Luyện tập Toán - Chủ đề: Lượng giác

Một số công thức lượng giác
1.Công thức lượng giác cơ bản: a. b.
c. ; d. 
e. 	g. h. 
2.Giá trị LG của các góc có liên quan đặc biệt
Hai góc đối nhau:
góc và -
sin(-) = - sin
cos(-) = cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot
Hai góc bù nhau
góc và góc -
sin(-) = sin
cos(-) = - cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot
Hai góc hơn kém nhau
 và góc +
sin(+) = - sin
cos(+) = - cos
tan(+) = tan
cot(+) = cot
Hai góc phụ nhau:góc góc-
sin(-)= cos;cos(-) = sin
tan(-) = cot;cot(-) = tan
3.Công thức cộng :coscos cos - sinsin (1)	cos(-) = cos. cos+ sin.sin (2)
sin() = sincos+ cossin (3) 	sin(-) = sin. cos- cossin (4)
	 (5)	 (6)
4.Công thức nhân đôi: cos2= cos2-sin2 (7a) sin2 = 2.sincos (8). tan2= (9)
= 2cos2-1 (7b) = 1- 2sin2 (7c).	 Lưu ý: sin3a = 3sin a -4sin3a ; cos3a = 4cos3a -3cosa 
5.Công thức hạ bậc: 	 	 (10-11)
6.Công thức biến đổi tích thành tổng: 
7.CT biến đổi tổng thành tích: 
;
;
;
Chú ý:
Sinx+cosx=
8.Bảng GTLG của một số góc đặc biệt
0(00)
 (300)
 (450)
 (600)
 (900)
 (1200)
 (1350)
 (1500)
(1800)
sin
cos
-
-
-
-
tan
0
1
-
-1
-
0
 Bài 1: 	Góc và cung lượng giác – 
Giá trị lượng giác của góc ( Cung) lượng giác
1.đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ.
a) ;	b) ;	c);	d);	e) 2,3;	f) 4,2	
2. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian
	a) 450	;	b) 1500;	c) 720;	d) 750
3. Trên đờng tròn lợng giác hãy tìm các điểm xác định bởi các số:
	 ;	 ;	 . 
4. Tìm GTLG sin, côsin, tang của các góc LG có số đo sau
*) 1200; -300;-2500,7500,5100.
*)	.
5.Xác định dấu của sin ,cos , tan , biết :
	a) .	b) .
6.Tính các giá trị lượng giác còn lại của , biết 
	và .	
	b) sin = 0,8 và .
	c) tan = 15/8 và .
	d) cot = -3 và .
7.Cho tan =3.Tính .
8.Chứng minh các đẳng thức :
	a) 
	b) .
	c) 
	d) sin2x.tan2x +4sin2x – tan2x +3 cos2x = 3.
9.Cho sinx + cosx = m ,hãy tính theo m 
	a) sinxcosx.	b) 
	c) sin3x + cos3x 	d) sin6x +cos6x .
Bài 2.	Giá trị LG của các góc (cung) có liên quan đặc biệt.
1.Đơn giản biểu thức 
	b) 
 	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
2.Chứng minh rằng : 
	a) .
	b) .
	c) 
Bài 3. Công thức cộng cung và hệ quả	
Ví dụ 1.đơn giản biểu thức
	a) A = 	ĐS: 
	b) B = 	ĐS: sin
	c) C = 	ĐS: cos2
Ví dụ 2: chứng minh các đẳng thức.
	a) 	b) 
Ví dụ 3.đơn giản biểu thức
	a) 	ĐS: nếu sin = 0; nếu sin 0.
	b) 	ĐS: -1.
Ví dụ 4.Không dùng bảng số hãy tính : A = cos360 –sin180 	ĐS: 1/2.
Ví dụ 5.Các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn hệ thức 
	 chứng minh tam giác ABC cân
*Phép biến đổi hàm số y = asinx + bcosx	(a2+b2 0)
	y = asinx + bcosx = 
	 = với tg.
Ta cũng có thể biến đổi:
	y = với tg.
Đặc biệt : 
Bài 4. Công thức biến đổi tổng thành tích ,tích thành tổng
áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có ngay các công thức quen thuộc 
	sina + cosa = sina +sin =  . 	= 
hoặc 	sina + cosa = sina +sin =  . 	= 
Ví dụ 1.chứng minh đẳng thức 
a) cos2a + cos2(600+a) + cos2(600-a) = 3/2.
b) 
Ví dụ 2.chứng minh đẳng thức 
	a) .
	b) .
	c) 
Ví dụ 3.Chứng minh tam giác ABC vuông nếu : 
 cos2A+cos2B+cos2C=1.
Ví dụ 4 không dùng máy tính ,hãy tính giá trị biểu thức.
	a) 	ĐS: 1.
	b) .	nhân thêm 2 vế 2cos	ĐS: 1/2
Ví dụ 5.chứng minh đẳng thức 
sin2(a+b) –sin2a –sin2b = 2sina sinb cos(a+b)
Ví dụ 6.biểu diễn các tổng sau thành tích 
	a) 3 – cot2a 	b) 1+sin2a-cos2a-tan2a
Ví dụ 7.trong tam giác ABC chứng minh:
sin2A+sin2B+sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC
 cosA+cosB +cosC = 1+ 
Bài tập 
1.Chứng minh các đẳng thức 
	a) cos2(a+b) +cos2(a-b) = 1 +cos2a.cos2b
	b) 
2.biến đổi tổng thành tích 
a) 1 +sinx +cosx +tanx
b) 1 – 4cos2a
c) sina + sinb +sin(a+b)
d) - 2sina
3.Rút gọn 
	a) cos2a –sin2(a+) +.
	b) 
4. Trong tam giác ABC chứng minh:
	a) 
	b) cos2A +cos2B+ cos2C = 1 – 2cosA.cosB.cosC.
	c) 
	d) cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cosA=1
	e) cos2A – cos2B = sin(B –A).sinC.
Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình bậc nhất ,bậc hai với một giá trị lượng giác:
* Phương pháp giải (SGK)
Vídụ1:Giải các phương trình :
3tgx + = 0
2 cos2x + cosx –2 = 0
Giải 
tgx = - x =- + k
Đặt cosx = t ( 1 )
PT 2t2 + t- 2 = 0 có :=18t 1 =; t2 =- (loại )
khi t = cosx = x = +k2
 Ví dụ 2: giải phương trình 8cos2x +6sinx -3 = 0
 	Giải : Thay cos2x = 1- sin2x ta đợc 
 	 8 sin2x -6 sinx -5 = 0 
 	 Đặt u = sinx , phương trình có dạng 
 	 8u2 -6u -5 =0 
sinx =- = sin (-) ; x= 
 sinx = . phương trình vô nghiệm do -1 sinx 1
 Ví dụ 3 : Tìm nghiệm trong khoảng(0, ) của phương trình 
 3 cotg4x -
 Giải : Thay ta được 
 3cotg4x – 4(1+cotg2x) + 5 = 0 hay 3u2 – 4u + 1 = 0 , với u cotg2x>0 u = 1, u = 
cotg2x = 1 cotgx = 1 
 (1)
 b) cotg2x = (2)
 bằng cách biểu diễn các họ nghiệm (1) và (2) trên đờng tròn lượng giác ta được nghiệm trong khoảng(0,)là 
2. Phương trình : asinx + b cosx =c 
 ( a2+ b2 0 )	
Cách 1: - chia a
 - Đặt b/a = tg
 -phương trình sin (x +)= cos 
Cách 2:- chia 2 vế cho :
	 -Đặt : = cos 
	 = sin 
 -Phương trình trở thành : Sin (x+ ) = 
Cách 3: -Đặt tg = t
 -Phương trình trở thành bậc hai với ẩn t
Ví dụ 1: a) gpt : Sinx +cosx =1
Giải : pt sin (x+) = sin 
b). 3sinx +4cosx =5
sinx +cosx =1sin(x+) =1(Với sin = và cosx = )
x= - + k2
3. Phương trình thuần nhất 
*Dạng 
asin2x +bsinx cosx + c cos2x =0
*Cách giải :
C1: -thử cosx =0
 -Chia hai vế cho cos2x
 -Giải phương trình bậc hai với ẩn tgx=t
 C2:-Hạ bậc 
 -giải phương trình dạng 2
Ví dụ : giải phương trình :
a) 2sin2x+3sinxcosx+cos2x=0 2tan2x+3tanx+1=0
b) 2sin2x -5sinx cosx –cos2x = -2
Giải: Pt 4sin2x +cos2x -5sinx cosx = 0
 Nhận thấy cosx =0không nghiệm đúng phương trình .
pt 4tg2x -5tgx + 1=0
4. Phương trình đối xứng với sinx và cosx.
*Dạng : a(sinx+cosx) +bsinx cosx= c 
 ( a, b, c R)
*Cách giải:
Đặt : sinx + cosx = t ( ) sinx cosx =
 Pt trở thành bậc hai với ẩn t
Ví dụ :a) Giải phương trình: (2+)(sinx +cosx) -2sinxcosx =2+1
 Giải :
Đặt : sinx + cosx = t ( ) sinx cosx =
 Pt trở thành :
 (2+) t – (t2 -1) = 2+1 
t2 –(2+) t +2 =0 t= 
 sinx + cosx = sin(x+) =1 x+ = +k
 b). sinx –cosx +4sinx cosx -1 = 0
 Đặt : sinx - cosx = t ( )
 sinx cosx = - 
 Pt trở thành :2t2 –t – 1 =0
cos( x+) =cos là nghiệm 
c.Giải phương trình sau: sin2x-2(sinx + cosx) -5 = 0.
5.Một số phương trình lượng giác khác
Bài1) Giải phương trình : sin2x + sin2x = 1
 2sinx cosx = cos2x
 ( Với tg= )
Bài2) Giải phương trình sin2x+sin2x=
2sin2x-cos2x=1 Cos(2x-) = x=+arccos+k
 Bài 3) giải pt: sin4x +cos4x =cos 2x
 Giải : áp dụng bđt a2+b2 =(a+b)2-2ab 
Ta có sin 4x +cos4x= (sin2x+cos2x)2-2sin 2xcosx2x = 1- sin 22x = (1+cos22x)
 phương trình đã cho có dạng cos22x – 2cos2x +1= 0 
 	 (cos2x -1 )2 = 0 cos2x = 1 x= 
Bài4)Giải phương trình: 
Giải: ĐK:
sin22x=sin2xcosx
Sin2xcosx(2cosx-1)=0cosx=x=
Bài5): Giải phương trình:
a. cosx cos7x = cos3x cos5x	b.sin2x + sin4x = sin6x 
Giải 
a. ptcos8x + cos6x = cos8x + cos2x
 cos6x = cos2x x = (l Z )
b.Pt sin6x – sin2x = sin4x
 2sin2x cos4x = 2sin2x cos2x	 sin2x ( cos4x –cos2x ) = 0
 sin2x = 0 V cos4x = cos2x Là nghiệm phương trình
Bài6)giải phương trình :
 sin24x + sin23x = sin22x + sin2x
Giải.
1- cos8x + 1 – cos6x = 1– cos4x + 1- cos2x
cos8x + cos6x = cos4x + cos2x	2cos7x cosx = 2cos3x cosx
cosx (cos7x –cos3x ) =0	cosx =0 V cos7x = cos3x 
Bài7) Giải phương trình :	 Sin3x + cos3x = cos2x
Giải :
 (sinx + cosx)(1-sinxcosx- cosx+sinx ) = 0
 sinx +cosx = 0 Hoặc (1-sinxcosx – cosx+sinx ) = 0
 * sinx +cosx = 0 sin (x+)=0 x = - + (k Z ) 
 * t2 + 2t +1 =0
 (Với t = sinx – cosx =sin(x-) , ) t = -1 sin(x-) = 
 Bài8).Giải phương trình : sinx + sin2x +sin3x = cosx + cos2x + cos3x 
 Giải :
Pt 2sin2x cosx + sin2x = 2cos2x cosx + cosx
 (sin2x – cos2x )(2cosx + 1) =0	 sin(2x- ) (2cosx + 1 ) = 0
 sin(2x- ) = 0 V cosx = -
Bài9): Giải phương trình : 3 +2 sinx sin3x = 3cos3x
Giải : 3 +2 sinx sin3x = 3cos3x 
 3( 1 –cos2x ) + 2sinx sin3x = 0	 6sin2x + 2sin2x (3 – 4sin2x ) = 0
 2sin2x (6 - 4sin2x ) = 0	 sinx = 0 V sin23x = (loại ) x = k
Bài10): Giải phương trình : sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2
Giải : sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 
 1- cos2x + 1 – cos4x + 1- cos6x + 1- cos8x = 4 cos8x + cos6x + cos4x + cos2x = 0
 2cos7x cosx + 2cos3x cosx = 0	 cosx (cos7x + cos3x) = 0
 cosx cos5x cos2x = 0cosx = 0 V cos2x = 0 V cos5x = 0là nghiệm của pt.
Bài11): Giải phương trình : tgx + tg2x = sin3x cosx.
Giải :
 tgx + tg2x = sin3x cosx. điều kiện : 
 sin3x = sin3x cosx cosx cos2x sin3x = 0 V cos3x = 1 cos2x = 1
 Bài 12)Giải phương trình 
 a.(2sinx – cosx )(1+ cox) = 1-cos2x
 (1+ cosx) (2sinx -1) = 0
 cosx =-1 
 Sinx =1/2
 b. tg2x = sin2x - 2sin2x (ĐK: x)
PT sin2x /cos2x -1 + cos2x = sin2x(sin2x –cos2x ) +( cos2x –sin2x)cos2x= 0
 (sin2x –cos2x )(1-cos2x) = 0(1 –cos2x) sin (2x -) = 0	
cos2x = 1 V sin(2x- ) = 0 Là nghiệm của phương trình.
Bài 13) : Giải phương trình :	tg2x = (1- cosx) :(1-sinx)
Giải: (ĐK: x )
 PT (1- cosx ) (cosx –sinx) =0	cosx = 1 V cosx = sinx
 x = 2k V x = +k
PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC -Đề thi đại học
I.Phửụng trỡnh ủửa veà phửụng trỡnh moọt haứm soỏ lửụùng giaực.
 	1.	
 	2.ẹHNHaứng. 	
 	3.ẹHẹNaỹng 97. 	
	4. ẹHQGHN 97D.	
	5. ẹH CSND 99.	 
	6. 	
	7. ẹHYHP97.	
	8. CẹSPẹNai 97. 	 
	9.CẹSPHTúnh97.	 	 
	10. CẹSPNTrang 97.	 
 	11.CẹSPPYeõn 97. 	
 	12.CẹSPẹThaựp 96. 	
 	13.ẹHHueỏ 2001.	 	
	14.ẹHCẹoaứn 2001.	
	15.ẹHBK 96. 	
	16.HVBCVTHCM 2001. 
	17. ẹHQGHN 98. 	
	18. ẹHHueỏ 99. 	
 	19.CẹSPNHaứ 97. 	
	20.	
	21.ẹHNHaứng 2000.	 
II.Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi vaứ 
	21.
	22.
	23.
	24.ẹHHueỏ 99. 
	25.ẹHKTeỏ 97. 
	26.
	27.
	28.
	29.ẹHGTVT 00. 
	30.ẹHMT 96. 
	31.ẹHBPhoứng 97. 
	32.
III.Phửụng trỡnh ủaỳng caỏp baọc hai ủoỏi vụựi vaứ .
	33.
	34.
	35.
	36.
	37.
	38.ẹHVLang 96D. 
	39.ẹHCNghieọp HCM 00. 
	40.ẹHTSaỷn NT 00. 
	41.ẹHCThụ 97D. 
	42.ẹHGT 01. 
	43.ẹHDLẹẹoõ 97A. 
IV.Phửụng trỡnh ủoỏi xửựng vụựi vaứ 
	44.CẹSPTGiang 97A. 
	45.ẹHHueỏ. 
	46.ẹHDLHVửụng 97. 
	47.HVCTQG.00: 
	48.CẹLẹXH 97: 
	49.ẹHKTCN 96: 
	50.ẹHDLẹẹoõ 96B: 
	51.CẹSPTGiang 97B: 
	52.ẹHẹLaùt 99. 
	53.ẹH 88. 
	54.ẹHNNgửừ 00. 
55.ẹHMoỷ 99. 
	56.
	57.ẹHQGHNoọi 97A. 
	58.
	59.CẹSPPYeõn 96B:
	60.ẹH 89. 
	61.ẹHNNgửừ HN 97. 
	62. ẹHY Hnoọi 2001:
	63.ẹHQG HCM 2000:
	64.ẹHCSND 2000 :
Bài tập Giải các phương trình LG
	(Đề thi đại học năm 2002-2007)
1.	 ( 1 + sin2x) cosx + ( 1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
 2. 	 2sin22x +sin7x -1 = sinx
3.	 
4.	 Sin2x +sinx -.
5.	 2 cos2 x + 2sin x cos x +1= 3( sin x + cos x)
6.	 
7.	 += tgx- cotx .
8.	 2sin cosx = 1.
9.	 (1– tgx)( 1+ sin2x) = 1+tgx.
10.	 
11.	 cos3x cos3x - sin3x.sin3x = 
12.	 2sin(2x- +4 sinx +1 = 0.
13.	 cotx + sinx
14.	 ( 2sin2x - 1)tg22x + 3(2cos2x - 1) = 0.
15.	 cos2x +( 1+2cosx) (sinx - cosx) = 0.
16.	 cos3x +cos2x - cosx -1 = 0
17.	 cos3x +sin3x +2sin2x = 1.
18. 	4sin3x +4sin2x +3sin2x +6cosx = 0.
19.	cos23x cos2x - cos2x = 0.
21.	 
22.	
23.	 1 + sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0.
24. 	 sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0.
25.	cos4x +sin4 +cos(x - )sin(3x-) - = 0.
26. 	sinxcos2x +cos2x(tan2x-1) +2sin3x = 0.
27.	
28.	 4( sin3x +cos3x) = cosx +3sinx.
29. 	5sinx – 2 = 3( 1-sinx)tg2x.
30. 2cos
31. Sin4x.sin7x = cos3x.cos6x.
32. 	(2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
33.	2sinx.cos2x + sin2x cosx = sin4x cosx.
34.	sinx + sin2x = ( cosx + cos2x).
35.	
36.	cos2x +cosx(2tg2x-1) = 2.
37.	3 – tgx(tgx +2sinx ) + 6cosx = 0.
38. 
39.	3cos4x -8cos6x +2cos2x +3 = 0.
40. 	
41.. 
42.	
43.	
46. tgx+cos x-cos2x=sinx (1+tgx.tg ) 
47. sin 3x-cos2 4x=sin 25x-cos26x
48. 
49 . 
50. 
51.Tìm x thuôc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình :
	Cos3x – 4cos2x +3cosx -4 = 0.
52.Xác định m để phương trình 
	2(sin4x +cos4x) + cos4x +2sin2x –m = 0 
	có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0;].
53.Tìm nghiệm trên khoảng (0;) của phương trình 
54.Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0 ; 2) của phơng trình :
55.Cho phương trình =a (2) (a là tham số)
a, Giải phương trình khi a =
b, Tìm a để phương trình (2)có nghiệm 
56.Giải phương trình : 
57.Giải phương trình : sin3-cos3x = sinxcos2x -sin2xcosx.
58.Giải phương trình : 2sinx(1+cos2x) +sin2x= 1+2cosx.
	...........................Hết .......................