Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông chuyên năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH	TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN
	NĂM HỌC 2008-2009
	KHÓA NGÀY 18-06-2008
ĐỀ CHÍNH THỨC	Môn thi: TOÁN
	Thời gian làm bài: 150 phút 
	(không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm):
a) Tìm m để phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả |x1 – x2| = 17.
b) Tìm m để hệ bất phương trình có một nghiệm duy nhất.
Câu 2(4 điểm): Thu gọn các biểu thức sau:
a) S = (a, b, c khác nhau đôi một)
b) P = (x ≥ 2)
Câu 3(2 điểm): Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. 
Chứng minh rằng:
a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương.
b) bc ≥ ad.
Câu 4 (2 điểm): 
a) Cho a, b là hai số thực thoả 5a + b = 22. Biết phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó.
b) Cho hai số thực sao cho x + y, x2 + y2, x4 + y4 là các số nguyên. Chứng minh x3 + y3 cũng là các số nguyên.
Câu 5 (3 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ một điểm C thuộc đường tròn (O) kẻ CH vuông góc với AB (C khác A và B; H thuộc AB). Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH.
Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho Ð ABD = Ð CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN. 
Câu 7 (2 điểm): Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.
-----oOo-----
Gợi ý giải đề thi môn toán chuyên
Câu 1: 
a) D = (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 16m2 + 33 > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Ta có: S = –4m – 1 và P = 2m – 8.
Do đó: |x1 –x2| = 17 Û (x1 – x2)2 = 289 Û S2 – 4P = 289 
Û 	(–4m – 1)2 – 4(2m – 8) = 289 Û 16m2 + 33 = 289 
Û 	16m2 = 256 Û m2 = 16 Û m = ± 4.
Vậy m thoả YCBT Û m = ± 4.
b) .
Ta có: (a) Û x ≥ .
Xét (b): * m > 0: (b) Û x ≥ .
	 * m = 0: (b) Û 0x ≥ 1 (VN)
	 * m < 0: (b) Û x ≤ .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất Û Û Û m = –1.
Câu 2: 
a) S 	= (a, b, c khác nhau đôi một)
	= = = 0.
b) P 	= (x ≥ 2)
	= 
	= 
	= 
	= (vì x ≥ 2 nên và ≥ 1)
	= .
Câu 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. 
a) Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta có thể đặt a = b – k và d = c + h (h, k Î N)
Khi đó do a + d = b + c Û b + c + h – k = b + c Û h = k.
Vậy a = b – k và d = c + k.
Do đó: a2 + b2 + c2 + d2 = (b – k)2 + b2 + c2 + (c + k)2 
	= 2b2 + 2c2 + 2k2 – 2bk + 2ck 
	= b2 + 2bc + c2 + b2 + c2 + k2 – 2bc – 2bk + 2ck + k2
	= (b + c)2 + (b – c – k)2 + k2 là tổng của ba số chính phương (do b + c, b – c – k và k là các số nguyên)
b) Ta có ad = (b – k)(c + k) = bc + bk – ck – k2 = bc + k(b – c) – k2 ≤ bc (vì k Î N và b ≤ c)
Vậy ad ≤ bc (ĐPCM)
Câu 4: 
a) Gọi x1, x2 là hai nghiệm nguyên dương của phương trình (x1 ≤ x2)
Ta có a = –x1 – x2 và b = x1x2 nên
	5(–x1 – x2) + x1x2 = 22
Û 	x1(x2 – 5) – 5(x2 – 5) = 47 
Û 	(x1 – 5)(x2 – 5) = 47 (*)
Ta có: –4 ≤ x1 – 5 ≤ x2 – 5 nên
(*) Û Û . 
Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22. Vậy hai nghiệm cần tìm là x1 = 6; x2 = 52.
b) Ta có (x + y)(x2 + y2) = x3 + y3 + xy(x + y) 	(1)
	x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 	(2)
	x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 	(3)
Vì x + y, x2 + y2 là số nguyên nên từ (2) Þ 2xy là số nguyên.
Vì x2 + y2, x4 + y4 là số nguyên nên từ (3) Þ 2x2y2 = (2xy)2 là số nguyên 
Þ (2xy)2 chia hết cho 2 Þ 2xy chia hết cho 2 (do 2 là nguyên tố) Þ xy là số nguyên.
Do đó từ (1) suy ra x3 + y3 là số nguyên.
Câu 5: Ta có: OC ^ DE (tính chất đường nối tâm
Þ D CKJ và D COH đồng dạng (g–g) 
Þ CK.CH = CJ.CO (1)
 Þ 2CK.CH = CJ.2CO = CJ.CC' 
mà D CEC' vuông tại E có EJ là đường cao
Þ CJ.CC' = CE2 = CH2
Þ 2CK.CH = CH2
Þ 2CK = CH
Þ K là trung điểm của CH.
Câu 6: Kẻ BI ^ AC Þ I là trung điểm AC. 
Ta có: Ð ABD = Ð CBE = 200 Þ Ð DBE = 200 (1)
	D ADB = D CEB (g–c–g) 
Þ 	BD = BE Þ D BDE cân tại B Þ I là trung điểm DE.
mà BM = BN và Ð MBN = 200 
Þ D BMN và D BDE đồng dạng.
Þ 
Þ SBNE = 2SBMN = = SBIE 
Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = .
Câu 7: Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.
Ta có: 	a3 + b3 > 0 Þ a3 > –b3 Þ a > – b Þ a + b > 0	(1)
	(a – b)2(a + b) ≥ 0 Þ (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 Þ a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
Þ 	a3 + b3 ≥ ab(a + b) Þ 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) 
Þ 	4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 Þ 8 ≥ (a + b)3 Þ a + b ≤ 2	(2)
Từ (1) và (2) Þ 0 < a + b ≤ 2.
--------------oOo--------------
Người giải đề: NGUYỄN DUY HIẾU - NGUYỄN PHÚ SỸ
(Giáo viên Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP.HCM)