Kiến thức cơ bản và nâng cao Giải tích 12 Chương I

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO GIẢI TÍCH CHƯƠNG I
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
I/Tóm tắt lý thuyết:
Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) 
a) f’(x)>0,xÎK y= f(x) tăng trong K
b) f’(x)< 0, xÎK y= f(x) giảm trong K
c) f’(x)=0,xÎK f(x) không đổi 
Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x)0 (f’(x)0), x và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :	
 + Tìm TXÐ ?
 + Tính đạo hàm : y/ = ? Tìm nghiệm của phương trình y/ = 0 ( nếu có ) 
 + Lập bảng BXD y/ (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần. Nếu y/ > 0 thì hàm số tăng, y/ < 0 thì hàm số giảm )
 + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
II/ Bài tập 
A/ Bài tập mẫu :
1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
y= –2x3 +9x2 +24x –7
Giải: 
Miền xác định: D= 
 , cho 
 Bảng biến thiên: x – –1 4 + 
 – 0 + 0 –
 y 
 Hàm số nghịch biến trong các khoảng: 
 Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)
Miền xác định: D= 
 , cho 
Bảng biến thiên: x 0 1 2 +
 – 0 + + 0 – 
 y 
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2)
Hàm số số nghịch biến trong các khoảng: 
Ví dụ 2 :
Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên 
Giải: 
Miền xác định: D= 
= 3x2– 6mx+ m+ 2
Điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên là y’³0 "x Û3x2– 6mx+ m+ 2 ³0 "x Û Û 9m2 – 3m– 6£ 0 Û. Vậy hàm số đồng biến trên 
B/ BÀI TẬP TỰ GIẢI
1) Xét tính đơn điệu của hàm số 
 a) y = f(x) = x3+3x2+1.	b) y = f(x) = 2x2 - x4. c) y = f(x) = .	 d) y = f(x) = .
 e) y = f(x) = x +2sinx trên (-p ; p). g) y = f(x) = .	 h) y= f(x) = x3-3x2.
 i) .	 j) y= f(x) = x4-2x2. k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2p].
 l) y = x + m) n) 	 
2) Cho hàm số y = f(x) = x3 -3(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 £ m £ 0
b) Nghịch biến trên khoản(1;0).	Kq: m £ 
3) Định mÎZ để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác định của nó.	Kq: m = 0
4) Định m để hàm số y = f(x) = nghịch biến trên nửa khoảng [0;+¥).	
5) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó :
 a) y = x3-3x2+3x+2.	 b) . c) . 
6) Tìm m để hàm số :
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (0;+¥)
7) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 
8) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên khoảng (0;+¥). Kq: 
9) Chứng minh rằng : 
	a) ln(x+1) 0.	b) cosx ≥ , với x > 0 c) sinx < x trên (0;) 
10). Cho hàm số . CMR hàm số đồng biến trên nữa khoảng . 
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I/Tóm tắt lý thuyết:
 · Daáu hieäu caàn: Haøm f(x) ñaït cöïc trò taïi x0 vaø coù ñaïo haøm taïi x0 thì f / (x0)=0
· Daáu hieäu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > 0.
+Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại tại x0, 
+Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0
Qui tắc tìm cöïc trò = daáu hieäu I :
 + MXĐ D=?
 + Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có) 
 + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) 
 + Kết luận cực trị ? 
Chú ý: 
Nếu hàm số luôn tăng ( giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b). 
Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 ó
·Daáu hieäu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0 Î (a;b)
 +Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
 +Nếu thì hàm số đạt cực đại tại x0.
 Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:
 + MXÐ
 + Đạo hàm : y/ = ? 
 cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 .. .( nếu có ) 
 + Tính .. y// = ?. y//(xi), 
 Nếu y//(xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi .
 Nếu y//(xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi .
Chú ý : 
*Dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y/ khó xét dấu 
*Một số bài toán cực trị có chứa tham số:
 1/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0 :
 hoặc 
 2/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0:
 hoặc 
 3/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0:
 hoặc 
 4/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu):
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt 
 5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): 
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu 
Tìm cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0) = 
 6/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Áp dụng quy tắc 1
 1/ Tìm cực trị của hàm số sau: y= –x4+ 2x2– 3
 Giải:
Miền xác định: D= . = – 4x3+ 4x= 4x(–x2+ 1). Cho = 0 
Bảng biến thiên: x –1 0 1 + 
 + 0 – 0 + 0 –
 y –2 –2
 –3 
Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và x = 1; yCĐ= –2 , đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = –3
Áp dụng quy tắc 2
 2/ Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin2x
 Miền xác định: D= 
 = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x
 =0 sin2x= 
 = – 4cos2x
 = –2<0 Vậy: , là những điểm cực đại.
 = 2>0 Vậy: , là những điểm cực tiểu.
Một số bài toán có tham số
1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
 1) . 2) 
Giải
1) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt 
 Vậy giá trị cần tìm là: và .
2) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác –1 
Vậy giá trị cần tìm là: 
2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
1) . 2) 
Giải
1) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Xét :
 đổi dấu khi x đi qua 
Hàm số có cực trị không thỏa
Xét :
Hàm số không có cực trị không đổi dấu 
 phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Vậy giá trị cần tìm là .
3/Xác định m để hàm số: đạt cực đại tại x=2.
Giải:
*TXĐ: 
* 
*Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x=2 là: y/(2)=0 Û 
*Với m=-1 Þ xét dấu y/ Þm= -1 không là giá trị cần tìm
 *Với m=-3 Þ xét dấu y/ Þ m=-3 là giá trị cần tìm
B/ Bài tập đề nghị:
1. Tìm cực trị của các hàm só.
 1) y = x2 – 3x - 4	 2) y = -x2 + 4x – 3	 3) y = 2x3 -3x2 + 1	 4) y = 
 5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 6) y = x3 – 3x2 + 3x + 1	 7) y = -x3 -3x + 2 8) y = 
 9) y = x4 + 2x2 + 2 10) y = 	 11) y = x + 12)
 13) 	 14) y = 15) y = 	 16) y = x - 
 17) y = x +2sinx 18) y=2sinx- 19) 20)y = sin2x - cosx
2: Ñònh m ñeå y= ñaït cöïc ñaïi taïi x=1. 
3: Cho hàm số y= . Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1 
4. Tìm m để hàm số:
1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2	 ĐS : m = 1
2) đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3
3) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1	 ĐS : m = 3
4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
5. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu.
1) 	2) 	
3) 	4) 	5) 	
6. Tìm m để hàm số:
1) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị.	 ĐS: m > 0
2) y = x4 – (m + 1)x2 – 1 có 1 cực trị 	ĐS : m < - 1
3) y = mx4 + (m – 1)x2 + 1 – 2m có 3 cực trị 	 ĐS : 0 < m < 1	
7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
8. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó. (Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã-1999)
9. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng . ( ĐHQG à Nội, 2001)
10. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. (Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
11. Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
12. Cho hàm số . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): .
13. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thoả .
14. Cho hàm số , tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 giá trị cực trị trái dấu.
15. Cho hàm số , tìm m để hàm số có cực trị và yCT - yCĐ=4.
16. Cho hàm số , định m để:
 a) Đồ thị của hàm số có hai cực trị cùng dấu. b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
3.1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
 + Đạo hàm : y/ = ? .. 
 Tìm nghiệm của y/ = 0 thuộc (a;b) ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm là x1 , x2  
 + Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2) 	
 + So sánh các giá trị vừa tính số lớn nhất, số nhỏ nhất.
Chú ý:
* Nếu hàm số luôn tăng trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì .
* Nếu hàm số luôn giảm trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì .
3.2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXÐ :
 + Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ
 + Đạo hàm : y/ = ? .. 
 cho y/ = 0 tìm nghiệm của phương trình ( nếu có ) .
 + BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Chú ý:
 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT () 
 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ ()
 * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có giá trị LN, NN trên (a;b).
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
y= 2x3– 3x2– 12x+ 1 trên b/ y= x2 + trong 
Giải: 
Xét x
 = 6x2 –6x –12 cho = 0 x= –1 ( nhận)
 Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f()= –17 Vậy: , 
Xét x
 = x– = cho = 0 x= 1
 Bảng biến thiên:
 x 0 1 
 – 0 +
 y 
 Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong 
B/ Bài tập tự giải: 
1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1]	 b) y = trên đọan [-4 ; 0]
c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2]	 d) y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3]
e) y = trên đọan [2 ; 5] f) y = 1 - trên đoạn [1;2]	
g) y = x - trên (0 ; 2] h) y = trên đọan [1 ; 4]	
i) y = trên đọan [-3 ; 3] j) trên đoạn 
k) trên đoạn . l). y=2sinx- trên đoạn [0;p]
m) . n) y = 3 sinx – 4 cosx.
p) q) 
r) y = x + . s)
t) y = trên đọan [-8 ; 6] u) trên đoạn [-2; 0].
v) y = f(x) = vôùi x<1. x) y = 
2) Ñònh m ñeå haøm soá y = f(x) = x3 -3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghòch bieán treân khoaûng( -1;0).Keát quaû : m £ 
3) Tìm treân (C): y = ñieåm M sao cho toång caùc khoaûng caùch töø M ñeán hai truïc toïa ñoä laø nhoû nhaát.	
4) Cho hàm số . Chứng minh rằng : 
5) Cho hàm số . Chứng minh rằng : -1£ y £ 1
Bài 4: TIỆM CẬN 
I/ Tóm tắt lý thuyết:
*Tiệm cận đứng : x = x0 là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau 
 Chú ý : Tìm x0 là những điểm hàm số không xác định 
*Tiệm cận ngang : 
 y = y0 là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau: 
 Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử £ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang 
* Tiệm cận xiên (ban cơ bản không có phần này): 
 Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + e (x) 
[f(x) –(ax + b)] == 0 Þ y = ax + b là tiệm cận xiên 
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
 ; Þ y = ax + b là tiệm cận xiên 
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1. Tìm các ... ình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’.
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
O
O’
 Giải
Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r = 
	Độ dài đường sinh: 	l = 
	Diện tích xung quanh của khối nón: 
	Sxq = rl 
	Thể tích khối nón: 
	V = = 
BÀI TẬP
Bài 1. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một mp (P) đi qua 
đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Xác định thiết diện của 
(P) với khối nón và tính diện tích thiết diện đó.
	ĐS: S = 500 cm2 .
Bài 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần
Tính thể tích khối chóp đó.
Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này.
ĐS: 	a. Sxq = , Stp = 	 	b. V = 	c. 
Bài 3. Tính thể tích của khối nón trong các trường hợp sau:
Bán kính đáy r, góc giữa đường sinh và trục của hình nón là b
Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có diện tích S.
Bài 4. Cho hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O bán kính r, chiều cao của hình nón bằng 2r. 
Gọi I là một điểm nằm trên mặt đáy và cách O một đoạn bằng 2r. Trong hình tròn tâm O kẻ 
bán kính OA vuông góc với OI. IA cắt đường tròn tại B. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 5. Cho hình nón có đỉnh D, O là tâm đường tròn đáy, đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh 
và mặt đáy bằng a. Tính diện tích của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h và góc SAB = a (a > 450). Tính diện tích 
xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình 
chóp.
Bài 7. Cho khối nón có bán kính đáy bằng 12 cm và có góc ở đỉnh là 1200. Hãy tính diện tích thiết 
diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. 
Bài 8. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy theo một cung có số đo là a 
 (a<). Biết rằng (P) hợp với mặt đáy một góc b và khoảng cách từ tâm của đáy tới (P) bằng a.
Tính thể tích khối nón theo a, a, b.
II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: 
 Ví dụ: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ)
Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối trụ. Tính tỉ số của V và V’.
Giải
A
B
C
D
O
A’
B’
C’
D’
O’
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông 
nên đường sinh l bằng đường cao h 
	l = h = 2r.
Diện tích xung quanh của hình trụ: 
	Sxq = 2p r l = 4p r2.
Diện tích toàn phần của hình trụ:
	Stp = Sxq + 2B = 6p r2.
Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp 
trong hình trụ đã cho.
Ta có: ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy nên:
	AB = r 
Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: 
	V = AA’.SABCD = 4r3.
c) Thể tích khối trụ: 
	V’ = B.h = 2p r3 
Vậy: 
BÀI TẬP
Bài 1. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.
Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ được tạo nên.
Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ.
Bài 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao r. Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300. Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Bai 3. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r. 
Gọi A là điểm trên đường tròn tâm O và B là điểm trên đường tròn O sao cho AO ^ O’B
CMR: các mặt bên của tứ diện OABO’ là các tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện này
Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song vơi OO’. Tính khoảng cách giữa OO’ và mp(P)
Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA= SB= SC = a và có góc giữa mặt bên và mặt 
phẳng đáy bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn 
nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.
Bài 5. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r . 
	A và B là hai điểm di động trên hai đường tròn O và O’ sao cho góc (OA, O’B) không đổi.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Thể tích khối trụ tương ứng.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao SA = 2a. MNPQ là thiết 
diện song song với đáy M Î SA và AM = x. Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp 
MNPQ và đường sinh MA.
Tính diện tích MNPQ theo a và x.
Tính thể tích lăng trụ theo a và x.
Tìm hình lăng trụ có thể tích lớn nhất.
III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU: 
DẠNG 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hình lăng trụ).
* Phương pháp 1:
	Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình chóp. 
	Khi đó: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
* Phương pháp 2: 
a
S
A
B
C
D
I
M
O
	+ B1: Xác định đường thẳng a đi qua tâm I của 
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
(a gọi là trục của đường tròn)
+ B2: Dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên
cắt a tại O.
+ B3: Kết luận O là tâm mặt cầu.
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 
đỉnh của hình lập phương đã cho.
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
O
Giải
	Ap dụng pp1:
Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’.
	Ta có: O cách đều các đỉnh của hình lập phương
	Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O, 
	Bán kính r = 
	AC’ = a Þ r = 
 Ví dụ 2: Cho tứ diện D.ABC có DA ^ (ABC) và DA = 5a, 
A
B
C
D
O
	tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a.
	 Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện.
Giải
	Ap dụng pp1:
Gọi O là trung điểm DC. Do DA ^ (ABC) nên DA ^ AB, DA ^ AC 
	Þ D DAC vuông tại A Þ OA = OC = OD = CD/2	(1)
	Ta có: BC ^ BA, BC ^ DA Þ BC ^ (ABD) Þ BC ^ BD 
	Þ OB = CD/ 2 (2)
S
A
B
H
C
	Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2.
Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
Giải
	Gọi H là trọng tâm tam giác ABC.
	Do SABC là hình chóp đều nên tâm O của mặt cầu nằm trên SH.
	Gọi I là trung điểm của SA.
	Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH tại O
	Khi đó: O là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
	Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta có: 
	 Þ SO = Mà SH2 = SA2 - AH2 = b2 - 
	Nên SH = Vậy: r = = 
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện D.ABC có DA ^ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 6a, 
BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a, 
	 Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
Bai 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và 
bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
Bài 4. Cho tứ diện OABC có góc AOB = 900, COB = 600, AOC = 1200, OA= OB= OC = a
Có nhận xét gì về tam giác ABC?
Xác định hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC)
Xac định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh O, A, B, C.
Bài 5. Cho tứ diện đều SABC có cạnh đáy bằng a. Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).
CM: H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Xác định và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S, A, B, C.
Gọi I là trung điểm SH. CMR: IA, IB, IC đôi một vuông góc.
Bai 6. Cho tứ diện SABC có SA = a và SA vuông góc với mp(ABC), AB = AC = b, góc BAC= 600.
	Xac định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S, A, B, C.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Xác định tâm và 
bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
Bài 9. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O lấy 
điểm S sao cho SO = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của mặt cầu S(O, r) và mặt phẳng (P): 
Phương pháp: 
 Xác định khoảng cách d từ O đến mp(P).
	* Nếu d > r: (P) không cắt (S)
	* Nếu d = r: (P) tiếp xúc (S)
	* Nếu d < r: (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r’ = 
	Đặc biệt nếu d = 0 thì (P) cắt (S) theo đường tròn lớn.
DẠNG 3: Xét vị trí tương đối của mặt cầu S(O, r) và đường thẳng a:
Phương pháp: 
 Xác định khoảng cách d từ O đến đường thẳng a.
	* Nếu d > r: a không cắt (S)
	* Nếu d = r: a tiếp xúc (S)
	* Nếu d < r: a cắt (S) tại hai điểm phân biệt
Ví dụ: Cho mặt cầu S(O,r) và một điểm a biết OA = 2r. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và 
kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D. Cho biết CD = r
Tính AB
Tính khoảng cách từ O đến CD.
Giải
	a) Ta có: AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB ^ OB
A
O
C
D
B
H
	Þ AB = 
	b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD. 
Ta có: OC = OD = r 
Nên tam giác OCD cân tại O 
Do H là trung điểm của CD nên HC = 
Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với 
	OH = 
Bài tập: 
Cho mặt cầu S(O, r) tiếp xúc với mp(P) tại I. Gọi M là điểm nằm trên mặt cầu nhưng không 
phải là điểm đối xứng của I qua O. Từ M kể hai tiếp tuyến của mặt cầu vuông góc với nhau 
lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại A và B. CMR: AB2 = AI2 + IB2.
DẠNG 4: Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu:
 S = 4p r2, V = p r3 
A
B
C
D
O
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mp(ABC). Tam giác ABC vuông tại B 
và AB = 3a, BC = 4a.
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.
Giải
	a) Gọi O là trung điểm DC. Do DA ^ (ABC) nên DA ^ AB, DA ^ AC 
	Þ D DAC vuông tại A Þ OA = OC = OD = CD/2	(1)
	Ta có: BC ^ BA, BC ^ DA Þ BC ^ (ABD) Þ BC ^ BD Þ OB = CD/ 2 (2)
	Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2.
	r = = 
	b) Diện tích mặt cầu: S = 4p r2 = 50p a2 
 Thể tích của khối cầu tương ứng: V = p r3 = 
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng
Bài 2. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD). Dựng mp(P) qua A và 
vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu
Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành.
Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 
600. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.
Bài 4. Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h. 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
Tính diện tích mặt cầu đó.