Luỹ thừa và lôgarit phương trình, bất phương trình và hệ phương trình mũ và lôgarit

“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 1 
LUỸ THỪA VÀ LÔGARIT 
PHƯƠNG TRÌNH, BPT VÀ HPT MŨ VÀ LÔGARIT 
I. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LUỸ THỪA 
1. Các ñịnh nghĩa: 
 a) Luỹ thừa với số mũ nguyên: 
 • Nguyên dương: Cho a ∈ℝ và *n +∈ℤ , ta có: 
1a a= , . . ...na a a a a=
n thöøa soá
 • Số mũ bằng 0 và nguyên âm: Cho 0a ≠ và n
−
∈ℤ , ta có: 0 1a = , 1n
n
a
a−
= 
 b) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: Cho a >0 và r ∈ℚ . Giả sử mr
n
= , trong ñó m∈ℤ , 2 n +≤ ∈ℤ . 
 Khi ñó: 
m
nr mna a a= = 
GHI NHỚ: 1) Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số 0a ≠ 
 2) Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số 0a > 
2. Các tính chất của luỹ thừa: 
 • .
m n n ma a a += • 
m
n m
n
a
a
a
−
= • ( ) .nm m na a= 
 • ( ) .n n nab a b= •
n n
n
a a
b b
 
= 
 
3. Các tính chất của căn bậc n: 
 Với a, b không âm, 2 số nguyên dương m, n và 2 số nguyên p, q tuỳ ý, ta có: 
 • .
n n nab a b= • ( 0)
n
n
n
a a b
b b
= > 
 • ( ) ( 0)pn p na a a= > • m n mna a= 
 • Nếu p q
n m
= thì ( 0)n mp qa a a= > . ðặc biệt: mn mn a a= 
II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LÔGARIT 
1. Các ñịnh nghĩa: 
 • Lôgarit cơ số a của b: Kí hiệu: loga b (0 1, 0)a b 
 Ta có: loga b a b
αα= ⇔ = 
 • Lôgarit thập phân số dương b: Là lôgarit cơ số 10 của một số dương b. 
 Kí hiệu: log b hoặc lg b ( 0)b > 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 2 
 Ta có: 10log lg logb b b= = 
 • Lôgarit tự nhiên của b: Là lôgarit cơ số e của một số dương b. Kí hiệu: ln b 
 Ta có: ln logeb b= 
 CHÚ Ý: 1) Không có lôgarit của số 0 và số âm vì 0 aα α> ∀ ∈ℝ 
 2) Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1. 
 3) Từ ñịnh nghĩa lôgarit, ta có: 
 • log 1 0a = • log 1a a = 
 • log , ba a b b= ∀ ∈ℝ • 
log
, , 0a ba b b b= ∀ ∈ >ℝ 
2. Các tính chất của lôgarit: 
 a) Quy tắc tính lôgarit: Với 0 1a0 , ta có: 
 • ( )log log loga a abc b c= + 
 • log log loga a a
b b c
c
 
= − 
 
 • 
1log loga a bb
= − 
 • log .log , ( )a ab bα α α= ∈ℝ • *log .log ( )na ab n b n += ∈ℤ 
 b) ðổi cơ số của lôgarit: Với 0 1a0 , ta có: 
 • 
loglog
log
a
b
a
c
c
b
= hay log .log loga b ab c c= 
 • 
1log
loga b
b
a
= hay log .log 1a bb a = 
 • 
1log .logaa c cα α
= 
III. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 
1. Hàm số mũ: , (0 1)= < ≠xy a a 
 • Tập xác ñịnh : D = ℝ 
 • Tập giá trị : (0; )T = +∞ (vì 0,xa x> ∀ ∈ℝ ) 
 • ðạo hàm: ( ) ' .lnx xa a a= ñặc biệt: ( ) 'x xe e= 
 ( )( ) ( )' '( ). .lnu x u xa u x a a= ñặc biệt: ( )( ) ( )' '( ).u x u xe u x e= 
 • Chiều biến thiên: 
 a > 1 : hàm số ñồng biến trên ℝ 
 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến trên ℝ 
 • ðồ thị hàm số mũ : 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 3 
2. Hàm số lôgarit: log , (0 1)= < ≠ay x a 
 • Tập xác ñịnh : D (0; )= +∞ 
 • Tập giá trị : T = ℝ 
 • ðạo hàm: ( ) 1log '
.lna
x
x a
= ñặc biệt: ( ) 1ln 'x
x
= 
 ( ) '( )log ( ) ' ( ).lna
u x
u x
u x a
= ñặc biệt: ( ) '( )ln ( ) ' ( )
u x
u x
u x
= 
 • Chiều biến thiên: 
 a > 1 : hàm số ñồng biến trên (0; )+∞ . 
 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến trên (0; )+∞ . 
 • ðồ thị hàm số lôgarit : 
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
1. Phương trình mũ cơ bản 
 • 
( ) ( ) logf x aa m f x m= ⇔ = ( ,0 1m a∀ < ≠ ) 
 • 
( ) ( ) 0 1
( ) ( )
f x g x aa a f x g x
< ≠
= ⇔ 
=
 ; • [ ] [ ]( ) ( )
( ) 1
( ) ( ) 0 ( ) 1
( ) ( )
f x g x
A x
A x A x A x
f x g x
=

= ⇔ < ≠ =
2. Phương pháp giải: 
2.1. Phương pháp ñưa về cùng một cơ số: 
 a) ðưa về cùng 1 cơ số là hằng số: 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 4 
 ðưa phương trình về dạng: ( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x aa a f x g x
< ≠
= ⇔ 
=
Bài mẫu: Giải phương trình: 2 2 2 21 1 25 3 2(5 3 )x x x x+ − −− = − (*) 
 (*)
2 2
2 2 5 35 3.3 2. 2.
5 9
x x
x x⇔ − = −
2 2 22 21 5 3.3 3 3
5 9
x x x   ⇔ − − = −   
   
2 2
2 2 5 35 3.3 2. 2.
5 9
x x
x x⇔ − = − 
2 22 21 5 3 3
5 9
x x   ⇔ − = −   
   
2 23 255 3
5 9
x x⇔ =
2 35 5
3 3
x
   
⇔ =   
   
2 3 3x x⇔ = ⇔ = ± 
Bài tập: 
1) − + −=
2x x 8 1 3x2 4 2) 
− −
=
2 5
x 6x
22 16 2 3) − − − −+ + = − +x x 1 x 2 x x 1 x 22 2 2 3 3 3 
4) − − =x x 1 x 22 .3 .5 12 5) 
10 5
10 1516 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
= 6) 1 2 2 13 18 .2 .3x x x x− − += 
7) 
5 17
7 31243 .2187
9
x x
x x
+ +
− −
= 8) 1 1 22 3 3 2x x x x− − +− = − 9) 3 2 2 37 9.5 5 9.7x x x x+ = + 
10)
3 1
2 12 29 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = − 11) ( ) 212 .3 3 xx x ++ = 12) 
1
1
5 1 51 4 2
2
x
x x x+ +
 
  
=     
 
13) 2 22 24 123(0,6) .5 .9
5
x
x x x− − 
=  
 
 14) ( ) ( ) ( ) 2 2 11 13 4 22 . 2 . 4 2 xx xx x−− − = 
15) 2 1 11 13.4 .9 6.4 .9
3 2
x x x x+ + ++ = − 
 b) ðưa về cùng 1 cơ số là hàm số: 
 ðưa phương trình về dạng: [ ] [ ]( ) ( )
( ) 1
( ) ( ) 0 ( ) 1
( ) ( )
f x g x
A x
A x A x A x
f x g x
=

= ⇔ < ≠ =
Bài mẫu: Giải phương trình: 2 3x xx x −= (*) 
Giải: ðiều kiện: 32 3 0
2
x x− > ⇔ > 
 Ta có: (*)
1
2 32
x
xx x −⇔ =
1 ( )
1 2 3 0
2
x loai
x x
=
⇔
 = − >

2
6
x
x
=
⇔ 
=
Bài tập: 
1) ( ) 2 42 5 4 1xx x −− − = 2) 2 5 6( 4) 1x xx − ++ = 3) ( )3 2 xxx x= 
4) 
5 1 1
2 2
2 2
1 1
x x
x x
+ −
   
=   
+ +   
 5) ( ) 29 32 22 2 2 2xx x x x−− + = − + 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 5 
6) ( ) 4 22 21 1xx x x x−− + = − + 7) ( ) 1cos cos2 222 2xx xx x++ = + 
2.2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ ñưa về phương trình bậc 2, bậc 3: 
Bài mẫu: Giải phương trình: 2 2 22 6 9 3 5 2 6 93 4.15 3.5x x x x x x+ − + − + −+ = (*) 
Ta có: (*) 2 2 22( 3 5) 3 5 2( 3 5)3.3 4.15 15.5x x x x x x+ − + − + −⇔ + = 2 2 22( 3 5) 3 5 ( 3 5)3.9 4.15 15.25x x x x x x+ − + − + −⇔ + = 
2 23 5 3 59 153. 4. 15
25 25
x x x x+ − + −
   
⇔ + =   
   
2 22( 3 5) 3 53 33. 4. 15 0
5 5
x x x x+ − + −
   
⇔ + − =   
   
ðặt 
2 3 53 0
5
x x
t
+ −
 
= > 
 
, ta có phương trình: 2
3 ( )
3. 4. 15 0 5
3
t loai
t t
t
= −
+ − = ⇔
 =

Với 5
3
t = , ta có: 
2 23 5 3 5 13 5 3 3
5 3 5 5
x x x x+ − + − −
     
= ⇔ =     
     
2 3 5 1x x⇔ + − = − 2
1
3 4 0
4
x
x x
x
=
⇔ + − = ⇔ 
= −
Bài tập: 
1) 2 13 9 4x x+ ++ = 2) 3 74 2 17 0x x+ ++ − = 3) 
2 21 15 5 24x x+ −− = 
4) 35 5 20 0x x−− − = 5) 14 4 3.2x x x x+ +− = 6) 
1 1 1
49 35 25x x x− = 
7) 3 1125 50 2x x x++ = 8) 2 2 22.49 9.14 7.4 0x x x− + = 9) 
1 1 1 11
225 3.10 2 0x x x
+ +
+ − = 
10) 2 22 1 24 5.2 0x x x x+ − − + −− = 11) 2 25 1 54 12.2 8 0x x x x− − − − −− + = 12) 
1 1
1 23.2 8.2 4 0
x x
x
− −
+
− + = 
13) 
2 3 3
8 2 20 0
x
x x
+
+ − = 14) 2 4 2 23 45.6 9.2 0x x x+ ++ − = 15) 2 3 1 2 1 4 22 .9 2.6 4 .3 0x x x x x− − −− + = 
16) 8 18 2.27x x x+ = 17) 
3
5 21 6 12
6
x
x
−
−
 
= − 
 
 18) 3 3(1 )2 6.2 2 12.2 1x x x x− −− − + = 
19) 1 2 32 2 2 448x x x− − −+ + = 20) 2 22 3.2 32 0x x+− + = 21) ( )3 35 9.5 27 5 5 64x x x x− −+ + + = 
22) 
1 1 1
2.4 6 9x x x+ = 23) ( ) ( )2 3 2 3 4x x+ + − = 24) ( ) ( )4 15 4 15 62x x+ + − = 
25) ( ) ( )( ) ( )2 3 7 4 3 2 3 4 2 3x x+ + + − = + 26) ( ) ( )7 4 3 3 2 3 2 0x x+ − − + = 
27) ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2x x x+− + + = 28) ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2x x x++ + − = 
29) ( ) ( )3 5 3 5 7.2x x x+ + − = 30) ( ) ( ) 13 5 1 5 1 2x x x++ − − = 
31) 15 1 3 56 7
14 98
xx
x−
  
− +
 + =       
 32) ( ) ( )cos cos7 4 3 7 4 3 4x x+ + − = 
33) ( ) ( )2 2215 1 2 3 5 1x x x xx x− −+ −+ + = − 34) 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x− −+ − + − = 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 6 
35) 9 2( 2).3 2 5 0x xx x+ − + − = 36) 2 (3 2 ) 2(1 2 ) 0x xx x− − + − = 
37) 2 2( 2).4 4( 1).2 16 0x xx x− −+ + + − = 38) 38 .2 2 0x xx x−− + − = 
Giải và biện luận các phương trình sau: 
39) ( ) ( ) 37 3 5 7 3 5 2x x xm ++ + − = 40) ( ) ( )tan tan5 2 6 5 2 6x x m+ + − = 
41) ( ) ( )tan tan3 2 2 3 2 2x x m+ + − = 
2.3. Phương pháp ñặt thừa số chung ñưa về phương trình tích: 
Bài mẫu: Giải phương trình: 12 3 6 2x x x+ + = + (*) 
ðặt 
2
3
x
x
a
b
 =

=
, ta có PT: 
3
01 2 1
2 2 ( 1)( 2) 0
log 22 3 2
x
x
xa
a b ab a b
xb
 == = 
+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇒ ⇔ 
== = 
Bài tập: 
1) 15 3.5 3 3x x x− + = 2) 1 2 32 3.2 6 2x x x+ + = + 
3) 12 3 6 2x x x+ + = + 4) 2 1 24 .3 3 2. .3 2 6x x xx x x x++ + = + + 
5) 
2 2 22 5 2 4 8 3 6 13 52 2 1 2x x x x x x− + − + − ++ = + 6) ( )
22 12 3 3 12 2 2 2 xx x x −− + −+ = + 
7) 4 3 2 5 73 3 9 3x x x− − −+ = + 8) 
2 2 23 2 1 1 25 5 5 5x x x x x− + − + −+ = + 
9) 2 2 1.2 6 12 6 .2 2x x xx x x x ++ + = + + 10) 3 1 3.3 27 .3 9x xx x x x++ = + 
11) 3 2 3 42. 1 2 12 2 .2 2x xx xx x− + − ++ −+ = + 12) ( ) 2 21 2 47 7 7 7x x x x+ − + −+ = + 
2.4. Phương pháp lôgarit hóa: 
 Dạng 1: ( ) ( )log log ( ) log (0 1)u x u x
a a a
a m a m u x m a= ⇔ = ⇔ = < ≠ 
 Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )log log ( ) ( ) log b (0 , 1)u x v x u x v x
a a a
a b a b u x v x a b= ⇔ = ⇔ = < ≠ 
Bài mẫu: Giải phương trình: 
1
5 .8 500
x
x x
−
= (*) 
Ta có (*)
3( 1) 3 3
3 2 3 3
2 25 .2 5 .2 5 .2 1 log 5 .2 log 1
x x x
x x xx x x
− − −
− −
 
⇔ = ⇔ = ⇔ = 
 
 2 2 5
3 1( 3) log 5 0 ( 3) log 5 0 3 log 2xx x x x
x x
−  
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = − 
 
Bài tập: 
1) 
2 4 33 25.125x x− = 2) 23( 2)8 36.3
x
xx ++
= 3) 
2 22 .3 1,5x x x− = 
4) 24 .6 2.9x x x= 5) 13 .8 36
x
x x+
= 6) 
3
2 15 .2 4
x
x x− +
= 
7) 
4 tan 24 1600
x
x = 8) 
4 tan 100xx = 9) 
2
25 5log 5 1 log 77 x x− = 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 7 
2.5. Phương pháp dùng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ: 
 Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...u x u x u x u xna a a b+ + + = với 0 , 1ka b< ≠ ; { }1 2 nMax a ,a ,...,a b< 
 Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...u x u x u x u xna a a b+ + + = với 0 , 1ka b 
Bài mẫu: 
Bài 1: Giải phương trình: 23 1 2
x
x+ = (*) 
Ta có (*) 23 1 2
x
x x⇔ + = 3 1( ) 1
2 2
x x
f x    ⇔ = + =       
Do 3 2
x
y  =  
 
 và ( )12 xy = giảm nên ( )3 1( ) 2 2x xf x  = +   giảm. 
Vậy: + Nếu x=2, ta có : ( )2 2 3 13 1(2) 12 2 4 4f VP = + = + = =   ⇒ x=2 là một nghiệm của PT . 
 + Nếu x >2, ta có: ( ) (2) 1 2f x f x ⇒ PT vô nghiệm. 
 + Nếu x = ∀ < ⇒ PT vô nghiệm. 
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2 
Bài 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )4 15 4 15 2 2x x x+ + − = (*) 
Ta có: PT(*) 4 15 4 15( ) 1
2 2 2 2
x x
f x    + −⇔ = + =      
   
Ta có : 4 15 1
2 2
+
> ; 4 150 1
2 2
−
< < nên 4 15
2 2
x
y
 +
=   
 
 tăng, 4 15
2 2
x
y
 
−
=   
 
 giảm. 
Xét 2 khả năng: 
 + Nếu 0x ≥ thì: 
0
4 15 4 15 4 15( ) 0 1
2 2 2 2 2 2
x x
f x      + − += + > + =          
     
 +  ... = − 19) 3 22 24 6log ( 3) log ( 3)x x xx x+ −− = − 
2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ: 
 Nội dung của phương pháp: ðặt ẩn số phụ bằng hàm số lôgarit có trong phương trình, ñưa 
phương trình về phương trình ñại số theo ẩn số phụ. 
Bài tập: 
1) 4 lg 3 lgx x− = 2) 2 2 12
2
log 3log log 2x x x+ + = 3) 25 5
5log log 1xx
x
+ = 
4) 2 4log (5 -1).log (2.5 - 2) 1x x = 5) ( ) ( )2 4 1log 2 .log 2 log 2xx x = 6) 2
1 lg( 1) 2 2
1 lg( 1)1 lg ( 1)
x
xx
+ −
+ =
+ −+ −
7) 2 22log (2 ).log 2 1xx = 8) 2 2log log 33 6x x+ = 9) [ ]2log 4( 1) 3( 1) 4( 1)xx x−− = − 
10) [ ]3log 9( 2) 3( 2) 9( 2)xx x−− = − 11) 2 3 3log (3 3) 4log 2 0xx ++ − = 12) 
2 2 9lg -3lg - 2lg2 10
x x
xx −= 
13) 2 2 2lg - lg .log (4 ) 2 log 0x x x x+ = 14) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1x x x x x x− − − − = − − 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 11 
15) 1 2 1
4 lg 2 lgx x
+ =
− +
 16) 2 2log 10log 6 0x x+ + = 17) 0,04 0,2log 1 log 3 1x x+ + + = 
18) 16 23log 16 4log 2logx x x− = 19) 2 2log 16 log 64 3xx + = 20) 
3lg(lg ) lg(lg 2) 0x x+ − = 
3. Phương pháp mũ hóa: 
0 1
log ( ) ( )a m
af x m f x a
< ≠
= ⇔ 
=
Bài tập: 
1) 22log ( 4 +7) 2x x− = 2) 2log (2 3 4) 2x x x− − = 3) 2log (2 4 3) 2x x x− + = 
4) ( )23log 3 2 +1 2x x x+ − − = 5) ( )( )2 2 26 8 2 2 3log log 2 0x x x x x x+ + + + − = 
6) 2 4 23 4
2
1log (9 16 ) 2
log (3 4 )x x x− − = + − 
4. Phương pháp sử dụng công thức ñổi cơ số: 
 Công thức ñổi cơ số: loglog
log
c
a
c
bb
a
= ; log .log loga b ab c c= ; 
log logc cb aa b= 
Bài mẫu: GPT: ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1x x x x x x− − + − = − − (*) 
Giải: ðiều kiện 
2
2
1 0 1
1 0
x x
x
x

− − >
⇔ ≥
− ≥
Với 1x ≥ thì (*) ( ) ( ) ( )1 12 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1x x x x x x− −⇔ + − + − = + − 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1x x x x x x⇔ + − + − = + − 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 6 3 6log 6.log 1 .log 1 log 1x x x x x x⇔ + − + − = + − 
 ( ) ( )2 26 2 3log 1 . log 6.log 1 1 0x x x x ⇔ + − + − − =   
Xét ( ) ( )2 2 26 2
1 0
log 1 0 1 1 1
1 1
x
x x x x x
x x
− ≥
+ − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =
− = −
Xét ( ) ( ) 6log 22 2 22 3 3 6log 6.log 1 1 log 1 log 2 1 3x x x x x x+ − = ⇔ + − = ⇔ + − = 
 ( )6 6log 2 log 21 3 3 12x −⇔ = + ≥ 
Vậy phương trình ñã cho có 2 nghiệm: 1x = và ( )6 6log 2 log 21 3 32x −= + 
Bài tập: 
1) 2 3log log 1x x+ = 2) 3 5log log lg15x x+ = 3) 4
7log 2 log 0
6x
x− + = 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 12 
4) 
2
3 3 2 2
1log 2 log .log log
4
x
x x
x
− = + 5) 2 316 4
2
log 14log 40log 0x x xx x x− + = 
6) 2 2 42 2
2log .log log 1
x
x x
x
+ = 7) 223 ( 4 4)log ( 8 -14).log 9 1x xx x + +− − = 
8) 23 29
9 9
log log 9log 2x x xx x x− + = 9) 
3
3 3 2
1 3 1
.log log log
log 2 23x
x
x
x
− = + 
10) 5log ( 20).log 5 1xx + = 11) 2 21 2 1 3log (6 5 1) log (4 4 1) 2x xx x x x− −− + − − + = 
12) 2 23 7 2 3log (4 12 9) log (6 23 21) 4x xx x x x+ ++ + + + + = 13) 2 2log 16 log 64 3xx + = 
14) 2log 2.log ( 6) 1x x + = 15) 2 3 3 2log log log logx x= 16) 2 2 5 5log log log logx x= 
17) 4 2 2 4log log log log 2x x+ = 18) 2 3 4 4 3 2log log log log log logx x= 
19) 4 2 2 4log log log log 2x x+ = 20) 3 5 7 3 5 7log log log log .log .logx x x x x+ + = 
5. Phương pháp ñưa về phương trình mũ ñơn ñiệu: 
Bài mẫu: GPT: 2 5log ( 1) logx x− = (1) 
Giải: ðiều kiện: 
0
1
-1 0
x
x
x
>
⇔ >
>
ðặt: 5 2
2
log 5 4 2 15 (2 1) 4 2.2 1 5 ( ) 2. 1
5 5 5log ( -1) -1 2
u u uu
u u u u u
u
x u x f u
x u x
=  =       
⇔ ⇒ = + ⇔ + + = ⇔ = + + =       
=      =  
Ta có ( )f u giảm và (2) 1f = nên ( ) 1 ( ) (2) 2f u f u f u= ⇔ = ⇔ = 
Với 2u = , ta có 5
2
log 2 25
25 1
-1 4log ( -1) 2
x x
x
xx
= =  
⇔ ⇔ = > 
==  
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm x = 25. 
Bài tập: 
1) 2 22 38 4 3log ( -8 - 7) log ( -8 -8)x x x x++ = 2) 
2
4 3log ( 8) log 3x x x− − = 
3) 23 2log ( 3 13) logx x x− − = 4) 33 2log (5 ) log ( 4)x x+ = − 5) 32 7log (1 ) logx x+ = 
6) 3 22.log cot log cosx x= 7) 33 23.log (1 ) 2.logx x x+ + = 
6. Phương pháp hàm số: 
Bài 1: Giải phương trình: [ ]2 3( 2) log ( 3) log ( 2) 1x x x x− − + − = + 
Giải: ðiều kiện: 3x > 
PT 2 3
1log ( 3) log ( 2)
2
x
x x
x
+
⇔ − + − =
−
ðặt: 2 3
1 1( ) log ( 3) log ( 2) '( ) 0 3( 3).ln 2 ( 2).ln 3f x x x f x xx x= − + − ⇒ = + > ∀ >− − 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 13 
 ( )2
1 3( ) '( ) 0 3
2 2
xg x g x x
x x
+ −
= ⇒ = 
−
−
Như vậy ( )f x tăng, ( )g x giảm nên phương trình ( ) ( )f x g x= có không quá một nghiệm. 
Mặt khác ta có (5) (5) 2f g= = nên phương trình ( ) ( )f x g x= có nghiệm duy nhất 5x = . 
Bài 2: Giải phương trình: 2 22 3log (1 -5 5) log ( - 5 7) 2x x x x+ + + + = 
Giải: ðiều kiện: 2 -5 5 0x x + ≥ 
ðặt: 2 2 2- 5 5 0 2 -5 7u x x u x x= + ≥ ⇒ + = + 
Khi ñó ta có PT: 22 3( ) log (1 ) log ( 2) 2f u u u= + + + = 
Ta có: 2
1 2
'( ) 0 u 0(1 ).ln 2 (2 ).ln 3
uf x
u u
= + > ∀ ≥
+ +
 ( )f u⇒ ñồng biến nên phương trình ( ) 2f u = có không quá một nghiệm. 
Mặt khác ta có: (1) 2f = nên phương trình có nghiệm duy nhất 1u = . 
Với 1u = , ta có 2 2
1
-5 5 1 -5 4 0
4
x
x x x x
x
=
+ = ⇔ + = ⇔ 
=
VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 Phương pháp giải giống phương trình lôgarit. Tuy nhiên cần lưu ý một số ñiểm sau: 
 • 
1 0 1
log ( ) ( ) 0 ( )a m m
a af x m f x a f x a
> < < 
> ⇔ ∨ 
> < < 
 • 
1 0 1
log ( ) ( ) 0 ( )a m m
a af x m f x a f x a
> < < 
≥ ⇔ ∨ 
≥ < ≤ 
 • 
1 0 1
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )a a
a af x g x f x g x f x g x
> < < 
> ⇔ ∨ 
> > < < 
 • 
1 0 1
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )a a
a af x g x f x g x f x g x
> < < 
≥ ⇔ ∨ ≥ > < ≤ 
Bài tập: 
1) log (3- 2 ) 1x x > 2) 
3log 2
8 2x x
> −
−
 3) 2 2 1log
-3 2x
x
x
≤ 
4) ( )2log 9 1 1x x x− − − ≥ 5) 3 9log 2log 2x x− > 6) 32 43log 4log 2x x− > 
7) 22log 64 log 16 3x x+ ≥ 8) 22 2
2 2
log ( 3)1 1
log ( 1) log ( 1)
x
x x x x
+
+ >
− + − +
 9) 1 5
5
log (1 ) log (2 )x x+ ≤ − 
10) log (3 2 ) 1x x− > 11) 
3log 2
8 2x x
> −
−
 12) 2 2 1log 3 2x
x
x
≤
−
13) 2log ( 9 1) 1x x x− − − ≥ 14) ( )28log 4 3 1x x− + ≤ 15) 3 3log log 3 0x x− − < 
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 14 
16) ( )21 4
3
log log 5 0x − >
 
 17) ( ) ( )21 5
5
log 6 8 2log 4 0x x x− + + − < 
18) 1
3
5log log 3
2 x
x + ≥ 19) ( )9log log 3 9 1xx  − 
21) 1
3
4 6log 0x
x
+ ≥ 22) ( ) ( )2 2log 3 1 log 1x x+ ≥ + − 23) 8 1
8
22log ( 2) log ( 3)
3
x x− + − > 
24). 3 1
2
log log 0x
 
≥ 
 
 25) 5log 3 4.log 5 1xx + > 26) 
2
3 2
4 3
log 0
5
x x
x x
− +
≥
+ −
27) 1 3
2
log log 1x x+ > 28) ( )22log 5 6 1x x x− + 
30) 
2
2
3
1
5log 1 0
2x
x
x x
+
 
− + ≥ 
 
 31) 6 2
3
1log log 0
2x
x
x
+
− 
> + 
 32) 22 2log log 0x x+ ≤ 
33) 
216
1log 2.log 2
log 6x x x
>
−
 34) 23 3 3log 4log 9 2log 3x x x− + ≥ − 
35) ( )2 41 2 16
2
log 4log 2 4 logx x x+ < − 36) 
2
6 6log log6 12x xx+ ≤ 37) 
3
2 22 log 2 log 1x xx
x
− − > 
38) ( ) ( )12 1
2
log 2 1 .log 2 2 2x x+− − > − 39) 
( ) ( )2 32 25 11
2
log 4 11 log 4 11
0
2 5 3
x x x x
x x
− − − − −
≥
− −
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 
1. Hệ phương trình, bất phương trình mũ 
1. 
î
í
ì
=+
=+
1
322
yx
yx
2. 
ïî
ï
í
ì
=+
=+-
1
2
1
44 22
yx
yx
3. 
î
í
ì
=+
=
1
5.2002
yx
yy
4. 
ïî
ï
í
ì
=-
=
2
9
1
2.3
xy
yx
5. 
ïî
ï
í
ì
=
=
--
+
15
1284
323 yx
yx
6. 
ïî
ï
í
ì
=
=
yx
yx
3.24381
927
7. 
ïî
ï
í
ì
=
=+
+ 2464
126464 2
yx
yx
8. 
ï
ï
í
ì
=
=+
+ 273
2833
yx
yx
9. 
ïî
ï
í
ì
=
=
455.3
755.3
xy
yx
10. 
ïî
ï
í
ì
=-
=-
723
7723
2
2
y
x
yx
11. 
ï
ï
î
ïï
í
ì
-=-
=+
4
3
32
4
11
3.22.3
yx
yx
12. 
ïî
ï
í
ì
=-
=-
0494
0167
yx
yx
13. 
ïî
ï
í
ì
=+
=+ -
1893
23 1
y
y
x
x
14. 
ïî
ï
í
ì
=++
+=
+ 0122
24
2
2
y
y
x
x
15. 
ïî
ï
í
ì
=+
=+
++ 1)1(
2
22 yyx
yx
16. 
ïî
ï
í
ì
-=-+
-=-
342
22
22 yxx
xyyx 
17. 
ïî
ï
í
ì
=+
=+
+
++
82.33.2
1723
1
2222
yx
yx
18. 
( )ïî
ï
í
ì
=
=
2
1
2324
9
x
x
y
y
19. 
ïî
ï
í
ì
=
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ -
+
13
3
5
4
yx
yx
x
y
xy
20. 
î
í
ì
-³+
£+
2
1222
yx
y
21. 
( ) ( )
ïî
ï
í
ì
=--+
+=
1233
24
22
2loglog 33
yxyx
xyxy
22. 
î
í
ì
-³+
£+ --+
3log23
24.34
4
121
yx
yyx
23. 
î
í
ì
>
=-+
0
96224
x
xxxx 
24. 
( )ïî
ï
í
ì
=
=
-
-
-
2
728
12
1
.
yx
yx yxxy
xy
“ PH¦¥NG TR×NH, BPT vµ HPT mò Vµ L¤GARIT ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 15 
2. Hệ phương trình, bất phương trình lôgarit 
1. 
î
í
ì
=
=+
1).(log
32
3 yx
yx 
2. 
î
í
ì
=-+
+=+
020
9log1loglog 444
yx
yx
3. 
ïî
ï
í
ì
=-
=+
20
2loglog
2 yx
xy yx 
4. 
ïî
ï
í
ì
=
=
+
-
2log
11522.3
)(5 yx
yx
5. 
î
í
ì
=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
6. 
ïî
ï
í
ì
=+
=+
1log2log
813
42
22
yx
yx
7. 
ïî
ï
í
ì
=
=
3lg4lg
43
)3()4(
lglg
yx
yx
8. 
ï
î
ï
í
ì
=
=
1log
5log
2
1
2
y
x
xy
9. 
( )
( )î
í
ì
=+
=+
232log
223log
yx
yx
y
x 
10. 
( )
( )ïî
ï
í
ì
=+
=-
0log
1log
yx
yx
xy
xy 
 11. ( )î
í
ì
=+
=
+ 323log
2log
1 y
y
x
x 
12. 
ïî
ï
í
ì
=+
=+
12
2loglog
2 yx
yx xy 
15. 
( ) ( )
î
í
ì
=-
=--+
1
1loglog
22
3
yx
yxyx
16. 
ïî
ï
í
ì
=+
=+
28lg4
2lg 2
xy
xy 
17. 
ïî
ï
í
ì
=+++
=++-
-+
-+
2)12(log)12(log
4)1(log)1(log
11
2
)1(
2
1
xy
xy
yx
yx 
18. 
ïî
ï
í
ì
=-
=++ +
32
1log).2log2(
yx
yxx yxxy 
19. 
( )ïî
ï
í
ì
=+
=-
1log.log2
1)(log
5 yxxy
yx
xy
xy
20. 
ï
ï
î
ïï
í
ì
=÷
ø
ö
ç
è
æ -+
=
-
4log
3
1log1
5
2
log
5
2
1
xx
y
x
y
xy
âg
21. 
( )ïî
ï
í
ì
=-
=
13log.log
log.
4
2
5
xyy
xxxy
y
y 
22. 
( ) ( )
ï
î
ï
í
ì
=+
+=+
2
1
loglog
loglog
22
55
2
12
yx
yxyx
23. 
ï
î
ï
í
ì
=+
-=
5loglog
3log.log
2
2
2
2
22
yx
y
x
xy
24. 
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
2logloglog
2logloglog
2logloglog
4164
993
442
yxz
xzy
zyx
25. 
ïî
ï
í
ì
>++-
<-
0953
3
0loglog
2
3
2
2
2
2
xx
x
xx
26. ( ) ( )îí
ì
+<++
>+
+- 122.7log12log2log
2)2(log
2
1
2
1
2
xxx
x x
35. 
ïî
ï
í
ì
-=
-=
xx
yx
22
2
3
22
log8log
2logloglog5
36. 
ïî
ï
í
ì
+=
=-
+1
22
2
3log.2log.3
153log2
yy
y
xx
x
37. 
ïî
ï
í
ì
=+
-=+
10lg5loglog
4log2loglog
24
2
142
yx
yx
38. 
( )
ïî
ï
í
ì
+=
=
34
loglog
log2
2
yy
xxy
x
yx
y
13. 
( )ïî
ï
í
ì
-+
=
32 lg2lglg
813.9
x
yx
yx
14. 
ïî
ï
í
ì
=
=
+
+
3
12
xy
yx
yü
yx
 (x, y > 0)