Luyện thi Đại học môn Toán - Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

 mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
 Phần 1: Lý thuyết
I. Định nghĩa : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (Đ) gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện (Đ).
Từ định nghĩa suy ra : Tâm mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện.
II. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ
1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
 a.Trục của đường tròn ( O; R ) : Đường thẳng d gọi là trục của đường tròn 
(O; R) khi và chỉ khi d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.
 b. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Hình chóp S.A1A2...An nội tiếp mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
 Chứng minh:
 Giả sử hình chóp S.A1A2...An nội tiếp trong mặt cầu (S). Khi đó, các đỉnh A1, A2, ..., An của hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp và đồng thời nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt mặt cầu. Do vậy, đa giác đáy nội tiếp trong đường tròn đó.
 Ngược lại, S.A1A2...An có đáy A1, A2, ..., An nội tiếp trong đường tròn (C)
thì ta gọi là trục của đường tròn đó và gọi O là giao điểm của với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn SA1. Khi đó, OS = OA1 = OA2= ... = OAn . Vậy hình chóp có hình cầu ngoại tiếp, đó là mặt cầu tâm O, bán kính R.
 c. Nhận xét
 Phần thứ hai của việc chứng minh bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp ( trong trường hợp ta đã biết hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp ).
 Việc xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ dễ hơn nếu ta biết trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy đồng phẳng với một cạnh bên bất kỳ. Khi đó, mặt phẳng trung trực của một cạnh bên sẽ được thay thế bằng đường trung trực của cạnh bên đồng phẳng với 
 Ta cũng có thể xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo định nghĩa, tức là xác định điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp, thông thường là các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng dưới một góc 900, hoặc là phải dựa vào các yếu tố cân, đều của hình chóp ...
 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
 a. Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
 Chứng minh :
 Nếu (H) là một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy (H) phải là hình lăng trụ đứng. ngoài ra, vì (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
 Ngược lại, cho (H) là hình lăng trụ đứng có các đường tròn (C), (C’) ngoại tiếp hai đa giác đáy. Gọi I, I’ lần lượt là tâm hai đường tròn đó thì
 II’ là trục của hai đường tròn. Vì vậy, gọi O là trung điểm của đoạn II’, suy ra O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp.
 b. Nhận xét
 - Việc chứng minh ý hai của bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
 - Cũng tương tự hình chóp ta còn tìm một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ.
 ***********************************
 Phần 2: Một số dạng bài tập áp dụng
 Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
 Trong dạng bài tập này ta sẽ xét một số bài tập xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, hình lăng trụ đứng có đáy là các đa giác dễ xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp nó.
 Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là φ.
O
S
A
B
C
M
G
N
I
 Lời giải:
 Giả sử S.ABC là hình chóp tam giác
đều cạnh đáy a. Gọi M là trung điểm BC,
 G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó, 
theo giả thiết của bài toán thì SG chính
là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC và = φ .
 Gọi I là trung điểm SA, kẻ đường trung 
trực của SA cắt SG tại O, ta có :
OS = OA = OB = OC, suy ra O chính là tâm 
của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp, 
bán kính OS.Ta có AM = 
suy ra ; . Trong tam giác vuông SGM
 ta có : , trong tam giác vuông SGA: 
 Hai tam giác vuông SGA và SIO đồng dạng nên ta có , suy ra:
. Vậy bán kính của mặt cầu (S) là.
 Nhận xét: 
 Trong bài toán xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta hay phải giải quyết các bài toán liên quan như : xác định khoảng cách , xác định góc. Do vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phải xác định một cách chính xác hai bài toán xác định hình trên. Chẳng hạn, khi ta xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp hay hình lăng trụ thì ta thường tìm hai điểm cách đều các đỉnh của hình chóp và hình lăng trụ, hoặc tìm một điểm cách đều các đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy...
 Cũng với dạng bài toán trên ta có thể đưa ra rất nhiều bài toán tương tự như sau:
 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều trong các trường hợp sau:
 a. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b 
 b. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ
 c. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ
 d. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng φ
 e. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, chiều cao h
 f. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt bên bằng φ
 g. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng a. 
 2. Hoàn toàn tương tự ta cũng có các câu hỏi trên khi thay hình chóp tam giác đều bằng hình chóp tứ giác đều
 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK.
 Bài 2: (Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA vuông góc với đáy, SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a.
 Lời giải:
 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, d là đường thẳng qua G và vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Khi đó, d chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC . I là trung điểm SA suy ra SA // d. Gọi I là trung điểm SA, kẻ đường trung trực của SA qua I cắt d tại O. Khi đó, OS = OA = OB = OC, suy ra
G
S
A
B
C
M
N
O
I
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC,
bán kính R = OS. Tương tự bài 1 ta có 
, ,
 suy ra 
 Nhận xét : 
 - Trong trường hợp hình chóp có một cạnh 
bên vuông góc với đáy thì trục của đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy và cạnh bên này luôn đồng phẳng.
 - Ngoài cách xác định tâm mặt cầu theo cách 
hình học cổ điển như trên, trong những bài toán dạng này ta còn có thể sử dụng phương pháp tọa độ để làm.
 - Ngoài việc cho một cạnh bên vuông góc với đáy trực tiếp như trên thì có những bài toán cạnh bên như vậy được cho là giao tuyến tuyến của hai mặt bên vuông góc với đáy.
 Chẳng hạn, ta xét bài toán sau : 
 Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biêt SA = h.
 Lời giải bài toán trên hoàn toàn đơn giản, vì trục của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là đường thẳng qua O và song song với SA.
 Đáp số : 
 Hoàn toàn tương tự ta cũng có các bài toán sau:
 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a.
 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình vuông cạnh 2a. 
 3. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình thang cân nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a.
 4. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết ba góc đỉnh S bằng 900 và SA = a, SB = b, SC = c. 
 5. Cho tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A.
 Chứng minh rằng hình chóp SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 
 6. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. Tính bán kính R khi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. 
 Đáp số: a. ACSB b. 
 7. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy ( S, A cố định ), SA = h cho trước, ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp trong đường tròn đã cho mà AC vuông góc với BD.
 a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
 b. Tứ giác ABCD là hình gì để thể tích hình chóp S.ABCD lớn nhất ?
 Đáp số: a. b. ABCD là hình vuông
 8. Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB = 2R, M là một điểm chuyển động trên đường tròn , MH vuông góc với AB tại H sao cho AH = x, 
0< x < 2R. Dựng đường thẳng vuông góc với (P) tại M trên đó lấy điểm S sao cho MS = MH. Xác định tâm và tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM. Tìm x để r lớn nhất.
 Đáp số : ; r lớn nhất khi x = R
 Bài 3: ( Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy )
 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau, góc BDC bằng 900 .
 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b.
 Lời giải: 
A
B
C
D
M
N
O
 Gọi M là trung điểm BC, do hai mặt phẳng 
(ABC) và (BCD) vuông góc với nhau nên 
AM (BCD), mặt khác, tam giác BCD 
vuông tại D nên M chính là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCD, suy ra, AM
là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
BCD . Do vậy, tâm và bán kính của mặt 
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính 
là tâm và bán kính của đường tròn ngoại
 tiếp tam giác ABC.
 Tam giác ABC có AB = AC = a, BC = b suy ra
và SABC=.Do vậy, 
 Nhận xét: 
 - Với hình chóp có một mặt bên (P) vuông góc với đáy thì trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thường là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) hoặc là một đường thẳng song song với một đường nằm trong (P) và vuông góc với đáy.
 Một số bài toán tương tự :
 1. Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác cân AB =AC = a, hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc với nhau và SA = SB = a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SC = x. 
 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD). Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 Đáp số : 
 3. Cho tứ diện SABC có góc ASB bằng 1200, góc BSC bằng 600, góc CSA bằng 900, xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
 4. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = a, AD = b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
 Đáp số :
 Bài 4: ( Chứng minh các điểm cùng thuộc một mặt cầu)
 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, AB = c, AC = b, góc BAC = φ. Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A, B, C, B1, C1 .
 Lời giải :
S
A
B
C
D
B1
C1
φ
 Gọi AD là đường kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Khi đó, vì BD AB và BD SA nên
BD (SAB) suy ra BD AB1 mà 
AB1 SB (giả thiết) nên AB1 (SBD)
suy ra AB1 DB1. Chứng minh tương
tự ta cũng có AC1 DC1, như vậy 5 
điểm A, B, C, B1, C1 cùng nhìn AD 
dưới một góc 900 hay 5 điểm này nằm 
trên mặt cầu đường kính AD.
Ta có, SABC= = suy ra
 mà theo định lý côsin ta có
a = b2 + c2 – 2bc.cos φ, do vậy 
 Nhận xét : 
 - Đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một mặt cầu, ta thường phải chứng minh chúng cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc 900, hoặc chúng cùng cách một điểm cố định cho trước một khoảng không đổi.
 Các bài toán tương tự:
 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = b, đường cao của hình chóp là SA. Gọi B1, C1, D1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
 a. Chứng minh rằng A, B1, C1, D1 cùng thuộc một mặt phẳng vuông góc với SC.
 b. Xác định tâm và tính diện tích của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, B1, C1, D1.
 Đáp số: 
 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông , SA vuông góc với đáy, (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P.
 a. Chứng minh rằng BD vuông góc với AN
 b. Chứng minh rằng S, A, M, N, P cùng thuộc một mặt cầu
 3.Cho tam giác ABC vuông tại C, trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S. Gọi AD, AE lần lượt là hai đường cao của các tam giác SAB, SAC . Chứng minh rằng A, B, C, D, E cùng nằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
 4. Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d , góc xAy di động quanh A cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC 
 a. Chứng minh rằng A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu
 b. Tính bán kính mặt cầu trên khi AB = 2, AC = 3, góc BAC bằng 600
 Đáp số: 
 5. Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = DC = DA = a. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) ta lấy một điểm S di động . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB, SC, SD tại P, Q, R theo thứ tự đó.
 a. Chứng minh rằng 7 điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích mặt cầu đó.
 b. Chứng minh rằng CDQR là một tứ giác nội tiếp và đường thẳng đi qua QR luôn đi qua một điểm cố định khi S thay đổi trên Ax. 
 c. Cho SA = . Hãy tính diện tích tứ giác APQR.
 Bài 5 (Xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện).
Tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh còn lại có độ dài . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
 Lời giải :
A
B
C
D
O
Theo giả thiết của bài toán ta có hai tam giác 
ACD và BCD lần lượt vuông tại A và B . Gọi O
là trung điểm của CD suy ra, O cách đều tất
cả các đỉnh của hình tứ diện . 
Do vậy, O chính là tâm của mặt cầu ngoại 
tiếp tứ diện ABCD và bán kính của mặt cầu là:
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 3; 
AC = BD = 5; AD = BC = 6. Xác định tâm 
và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
 Lời giải :
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì dễ thấy IJ AB 
và IJ CD, bởi vậy: 
Nếu gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB,
A
B
C
D
O
I
J
OC = OD. Ngoài ra, vì AB = CD = 3 nên 
hai tam giác vuông OIB và OIC bằng nhau,
do đó OB = OC. Vậy O cách đều bốn đỉnh
A, B, C, D. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
có tâm O và có bán kính R = OA.
 Ta có:.
Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC 
nên 
 Suy ra . 
 Như vậy :
 Bài 6 ( một số bài toán về hình lăng trụ)
 1. Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1, đáy ABC là tam giác có góc BAC bằng 1200 , AB = a, AC = 2a, đường chéo AB1 của mặt bên ABB1A1 tạo với đáy 
một góc 750. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
I
O
E
E1
 Lời giải: 
 Trong tam giác ABC theo định lý 
côsin ta có : BC2 = 
AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos1200 =
 a2 + 4a2 + 2a2 = 7a2 
mà BC = 2Rsin1200 nên bán kính r 
của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC bằng :
 .Theo giả thiết 
AB1 tạo với đáy một góc 750
nên góc BAB1 = 750 suy ra, trong 
tam giác vuông ABB1 ta có :
 Gọi E, E1 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A1B1C1. Khi đó, EE1 là trục của các đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là trung điểm BB1 kẻ đường trung trực của BB1 cắt EE1 tại O suy ra OA = OB = OC = OA1 = OB1= OC1 hay O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bán kính R = OB.
 Ta có OI = EB = r , áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OIB ta có:
OB2 = OI2 + IB2 = 
 2. [Đại học Sư phạm Vinh 2000] Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 có AB = p, AD = q, AA1 = r, 0 < p < q < r. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, C1D1, và M, N là các điểm thỏa mãn (1)
 a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BDA1)
 b. Chứng minh rằng với mỗi k thỏa mãn (1) thì I, M, J, N cùng thuộc một mặt phẳng. Tìm k để MN vuông góc với IJ
 c.Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABDA1 và tâm H của đường tròn là giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (BDA1)
 Lời giải : 
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với A(0 ; 0 ; 0) , B(0 ; p ; 0) , D(q ; 0 ; 0) ,
 C(q ; p ; 0) , A1(0 ; 0 ; r) B1(0 ; p ; r), C1(q ; p ; r), D1(q ; 0 ; r).
 a. Mặt phẳng (BDA1) có phương trình : 
Suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA1) là:
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
z
I
J
M
N
x
y
 b. Theo giả thiết ta có : 
; M(kq ; 0 ; 0)
N(0 ; p ; kr) suy ra :
. 
Dễ thấy nên bốn điểm
 I, M, J, N luôn đồng phẳng.
 ,
 MN vuông góc với IJ khi và chỉ khi
 (vì r > q)
 Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABDA1 cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, tức là trung điểm của đường chéo AC1,do đó và bán kính . Điểm H cần xác định chính là hình chiếu vuông góc của O xuống mặt phẳng (BDA1). Mặt phẳng này có véc tơ pháp tuyến cũng là véctơ chỉ phương của đường thẳng OH suy ra đường thẳng này có phương trình là: thay vào phương trình của mặt phẳng (BDA1), ta được : suy ra H có tọa độ : 
 Nhận xét : Đối với bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bất kỳ thì việc xác định là khó khăn, nhưng lại có một đặc điểm thuận lợi là các tứ diện này thường nằm trong một hình hộp đặc biệt chẳng hạn như hình hộp chữ nhật hay hình lập phương . Khi đó để giải quyết bài toán ta thường dùng phương pháp tọa độ.
 Bài tập tương tự : 
 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cạnh là 1, 2, 3 . Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho AM = 2MC; N là điểm trên đoạn BA’ sao cho NA’ = 2NB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AMNA’ 
 Dạng 2 : Các bài toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
 Trong dạng bài tập này ta xét một số bài toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện , chẳng hạn khi cho biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta có thể tính cạnh của hình đa diện...
 Bài 1 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, tính a biết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng 1.
 Lời giải:
A
B
D
I
O
H
M
C
 Gọi M, H, I lần lượt là trung điểm CD,
trọng tâm tam giác BCD và trung điểm
AB suy ra AH là trục của đường tròn 
ngoại tiếp tam giác BCD, trong mặt 
phẳng (ABH) kẻ đường trung trực của
AB cắt AH tại O. Khi đó, O chính là
tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
ABCD, bán kính R = OA = 1.
 Ta có : BM = ; ;
; Xét hai tam giác vuông đồng 
 dạng AIO, AHB ta có: 
 Bài 2: Cho hình cầu bán kính R. Từ điểm S trên mặt cầu dựng ba cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho các góc .
 a.Tính thể tích V của tứ diện ABCD theo R và .
 b. Xác định để V lớn nhất.
S
A
B
C
O
S’
M
H
 Lời giải :
 a. AB = BC = CA vì các tam giác 
SAB, SBC, SCA bằng nhau. Kẻ SH (ABC) 
thì HA = HB = HC do SA = SB = SC. 
Vậy SABC đều. SH cắt mặt cầu tại S’ . 
AH cắt BC tại trung điểm M của BC. Đặt SA = 
= SB = SC = x. Vì x2 = SA2 = SH.SS’ = 
= SH.2R nên .
 Vì nên,
suy ra HC = HA = .
 SC2 = SH2 + HC2 
V = =
 = .
 b. Để tìm GTLN của V ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm, hoặc bất đẳng thức Côsi. Đáp số Vmax = khi = 600 hay ABCD là tứ diện đều. 
 Bài 3: Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS’. Một mặt phẳng vuông góc với SS’ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là một tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < R).
 a. Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R và x.
 b. Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh rằng S’A, S’B, S’C đôi một vuông góc.
 Đáp số : a. SA = SB = SC = ; AB = BC = CA = 
 b. ; S’A2 + S’B2 = AB2
 Kết luận : Trên đây là một số dạng bài tập về mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện , nhóm tác giả đã cố gắng sưu tầm và chế biến và sau đó là sắp xếp lại để tạo thành một bài viết nhỏ, với hy vọng rằng có thể giúp ích được một phần nhỏ nào đó trong công việc giảng dạy của các thầy cô giáo. tuy nhiên do thời gian chưa có nhiều và do yêu cầu hạn chế của nội dung nên bài viết không tránh khỏi những sai sót, kính mong quý thầy cô tham khảo đóng góp ý kiến để bài viết này được hoàn thiện.
 Xin chân thành cám ơn Quý thầy cô!