(x) với x[a;b]
 và f(x); f(x) cựng dấu
 Khi đú thể tớch cần tớnh: 
 V = .
2/ Khi (D) quay quanh trục Oy:
 Chia đường cong (C) thành 2 cung: x= f(y) và : x= f(y) với y[a;b]
 và f(y); f(y) cựng dấu.
 Khi đú thể tớch cần tớnh:
VD 1: (ĐH XD – 94)
Tớnh thể tớch hỡnh xuyến do quay hỡnh trũn (C): x2 + (y-2)2 = 1 quanh trục Ox.
 V = 
*Bài tập ỏp dụng:
Giải:
Hỡnh trũn (C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 1.
Ta cú: x2 + (y-2)2 = 1 
Thể tớch cần tớnh:
 V = = 
 Đặt x = sint , t[] dx = costdt 
 Đổi cận: x = -1 t = 
 x = 1 t = 
Khi đú: V = = = = 4 (đvtt)
VD 2: (ĐH SP Hà Nội 2 – 2001)
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy của hỡnh phẳng giới hạn bởi nửa đườnh trũn: (x-a)2 + y2 = b2 với 0 < b < a.
Giải:
Đường trũn: Tõm I(a;0), bỏn kớnh R = b.
Ta cú: : (x-a)2 + y2 = b2 
Thể tớch cần tớnh:
 V = = 
 Đặt y = bsint , t[] dy = bcostdt
 Đổi cận: x = -b t = 
 x = b t = 
Khi đú: V = = = 
 = 2 (đvtt)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tớnh thể tớch khối trũn xoay tạo nờn khi hỡnh (H) giới hạn bởi: 
 ; y = 0 và x = 0 ; x = quay quanh trục Ox.
Bài 2. (ĐH Luật – 96).
Tớnh thể tớch khối trũn xoay tạo thành khi hỡnh (H) giới hạn bởi: y = 2x2 ; y = 2x + 4
Quay quanh trục Ox.
Bài 3. (ĐHKT – 96)
Cho hỡnh (D) giới hạn bởi: y2 = (4-x)3 và y2 = 4x.
Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi (D)
Tớnh thể tớch khối trũn xoay tạo nờn khi quay (D) quanh trục Ox.
Bài 4. Cho hỡnh trũn tõm I(3;0) bỏn kớnh R = 2 quay quanh trục Oy. Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay được tạo nờn.
Bài 5. Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo thành do quay quanh Oy của hỡnh phẳng giới hạn bởi nửa đường trũn: (x-4)2 + y2 = 9.
Bài 6. Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn bởi hỡnh trũn: x2 + (y-b)2 a2
Với 0 < a < b, khi quay quanh trục Ox.
Bài 7. Tớnh thể tớch khối trũn xoay do quay quanh Ox của phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai trục tọa độ; x = 1 và y = 1 + x3.
Bài 8. Cho hỡnh (H) giới hạn bởi: ; ; và x = 0; x = 2
Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox.
Bài 9. (ĐH Nụng Nghiệp I, khối A – 99)
Cho miền phẳng (D) giới hạn bởi: y = tan3x ; y = 0 và x = ; x = 
a.Tớnh diện tớch miền (D).
b. Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay khi (D) quay quanh trục Ox.