Luyện thi đại học - Bài 7: Tiếp tuyến, tiếp xúc và tương giao

Bài 7: Tiếp tuyến, tiếp xúc và tương giao
1. Phương trình tiếp tuyến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
* Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) ẻ (C):
y - y0 = f’(x0)(x - x0).
* Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có f’(x0) = k. 
+Giải phương trình ta tìm được x0, rồi tìm y0 = f(x0)
Từ đó ta viết được phương trình.
Chú ý: Nếu D là tiếp tuyến và:
+ D // d: y = ax + b ị kD = a.
+ D ^ d: y = ax + b ị kD = -1/a.
+ D hợp với trục Ox một góc a ị kD = ± tg(a).
+ D hợp với tia Ox một góc a ị kD = tg(a).
* Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x1; y1).
Cách 1: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm.
PTTT tại x0 là: y = f’(x0)(x - x0) + f(x0).
Aẻ TT ị y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0).
Giải phương trình ẩn x0 rồi tìm f(x0), f’(x0).
Cách 2: Đường thẳng D đi qua A có hệ số góc k có phương trình: y = k(x - x1) + y1.
D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm:
giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm k.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau Û hệ phương trình sau có nghiệm:
nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục Ox Û hệ phương trình sau có nghiệm.
3. Điểm cố định của họ đường cong.
Điểm cố định là điểm có toạ độ (x0; y0) nghiệm đúng phương trình: y0 = f(x0, m). Vì vậy: muốn tìm điểm cố định mà họ đường cong (Cm) đi qua ta làm theo hai bước tuỳ theo dạng hàm số như sau:
+ Đưa phương trình về dạng:
* 
* 
+ Giải hệ điều kiện trên ta tìm được điểm cố định.
4. Tiếp tuyến cố định
* PP: 
Dạng 1: Họ đường cong đi qua điểm cố định: Ta tìm điểm cố định M(x0; y0), rồi chứng minh f’(x0) = hằng số với "m.
Dạng 2: Họ đường cong không đi qua điểm cố định: áp dụng điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số, ta có hệ phương trình sau có nghiệm với mọi m:
.
5. Tương giao
Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x).
Chú ý bài toán tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
* Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng Û hàm số có 2 cực trị và điểm uốn nằm trên trục hoành Û .
* Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số cộng Û phương trình:
at2 + bt + c = 0 có 2 nghiệm dương t1 < t2 thoả mãn t2 = 9t1.
Các bài tập luyện tập:
a) Các bài tập về phương trình tiếp tuyến:
Bài 1. Cho hàm số y = x3 - 2x2 + 2x có đồ thị là (C).
1) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -x +1.
2) Chứng minh rằng trên (C) không có 2 điểm mà tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau.
HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27.
2) CM: y’ > 0 với "x.
Bài 2. Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2. CMR đây là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong các hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị.
HD: ĐS: y = -3x + 1.
CMR y’³ - 3 với "x.
Bài 3. Cho hàm số y = x3 - 3x + 1. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 6).
ĐS: y = 9x - 15.
Bài 4. Cho hàm số y = . CMR tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đồ thị luôn cắt hai đường tiệm cận và tam giác tạo thành có diện tích không đổi.
HD: + Giao với TCĐ tại , giao với TCN tại .
Bài 5. Cho hàm số y = f(x) = . 
1) CMR hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm x = x0 của đồ thị với trục hoành là k = .
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt trục hoành tại 2 điểm mà các tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm này vuông góc với nhau. 
ĐS: m = 2/5.
b) Các bài toán về tiếp tuyến cố định:
Bài 6. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
HD: Điểm cố định (-1; -2). y’(-1) = 1.
Bài 7. CMR với "mạ0 thì đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
HD: điểm cố định (0; 1), y’(0) = 1.
Bài 8. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b. Ycbt Û hệ: có nghiệm với .
ĐS: y = x + 3, y = x - 5.
c) Các bài toán về tiếp xúc:
Bài 9. Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành.
ĐS: m = 1.
Bài 10. Cho (C): y= (x2 - 1)2 và (P): y = ax2 - 3. Tìm a để (C) và (P) tiếp xúc nhau. Viết PT các tiếp tuyến chung của (C) và (P).
HD: a = 2, tiếp điểm là x = .
Bài 11. Tìm m để (P): y = x2 + m tiếp xúc với đồ thị hàm số: .
ĐS: k = -1.
d) Các bài toán về tương giao:
Bài 12. Tìm m đề đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành một CSC.
HD: m = 0, m = .
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một CSC.
ĐS: m = 4, m = -4/9.
Bài 14: Cho hàm số 
Tìm m để đường thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
HD: Ycbt Û trung điểm đoạn thẳng thuộc đường thẳng y = x.
Bài 15: Cho hàm số
Tìm m để đường thẳng D: y= 2x + m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau.
Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất.
Bài 16: Cho hàm số
Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C ) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với dường thẳng IM.
Bài 17: Cho hàm số 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 18: Cho hàm số Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Bài 19: Cho hàm số 
Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng nhau qua đường thẳng x - y - 4 = 0.
Bài 20: Cho hàm số
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới đối với trục hoành bằng nhau.
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3, x4, là nghiệm
	Strên= Sduói
Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9
Bài 21: Cho hàm số
Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận I(5;10) là trung điểm. 
Bài 22. Cho hàm số 
CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào vị trí của M.
 Câu 23: (CT-KA-04)Cho hàm số (1)
 Tìm M để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB = 1.
Các bài tập tự luyện:
Bài 1 (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5.
1. CMR: Trên đồ thị không tồn tại hai điểm mà hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
2. Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx.
Bài 2: Tìm các điểm M ẻ đồ thị hàm số y = sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ độ tại A và B tạo thành tam giác vuông cân OAB.
Bài 3 : Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của y = x3 + 3x2 - 9x + 5.
Bài 4 : Viết tiếp tuyến với y = -x3 + 3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với y = x.
Bài 5: Viết pttt qua M(; 1) với y = -x3 +3x -1.
Bài 6:Viết pttt đi qua M(1 ; 0) với y = .
Bài 7: CMR trên đồ thị của y = không có tiếp tuyến nào đi qua giao hai tiệm cận.
Bài 8: Qua A(-2; 5) có mấy tiếp tuyến với y = x3 - 9x2 + 17x + 2.
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x2 + mx + m) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 10. Cho hàm số . Xác định a để hàm số tiếp xúc với Parabol y = x2 + a.
Bài 11. Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho các tiếp tuyến ấy vuông góc với tiệm cận xiên. Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn thẳng tiếp tuyến bị chắn bởi hai đường tiệm cận.
Bài 12. Cho hàm số có đồ thị là Cm. Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 13. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C). Qua A(1; 0) kẻ được mấy tiếp tuyến tới (C). Viết các phương trình tiếp tuyến ấy. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị song song với tiếp tuyến qua A(1; 0).
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình y = 5.
Bài 15. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 tại 4 điểm phân biệt.
Bài 16. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y = cắt đường thẳng d: y = mx + 1 tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài 17. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số y = tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
Bài 18. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số y = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA ^ OB.
Bài 19. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 - m cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
Bài 20. Tìm m đề đồ thị hàm số y = cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng.
Câu 21. 	(KD - 07) Cho hàm số : 
Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) ,biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox,Oy tại A,B và tam giác OAB có diện tích bằng .
Câu 22 (DBKB - 07) Cho hàm số y =-x+1+(Cm )
Tìm m để đồ thị (Cm ) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (Cm ) tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuông cân.
Câu 23 DBKD - 07)Cho hàm số y = 	(C)
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox.
Câu 24 	(DBKD - 07)	 Cho hàm số 	
Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành tam giác cân.
Câu 25 (KB - 06) Cho hàm số 	
Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C) .
Câu 24 (DBKA - 05)
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = -x3 +(2m+1)x2 -m -1	(*) 
Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx -m -1.
Cõu 25 (KA-09). Cho haứm số y = (1). 
1.	Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ cuỷa haứm soỏ (1)
2.	Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa ủoà thũ haứm soỏ (1), bieỏt tieỏp tuyeỏn ủoự caột truùc hoaứnh, truùc tung laàn lửụùt taùi hai ủieồm phaõn bieọt A, B vaứ tam giaực OAB caõn taùi goỏc toùa ủoọ O.