Luyện thi Đại học môn Toán - Tập giá trị của hàm số

I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số.
1. Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số :
 Cho tập X R. ánh xạ f : X R được gọi là một hàm số xác định trên X. Tập X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f
Tập ảnh f(X)={f(x):xX} được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f .
2. Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số :
 Cho XR . Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x X xác định được một giá trị tương ứng yR thì quy tắc f được gọi là một hàm số của x và viết y=f(x). x được gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x. Tập hợp tất cả các giá trị y với y =f(x); xX gọi là tập giá trị của hàm số f.
3. Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số:
 Cho ≠ XR. Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tương ứng mỗi phần tử xX xác định duy nhất một phần tử yR.
 x được gọi là biến số hay đối số .
 y được gọi là giá trị của hàm số tại x.
 X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số.
Tập giá trị của hàm số T = f(X) ={ f(x): x X}.
II/ Tập giá trị của một số hàm số sơ cấp cơ bản.
1.Hàm hằng số : 
 Y = f(x) = c
 Tập xác định : D = R.
 Tập giá trị : T = { c} .
2.Hàm số bậc nhất :
 Y = f(x) =ax +b ( a≠0 ). 
 Tập xác định : D = R .
 Tập giá trị : T = R .
3.Hàm số bậc hai :
 y = a x2 + b x +c ( a≠0 ).
 Tập xác định : D = R.
 Tập giá trị của hàm số :
 + Nếu a > 0 , Tập giá trị của hàm số là T =[ - ; +).
 + Nếu a< 0 , Tập giá trị của hàm số là T = (-;-] .
4.Hàm số y = .
 Tập xác định : D = R .
 Tập giá trị : T = R*+ .
5. Hàm số y = .
 Tập xác định : D = R .
 Tập giá trị : T = Z .
6. Các hàm số lượng giác:
 + y = Sinx , y = Cosx có TGT là T = [ -1 ; 1] .
 + y = Tanx và y = Cotx có TGT là T = R .
 7. Hàm số mũ:
 y = ax ; 0 < a ≠ 1 :
 Tập xác định : D = R .
 Tập giá trị của hàm số : T = R*+ .
8. Hàm số Lôgarít :
 y = Logax ; 0 < a ≠ 1 :
 Tập xác định : D = R*+ .
 Tập giá trị : T = R .
III/ Một số phương pháp tìm tập giá trị của hàm số .
1.Phương pháp 1:Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách tìm tập xác định của hàm số ngược của nó .
 Ta đã biết hai hàm số ngược nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác định của hàm số kia và ngược lại. Do vậy để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tập xác định của hàm số ngược của nó:
 Ví dụ 1:
Tìm tập giá trị của hàm số y =.
Hàm số có tập xác định là D = R \ .
 Với mọi xD ta có : y =
 y(2x -1) = 3x + 5 
 ( 2y – 3) x = y + 5 
 x =.
 Biểu thức có nghĩa khi : 2y – 3 ≠ 0
 y ≠ 
Vậy tập giá trị của hàm số là : T = R\ .
 áp dụng phương pháp này ta có thể tìm được tập giá trị của một số hàm số sau coi như bài tập
 1. 2. 3. 
2.Phương pháp 2:Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm của phương trình : f(x) = y
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình f(x) = y ta đánh giá được
 y [a;b] từ đó ta tìm được tập giá trị của hàm số.
 Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = 
 Lời giải:
 Tập xác định của hàm số là D = R.
 Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình sau có nghiệm
 y = 
 y x2 +yx + y =x2 – x + 1 có nghiệm
 ( y – 1 )x2 +(y + 1 )x + y – 1 = 0 có nghiệm
 Nếu y = 1 thì phương trình có nghiệm x = 0 .
 Nếu y 1 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
 = (y + 1)2- 4(y – 1)2 0
 - 3y2 +10 y – 3 0
 .
 Vậy tập giá trị của hàm số là T = .
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số y =
 Lời giải:
 Tập xác định của hàm số là D = R.
 y là một giá trị của hàm số thì phương trình sau có nghiệm
 y =
 2y Sinx + y Cosx +3y = Sinx +2Cosx + 3 có nghiệm
 ( 2y – 1) Sinx + (y – 2) Cosx = 3 – 3y có nghiệm
 ( 2y – 1)2 +( y+2)2 (3 – 3y)2
 2y2 -5y + 2 0
Vậy tập giá trị của hàm số là T =.
* Sau đây là một số bài tập vận dụng
 Bài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa
1. 2. 3. 
 4. 
 5. 
 6. 
 7. .
Bài 2 : Tìm a và b để tập giá trị của hàm số có tập giá trị là .
Bài 3 : Tìm a để hàm số có tập giá trị là R.
Bài 4 : Tìm a để hàm số có tập giá trị chứa [-1;0] .
Bài 5: Tìm tập giá trị của hàm số 
 trên miền 
3 /Phương pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất đẳng thức.
Bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh được và chỉ ra được dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận được tập giá trị của hàm số y = f(x).
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số 
 y =x + 
Tập xác định của hàm số là : D=(-1;+)
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ; ; ta có
 x+ 
 x+
 Hay Y
 Dấu = xảy ra x+1= (x+1).=8
 x=3
 Mặt khác hàm số đã cho liên tục trên D và lim y=+
 x
 Vậy tập giá trị của hàm số là T=[2020;+).
VD2: Tìm TGT của hàm số y= + 
Lời giải: Hàm số có TXĐ là D=[-1;8]
 Dễ thấy y
Ta có :y=9 + 2 đẳng thức xảy ra x=-1 hoặc x=8y
Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có:
2x+1 +8-x =9 y9 +9 = 18y3
đẳng thức xảy ra x+ 1= 8 – x x =mà hàm số liên tục trên D
 TGT của hàm số là [3;3].
 * Nhận xét: Bằng phương pháp này kết luận dược tập giá trị của hàm số đồng thời cũng kết luận được về GTLN, GTNN của hàm số đó là một ứng dụng rất quan trọng về tập giá trị của hàm số mà chúng ta đề cập ở phần sau
 ** Sau đây là một số bài tập áp dụng:
 Bài 1: Tìm TGT của hàm số:
 y = + +.
 Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số:
 .
 Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số :
 trên miền 
4/Phương pháp tìm TGT của hàm số bằng cách khảo sát hàm số:
 Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên của hàm số . Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận về tập giá trị của hàm số .
 VD1: Tìm TGT của hàm số : y = 
 Hàm số có TXĐ: D = R
 = 
 y, = 0 x= 2; = 
Lim = lim = -1 
x x
lim = 1
x
do đó ta có bảng biến thiên
 x 
 2 
 y’ 
 + 0 -
 y
 1
-1 
Từ bảng biến thiên TGT của hàm số là T=[-1;].
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số :
 trên miền 
 Lời giải:
 Ta có , đặt với 
 thì 
Ta có bảng biến thiên
 t 
0 
 g ,(t)
 - 0 +
 g (t)
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T=.
 *Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số chúng ta còn kết luận được về GTLN, GTNN của hàm số đồng thời còn có thể biện luận về số nghiệm của phương trình và giảI được bất phương trình. Đó là những ứng dụng của tập giá trị của hàm số chúng ta sẽ xết ở phần sau
 Để xét các bài toán ứng dụng được tốt , các bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1:Tìm TGT của hàm số :y= (2 ++(2 --8[(2+)].
Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số: .
Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số 
 y = sin20x + cos20x .
Bài 4 : Tìm tập giá trị của hàm số : 
 trên miền .
IV. Một số bài toán nâng cao về tìm TGT của hàm số.
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán về tìm tập giá trị cũng như các ứng dụng của nó chúng ta cùng giải một số bài toán nâng cao. 
 Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số Y =x-+2.
 Lời giải : 
 Tập xác định của hàm số là D = R. 
 đặt t= , thì t Khi đó ta có y = g(t)= t- 6t + 2 với t
 y=g(t)= 2t – 6
 g(t) = 0 
Bảng biến thiên 
 t
0 3 
 y
	- 0 +
 y
2	
 -7
 Vậy TGT của hàm số là: T=
 Bài 2: Tìm TGT của hàm số
 y= với a
 Lời giải:
 đặt z = thì y = với z và y 
 Ta có z( x2+36) = 12x(x-a)
 (12 –z) x2 – 12ax – 36 z = 0
 để 0 z Tập giá trị của hàm số thì phương trình trên phải có nghiệm 
 Nếu z = 12 thì phương trình ax +36 = 0 x = 
 Nếu z thì phương trình có nghiệm 
 z2 -12z- a2 
 Do nên 
 z 
 Vậy tập giá trị của hàm số là T = .
 Bài 3 : Tìm a để tập giá trị của hàm số y = chứa .
 Lời giải:
 Nếu a = -1 thì y = 
 tập giá trị của hàm số là không chứa 
 Nếu a thì y = 
 y(x2+a) = x+1
 yx2 – x + ay – 1 = 0
 xét y x = - 1
 xét y ta có y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình yx2 – x + ay – 1 = 0 có nghiệm
để tập giá trị của hàm số chứa [0 ; 1] thì đúng với mọi y
+ nếu a=0 thì g(y) = -4y – 1 
 tập giá trị của hàm số là 
+ nếu thì luôn đúng
+ nếu thì 
Kết hợp các khả năng đã xét ta có các giá trị của a thoả mãn bài toán là 
 .
Bài 4 : Tìm miền giá trị của hàm số y = 2000x + 2000-x
 Lời giải:
 Tập xác định của hàm số là D = R
 Với mọi x ta có 2000x > 0 và 2000-x > 0
 áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
Mặt khác ta có: 
Do đó tập giá trị của hàm số là T= .
Bài 5 : Tìm miền giá trị của hàm số y =
 Lời giải:
 Tập xác định của hàm số là D = R\
 Với mọi x khác 0 ta có 
 dấu = xảy ra khi 
 Vậy tập giá trị của hàm số là .
Bài 6 : Tìm tập giá trị của hàm số 
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
 Ta có 
 dấu = xảy ra khi x= 1 hoặc x= -1
 Mặt khác với x = 0 ta có y = 0
Vậy tập giá trị của hàm số là T = [ -1 ; 1 ]
Bài 7: Tìm miền giá trị của hàm số y = lg(1- 2cosx).
Lời giải:
 Biểu thức xác định hàm số có nghĩa khi
 1 – 2cosx > 0 cosx < 
 mặt khác : 1 – 2cosx 
 nên y
Vậy tập giá trị của hàm số là T =.
Bài 8 : Tìm tập giá trị của hàm số y =
 Lời giải:
 Để tìm tập giá trị của hàm số ta tìm y để phương trình 
 y = có nghiệm 
 y + y Cos 2 x = 1 + Sin2 x
 y + y ( 1 - Sin2 x) = 1 + Sin2 x
 ( y + 1) Sin2 x = 2y – 1
 Với y = -1 phương trình trở thành : 0 = -1 phương trình vô nghiệm
 Với y phương trình tương đương 
 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
 Vậy tập giá trị của hàm số là T =.
V/ ứng dụng của tập giá trị của hàm số .
 Sử dụng các bài toán về tìm tập giá trị của hàm số chúng ta đông thời giải quyết được một số bài toán quan trọng thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các trường ĐH- CĐ.
1.ứng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức.
 VD 1: chứng minh rằng : ln(1+x) > x - với mọi x > 0 .
 Lời giải:
 xét hàm số trên 
 có 
 Bảng biến thiên:
 x
0 
 f ‘(x)
 +
 f (x)
0
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là:
 Vậy f (x) > 0 với mọi x hay ta có điều phải chứng minh.
 VD 2: Chứng minh rằng 
 Lời giải:
 đặt và 
 với 
 xét hàm số trên 
 có 
 bảng biến thiên
 x
1 
 f’(x)
 +
 f (x)
2
Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh.
2/ ứng dụng 2: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số hay một biểu thức
 VD 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + Cos2x trên .
 xét hàm số y = x + Cos2x trên .
 Có y ‘ = 1 – Sin2x với .
 Bảng biến thiên
 x
0 
 y ‘
 +
 y 
1
 Từ bảng biến thiên ta có 
 Maxy = ; Min y =1.
VD 2: Cho x,y là 2 số không đồng thời bằng 0
 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 A = 
 Lời giải:
 Nếu y = 0 thì và A = 1
 Nếu y ta có A =
 đặt ta có A = 
 Bằng cách khảo sát hàm số ta lập được bảng biến thiên của hàm số như sau
 t
 A’
 + 0 - 0 +
 A
1 1
 Từ bảng biến thiên ta có kết luận:
 Min A = ; Max A = 	
ứng dụng 3: ứng dụng vào việc giải phương trình
VD1: Giải phương trình: + .
Xét hàm số trên R
BBT:
 x
- -13 13 +
f
 + // + // +
 f 
 Nhận xét thấy tại x= 14 thì f(x) = 4 mà hàm số luôn đồng biến trên R. Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất x = 14
VD2: Tìm b để pt sau có nghiệm:
 *Nhận xét: Nếu áp dụng điều kiện có nghiệm của pt trùng phương thì bài toán trở nên rất phức tạp, nhiều trường hợp xảy ra.
ở đây chúng ta sử dụng phương pháp hàm số như sau:
 Phương trình 
 đặt thì và 
 Xét hàm số f(t) = 
 f f
 BBT:
 t
0 1 +
 f
 - 0 +
 f (
2 +
 1
Từ BBT ta thấy pt có nghiệm 
VD3: Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của pt
 Phương trình 
Xét hàm số f(x) = TXĐ: D = R
Bằng cách khảo sát hàm số ta có BBT như sau 
X
- 1/3 +
f
 + 0 -
f (x)
-1 1
Từ BBT ta có kết quả sau pt vô nghiệm
 pt có 1 nghiêm
 pt có 2 nghiệm
 pt có 1 nghiệm
 pt vô nghiệm
ứng dụng 4: ứng dụng vào việc giải BPT
VD1: Giải BPT: 
 trên R
 Có f(1) = 0
Và f
 =
 = Hàm số đồng biến trên R 
BBT:
- 1 +
 f
 +
 f 
 0
 Từ bảng biến thiên ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình là:
 D = .
VD2: Giải bất phương trình:.
 Lời giải:
 Bất phương trình tương đương 
 xét hàm số là hàm số nghịch biến trên R
ta có bảng biến thiên
- 2 +
 f
 +
 f
+
 1
 0
Từ bảng biến thiên ta có tập nghiệm của bất phương trình là 
 * Trên đây chúng ta đã xét một số phương pháp tìm TGT của hàm sốvà một số ứng dụng của nó. Sau đây chúng ta tự làm một số bài tập để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán. Một bài toán thì có thể có nhiều phương pháp giải chúng ta hãy giải các bài tập dưới đây bằng nhiều phương pháp và chọn một cách giải phù hợp nhất.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm TGT của các hàm số sau:
1. 2. 
3. 4. 
5. 
Bài 2: Tìm m để hàm số có TGT là.
Bài 3: Tìm m và n để TGT của hàm số 
 là .
Bài 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số :.
Bài 5: Tìm k để hàm số có GTNN nhỏ hơn -1.
Bài 6: Tìm m để hàm số có GTLN đạt GTNN.
Bài 7: CMR : với .
Bài 8: CMR: với .
Bài 9: CMR: với .
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số .
Bài 11: Cho x, y thoả mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
 A = .
Bài 12: Cho x, y và thoả mãn .Tìm GTNN của biểu thức: M M = .
Bài 13: Cho x,y và thoả mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = .
Bài 14: Cho x, y thay đổi và thoả mãn điều kiện: .Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: p = .
Bài 15: Cho . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 M = .
Bài 16: Tìm m để BPT sau có nghiệm .
Bài 17: Giải hệ phương trình: 
Bài 18 : Cho . CMR : .
Bài 19: Cho pt .
 a. CMR với , pt luôn có 1 nghiệm dương duy nhất
 b. Với giá trị nào của m nghiệm dương đó là nghiệm duy nhất của phương trình.