Kinh nghiệm: Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải về tính tổng trong bài toán tổ hợp

Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải về tính tổng trong bài toán tổ hợp.
(Nguyễn Tiến Minh T.H.P.T Hồng lam Hồng Lĩnh Hà Tĩnh)
Trong các bài toán tính các tổng liên quan đến tổ hợp, cái khó là việc định hướng tìm lời giải sao cho dễ tiếp thu, không máy móc tiếp thu thụ động. 
Việc tìm ra các phép biển đổi trên phần tử đại diện mà cụ thể là trên số hạng tổng quát ở nhị thức Niu-Tơn , từ đó trình bày lời giải một cách tự nhiên rất có hiệu lực để giải loại toán này.
Bài viết này nhằm đưa ra các ví dụ mà mấu chốt là việc trình bày ý tưởng nói trên .
I. Các ví dụ minh hoạ
 Bài toán1. Tính tổng .
Phân tích: Ta hãy xuất phát từ khai triển:
 (*) . 
Ta hãy tìm mối liên quan giữa số hạng tổng quát của tổng S và số hạng tổng quát của (*). Hay nói cách khác là từ số hạng tổng quát của (*) bằng các phép toán nào để biến thành số hạng tổng quát của S ?
Số hạng tổng quát của (*) là .
Số hạng tổng quát của S là 
Tìm các phép toán biến đổi sao cho từ .ở đây mỗi mũi tên biểu thị một phép toán cần tìm. Ta bắt đầu.
( lấy đạo hàm) ( nhân với x) (lấy đạo hàm)(cho x= 1 ) 
Vì các phép toán đã tìm được ở trên phần tử đại diện . nên phải thực hiện trên 2 vế của tổng S. Theo sơ đồ đó ta có thể ghi lại một cách tự nhiên lời giải như sau.
 Lời giải:
+ Xuất phát từ khai triển .
+ Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: 
+ Nhân cả 2 vế với x ta có: 
+ Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: 
+ Cho x =1 ta có :
 S = 
Nhận xét: rõ ràng việc trình bày lời giải chỉ là một “ việc ghi lại” mà thôi. 
Bài toán 2. Tính tổng 
Phân tích: 
Số hạng tổng quát của (*) là .(1)
Số hạng tổng quát của S là .
Ta phải tìm các phép biến đổi từ .
nhận xét rằng số mũ k ở x nâng lên mũ (k+1) có đươc nhờ phép lấy nguyên hàm của hàm 
Phép biến đổi 1: (3)
Phép tính 2: So sánh (3) và (2) ta suy ra : b = 2 và a = 1. vậy tích phân cần lấy ở phép biến đổi có cận đã xác định.
 Lời giải
Ta có : 
 .
Bài toán 3. Xét tổng S = Với n > 4. Tính n biết: S = 
Phân tích: - số hạng tổng quát của (*) là: 
Để “lấp đầy” các số hạng trong tổng đầy đủ khi sử dụng (*) ta xét:
Số hạng tổng quát của P là: .
Từ đó ta có các phép biến đổi đi từ số hạng tổng quát của (*) đi đến số hạng tổng quát của P như sau:
1. 
2. Nhân với 2.
3. Tìm Mối liên hệ giữa P và S từ đó suy ra S và tìm đươc n.
 Lời giải.
Ta có : 
Mặt khác: 
(2).
Trừ 2 vế của (1) và (2) ta có : 
S = . (dễ dàng chứng minh đó là nghiệm duy nhất).
Bài toán 4. Tính tổng 
Phân tích: -Số hạng tổng quát của S là : = 2 cho x= 2.
số hạng tổng quát (*) là : 
ta có các phép biến đổi sau:
1.lấy đạo hàm của (x) là kx
2.nhân với .
3.Cho x= 2.
4.Chia cho 2.
 Lời giải.
Từ : (1+x)Đạo hàm cả 2 vế ta có:
Nhân cả 2vế với :
 .Cho x=2ta có:
2. Chia 2 vế cho 2 ta có:
 S = n.3.
Bài toán 5. Tìm hệ số của x10  trong khai triển: biết rằng
 (1)
Lời giải. Trước hết ta tìm n từ đẳng thức (1).
Xuất phát từ(2)
Từ (2) cho x =1 ta có: 
 Do 
Ta có: Số hạng tổng quát của khai triển là: với i; k là các số tự nhiên
. Theo bài ra ta cần tìm: k + 3i = 10.
 k 1 4 
 hệ số của x10 là: 
 i 3 2 
Bài 6. Tìm n biết 
số hạng tổng quát của S là ta cần tính 2 tổng.
 Lời giải.
Xuất phát từ: 
 (*) 
Lấy dạo hàm cả 2 vế ta có:
 Cho x = 1 ta có:
 (1)
Trong (*) cho x =1. ta có:
Nhân cả 2 vế với 2 thì có:
(2). Cộng (1) và (2) ta có:
. Do n > 4 nên vế phải lớn hơn 1. nên n 4. Thử ta thấy chỉ có n = 6. thoã mãn.
Vậy n = 6 .
Bài 7. Chứng minh rằng: S = 
 Lời giải: Ta xét thêm 
Ta có S + P = 
Từ : cho x = 3 ta có: S +P = 24n.
Lại cho x = - 3 ta có: S – P = 22n.
 Từ hệ trên ta suy ra .
II. Kết luận. Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm các phép biến đổi trên phần tử đại diện trong bài toán tính tổng trong tổ hợp dựa vào khai triển Niu-Ton. Ta rút ra lược đồ cách giải như sau:
 Giã sử cần tính tổng S = Ta phải trải qua các bước sau.
Xuất phát từ khai triển: (*)
số hạng tổng quát của S là Số hạng tổng quát của (*) là 
Tìm dãy các phép toán thực hiện trên số hạng tổng quát của (*) để biến thành số hạng tổng quát của S . theo sơ đồ:
( nhiều lúc phải viêt f(k) = h(n).g(k) + v(n) u(k). Khi đó các phép toán thực hiện trên xk phải thực hiện theo nhiều bước ).
Trình bày lại lời giải tường minh theo các bước đa cho rồi lấy x một giá trị đặc biêt đã được xác định đã định hướng ở tổng S .
Việc làm trên giúp người học chủ động tự tìm ra lời giải của loại toán trên , tiếp thu chủ động gây hứng thú trong học tâp, đồng thời có khả năng sáng tạo ra nhiều bài toán mới và không phụ thuộc vào các tài liệu có sẵn.
III. Một số bài toán tự giải theo cách thức trên.
Tính tổng S = 
Tính tổng S = 
Tính tổng S = 
Tìm số hạng chúa x5 trong khai triển: 
5. Tính tổng S = 
6. Cho biết . Tính tổng S = 
7.Chứng tỏ tổng sau không chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.
 S = 
8.Gọi là hệ số của x3n-3trong khai triển (x2+1)n(x+2)n .Tìm n để 
9. Tìm hệ số của x10trong khai triển (1+x)10(x+1)10từ đó suy ra giá trị của tổng S = 
10. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức:
với n là số nguyên dương sao cho: 
11. Tìm số tự nhiên n thoã mãn: 
Đs: n =6.
12. Tìm hệ số của trong khai triển biết n thoã mãn:
 2C+
Đs: Hệ số cần tìm bằng .
13.Tính tổng S = (có thể biến đổi trực tiếp .)
Đs: 
14. Tính S = .
Đs: 100.
15. Tính S = .
Đs: 2 ( xét khai triển số phức ).
15.Tìm n nguyên dương: .
Đs: n =4.