Luyện tập Bài tập về thể tích khối đa diện

I. Diện tích, Thể tích khối đa diện
 1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB = a và các mặt bên hợp với đáy một góc a. Tính thể tích và của hình chóp.
 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = b, SA ^ (ABCD). M là điểm thuộc SA với AM= x, mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMN theo a, b và x.
 3) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là DABC vuông cân có AB = AC = a, cạnh bên AA' = a. gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E lên BC. mặt phẳng (C'EF) chia lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
 4) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông có CA = CB = a; 
CC' = 2a. M, N là trung điểm của AB và AA', mặt phẳng (C'MN) cắt BC tại P.
 a) CM: PC = 2PB.
 b) Tính: V. 
 5) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E, F là trung điểm của C'D' và C'B'. Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành hai phần. Tính thể tích của mỗi phần.
 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = h. Gọi I, J, K là trung điểm của SA, BC, CD. Chứng minh mặt phẳng (IJK) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
7) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng avà góc ASB = a.
 a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
 b) Chứng minh rằng đường cao của hình chóp bằng 
 c) Tính thể tích hình chóp.
8) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là một tam gíc cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy góc a và tạo với mặt phẳng (SAD) góc b.
 a) Xác định các góc a và b.
 b) Chứng minh rằng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp.
9) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. E và F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'.
 a) Xác định thiết diện của hình lập phương tạo bởi (AEF).
 b) Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (AEF) cắt ra.
10) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Từ A hạ các đường vuông góc AE với SB và AF với SD.
Chứng minh: (AEF) ^ SC
Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với đáy ABCD
Chứng minh rằng có hai vị trí của S trên Ax sao cho VPABCD bằng một giá trị V cho trước với điều kiện V không vượt quá một giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định 
II. Toán tổng hợp
 1) Cho DABC đều có đường cao AH = 3a, lấy điểm O trên đoạn AH sao cho AO = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại O lấy điểm S sao cho OS = BC.
 a) CM: BC ^ SA.
 b) Tính SO, SA, SH theo a.
 c) Qua I trên đoạn OH vẽ mặt phẳng (a) ^ OH. (a) cắt AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. CM: MNPQ là hình thang cân.
 d) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = AI. Xác định x để diện tích này có giá trị lớn nhất.
 2) Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABCD). Đáy ABC không phải là tam giác cân. Gọi B' và C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
 a) Chứng minh tứ giác BCC'B' nội tiếp được và các cạnh BC và B'C' không song song.
 b) CM: 5 điểm A, B, C, B', C' ở trên một mặt cầu.
 c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BC và B'C'. CM: góc IAB = góc ICA
 3) Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By hợp với nhau một góc là 600,
 AB = a là đoạn vuông góc chung. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm C, D sao cho AC = 2a, BD = a. Gọi (a) là mặt phẳng chứa By // Ax, E là hình chiếu vuông góc của C lên (a).
 a) CM: CD ^ By.
 b) Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E ở trên một mặt cầu, tính bán kính mặt cầu đó.
 c) Tính góc hợp bởi CD và mặt phẳng (ABC).
 d) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của CE và AD.
4) Cho hai nửa đường thẳng Ax, By hợp với nhau góc nhọn a nhận AB = h làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy điểm C với BC = a, gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Gọi Az là nửa đường thẳng qua A và // By
 a) Tính độ dài AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).
 b) Xác định tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
 c) Tính khoảng cách từ D đến By.
5) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng avà góc ASB = a.
 a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
 b) Chứng minh rằng đường cao của hình chóp bằng 
 c) Tính thể tích hình chóp.
6) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là một tam gíc cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy góc a và tạo với mặt phẳng (SAD) góc b.
 a) Xác định các góc a và b.
 b) Chứng minh rằng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp.
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và là một điểm di động trên đường thẳng BC.
 a) Chứng minh rằng SH ^ (ABCD). Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
 b) Tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc của S lên DM.
 c) Tính khoảng cách từ S đến DM theoa và x = CM.
8) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. E và F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'.
 a) Xác định thiết diện của hình lập phương tạo bởi (AEF).
 b) Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (AEF) cắt ra.
9) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; SA = a và SA ^ (ABCD), AI, AJ và AE là các đường cao xuất phát từ A trong tam giác SAB, SAD và SAC
Chứng minh: AI, AJ, AE đồng phẳng
Chứng minh rằng tứ giác AIEJ có các đường chéo vuông góc nhau và tính diện tích của nó 
10) Cho hình chóp SABCD đáy là hình chữ nhật cạnh; SA ^ (ABCD). Dựng các đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAD. Chứng minh: 
(AHK) ^ (SBC) và (AHK) ^ (SCD) 
11) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật tại A lấy một điểm S. mặt phẳng qua CD cắt SA tại M và SB tại N
CDMN là hình gì?
Nói cách dựng đường vuông góc hạ từ S vuông góc với (CDMN) 
12) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D và AB = 2a; AC = DC = a; SA = a là đoạn thẳng vuông góc với (ABCD)
Chứng minh (SAC) ^ (SBC)
Tính góc nhị diện (A, SB, C) 
13) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai điểm M và N di động trên các cạnh BC và CD. Đặt Chứng minh: = x và CN = y. Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy một điểm S. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để:
Góc của các mặt phẳng (SAM) và (SAN) bằng 450
(SAM) ^ (SMN) 
14) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau; SA = a
Chứng minh: (SAB) ^ (SBC) và (SBD) ^ (SAC)
Xác định và tính góc nhị diện (S, BD, A)
Xác định và tính góc nhị diện (B, SC, D)
15) Cho hình vuông ABCD cạch a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình vuông tại A ta lấy một điểm S với AS = h. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
SC và BD
SC và AD 
16) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a lấy điểm M với AM = x (0 0
Chứng minh rằng nhị diện cạnh SB của hình chóp SABCM là nhị diện vuông
Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC)
Gọi I là trung điểm của SC; H là hình chiếu vuông góc của I lên Chứng minh:. Tìm quỹ tích của H khi M chạy trên cạnh AD và S chạy trên Ax 
17) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, AB = BC = a; AD = 2a; đường cao của hình chóp là SA = 2a
Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và SC
Tính góc phẳng nhị diện cạnh SD 
18) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lụa giác đều cạnh a, chiếu cao SA = h
Tính thể tích hình chóp SABCD
mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD đường thẳngại B’, C’ , D’. Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ nội tiếp 
Chứng minh: A’B’ > C’D’ 
19) Cho hình chóp SABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, chiều cao SA.
Hãy nêu cách dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC
Tính diện tích thiết diện 
20) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lục giác đều ABCD với AD = 2a, AB = BC = CD = A. Cạnh SA = h vuông góc với đáy. (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’
Chứng minh rằng AB’C’D’ là một tứ giác nội tiếp 
Tính thể tích hình chóp SAB’C’D’
Tính diện tích tứ giác AB’C’D’ 
21) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Từ A hạ các đường vuông góc AE với SB và AF với SD.
Chứng minh: (AEF) ^ SC
Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với đáy ABCD
Chứng minh rằng có hai vị trí của S trên Ax sao cho VPABCD bằng một giá trị V cho trước với điều kiện V không vượt quá một giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định 
22) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trên đường thẳng Ox vuông góc với (P) ta lấy điểm S.
1/ Giả sử các mặt bên của hình chóp SABCD tạo với đáy một góc a 
Xác định đường vuông góc chung của SA và CD . Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a và a
Một mặt phẳng đi qua AC và vuông góc với (SAD) chia hình cầu thành hai phần . Tính tỷ số thể tích của hai phần đó
2/ Giả sử điểm S thay đổi, hãy xác định vị trí của S trên Ox sao cho mặt phân giác của góc nhị diện ứng với cạnh đáy của mặt xung quanh của hình chóp SABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau 
23) Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (r) bán kính R; A là điểm cố định trên (r), S là điểm trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại A. ABCD là tứ giác nội tiếp trong (r) có hai đường cheo AC và BD vuông góc với nhau.
Giả sử S cố định, phải chọn đáy ABCD thế nào để hình chóp SABCD có thể tích lớn nhất
Với ABCD đã định chọn như ở câu a. Giả sử S di động trên (d). Trên đoạn AB lấy điểm M. Đặt AM = x (0 Ê x Ê R) và AS = y. Biết SM = R. Hãy xác định vị trí của M trên AB để hình chóp SAMBC có thể tích lớn nhất 
24) Cho hình chóp SABCD trong đó đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA ^ (ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB ở B’, cắt SD ở D’.
Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối vuông góc nhau
Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A thì mặt phẳng (AB’C’D’) luôn đi qua một đường thẳng cố định. Chứng minh rằng các điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định
Giả sử góc SC và mặt (SAB) bằng x. Tính tỷ số giữa thể tích của hình chóp SAB’C’D’ và thể tích hình chóp SABCD theo x, biết rằng AB = BC 
25) Cho hình chóp SABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b. Cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a. M là điểm trên SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a. M là điểm trên SA với AM = x 
(0 Ê x Ê 2a)
Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiế diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Xác định x sao cho thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất
Xác định x sao cho mặt phẳng (MBC) chia hình chóp ra thành hai phần có thể tích bằng nhau 
26) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, góc A = a. Biết rằng SA vuông góc với (ABC) và SA = h. cho biết tồn tại 3 điểm M, N, P lần lượt thuộc AB, AC, BC sao cho AM = AN = AP và các tam giác SMP, SNP, tương đương
Chứng minh P là trung điểm của BC
Tíng thể tích của hình chóp SAMPN
Chứng minh hình chóp SAMPN có mặt cầu nội tiếp. Tính bán kính của mặt cầu ấy 
27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ^ (ABCD), AB = a, AD = b, SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SA.
Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì. Tính diện tích thiết diện ấy	đ ... ng ABCD vuụng tại A và D.Biờ́t rằng AB=2a ,AD=CD =a (a>0). Cạnh bờn SA =3a vuụng góc với đáy .
 1/Tính .
 2/Tính V tứ diợ̀n SBCD theo a.
Bài 99: Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mp đi qua trục của nó , ta được 1 tam giác vuụng cõn có cạnh huyờ̀n bằng .Tính , và V của hình nón.
Bài 100: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuụng ở B. Cạnh SA vuụng góc với đáy .Từ A kẻ các đoạn thẳng AD SB và AESc. Biờ́t AB =a ,BC =b, SA =c .
 1/Tính V của khụ́i chóp S.ADE. 2/Tính . 
j Kim tự tháp
bài1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy hình chóp 1 góc 600. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt đáy của hình chóp là 300
Tứ giác ABMN là hình gì?
Tính VSABMN theo a	đh sp tphcm – a - 2000 
bài2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = a. 
Tính STP và VSABCD theo a	đh sp tphcm – d - 2001
Tính cosin của góc nhị diện (SAB, SAD) 
bài3: Cho hình thoi ABCD tâm O; SO là đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng hình thoi
Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng phân giác của các nhị diện cạnh SA và SC. Suy ra O cách đều bốn mặt bên của hình chóp SABCD
Tìm một điểm cách đều năm mặt của hình chóp ấy 
bài4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a. Gọi O là tâm hình vuông; SO vuông góc với (ABCD); SA = b, SA tạo với (ABCD) và (SBC) hai góc bằng nhau và bằng a 
Xác định hình chiếu H của A xuống mặt phẳng (SBC). Chứng minh SO = AH
Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b rồi suy ra giá trị của tga 
bài5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD, diện tích bằng a2 và góc giữa hai đường chéo bằng 600. Biết rằng các cạnh của hình chóp nghiêng đều trên mặt đáy một góc 450
Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật 
Tính thể tích hình chóp 
bài6: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao h. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC tại C’
h phải thoả mãn điều kiện gì đối với a để C’ ẻ SC?
Trong điều kiện đó (P) còn cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’. Chứng minh B’C’D’ là tam giác tù 
bài7: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh a , đường cao SO = a
M là một điểm trên đoạn OC với AM = x. Qua M ta dựng mặt phẳng (P) song song với SA và BD. Nêu cách dựng thiết diện và tính diện tích của nó theo a và x
Nếu M thuộc đoạn AO, hãy lặp lại câu hỏi trên 
bài8: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC
Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
Tính tỷ số thể tích hai phần của hình chóp phân chia bởi thiết diện trên 
bài9: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, cạnh đáy bằng a, đường cao SH. Một điểm M bắt kỳ thuộc AH, mặt phẳng (P) qua M song song với AD và SH cắt AB, DC, SD và SA lần lượt tại I, J, K, L
Cho biết SH = a. Xác định vị trí của M trên AH để thiết diện IJKL là một tứ giác ngoại tiếp 
Xác định vị trí của M trên AH để thể tích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhât
mặt phẳng (P) cắt DB tại N. Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường chéo của tứ giác MNKL khi M thay đổi trên AH 
bài10: Cho hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là a. Qua một cạnh đáy ta dựng một mặt phẳng tạo với mặt đáy góc b. Tính diện tích thiết diện 
bài11: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD trong đó ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a.
Tính chiếu cao và thể tích hình chóp 
Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AD và SC. Mặt phẳng MNP cắt SB và SD tại Q và R. So sánh các đoạn QB và RD với SB
Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau; kết quả đó có đúng không nếu SA = SB = SC ạ a 
bài12: Chop hình chóp tứ giác đều SABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB = a . Tính thể tích hình chóp SABCD theo a và a 
	đh y hn - 2000 
bài13: Cho hình chóp tứ giác đều: SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và đáy là a (450 < a < 900)
Tính diện tích toàn phần và VSABCD
Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MK vuông góc với mp(SAD). Mặt phẳng (BCK) cắt hình chóp theo 1 thiết diện là hình gì?
Tính diện tích thiết diện theo a và a 	đh nn - 2000 
bài14: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đường cao SH, đường trung đoạn thuộc mặt bên (SBC) là SN = a và hợp với đường cao SH một góc a
Tính VSABCD theo a và a	cđ lđ xh - 2000
Trong mặt phẳng (SHN) và HK ^ SN
Chứng minh: HK là khoảng cách từ H tới mặt (SBC)
Tính HK biết a = 3960 và a = 22030’ 
Tính HK biết diện tích toàn phần của hình chóp là: 
STP = 8a2sinacos2(450 – a/2)
k Chóp cụt:
bài1: Một chóp cụt tứ giác đều có chiều cao h, cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ, cạnh bên tạo với cạnh đáy lớn xuất phát từ cùng một đỉnh góc a 
Tính diện tích xung quanh và thể tích chóp cụt
bài2: Biết hai đáy của một chóp cụt có diện tích B, B’. Tính diện tích thiết diện trung bình , tức kà thiết diện đi qua điểm giữa một cạnh bên và song song với hai đáy của chóp cụt
bài3: Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho sẵn. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ 
bài4: Cho chóp cụt tứ giác đều ABCDA’B’C’D’. Tính tỷ số diện tích của hai tứ giác ACC’A’ và ABC’D’ biết rằng góc của mặt phẳng tạo bới hai tứ giác đó là a 
bài5: Cho chóp cụt lục giác đều ngoại tiếp hình cầu tâm I bán kính R. Gọi O và O’ là tâm của hai đáy, x và y là trung đoạn của hai đáy
Chứng minh rằng với R cho sẵn thì tích xy không đổi
Tính thể tích chóp cụt theo x, y và R. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khi x, y thay đổi
Tính góc của mặt bên với đáy lớn khi x + y = 4R hoặc khi x – y = 2R 
bài6: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABCA’B’C’ ngoại tiếp hình cầu tâm O bán kính R
Chứng minh hai mặt phẳng (OBC) và (OB’C’) vuông góc với nhau
H là giao điểm của BC’ và B’C’. Chứng tỏ OH vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’)
Trong các hình chóp cụt nói trên xác định hình chóp cụt có thể tích nhỏ nhất, Chứng minh rằng trong điều kiện này diện tích toàn phần của hình chóp cụt cũng nhỏ nhất. Tính các giá trị nhỏ nhất nói trên 
l Hình chóp:
bài1: Cho hình chóp SABCD với ABCD là nửa lục giác đều (AD > BC) và SA ^ (ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt D’ và cắt SB, SC tại B’, C’ . Chứng minh: AB’C’D’ là tứ giác nội tiếp 
bài2: Cho hình vuông ABCD cạch a. Từ trung điểm I của AD ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho DSAD là tam giác đều
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và AB
Dựng và tính độ dài của đoạn vuông góc chung của SA và CM trong đó M là trung điểm của AB 
bài3: Trong mp(a) cho hình chữ nhật ABCD. Gọi (C) là đường tròn đường kính BD trong mặt phẳng qua BD và vuông góc với (a); M là một điểm di động trên (C)
Chứng minh: AM ^ MC
Có vị trí nào của M trên (C) để (MAB) ^ (MCD) không?
Gọi (b) là mặt phẳng qua CD và vuông góc với (a). đường thẳng AM cắt (b) tại M’. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của M’ lên CD. Chứng minh rằng: DH’ = k2M’H2 với k là một hằng số không phụ thuộc vào M. Từ đó suy ra quỹ tích của M’ khi M chuyển động trên (C) 
bài4: Cho hình vuông ABCD nằm trong mp(P). Qua A dựng nửa đường thẳng Ax ^ (P). M là một điểm trên Ax. đường thẳng qua M vuông góc với mp(MCB) cắt (P) ở R. Đường thẳng qua M vuông góc với mp(MCD) cắt (P) ở S
Chứng minh: A, B, R thẳng hàng và A, D, S thẳng hàng
Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn RS khi M di chuyển trên Ax
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A trong DMAI. Chứng minh AH là đường cao của tứ diện ARMS và H là trực tâm của DMRS 
bài5: Cho hình chóp SABCD có các đặc điểm sau: Đáy là hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính a, AB // CD và CD = 4AB. SO = 2a là đường cao
Tính thể tích hình chóp 
Chứng minh rằng O cách đều bốn mặt bên của hình chóp. Xác định tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp 
bài6: Cho tứ diện ABCD với AB = a; CD = b
Xác định hình dạng của thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) song song với AB và CD 
Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích thiết diện lớn nhất
Xác định vị trí mặt phẳng (P) sao cho thiết diện là hình thoi
bài7: Cho hình chóp PQRS đáy là tam giác đều QRS cạnh bằng m, PQ = m; đường cao của hình chóp kẻ từ P đi qua trung điểm của RS. Người ta cắt hình chóp bằng một mặt phẳng song song với PQ và RS và cách đỉnh Q một đoạn bằng d
Nêu cách dựng thiết diện. Xác định hình dáng thiết diện
Tính diện tích thiết diện 
bài8: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SA = x, còn tất cả các cạnh khác độ dài bằng 1
Chứng minh SA ^ SC
Tính thể tích của hình chóp. Xác định x để bài toán có nghĩa. Xác định x để thể tích lớn nhất 
bài9: Cho hình chóp SABCD có đáy là một hình bình hành ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh hệ thức: 
bài10: Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao, đỉnh, các cạnh bên của hình chóp trùng với tâm của hình chóp kia, các cạnh bên của hình chóp này cắt các cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao góc a. Cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc b . Tính thể tích phần chung của hai hình chóp 
bài11: Trong mặt phẳng (a) cho DOAB và một điểm di động M trên đoạn AB. Từ M ta dựng hai đường thẳng song song với OB và OA, Lần lượt cắt OA, OB tại P và Q; Gọi I là giao điê,r của AQ và BP. Trên đường thẳng vuông góc với mp(a) tại M ta lấy điểm S ạ M. Đặt OA = a, OB = b
Chứng minh: . Từ đó suy ra thể tích hai hình chóp SOPIQ và SIAB bằng nhau
Cho góc AOB = 600, a = 2b và SM = b. Gọi j1, j2 lần lượt là góc phẳng của hai nhị diện tạo bới (SOA) và (SOB) với mp(a). Chứng minh rằng: khi M đi động trên đoạn AB thì ta luôn có hệ thức: 
bài12: Đáy của hình chóp là tam giác vuông có diện tích Q và góc nhọn a. Mặt bên qua cạnh đối với a vuông góc với mặt đáy; hai cạnh bên còn lại hợp với mặt đáy góc b 
Tính thể tích hình chóp theo a, b, Q
Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến đó lớn nhất (Q, b khônh đổi) 
bài13: Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R, các cạnh đáy AB và CD thoả mãn điều kiện AB/CD = ẳ . Trên đường thẳng d vuông góc vơíu (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = 2R
Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp SABCD
Chứng minh O cách đều bốn mặt của hình chóp SABCD từ đó tìm tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp 
bài14: Chứng minh rằng nếu hình chóp có các mặt bên làm với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chóp có mặt cầu nội tiếp. Điều ngược lại có đúng không? 
bài15: Cho hình chóp tam giác đều SABC có chân đường cao SH = h. Gọi I, J, K lần lượt là trực tâm các mặt bên của hình chóp 
Chứng minh mặt cầu ngoại tiếp SIJK có tâm trên SH
Gọi r là bán kính của mặt cầu ấy. Tính thể tích của SABC theo r và h 
bài16: Cho hình chóp tam giác đều SABC với cạnh đáy AB = a và đường cao SH = h
Tính theo a và h các bán kính r, R của các mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp 
Giả sử a cố định, h thay đổi. Xác định để r/R lớn nhất 
bài17: Cho hình chóp tam giác đều có diện tích mặt cầu ngoại tiếp là S và diện tích mặt cầu nội tiếp là s
Chứng minh: S ³ 9s
Tính thể tích hình chóp theo S và s