Lí thuyết Hàm biến thực

 Môn: LÍ THUYẾT HÀM BIẾN THỰC 
Giảng viên: PSG.TS. Khuất Văn Ninh 
BÀI KIỂM TRA A2 
Học viên: Nguyễn Văn Xá 
Lớp: cao học Toán Giải tích – K15ð2 
Trường: ðHSP Hà Nội 2 
NỘI DUNG 
1. KHÔNG GIAN L(X,Y) 
2. DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 
3. HÀM SỐ TUYỆT ðỐI LIÊN TỤC 
............................................................................................. 
Nguyễn Văn Xá 2 
1. KHÔNG GIAN L(X,Y) 
Cho hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X,Y trên cùng một trường số K. 
ðịnh nghĩa 1.1 
Ánh xạ A : X Y→ ñược gọi là tuyến tính (khi ñó ta cũng nói A là toán tử tuyến 
tính từ X tới Y) nếu A( x y) Ax Ay, x, y X, , K.α + β = α + β ∀ ∈ ∀α β∈ 
ðịnh nghĩa 1.2 
Ánh xạ A : X Y→ ñược gọi là liên tục tại 0x X∈ nếu với mọi dãy phần tử 
n(x ) X⊂ mà n 0x x 0− → khi n → ∞ luôn luôn kéo theo n 0Ax Ax 0 − → khi 
n → ∞ . 
ðịnh nghĩa 1.3 
Ánh xạ A : X Y→ ñược gọi là liên tục trên X nếu nó liện tục tại mọi 0x X.∈ 
ðịnh nghĩa 1.4 
Ánh xạ A : X Y→ ñược gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho 
Ax C. x , x X.≤ ∀ ∈ 
ðịnh lí 1.5 
Cho toán tử tuyến tính A : X Y→ . Khi ñó các mệnh ñề sau là tương ñương 
1) A liên tục trên X. 
2) A liên tục tại 0x X∈ . 
3) A liên tục tại ñiểm gốc 0 X∈ . 
4) A bị chặn. 
Chứng minh 
1) 2)⇒ ngay tức khắc. 
2) 3).⇒ Giả sử nx 0→ trong X. Thế thì n 0 0x x x .+ → Mà A tuyến tính và liên 
tục tại 0x nên n 0 n 0 0Ax Ax A(x x ) Ax+ = + → hay nAx A0 0→ = trong Y. Vậy 
A liên tục tại ñiểm gốc 0 X∈ . 
3) 4).⇒ Vì A tuyến tính và liên tục tại 0 X∈ nên với 1ε = tồn tại 0δ > sao cho 
Ax A0 Ax 1− = < ε = với mọi x X, x 0 x .∈ − = < δ Với tuỳ ý { }x ' X \ 0∈ ta 
ñặt x '' x '
2 x '
δ
= thì x '' X, x ''
2
δ
∈ = < δ nên theo tính chất trên ta có Ax '' 1< ⇒ 
2Ax ' 1 Ax ' x ' .
2 x '
δ
< ⇒ <
δ
 Và bất ñẳng thức này cũng ñúng cả với x ' 0= nên 
ta có 2Ax ' x ' , x ' X,< ∀ ∈
δ
 tức là A bị chặn. 
4) 1).⇒ Hiển nhiên, vì n n nAx Ax A(x x) C. x x .− = − ≤ − 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
3 
3 
Nhận xét 1.6 
Nếu A : X Y→ là toán tử tuyến tính bị chặn thì tập 
Ax | x X,x 0
x
  
∈ ≠ 
  
 bị chặn 
trên và do ñó tồn tại 
Ax
sup | x X, x 0
x
  
∈ ≠ 
  
 hữu hạn. Ta gọi giá trị ñó là chuẩn 
của A, kí hiệu là A . Như vậy 
Ax
A sup | x X, x 0
x
  
= ∈ ≠ 
  
 và là số C nhỏ nhất 
thoả mãn bất ñẳng thức ở ñịnh nghĩa 1.4. Mặt khác do A tuyến tính nên dễ thấy 
x X, x 1 x X, x 1
A sup Ax sup Ax
∈ = ∈ ≤
= = và Ax A . x , x X, A L(X,Y).≤ ∀ ∈ ∀ ∈ 
ðịnh lí 1.7 
Cho A : X Y, B : X Y→ → là hai toán tử tuyến tính bị chặn, K,λ ∈ thì 
( A) : X Y, (A+B) : X Yλ → → cũng là các toán tử tuyến tính bị chặn và 
A . A , A B A B .λ = λ + ≤ + 
ðịnh lí 1.8 
Giả sử X, Y, Z là các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K và A : X Y→ , 
B : Y Z→ là các toán tử tuyến tính bị chặn thì BA : X Z→ cũng là toán tử tuyến 
tính bị chặn, ñồng thời ta có BA B . A .≤ 
ðịnh ngghĩa 1.9 
Ta ñịnh nghĩa L(X,Y) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục (và do ñó bị 
chặn) từ X vào Y. 
ðịnh lí 1.10 
L(X,Y) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên trường K, với chuẩn ñược xác 
ñịnh như ở nhận xét 1.6. 
Chứng minh 
Trong L(X, Y) có thể ñịnh nghĩa các phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau: 
Ta gọi tổng của hai toán tử A, B là toán tử A+B sao cho 
(A B)x Ax Bx, x X.+ = + ∀ ∈ Và tích của toán tử A với số Kλ ∈ là toán tử Aλ sao 
cho ( A)x .Ax, x X.λ = λ ∀ ∈ Rõ ràng các toán tử A+B và Aλ cũng tuyến tính và liên 
tục, tức là thuộc L(X,Y), và với các phép toán tuyến tính như trên, L(X, Y) trở 
thành một không gian vectơ trên K. Hơn nữa, trong L(X, Y) ta ñã ñịnh nghĩa chuẩn 
của mỗi toán tử A L(X,Y)∈ bởi 
{ }x X\ 0 x X, x 1 x X, x 1
Ax
A sup sup Ax sup Ax .
x∈ ∈ = ∈ ≤
= = = 
Chuẩn ấy thỏa mãn ñầy ñủ các tiên ñề về chuẩn, cụ thể là: 
1) Hiển nhiên A 0, A L(X,Y).≥ ∀ ∈ Nếu 0A = thì do 
Ax A . x , x X, A L(X,Y),≤ ∀ ∈ ∀ ∈ ta có A 0x = với mọi x, tức A = 0 
(toán tử không). Ngược lại nếu A = 0 thì dĩ nhiên 0A = . 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
4 
4 
2) A A , A L(X,Y), K,α = α ∀ ∈ ∀α ∈ do ñịnh lí 1.7. 
3) A B A B , A,B L(X, Y),+ ≤ + ∀ ∈ do ñịnh lí 1.7. 
Như vậy L(X, Y) là một không gian ñịnh chuẩn. 
Lưu ý 1.11 
Cũng như mọi không gian ñịnh chuẩn, trong L(X, Y) ta có thể nói ñến sự hội tụ: 
một dãy toán tử ( )n n(A ),A L X,Y ,∈ ñược gọi là hội tụ tới toán tử ( )A L X, Y∈ trong 
L(X,Y) khi n → ∞ nếu nA A 0− → khi n → ∞ . Sự hội tụ này còn ñược gọi là sự 
hội tụ theo chuẩn, ñể phân biệt với sự hội tụ từng ñiểm ñược ñịnh nghĩa như sau: 
một dãy toán tử ( )n n(A ),A L X,Y ,∈ ñược gọi là hội tụ từng ñiểm ñến ( )A L X, Y∈ 
trong L(X,Y) nếu x X∀ ∈ ta có nA x Ax→ (nghĩa là nA x Ax 0− → ) khi n → ∞ . 
Rõ ràng sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ từng ñiểm vì 
n nA x Ax A A x .− ≤ − Nhưng ñiều ngược lại không ñúng. 
ðịnh lí 1.12 
Nếu X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, Y là không gian Banach, trên K, thì 
không gian L(X,Y) cũng là không gian Banach trên K. 
Chứng minh 
Giả sử n(A ) L(X, Y)⊂ là cơ bản, ta có ( )n m n m n mA x A x A A x A A . x ,− = − ≤ − 
cho nên với x X∈ cho trước, ( )n mA x A x 0 n,m .− → → ∞ Vậy dãy n(A x) là cơ bản 
trong Y, mà theo giả thiết Y là không gian ñầy ñủ, nên tồn tại giới hạn 
n
n
lim A x Ax Y
→∞
= ∈ trong Y. Rõ ràng toán tử n
n
A : X Y, x X Ax lim A x,
→∞
→ ∈ =֏ là 
tuyến tính. Vả lại với 0ε > cho trước, ta có thể chọn N ñủ lớn ñể n mA A− ≤ ε với 
mọi n, m N≥ . Khi ấy dựa theo ( )n m n m n mA x A x A A x A A . x ,− = − ≤ − ta có 
n mA x A x x ,− ≤ ε và cho m → ∞ ta ñược nA x Ax x , n N− ≤ ε ∀ ≥ , chứng tỏ rằng 
( )nA A L X,Y− ∈ và nA A , n N,− ≤ ε ∀ ≥ thành thử ( ) ( )n nA A A A L X,Y= − − ∈ 
và bất ñẳng thức vừa rồi chứng tỏ nA A 0− → khi n → ∞ . Vậy dãy n(A ) có giới 
hạn là ( )A L X, Y∈ trong L(X,Y). Chứng tỏ L(X,Y) là không gian Banach trên K. 
Lưu ý 1.13 
Trong trường hợp X = Y, không gian L(X, X) gồm các toán tử tuyến tính liên tục 
trong X. Khi ấy ta có thể ñịnh nghĩa phép nhân hai toán tử như sau: tích của hai 
toán tử A, B trong X là toán tử AB trong X sao cho ( )ABx=A Bx , x X.∀ ∈ Rõ ràng 
AB cũng là toán tử tuyến tính. Vả lại vì ( )ABx A Bx A . Bx A . B . x= ≤ ≤ nên 
AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và AB A . B≤ . Như vậy trong không gian 
L(X, X) có xác ñịnh phép cộng và phép nhân hai phần tử. Dễ kiểm tra lại rằng phép 
cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên ñề của một vành. Nghĩa là L(X, X) là: 
1) Một vành; 
2) Một không gian ñịnh chuẩn; 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
5 
5 
3) Thỏa mãn ñiều kiện AB A . B≤ ; 
4) Có phần tử ñơn vị là toán tử ñồng nhất I với I 1.= 
Người ta nói L(X, X) là một vành ñịnh chuẩn. Trong vành L(X, X) , ñương nhiên có 
thể nói ñến các lũy thừa của một toán tử: ( )0 n n 1A I, A A A n 1, 2,... ,−= = = và hiển 
nhiên nnA A , n *.≤ ∀ ∈ℕ Vành ñịnh chuẩn L(X,X) còn ñược kí hiệu là L(X). 
ðịnh lí 1.14 
Cho không gian Banach X và không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y trên K. Giả sử 
dãy ( )nA L(X,Y)⊂ có tính chất với mỗi x X∈ ñều tồn tại giới hạn 
n
n
Ax lim A x
→∞
= . Khi ñó A L(X,Y)∈ và n
n
A lim A .
→∞
≤ 
ðịnh lí 1.15 
Cho toàn ánh tuyến tính A : X Y→ , hai mệnh ñề sau tương ñương: 
1) A có toán tử ngược 1A− bị chặn. 
2) Tồn tại m > 0 sao cho Ax m x , x X.≥ ∀ ∈ 
Nguyễn Văn Xá 6 
2. DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIỂM HÀM TUYẾN TÍNH 
2.1. Không gian liên hợp 
ðịnh nghĩa 2.1 
Nếu X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì toán tử tuyến tính A : X K→ 
ñược gọi là phiến hàm tuyến tính xác ñịnh trên X. 
ðịnh nghĩa 2.2 
Nếu X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì không gian L(X,K) tất cả 
các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác ñịnh trên X ñược gọi là không gian liên hợp 
(hay ñối ngẫu) của X và ñược kí hiệu là X*. 
ðịnh lí 2.3 
Với X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thì X* là không gian Banach (sự hội tụ 
xét ñến ở ñây là sự hội tụ theo chuẩn). 
ðịnh lí 2.4 
Nếu X là không gian Banach thì X* là không gian ñầy ñủ ñối với sự hội tụ từng 
ñiểm. 
ðịnh lí 2.5 
Với mọi phần tử x của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ta luôn có 
f X*, f 1
x sup f (x) .
∈ =
= 
ðịnh lí 2.6 
Nếu không gian liên hợp X* là khả li thì không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X cũng 
khả li. 
2.2. Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert 
ðịnh lí 2.7 (F. Riesz) 
Với mỗi véctơ a cố ñịnh thuộc không gian Hilbert ( )H, .,. hệ thức f (x) a, x= 
xác ñịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục f : H K→ và f a .= Ngược lại, với 
bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục f H *∈ luôn tồn tại duy nhất a H, a f∈ = 
sao cho f (x) a,x , x H.= ∀ ∈ 
Chứng minh 
Rõ dàng f (x) a, x= là một phiếm hàm tuyến tính trên H và do 
f (x) a, x a . x , x H,= ≤ ∀ ∈ nên f bị chặn, tức là f H *∈ . ðể chứng minh phần 
ngược lại ta xét một phiếm hàn tuyến tính liên tục f H *∈ . Tập hợp 
( ){ }M x H : f x 0= ∈ = rõ ràng là một không gian con ñóng của H. Nếu { }M 0⊥ = thì 
dựa vào cách phân tích x = y + z, với y M,z M⊥∈ ∈ ta thấy rằng 0z = cho nên 
( ) ( )f x f y 0 , x H,= = ∀ ∈ , do ñó f biểu diễn ñược dưới dạng ( )f x 0, x= , với 0 là 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
7 
7 
véctơ “không” của H. Trong trường hợp { }M 0⊥ ≠ , tức là tồn tại 0 0x M , x 0⊥∈ ≠ , ta 
có ( )0f x 0≠ , nên véc tơ ( )0 0
0 0
f x
a x 0
x , x
= ≠ . Với mọi ( )( ) 00
f x
x H, y x x M
f x
∈ = − ∈ vì 
( ) ( ) ( )( ) ( )00
f x
f y f x f x 0
f x
= − = . Mà 0x M⊥∈ , nên 
( )
( )0 0 00
f x
0 y, x x x , x
f x
= = − = 
( )
( ) ( )
( )0
0 0 0 0
0 0
f x f x
x, x x , x 0 f x x , x a, x .
f x x, x
= − = ⇒ = = Cách biểu diễn 
( )f x a, x= là duy nhất, vì nếu ( )f x a ', x= thì a a ', x 0, x H,− = ∀ ∈ , do ñó 
a a ', a a ' 0− − = nghĩa là a a ' 0 a ' a.− = ⇒ = . Cuối cùng do 
f (x) a,x a . x , x H,= ≤ ∀ ∈ nên f a ,≤ lại có 2f (a) a,a a f . a= = ≤ 
nên a f ,≤ suy ra a f .= ðịnh lí chứng minh xong. 
Nhận xét 2.8 
ðịnh lí trên cho phép lập một tương ứng 1 – 1 giữa các phiếm hàm tuyến tính liên 
tục f H *∈ và các véc tơ a H∈ . Tương ứng 1 – 1 ñó là một phép ñẳng cự cộng tính 
(và là tuyến tính nếu K = ℝ ) từ H* lên H, cho nên nếu ta ñồng nhất phiếm hàm f 
với véc tơ a sinh ra nó thì ta có *H H= , nghĩa là không gian Hilbert trùng với không 
gian liên hợp của nó. Khi ấy ta nói không gian Hilbert H là không gian tự liên hợp. 
2.3. Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên nℝ 
Do nℝ là không gian Hilbert trên trường số thực ℝ với tích vô hướng thông 
thường nên ( )n n* ,=ℝ ℝ nghĩa là mỗi phiến hàm tuyến tính liên tục trên nℝ ñược 
ñồng nhất với một bộ n số thực ( ) n1 na ,...,a .∈ℝ 
2.4. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ( )1pL p ≥ 
ðịnh lí 2.9 
 Cho không gian ñộ ño (E, f, µ ), ( )Ε < +∞µ . Giả sử 1 1p,q ,p 1,q 1, 1
p q
∈ > > + =ℝ 
và ( ) ( ),∈ Εpy t L µ . Khi ñó công thức sau 
( )
E
f x x(t).y(t)d= µ∫ , ( ) ( )px t L ,∈ Ε µ 
 xác ñịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian ( ),ΕpL µ và 
q
f y .= 
Chứng minh 
Áp dụng bất dẳng thức tích phân Holder ta có 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
8 
8 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
p qp q
E E E E
f x x t y t d x t y t d x t d y t d   = µ ≤ µ ≤ µ µ < +∞   
   
∫ ∫ ∫ ∫ 
Suy ra f xác ñịnh. Ta chứng minh f là phiếm hàm tuyến tính. 
 ( ) ( ) ( ), ,∀ ∈ Εpx t y t L µ và α,β∈R ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
E E
1 2 1 2
E E
f x x x t x t y t d x t y t x t y t d
x t y t d x t y t d f x f x
α + β = α + β µ = α + β µ      
= α µ + β µ = α + β
∫ ∫
∫ ∫
Suy ra f là phiếm hàm tuyến tính. Mặt khác áp dụng bất ñẳng thức Holder ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pp q
E E
f x x t y t d x t y t d x y , x t L , .= µ ≤ µ ≤ < +∞ ∀ ∈ Ε µ∫ ∫ 
 Từ ñó suy ra phiếm hàm f bị chặn và 
q
f y≤ . Do ñó f liên tục. Chọn 
( ) ( ) ( )q-10x t y t .sign y t , t E= ∈ ta có 
( ) ( ) ( ) ( )p q-1 p qp q0 0p q
E E E
x x t d y t d y t d y .= µ = µ = µ =∫ ∫ ∫ 
Nghĩa là ( ) ( )0 px t L E,∈ µ thì ( ) ( ) ( ) ( ) q0 0
E E
f x x t y t d y t d= µ = µ =∫ ∫ 
( ) ( )
1 11
q qq q
0q q
E E
y t d y t d y . x
−
   
= µ µ =   
   
∫ ∫ . Do ñó qf y≥ . Suy ra qf y= . 
ðịnh lí 2.10 
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian ( ),ΕpL µ ,(p > 1) ñều có biểu 
diễn duy nhất dưới dạng 
E
f (x) x(t).y(t)d= µ∫ , ( ) ( )px t L ,∀ ∈ Ε µ . Trong ñó 
( ) ( ),∈ Εqy t L µ , 1 1 1+ =p q ñược xác ñịnh duy nhất bởi phiếm hàm f và 
q
f y= . 
Chứng minh 
Trước hết ta kiểm tra với p = 2 , ( ) ( ) ( )2x t ,y t L ,∀ ∈ Ε µ ñặt ( ) ( )
E
x, y x t .y t d= µ∫ . 
 Ta chứng minh công thức trên xác ñịnh một tích vô hướng trên ( )2 , .ΕL µ 
1) ( ) ( ) 2,∀ ∈x t y t L ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,= = =∫ ∫
E E
y x y t x t d x t y t d x yµ µ 
2. ( ) ( ) 2,∀ ∈x t y t L ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ),
E
x y z x t y t z t dµ+ = +∫ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,
E E
x t z t d y t z t d x z y zµ µ= + = +∫ ∫ 
3. ( ) ( ) 2,∀ ∈x t y t L α∀ ∈ℝ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,= = =∫ ∫
E E
x y x t y t d x t y t d x yα α µ α µ 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
9 
9 
Do vậy ( ) ( )
E
x, y x t .y t d= µ∫ xác ñịnh tích vô hướng trên không gian 2L và hơn 
nữa ( ) ( ) 2
E
x x,x x t d= = µ∫ . Vậy 2L là không gian Hilbert. 
Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính bất kì trên không gian pL (p >1). 
*) Ta xét 1 < p < 2. Có 2 ⊂ pL L . Có thể xem 2L là không gian con ñóng của 2L . 
Theo ñó xem phiếm hàm f tác dụng trên 2L , theo ñịnh lí Riesz tồn tại duy nhất hàm 
số ( ) 2∈y t L sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
E
f x x t y t d , x t L ,= µ ∀ ∈ Ε µ∫ . Giả sử hàm số 
( )y t tương ñương với 0 trên E. ðặt 
 ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
 khi 
. khi 
 ≤
= 
>
n
y t y t n
y t
n sign y t y t n
 n = 1,2, 
Ta có hàm số ( )
n
y t ( n = 1,2,) ño ñược, bị chặn và 
n
y (t) y(t) , t≤ ∀ ∈Ε nên 
( )n q 1 1y t L , 1,p 1.p q∈ + = > ðặt ( ) ( ) ( )
q-1
n nx t y t sign y t , n 1,2,...= = thì có các 
hàm số 
n
x ño ñược, bị chặn trên E, do ñó ( )∈n px t L và ( ) 2∈nx t L 
( ) ( )
1 1
p qp q
n n n
E E
x x t d y t d   = µ = µ   
   
∫ ∫ . 
ðồng thời ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q-1 qn
E E E
f x x t y t d y t y t d y t d= µ = µ ≥ µ∫ ∫ ∫ . Mặt 
khác ( )n n pf x f . x≤ ( ) ( )
1
pq q
n n
E E
y t d f y t d . ⇒ µ ≤ µ 
 
∫ ∫ Vì ( )y t không 
tương ñương với 0 trên E nên ( )ny t cũng không tương ñương với 0 trên E (n = 
1,2,). Ta có ( )
1
qq
n
E
y t d f µ ≤ 
 
∫ . Chuyển qua giới hạn bất ñẳng thức khi n→ ∞ 
ta ñược ( ) ( ) ( )
1
qq
q
E
y t d f y t L , µ ≤ ⇒ ∈ Ε µ 
 
∫ . Ta lập hàm 
( ) ( ) ( )= ∫
E
g x x t y t dµ , ( )∀ ∈ px t L . Theo chứng minh trên hệ thức này xác ñịnh 
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên pL và = qf y . Hiển nhiên 
( ) ( )=g x f x , ( ) 2∀ ∈x t L . Vì không gian các hàm liên tục trên E là trù mật khắp 
nơi trong không gian 2L nên theo ñịnh lí về thác triển liên tục, phiếm hàm tuyến 
tính liên tục g là thác triển duy nhất của f từ không gian 2L lên toàn không gian pL , 
theo ñịnh lí Hahn - Bannach có 
2
= =
p q
g f y 
( ) ( )⇒ =g x f x , ( ) 2∀ ∈x t L . Suy ra ñiều phải chứng minh. 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
10 
10 
 *) Trường hợp p > 2, ñược chứng minh tương tự. Từ 1 1 1+ =
p q
⇒ 1 < q < 2 ta 
chỉ cần ñổi vai trò của p, q. 
Lưu ý 2.11 
Với 1 p< < ∞ thì ( )pL * ñẳng cự tuyến tính với qL (p và q là cặp số mũ liên hợp). 
Nếu ñồng nhất f(x) với y(t) ở ñịnh lí 2.10 thì ta có ( )pL *= qL , và do ñó pL là một 
không gian phản xạ khi 1 p< < ∞ , tức là ( )p pL ** L .= ðặc biệt, với p = 2 thì 2L 
là không gian Hilbert và ( )2 2L * L= (tự liên hợp). Khi p = 1, nếu µ là một ñộ ño 
σ − hữu hạn thì ( )1L * L .∞= 
2.5. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên pl 
Tương tự như 2.4, ta có ( )* =p ql l , với p, q là cặp số mũ liên hợp, 1 p< < ∞ . 
2.6. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên [ ]C a;b 
ðịnh lý 2.12 (F.Rizt) 
Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian [ ]C 0;1 có thể biểu diễn dưới 
dạng tích phân Sties theo công thức ∫−=
1
0
)()()()( tdgtxSRxf trong ñó )(tg có 
biến phân hữu hạn , )(tg ñược xác ñịnh theo phiếm hàm f. Ngược lại giả sử )(th là 
hàm số có biến phân hữu hạn, [ ]0,1x C∀ ∈ ,ñặt
1
0
( ) ( ) ( )x x t dh tϕ = ∫ thì ϕ là phiếm hàm 
tuyến tính. 
Chứng minh 
Thật vậy: 
• [ ] )()()()()()( 21
1
0
2121 xxtdhtxtxxx ϕϕϕ +=+=+ ∫ . 
• )()( xx λϕλϕ = . 
• )(.)()()(
1
0
1
0
hVxtdhtxx ≤= ∫ϕ và )(
1
0
hV≤ϕ . 
Vậy ϕ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên [ ]0,1C 
Ta có thể thấy ngay: 
• Cho 0t là một ñiểm bất kỳ trong ñoạn [ ]ba, . Phiếm hàm )(xf xác ñịnh trên 
[ ]baC , bởi )()( 0txxf = là tuyến tính và liên tục. 
• Tích phân ∫=
b
a
dttxxf )()( cũng là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên [ ]baC , . 
Lí thuyết Hàm biến thực 
Nguyễn Văn Xá 
11 
11 
• Tích phân Stieljes ∫=
b
a
tdgtxxf )()()( rong ñó )(tg là một hàm số cho trước có 
biến phân bị chặn trên [ ]ba, , xác ñịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 
[ ]baC , . Thật vậy, ñó rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính. Mặt khác theo ñịnh 
nghĩa tích phân (2) bằng giới hạn của tổng [ ]∑
−
=
+ −=
1
0
1 )()()(
n
i
iii tgtgxS ξ khi 
max 0)( 1 →−+ ii tt . Ở ñây bttat n =<<<= ...10 là một cách chia ñoạn [ ]ba, 
và iξ là một ñiểm bất kỳ của ñoạn [ ]ii tt ,1+ . Ta có 
)()(max)()()(max
1
0
1 gVtxtgtgtxS
b
abta
n
i
iibta ≤≤
−
=
+≤≤
≤−≤ ∑ . Cho nên qua giới hạn ta sẽ 
ñược xgVf ba )(≤ , chứng tỏ rằng f bị chặn (do ñó liên tục) và )(gVf ba≤ . 
Có thể chứng minh rằng ngược lại mọi phiếm hàm tuyến tính f trên không gian 
[ ]baC , ñều có dạng (2) và hơn nữa có thể chọn )(tg thích hợp ñể )(gVf ba= . Như 
vậy có thể lập một ánh xạ 1-1 từ tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên [ ]baC , lên 
tập con 0V của không gian [ ]baV , (không gian lập thành của các hàm có biến phân bị 
chặn trên [ ]ba, ). Ánh xạ ñó vừa bảo toàn các phép tuyến tính, vừa bảo toàn chuẩn. 
Do ñó có thể ñồng nhất 0V với không gian liên hợp của [ ]baC , . 
 Xét [ ] [ ]1,0: * 1,0 VC →φ , [ ] gffC =∋ )(1,0 φ֏ (Theo ñịnh lý Ritz) 
 Ta có φ tuyến tính 
• )()()( 2121 ffff φφφ +=+ 
• )()( ff λφλφ = 
• )()(
1
0
ggf V==φ 
Nhưng gf = nên φφ ⇒= ff )( là phép nhúng ñẳng cấu tuyến tính, ñẳng cự từ 
[ ]
*
1,0C lên [ ]1,0V ⇒ ñồng nhất [ ] [ ]1,0* 1,0 VC = . 
Vậy không gian liên hợp của không gian [ ]0,1C là không gian [ ]0,1V trong ñó sự 
ñồng nhất ở ñây sai khác nhau một ñẳng cự tuyến tính. Tổng quát hơn ta có 
[ ]( ) [ ]C a;b * V a;b .= 
Nguyễn Văn Xá 12 
3. HÀM SỐ TUYỆT ðỐI LIÊN TỤC 
ðịnh nghĩa 3.1 
Cho f(x) là một hàm hữu hạn, xác ñịnh trên ñoạn [a,b]. giả sử rằng với mỗi 0ε > , 
tồn tại 0δ > sao cho ( ) ( ){ }
1
f f
n
k k
k
b a ε
=
− <∑ với tất cả 1 1, ,...., ,n na b a b thỏa mãn 
1 1 2 2 ... n na b a b a b< ≤ < ≤ ≤ < và ( )
1
n
k k
k
b a δ
=
− <∑ . Khi ñó hàm f(x) ñược gọi là 
tuyệt ñối liên tục. Tập tất cả các hàm tuyệt ñối liên tục trên ñoạn [a;b] thường ñược 
kí hiệu là [ ]AC a;b . 
Nhận xét 3.2 
Rõ ràng một hàm tuyệt ñối liên tục thì liên tục theo nghĩa thông thường, do ñó 
[ ] [ ]AC a;b C a;b .⊂ Hơn nữa, hàm tuyệt ñối liên tục thì có biến phân bị chặn, nên 
[ ] [ ]AC a;b V a;b .⊂