Luận văn Hàm lồi và các tính chất

 đại học Thái Nguyên 
Tr-ờng đại học khoa học 
-------------  0  ------------- 
Phạm Bá Tuyên 
Hàm lồi và các tính chất 
Chuyên ngành: Toán ứng dụng 
Mã số: 60.46.36 
Luận văn thạc sĩ toán học 
Thái Nguyên – 2009 
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
 đại học Thái Nguyên 
Tr-ờng đại học khoa học 
-------------  0  ------------- 
Phạm Bá Tuyên 
Hàm lồi và các tính chất 
Chuyên ngành: Toán ứng dụng 
Mã số: 60.46.36 
Luận văn thạc sĩ khoa học toán học 
 Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: 
 GS-TS Trần Vũ Thiệu 
Thái Nguyên – 2009 
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
 đại học Thái Nguyên 
Tr-ờng đại học khoa học 
-------------  0  ------------- 
Phạm Bá Tuyên 
Hàm lồi và các tính chất 
Chuyên ngành: Toán ứng dụng 
Mã số: 60.46.36 
Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học 
 Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: 
 GS-TS Trần Vũ Thiệu 
Thái Nguyên – 9/2009 
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Mục lục
Lời nói đầu 2
Chương 1. Hàm lồi một biến 5
1.1 Hàm lồi thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tính lồi tại điểm giữa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Hàm lồi giá trị trong R¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Hàm lồi trong Rn 19
2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Hàm lồi khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chương 3. Cực trị của hàm lồi 40
3.1 Cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . . . 40
3.2 Cực tiểu hàm lồi (cực đại hàm lõm) . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Cực tiểu của hàm lồi mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Cực đại hàm lồi (cực tiểu hàm lõm) . . . . . . . . . . . . . . 49
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 55
1
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Lời nói đầu
Hàm lồi và các biến dạng của nó (lồi chặt, lồi mạnh, tựa lồi . . .) có nhiều
tính chất đẹp đáng chú ý và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lý thuyết và
ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hoá. Hàm lồi và các
mở rộng là một chủ đề hấp dẫn với nhiều kết quả phong phú và luôn thu hút
sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Đề tài luận văn đề cập tới các hàm lồi một biến và nhiều biến, cùng
với các tính chất cơ bản của chúng. Hàm lồi có vai trò quan trọng trong
nhiều lĩnh vực nghiên cứu: qui hoạch toán học, lý thuyết điều khiển tối ưu,
lý thuyết trò chơi, kinh tế toán . . . Giả thiết về tính lồi của hàm không thể
thiếu trong nhiều định lý về tồn tại nghiệm tối ưu, tồn tại giá cân bằng hay
tình thế cân bằng trong các mô hình kinh tế toán. Vì thế, tìm hiểu hàm lồi
và các tính chất là thực sự cần thiết và hữu ích, giúp hiểu sâu hơn về nhiều
vấn đề trong giải tích lồi và lý thuyết tối ưu.
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày những kết quả cơ bản đã
biết liên quan đến các hàm lồi một biến và nhiều biến, đặc biệt lưu ý các tính
chất nổi bật như tính liên tục, tính khả vi và các tính chất cực trị. Nội dung
đề cập trong luận văn được trình bày một cách chặt chẽ về mặt toán học, các
khái niệm và kết quả nêu ra có kèm theo ví dụ và hình vẽ để minh hoạ.
Nội dung luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: “Hàm lồi một biến” đề cập tới các hàm lồi một biến, xác định
và nhận giá trị thực hữu hạn hay vô cực trên một khoảng liên tục (hữu hạn
hay vô hạn) của đường thẳng số thực. Hàm lồi một biến có nhiều tính chất
đáng chú ý như tính Lipschitz, tính liên tục và khả vi hầu khăp nơi trên miền
xác định. Xét một số hàm có liên quan: hàm lồi chặt, hàm tựa lồi, tựa lồi
chặt, hàm liên hợp . . .
Chương 2: “Hàm lồi trong Rn giới thiệu về hàm lồi nhiều biến và các
tính chất cơ bản: Hàm n biến là hàm lồi khi và chỉ khi hàm thu hẹp của nó
2
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
trên mọi đường thẳng trong Rn là hàm lồi một biến. Hàm lồi có mối quan
hệ chặt chẽ với các tập lồi: f là hàm lồi khi và chỉ khi epi f là tập lồi và
nếu f là hàm lồi thì mọi tập mức dưới của nó là các tập lồi. Hàm lồi trên
tập lồi mở thì liên tục. Tiếp theo nêu cách nhận biết hàm lồi qua các phép
toán và hàm khả vi là lồi qua một số dấu hiệu. Trong chương còn giới thiệu
khái niệm dưới vi phân của hàm lồi và mối quan hệ giữa dưới vi phân với
đạo hàm theo hướng và với hàm liên hợp.
Chương 3: “Cực trị của hàm lồi” trình bày các tính chất cực trị của hàm
lồi, hàm lồi chặt và hàm lồi mạnh: cực tiểu địa phương của hàm lồi luôn là
cực tiểu toàn cục; hàm lồi chặt có nhiều nhất một điểm cực tiểu và hàm lồi
mạnh luôn đạt cực tiểu trên tập đóng khác rỗng, cực tiểu đó là duy nhất nếu
tập là lồi đóng khác rỗng; cực đại của hàm lồi (cực tiểu của hàm lõm) nếu
có sẽ đạt tại điểm cực biên (nói riêng, tại đỉnh) của tập được xét. Ngoài ra,
chương này còn trình bày các điều kiện tối ưu cần và đủ đối với các hàm lồi
khả vi.
Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu,
tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ
đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong
nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn
GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở Viện Toán học, Viện Công
nghệ thông tin Hà Nội, Khoa Công nghệ thông tin, Khoa Toán và Phòng Đào
tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình
giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập
tại trường.
3
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các Phòng, Ban
chức năng và Bộ môn Toán Trường Cấp II-III Tân Quang và bạn bè đồng
nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành
tốt luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Phạm Bá Tuyên
4
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Chương 1
Hàm lồi một biến
Hàm lồi có vai trò quan trọng trong giải tích lồi, đặc biệt trong tối ưu hoá.
Ta bắt đầu làm quen với hàm lồi một biến và các tính chất đáng chú ý của
nó.
1.1 Hàm lồi thực
1.1.1. Định nghĩa và tính chất
Ký hiệu I là một khoảng (đóng, mở hay nửa mở, hữu hạn hay vô hạn)
trong đường thẳng thực R. Chẳng hạn, khoảng mở hữu hạn
I = (p, q) với −∞ < p < q < +∞
Định nghĩa 1.1. Cho hàm một biến số f : I → R,
a) f gọi là lồi (hay hàm lồi) nếu:
f(λa+ (1− λ)b) ≤ λf(a) + (1− λ)f(b) (1.1)
với mọi a, b ∈ I, và mọi λ ∈ R, với 0 < λ < 1. Hình 1.1 cho thấy ý nghĩa
hình học của tính lồi: dây cung với hai đầu mút (a, f(a)) và (b, f(b)) luôn
nằm ở phía trên đồ thị của hàm f .
b) f gọi là lồi chặt nếu f lồi và trong (1.1) có bất đẳng thức chặt khi
a 6= b.
Ta nêu các phát biểu tương đương khác về tính lồi của hàm f : I → R.
a) f(x) ≤ b− x
b− af(a) +
x− a
b− a f(b)
với mọi a, b, x ∈ I và a < x < b. Chú ý rằng vế phải của bất đẳng thức trên
có thể viết thành:
f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a)
5
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
b) f(λa+ àb) ≤ λf(a) + àf(b)
với mọi a, b, x ∈ I và mọi λ, à ∈ R sao cho λ > 0, à > 0, λ+ à = 1.
• Dễ dàng kiểm tra các tính chất đơn giản sau đây của hàm lồi:
a) Nếu f và g là các hàm lồi và α ≥ 0, β ≥ 0 thì αf + βg là hàm lồi.
b) Tổng của một số hữu hạn các hàm lồi là hàm lồi.
c) Hàm giới hạn (theo từng điểm) của dãy hàm lồi hội tụ là lồi.
d) Giả sử f : I → R là hàm lồi. Khi đó:
n∑
i=1
λixi ∈ I và f
(
n∑
i=1
λixi
)
≤
n∑
i=1
λif(xi)
với mọi xi ∈ I, λi ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n),
n∑
i=1
λi = 1.
e) Giả sử f là cận trên theo từng điểm của một họ bất kỳ các hàm lồi
I → R. Nếu f hữu hạn khắp nơi trên I thì f là lồi. Tuy nhiên,
mệnh đề tương tự không còn đúng đối với cận dưới.
Định lý 1.1. Giả sử f : I → R là hàm lồi. Khi đó
f(x)− f(a)
x− a ≤
f(b)− f(a)
b− a ≤
f(b)− f(x)
b− x (1.2)
với mọi a, b, x ∈ I, a ≤ x ≤ b. Nếu f lồi chặt thì ở (1.2) có bất đẳng thức
chặt.
6
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Hình 1.2 cho thấy ý nghĩa hình học của định lý này: độ dốc (AB) ≤ độ
dốc (AC) ≤ độ dốc (BC).
Chứng minh. Do f lồi nên ta có
f(x) ≤ b− x
b− af(a) +
x− a
b− a f(b) (1.3)
Từ bất đẳng thức này ta suy ra
f(x)− f(a) ≤ a− x
b− a f(a) +
x− a
b− a f(b) =
x− a
b− a [f(b)− f(a)]
đó là bất đẳng thức đầu của (1.2). Bất đẳng thức sau được chứng minh tương
tự. Nếu f lồi chặt thì trong (1.3), do đó trong (1.2) có dấu bất đẳng thức
chặt. 2
• Ký hiệu phần trong của I là int(I). Giả sử f : I → R là hàm lồi và
c ∈ int(I). Giả sử [a, b] ⊂ I sao cho a < c < b. Theo định lý 1.1 ta có:
f(c)− f(a)
c− a ≤
f(x)− f(c)
x− c với mọix ∈ (c, b].
Cũng từ định lý 1.1 suy ra rằng hàm
x→ f(x)− f(c)
x− c không giảm trên(c, b].
Do đó tồn tại đạo hàm phải
f
′
+(c) = lim
x↓c
f(x)− f(c)
x− c
Bằng cách tương tự có thể chứng minh rằng tồn tại đạo hàm trái f
′
−(c).
Nếu a < c < d < b thì với số dương h đủ nhỏ ta có
f(c)− f(c− h)
h
≤ f(c+ h)− f(c)
h
≤ f(d)− f(d− h)
h
Cho qua giới hạn khi h ↓ 0 ta được: f ′−(c) ≤ f ′+(c) ≤ f ′−(d). Vì thế, ta có
định lý:
Định lý 1.2. Giả sử f : I → R là hàm lồi. Khi đó, f có đạo hàm phải
và đạo hàm trái tại mọi điểm thuộc int(I), đồng thời f
′
− và f
′
+ là những hàm
7
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
không giảm trên int(I). Nếu c ∈ int(I), ta có f ′−(c) ≤ f ′+(c) và f(x) ≥
f(c) + f
′
−(c)(x− c), f(x) ≥ f(c) + f ′+(c)(x− c) với mọi x ∈ I (xem Hình
1.3).
Nhận xét 1.1. Giả sử f : [a, b] → R là hàm lồi. Lập luận trên cho thấy
rằng trong trường hợp này tồn tại f
′
+(a) và f
′
−(b), nếu chấp nhận giới hạn
+∞ và −∞.
1.1.2. Hàm Lipschitz và tính liên tục của hàm lồi
Định nghĩa 1.2. Hàm f : I → R gọi là Lipschitz trên I0 ⊂ I nếu tồn tại
số K > 0 sao cho |f(x) − f(y)| ≤ K|x − y| với mọi x, y ∈ I0. Điều kiện
Lipschitz kéo theo f liên tục, thậm chí liên tục đều trên I0 và f có biến
phân giới nội trên mọi khoảng con đóng, giới nội của I0.
Định lý 1.3. Giả sử f : I → R là hàm lồi và [a, b] ⊂ int(I). Khi đó,
a) f Lipschitz trên [a, b].
b) f liên tục trên int(I).
Chứng minh. Tồn tại c, d ∈ I sao cho c < a < b < d. Theo định lý 1.2
ta có f
′
+(a) ≤ f ′+(x) ≤
f(x)− f(y)
x− y ≤ f
′
−(y) ≤ f
′
−(b)
với mọi a ≤ x < y ≤ b. Từ đó suy ra |f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|, trong đó
K := max(|f ′+(a)|, |f ′−(b)|). Điều này chứng minh a); b) là hệ quả trực tiếp
của a). 2
8
Số húa bởi Trung tõm Họ ... x + (1 − λ)x0. Do C lồi nên ∀λ ∈ [0, 1] thì
z ∈ C. Vì
||z − y||2 = λ2||x− x0||2 + 2λ +||x0 − y||2.
Do ||z − y||2 ≥ ||x0 − y||2 (theo định nghĩa của hình chiếu) nên
λ2||x− x0||2 + 2λ ≥ 0.
Do bất đẳng thức này đúng với mọi λ ∈ [0, 1] nên ≥ 0. Từ
đó suy ra (3.2).
Ngược lại, giả sử có (3.2). Khi đó với mọi x ∈ C sẽ có
||x− y||2 = ||(x− x0) + (x0 − y)||2
45
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
= ||x− x0||2 + 2 +||x0− y||2 ≥ ||x0− y||2
Điều này chứng tỏ x0 là hình chiếu của y trên C. 2
Mệnh đề 3.5. Muốn cho điểm x∗ của tập lồi đóng C là điểm cực tiểu
của hàm lồi khả vi f(x) trên C, điều kiện cần và đủ là x∗ = p(y∗), trong đó
y∗ = x∗ − α5f(x∗) và α > 0 là một số bất kỳ.
Chứng minh.
Đủ. Giả sử x∗ = p(y∗). Do p(y∗) là hình chiếu của điểm y∗ trên C nên từ
(3.2) ta có bất đẳng thức
≤ 0 ∀x ∈ C.
Vì y∗ = x∗ − α5f(x∗) và α > 0 nên
≥ 0 ∀x ∈ C,
nghĩa là theo Mệnh đề 3.2, x∗ là điểm cực tiểu của hàm f(x) trên C.
Cần. Giả sử x∗ là điểm cực tiểu của f trên C. Khi đó với mọi x ∈ C ta có
≥ 0 hay − α ≤ 0 (α> 0).
Nhưng −α 5f(x∗) = y∗ − x∗, do đó ≤ 0. Theo Bổ đề
3.1, x∗ là hình chiếu của điểm y∗ trên C, nghĩa là x∗ = p(y∗). 2
46
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
3.3 Cực tiểu của hàm lồi mạnh
Sau đây ta xét một lớp hàm luôn có cực tiểu trên mọi tập đóng 6= ∅. Hơn
nữa, giống như đối với hàm lồi chặt, cực tiểu này là duy nhất nếu tập đó là
lồi.
Định nghĩa 3.3. Hàm f(x) xác định trên tập lồi C ⊂ Rn được gọi là lồi
mạnh, nếu tồn tại hằng số ρ > 0 đủ nhỏ (hằng số lồi mạnh) sao cho với mọi
x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1] ta có bất đẳng thức:
f [λx+ (1− λ)y] ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)− λ(1− λ)ρ||x− y||2 (3.3)
Có thể chứng minh rằng hàm f(x) lồi mạnh khi và chỉ khi hàm f(x)−ρ.||x||2
là lồi. Rõ ràng một hàm lồi mạnh thì lồi chặt, nhưng điều ngược lại không
chắc đúng (Chẳng hạn, hàm ex, x ∈ R, lồi chặt nhưng không lồi mạnh).
Các hàm lồi mạnh có vai trò đặc biệt quan trọng trong nghiên cứu các bài
toán cực trị (Chẳng hạn, f(x) ≡ f(x1, x2) = x21 + 2x22, x ∈ R2, là hàm lồi
mạnh).
Ví dụ 3.2. Xét hàm toàn phương
f(x) =
1
2
 + ,
trong đó Q là ma trận đối xứng, xác định dương. Tính lồi mạnh của f được
suy ra từ các hệ thức (sau khi thực hiện một số tính toán đơn giản):
f [λx+ (1− λ)y] ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)− λ(1− λ) 
≤ λf(x) + (1− λ)f(y)− λ(1− λ)ρ||x− y||2,
để ý rằng với 0 ≤ λ ≤ 1 thì λ2 ≤ λ, (1− λ)2 ≤ (1− λ) và vì rằng
≥ ρ||x− y||2
trong đó ρ là giá trị riêng nhỏ nhất (dương) của ma trận Q. 2
Mệnh đề 3.6. Nếu f(x) là hàm lồi mạnh và khả vi trên tập lồi đóng C thì
a) ≥ ρ||x− y||2 với mọi x, y ∈ C.
47
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
b) Với bất kỳ x0 ∈ C tập mức dưới C0 = {x ∈ C : f(x) ≤ f(x0)} bị chặn.
c) Tồn tại duy nhất điểm x∗ ∈ C sao cho f(x∗) = min{f(x) : x ∈ C}.
Chứng minh.
a) Do f lồi nên theo Mệnh đề 2.4, ∀x, y ∈ C thì f(x)− f(y) ≤
 . Hơn nữa, do f lồi mạnh nên với λ = 1
2
ta có:
1
4
ρ||x− y||2 ≤ 1
2
[f(x)− f(1
2
x+
1
2
y)] +
1
2
[f(y)− f(1
2
x+
1
2
y)] ≤
1
4
 +1
4
= 1
4
b) Do
f(x)− f(y) =
∫ 1
0
 dλ =
= +
∫ 1
0
 dλ
nên kết hợp với bất đẳng thức ở phần a) ta được
f(x)− f(y) ≥ +1
2
ρ||x− y||2 ⇒ (cho y = x0)
0 ≥ f(x)− f(x0) ≥ +1
2
ρ||x− x0||2 ⇒
||x− x0||2 ≤ 2
ρ
≤ 2
ρ
|| 5f(x0)|| ì ||x− x0||,
Từ đó suy ra ||x− x0|| ≤ 2
ρ
|| 5f(x0)|| với mọi x ∈ C0, nghĩa là C0 bị chặn.
c) Do hàm f(x) liên tục trên tập lồi đóng bị chặn C0 ⊂ C, nên tồn tại
x∗ ∈ C0 sao cho
f(x∗) = min{f(x) : x ∈ C0} = min{f(x) : x ∈ C}.
Vì hàm lồi mạnh cũng là hàm lồi chặt, nên theo Mệnh đề 3.1 điểm cực tiểu
x∗ là duy nhất.
2
48
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Mệnh đề 3.7. Giả sử f(x) lồi mạnh trên tập lồi đóng C và x0 là điểm cực
tiểu của f trên C. Khi đó, với mọi x ∈ C ta có
||x− x0||2 ≤ 2
ρ
[f(x)− f(x0)] (3.4)
Hơn nữa, nếu f khả vi thì
||x− x0|| ≤ 1
ρ
|| 5f(x)|| (3.5)
và
0 ≤ f(x)− f(x0) ≤ 1
ρ
|| 5f(x)||2.
Chứng minh. Từ định nghĩa của hàm lồi mạnh (hệ thức (3.3)) suy ra (với
λ =
1
2
):
f(
1
2
x+
1
2
x0) ≤ 1
2
f(x) +
1
2
f(x0)− 1
4
ρ||x− x0||2.
Từ đó và f(x0) ≤ f(1
2
x+
1
2
x0) suy ra (3.4). Tại điểm cực tiểu x0 của f trên
C, theo Mệnh đề 3.2, ≥ 0 ∀x ∈ C.
Mặt khác, theo Mệnh đề 3.6 a) ta có:
ρ||x− x0||2 ≤ ≤
≤ ≤ || 5f(x)||.||x− x0||
nghĩa là có bất đẳng thức (3.5). Cuối cùng, từ Mệnh đề 2.4 và hệ thức (3.5)
suy ra
0 ≤ f(x)−f(x0) ≤≤ ||5f(x)||ì||x−x0|| ≤ 1
ρ
||5f(x)||2
3.4 Cực đại hàm lồi (cực tiểu hàm lõm)
Khác với cực tiểu, điểm cực đại địa phương của hàm lồi không nhất thiết là
điểm cực đại toàn cục. Nói chung, thông tin địa phương không đủ để xác
định điểm cực đại toàn cục của một hàm lồi.
49
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Mệnh đề 3.8. Giả sử C ⊂ Rn là tập lồi và f : C → R là hàm lồi. Nếu
f(x) đạt cực đại trên C tại điểm trong tương đối x0 của C (x0 ∈ riC) thì
f(x) bằng hằng số trên C. Tập Argmaxx∈Cf(x) là hợp của một số diện của
C.
Chứng minh. Giả sử f đạt cực đại trên C tại điểm x0 ∈ riC và giả sử
x là điểm tuỳ ý thuộc C. Do x0 ∈ riC nên tìm được y ∈ C sao cho x0 =
λx+ (1− λ)y với λ nào đó ∈ (0, 1). Khi đó, f(x0) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y).
Vì thế λf(x) ≥ f(x0) − (1 − λ)f(y) ≥ f(x0) − (1 − λ)f(x0) = λf(x0).
Như vậy, f(x) ≥ f(x0). Từ đó f(x) = f(x0) và phần đầu của Mệnh đề được
chứng minh.
Để chứng minh phần thứ hai của Mệnh đề, ta để ý rằng với mỗi điểm cực
đại x0 ∈ C đều ∃ diện F của C sao cho x0 ∈ riF . Vì thế theo lập luận trên
đây, mọi điểm thuộc diện này đều là điểm cực đại toàn cục của f trên C.2
Mệnh đề 3.9. Giả sử C là tập lồi, đóng và f : C → R là hàm lồi. Nếu C
không chứa đường thẳng nào và f(x) bị chặn trên trên mọi nửa đường thẳng
trong C thì
sup{f(x) : x ∈ C} = sup{f(x) : x ∈ V (C)},
trong đó V (C) là tập các điểm cực biên của C, nghĩa là nếu cực đại của
f(x) đạt được trên C thì cực đại cũng đạt được trên V (C).
Chứng minh. Theo định lý trong giải tích lồi, C = convV (C) + K,
trong đó K là nón lồi sinh bởi các phương cực biên của C. Một điểm bất
50
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
kỳ thuộc C mà nó không phải là điểm cực biên, sẽ thuộc nửa đường thẳng
xuất phát từ một điểm v nào đó ∈ V (C) theo phương của một tia trong
K. Do f(x) hữu hạn và bị chặn trên trên nửa đường thẳng này, nên cực
đại của nó trên đường thẳng này đạt được tại v (Định lý 3.2). Như vậy,
supremum của f(x) trên C qui về supremum của f trên convV (C). Khi
đó, bởi vì bất kỳ x ∈ convV (C) đều có dạng x = ∑i∈I λivi với vi ∈ V (C)
và λi ≥ 0,
∑
i∈I λi = 1, cho nên f(x) ≤
∑
i∈I λif(v
i) ≤ maxi∈If(vi). 2
Hệ quả 3.3. Hàm lồi thực f(x) trên tập lồi đa diện D, không chứa đường
thẳng nào, hoặc không bị chặn trên trên một cạnh vô hạn nào đó của D, hoặc
đạt cực đại tại một đỉnh của D. 2
Hệ quả 3.4. Hàm lồi thực f(x) trên tập lồi compactC đạt cực đại tại một
điểm cực biên của C. 2
Nhận xét 3.1. Thực ra, tính chất nêu trong Hệ quả 3.4 cũng đúng cho
lớp hàm rộng hơn. Cụ thể là các hàm tựa lồi, nghĩa là các hàm f : Rn →
[−∞,+∞] sao cho các tập mức dưới Iα = {x ∈ Rn : f(x) ≤ α} là lồi
với mọi α ∈ R (Định nghĩa 2.3, Chương 2). Thật vậy, do tập lồi compactC
bằng bao lồi các điểm cực biên của nó, nên bất kỳ x ∈ C có biểu diễn
x =
∑
i∈I λiv
i
, trong đó vi là các điểm cực biên, λi ≥ 0,
∑
i∈I λi = 1 và
I là tập hữu hạn các chỉ số. Nếu f(x) là hàm tựa lồi hữu hạn trên C và
α = maxi∈If(vi) thì vi ∈ C ∩ Iα, ∀i ∈ I. Do C ∩ Iα lồi, nên x ∈ C ∩ Iα.
Như vậy, f(x) ≤ α = maxi∈If(vi), nghĩa là cực đại của f trên C đạt được
tại một điểm cực biên của C. 2
Cũng có thể chứng minh được rằng cận trên của một họ hàm tựa lồi là
hàm tựa lồi, nhưng tổng của hai hàm tựa lồi không chắc là hàm tựa lồi.
Tóm lại, chương này đã trình bày những tính chất cực trị cơ bản
liên quan tới hàm lồi, hàm lồi chặt và hàm lồi mạnh. Đáng chú ý là cực tiểu
địa phương của một hàm lồi luôn là cực tiểu toàn cục, điểm cực tiểu của hàm
lồi chặt nếu có là duy nhất và hàm lồi mạnh luôn đạt cực tiểu trên tập đóng
51
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
khác rỗng, cực tiểu đó là duy nhất nếu tập là lồi đóng khác rỗng. Cực đại
của hàm lồi nếu có sẽ đạt tại điểm cực biên (nói riêng, tại đỉnh) của tập được
xét.
52
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Kết luận
Các hàm tuyến tính và afin là những hàm đơn giản và được dùng phổ biến
nhất. Hàm lồi thuộc lớp hàm phi tuyến hay được dùng trong lý thuyết và ứng
dụng thực tế, vì hàm lồi cùng với các biến dạng của nó (lồi chặt, lồi mạnh,
tựa lồi . . .) có nhiều tính chất đẹp rất đáng được chú ý.
Luận văn này chủ yếu tập trung vào tìm hiểu các hàm lồi một biến và
nhiều biến, cùng các tính chất cơ bản của chúng, đăc biệt là tính liên tục,
tính khả vi và các tính chất cực trị.
Chương 1 đề cập tới các hàm lồi một biến, nhận giá trị hữu hạn hay
vô cực. Hàm lồi một biến xác định trên khoảng I ⊆ R là Lipschits trên
[a, b] ⊂ int(I), liên tục trên int(I) và khả vi hầu khắp nơi trên I. Nếu hàm f
hai lần khả vi trên khoảng mở I thì hàm f lồi khi và chỉ khi f
′′
(x) ≥ 0 với
mọi x ∈ I.
Chương 2 giới thiệu về hàm lồi nhiều biến và các tính chất cơ bản như:
f là hàm lồi khi và chỉ khi tập trên đồ thị của nó là lồi, hàm f lồi thì các tập
mức dưới của nó là tập lồi, cách nhận biêt hàm khả vi là hàm lồi, các phép
toán bảo toàn tính lồi của hàm, giới thiệu khái niệm dưới vi phân của hàm
lồi và mối quan hệ giữa dưói vi phân với đạo hàm theo hướng và với hàm
liên hợp.
Chương 3 trình bày các tính chất cực trị của hàm lồi, hàm lồi chặt và
hàm lồi mạnh, các điều kiện tối ưu cần và đủ đối với các hàm lồi khả vi và
một số kết quả chính về cực tiểu (cực đại) của hàm lồi. Đáng chú ý là cực
tiểu địa phương của một hàm lồi luôn là cực tiểu toàn cục, điểm cực tiểu của
hàm lồi chặt nếu có là duy nhất và hàm lồi mạnh luôn đạt cực tiểu trên tập
đóng khác rỗng, cực tiểu đó là duy nhất nếu tập là lồi đóng khác rỗng. Cực
đại của hàm lồi nếu có sẽ đạt tại điểm cực biên (nói riêng, tại đỉnh) của tập
lồi được xét.
53
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Tác giả đã cố gắng sắp xếp và trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng và
trực quan nhất có thể, đưa ra nhiều ví dụ và hình vẽ cụ thể để minh hoạ cho
các khái niệm và sự kiện được đề cập tới trong luận văn.
Hy vọng tác giả luận văn sẽ có dịp làm quen với những lớp hàm lồi khác
và nhiều ứng dụng phong phú của chúng trong lý thuyết và thực tiễn.
54
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] T. V. Thiệu (2003), Cơ sở giải tích lồi, Bài giảng lớp cao học, Viện
Toán học Hà Nội.
[2] T. V. Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, Nxb Đại học Quốc
gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] J. Tiel (1984), Convex Analysis - An Introductory Text, John Wiley
and Sons, Toronto - Singapore.
[4] H. Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer
Academic Publishers, Boston/ London/ Dordrecht.
Tiếng Nga
55
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 
www.VNMATH.com