Kiểm tra kỹ năng tính toán thực hành

Trang 1 
§1. KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH. 
-- - 
 1. Tính chính xác tích. 
 a) Phương pháp tính: 
 Nhân các số lớn trên máy tính chắc chắn sẽ làm tràn màn hình, do đó kết quả sẽ không 
chính xác. Mặt khác, bài toán đòi hỏi phải có đáp số nguyên nên việc tính toán trên máy một cách 
trực tiếp là không khả thi. Để tính được kết quả chính xác phải tính nhiều giai đoạn, máy tính lúc 
này chỉ thực hiện các phép tính trung gian, phần tính kết quả sẽ thực hiện ở giấy nháp. 
 Cách 1: 
 Ta áp dụng tính chất (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D, rồi lần lượt tính các tích và 
cộng lại. 
 Ví dụ: Tính 222223333 · 222225555 
 Giải: Ta có: 222223333 = 22222.104 + 3333 
 222225555 = 22222.104 + 5555 
 ⇒ 222223333 · 222225555 = (22222.104 + 3333)( 22222.104 + 5555) 
 = 222222.108 + 22222.104(3333+5555) + 3333x5555 
 = 493817284.108 + 197509136.104 + 18514815 
 = 49381728400000000 + 1975091360000 + 18514815 
 = 49383703509874815 
 Cách 2: 
 Ta lấy A nhân với B trên máy để xác định tích có bao nhiêu chữ số, đồng thời cũng thu 
được 9 chữ số phía trước của tích. Ta tiếp tục tìm các chữ số phía sau như sau: 
 + Lấy 4 chữ số cuối của A nhân 4 chữ số cuối của B ta được kết quả có 4 chữ số cuối là 4 
chữ số cuối của tích. 
 + Lặp lại bước trên nhưng với 5 chữ số cuối, ta được thêm một chữ số nữa, cứ như vậy cho 
đủ hết các chữ số còn lại. 
 Ví dụ: Tính 222223333 · 222225555 
 Lấy 222223333 · 222225555 = 4.938370351x1016. 
 Ta biết tích có 17 chữ số và 9 chữ số phía trước là 493837035, ta cần tìm 8 chữ số còn lại. 
 Lấy 3333x5555 = 18514815, ta được 4 chữ số cuối của tích là 4815. 
 Lấy 23333x25555 = 596274815, ta được 5 chữ số cuối của tích là 74815. 
 Lấy 223333x225555 = 5.037387482x1010, ta được 6 chữ số cuối của tích là 874815. 
 Lấy 2223333x2225555 = 4.948149875x1012, ta được 7 chữ số cuối của tích là 9874815. 
 Lấy 22223333x22225555 = 4.939259099x1014, ta được 8 chữ số cuối của tích là 09874815. 
 Vậy tích cần tìm là 222223333 · 222225555 = 49383703509874815 
 b) Bài tập: 
Bài 1: Tính chính xác các tích sau: 
M = 2 222 255 555 x 2 222 266 666. N = 20 082 008 x 20 092 009. 
O = 13 032 006 x 13 032 007. P = 3 333 355 555 x 3 333 377 777. 
Bài 2: Tính chính xác số sau: 
A = 1 414 213 5622. B = 1 732 050 8082. 
Bài 3: Tính chính xác các tích sau: 
 X = 7 895 489 x 56 326. Y = 99 887 456 752 x 89 685. 
Z = 123 456 789 104 563 456 x 98 761. 
 Trang 2 
 2. Tìm dư trong phép chia. 
 a) Phương pháp tính: 
 Giả sử cần tìm số dư trong phép chia a:b, ta có thể: 
 + Trường hợp 1: Đối với các số tương đối nhỏ (Phần nguyên của thương ít hơn 8 chữ số) ta 
có thể tính chính xác ngay số dư bằng cách lấy thương của a:b nhân với b rồi trừ cho tích của phần 
nguyên a:b với b. Trên máy fx- 570MS, ta thực hiện như sau: 
a ‚ b = · b - 
a
b
 
 
 
· b = 
(Trong đó 
a
b
 
 
 
 là phần nguyên của thương a:b, lấy được sau khi ấn dấu bằng lần đầu) 
 + Trường hợp 2: Đối với các số lớn hơn, việc tính như trên sẽ không chính xác. Ta sẽ làm 
như sau: 
 - Giả sử a có k chữ số. Ta lấy từ trái qua m chữ số (gọi là a1) sao cho a1 chia b được thương 
có phần nguyên không quá 8 chữ số. 
1 2 m m 1 n 1 1 2 ma p p ...p p ....p a p p ...p+= ⇒ = 
 - Tìm số dư của phép chia a1:b như phương pháp trên, gọi số dư đó là r1. 
 - Thêm vào bên phải r1 các chữ số tiếp theo của a (từ vị trí m + 1 đến cuối) sao cho đủ m 
chữ số, gọi là a2. 
2 1 m 1 m 2
có chữ số
a r p p ...
+ +
=


m
 - Tìm số dư của phép chia a2:b như phương pháp trên, gọi số dư đó là r2. 
 Lặp lại quy trình đến khi a không còn chữ số nào. Số dư cuối cùng là số dư của a:b. 
Lưu ý: Khi tính có thể kết quả có thể có dạng x,99, lúc đó ta làm tròn hàng đơn vị lên một đơn 
vị, còn nếu có dạng x,8 thì phải tính lại mà không được làm tròn. 
 b) Bài tập: 
Bài 4. Tìm dư của phép chia sau: 
a) 123 456 789 cho 23 456. b) 7 503 021 930 cho 3 022 009 
Bài 5. Tìm dư trong phép chia sau: 
a) 103 103 103 cho 2 009. b) 30 419 753 041 975 cho 151 975. 
Bài 6. Tìm dư trong phép chia sau: 
a) 24 728 303 034 986 194 cho 2 003. b) 103 200 610 320 061 032 006 cho 2 010. 
 3. Tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai số a và b. 
 a) Phương pháp tính: 
 + Trường hợp 1: Nếu phân số a
b
 không làm tràn màn hình. Ta làm như sau: 
 - Nhập vào máy a 
¿
 b và nhấn = , máy sẽ tính thương của a:b, ta nhấn phím b / ca để 
chuyển số trên về dạng phân số. Lấy a chia cho tử số (hoặc lấy b chia cho mẫu số) ta được 
UCLN(a, b). 
 - Tính BCNN(a, b) = (a.b)‚ UCLN(a, b). 
Trang 3 
 + Trường hợp 2: Nếu phân số a
b
 làm tràn màn hình. Ta làm như sau: 
 - Giả sử a > b. Ta tìm số dư của a:b như mục 2, gọi là r1. Nếu 1b r⋮ thì UCLN = r1. 
 - Nếu 1b r⋮ , ta tìm số dư của b:r1 như mục 2, gọi là r2. Nếu 1 2r r⋮ thì UCLN = r2. 
 Nếu 1 2r r⋮ , ta lập lại quy trình trên đến khi n n 1r r +⋮ , khi đó UCLN = rn+1. 
 - BCNN = (a.b)‚ UCLN. 
 b) Bài tập: 
Bài 7. Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau: 
a) 209 865 và 283 935. b) 8 287 135 và 14 277 835 
c) 100 712 và 68 954. d) 8 106 848 và 92 079 458 
Bài 8. Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau: 
a) 3 022 005 và 7 503 021 930. b) 2 419 580 247 và 3 802 197 531. 
c) 168 599 421 và 2 654 176. d) 24 614 205 và 10 719 433. 
 4. Viết phân số duới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại. 
 a) Viết phân số a
b
duới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 
 + Lấy a:b, ta được phần nguyên (nếu a > b) và 8 chữ số thập phân đầu tiên, nếu a
b
 là một 
phân số đơn giản (chu kì không hơn 6 chữ số), thì chu kì của nó có thể nhận biết bởi 8 chữ số thập 
phân trên (các chữ số thập phân sẽ lặp lại). Ngược lại, ta ghi lại kết quả trên. Thực hiện tiếp bước 
phía sau. 
 + Tìm số dư của a.10m :b (với m = 7 - [Số chữ số của a] + [Số chữ số của b]), gọi số dư đó là r1. 
 + Lấy r1:b được phần một dãy các chữ số, trong đó sẽ có 2 hoặc 3 chữ số trùng với phần 
cuối của kết quả đã ghi, đó là phần tiếp theo của chu kì. Ta ghi kết quả này lại. Nếu vẫn chưa 
nhận thấy chu kì, ta làm tiếp bước sau. 
 + Tìm số dư của r1.10m :b (với m = 7 - [Số chữ số của r1] + [Số chữ số của b]) , gọi số dư đó là r2. 
 + Lấy r2:b được phần một dãy các chữ số, trong đó sẽ có 2 hoặc 3 chữ số trùng với phần 
cuối của kết quả đã ghi, đó là phần tiếp theo của chu kì. Ta ghi kết quả này lại. Nếu vẫn chưa 
nhận thấy chu kì, ta thực hiện lại quy trình đến khi nhận ra chu kì của phân số. 
 b) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số. 
 Giả sử số thập phân vô hạn tuần hoàn A có k chữ số phần nguyên, m chữ số trong chu kì 
bất thường, n chữ số trong chu kì lặp. Tức là 1 2 k 1 2 m 1 2 n
kchữ số mchữ số nchữ số
A a a ...a ,b b ...b (c c ...c ).=

 
 

 Lúc này ta có 
 
1 2 m 1 2 n
Chukì bất thường Chukì lặp
1 2 k
Phầnnguyên
mchữ số 0 nchữ số 9 mchữ số 0
b b ...b c c ...c
A a a ...a
100...0 99...9 00...0
= + +

 


 
 c) Bài tập: 
Bài 9. Tìm chu kì các phân số sau: 17 113 4 263 8 49; ; ; ; ;
23 61 123 2009 15 419
. 
Bài 10. Viết các số thập phân sau thành phân số: 23,(421); 2,13(132); 1,9(89); 2,63(1245); 0,(1274). 
 Trang 4 
§2. NHÓM CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA 
---- ------ - 
 1. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa. 
 a) Phương pháp tính: 
 - Nếu a tận cùng là các chữ số: 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt tận cùng là 0, 1, 5, 6. 
 - Nếu tận cùng bằng 2 thì an tận cùng bằng 6 nếu n 4⋮ ; tận cùng bằng 2 nếu n chia 4 dư 1; 
tận cùng bằng 4 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 8 nếu n chia 4 dư 3. 
 - Nếu a tận cùng bằng 3 thì an tận cùng bằng 1 nếu n 4⋮ ; tận cùng bằng 3 nếu n chia 4 dư 1; 
tận cùng bằng 9 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 7 nếu n chia 4 dư 3. 
 - Nếu a tận cùng bằng 7 thì an tận cùng bằng 1 nếu n 4⋮ ; tận cùng bằng 7 nếu n chia 4 dư 1; 
tận cùng bằng 9 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 3 nếu n chia 4 dư 3. 
Chữ số tận cùng của an 
Chữ số tận cùng 
của a n chia hết cho 4 
(n = 4k) 
n chia 4 dư 1 
(n = 4k + 1) 
n chia 4 dư 2 
(n = 4k + 2) 
n chia 4 dư 3 
(n = 4k + 3) 
2 6 2 4 8 
3 1 3 9 7 
7 1 7 9 3 
 - Nếu a tận cùng bằng p thì an có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của pn. Nhờ tính 
chất này, các số có tận cùng bằng 4, 8 được quy về tận cùng bằng 2 tức là (22)n, (23)n; các số có 
chữ số tận cùng bằng 9 được quy về tận cùng bằng 3 tức là (32)n. 
 b) Bài tập: 
Bài 11. Tìm chữ số tận cùng của: 
a) 19921993. b) 20092008. c) 252011. d) 1642003. 
e) 132009. f) 106106. g) 2007141. 
Bài 12. Tìm chữ số hàng đơn vị của 172002. 
 2. Tìm số dư của phép chia am : b. 
 a) Phương pháp tính: 
 Để tìm số dư của phép chia am : b, ta tìm dư của rm : b (trong đó, r là số dư của a: b). 
 Bằng cách tìm số dư của r : b, r2 : b, r3 : b, r4 : b,  để tìm quy luật tuần hoàn số dư của rm : b. 
Giả sử ta tìm chu kì tuần hoàn là n. Tiếp theo ta tìm số dư của m : n, giả sử là k. Khi đó số dư của 
am : b chính là số dư của rk : b. 
 * Chú ý: Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa am là trường hợp đặc biệt của tìm số dư trong 
phép chia am : b khi b = 10. 
 b) Bài tập: 
Bài 13. Tìm số dư của phép chia sau: 
a) 176 59427 cho 293. b) 1112 cho 2001. c) 736 cho 2003. 
Bài 14. Tìm số dư của phép chia sau: 
a) 2004376 cho 1975. b) 176 59439 cho 293. c) 122008 cho 5. 
Trang 5 
 3. Tìm chữ số thập phân thứ k của phép chia a:b. 
 a) Phương pháp tính: 
 + Bước 1: Tìm chu kì của phân số a
b
 theo mục 4, §1. Giả sử chu kì đó có m chữ số. 
 + Bước 2: Tìm số dư của k:m theo mục 2, §1 gọi là r. 
 Chữ số thập phân cần tìm là chữ số thứ r (đếm từ bên trái sang bên phải) trong chu kì. 
Nếu k m⋮ thì chữ số cần tìm là chữ số cuối cùng của chu kì. 
 * Chú ý: Mỗi phân số đều có thể biểu diễn thành số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần 
hoàn. Đối với số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thì ta làm như cách trên sẽ chính xác. Nếu là số 
thập phân vô hạn tuần hoàn tạp thì r là số dư của (k - n):m (với n là số chữ số trong chu kì bất 
thường). 
 b) Bài tập: 
Bài 15. Tìm chữ số thập phân thứ 2009 trong phép chia số 64 cho 37. 
Bài 16. Tìm chữ số tha ... ồi dạng : u1 = a, u2 = b, un+1 = K.un + L.un -
--
- 1 + f(n). 
 Dãy này giống dãy Luca suy rộng, nhưng có thêm phần phụ là f(n), trong quy trình bấm 
phím, ta bổ sung hàm tính f(n) (lúc này n chính là A - quy trình 2) ở phần tính D. 
 e) Dãy phi tuyến tính dạng: u1 = a, u2 = b, un+1 = F1(un) + F2(un -
--
- 1). 
 Dãy này nếu lặp phím như quy trình 1 (Dãy Luca suy rộng) thì sẽ mất rất nhiều thời gian để 
lặp các hàm F1, F2. Để tính nhanh hơn, ta dùng quy trình 2, trong phần tính D, ta bấm hai hàm F1, 
F2 để tính F1(un), F2(un- 1). 
 f) Dãy phi tuyến tính dạng: u1 = a, u2 = b, 2 2n+1 n n-1u = u +u . 
 Quy trình bấm phím: 
 + Quy trình 1: 
a Shift Sto A 
b Shift Sto B 
· Anpha B + Anpha A · Anpha A Shift Sto A 
· Anpha A + Anpha B · Anpha B Shift Sto B 
D Shift Copy 
Lặp lại phím = , ta được các un. 
 + Quy trình 2: 
2 Shift Sto A (Biến đếm) 
a Shift Sto B 
b Shift Sto C 
Anpha A Anpha = Anpha A + 1 Anpha : Anpha D Anpha = Anpha B · Anpha B + 
Anpha C · Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D 
Lặp lại phím = , với mỗi giá trị của A, ta được giá trị D tương ứng là uA. 
 * Bài tập: 
Bài 43.Cho dãy số u1 = 2, u2 = 3; un+1 = 3un + 2un- 1 + 3 với n ≥ 2. 
 a) Lập quy trình bấm phím tính un+1 trên máy tính cầm tay. 
 b) Tính u3, u4, u5, u10, u15 và u19. 
Bài 44. Cho dãy số u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un - 1 (n = 2, 3, ) 
 a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi n ‡ 2. 
Trang 13 
 b) Sử dụng quy trình đó tính giá trị của u13 và u17. 
Bài 45. Cho dãy số u1 = 144, u2 = 233, un+1 = un + un- 1. 
 a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1. 
 b) Tính u12, u37, u38, u39. 
 c) Tính chính xác các tỉ số với 5 chữ số thập phân các tỉ số sau: 3 62 4
1 2 3 5
u uu u; ; ;
u u u u
. 
Bài 46. Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un- 1. 
 a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính un. 
 b) Tính u3, u4, u5, u6, u7, u22, u23, u24, u25. 
Bài 47. Cho dãy số: 
( ) ( )n n
n
2 3 2 3
u
2. 3
+ - -
= . 
 a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy. 
 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un- 1. 
 c) Lập một quy trình tính un. 
Bài 48. Cho dãy số: 
( ) ( )n n
n
3 3 3 3
u
2. 3
+ - -
= . 
 a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy. 
 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un- 1. 
 c) Lập một quy trình tính un. 
Bài 49. Cho dãy số: 
( ) ( )n n
n
2 2 2 2
u
2. 2
+ - -
= . 
 a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy. 
 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un- 1. 
 c) Lập một quy trình tính un. 
Bài 50. Cho dãy số 
( ) ( )n n
n
5 3 5 3
u
2 3
+ + -
= , với n là số tự nhiên. 
 a) Tính u1, u2, u3, u4, u5. 
 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un- 1. 
 c) Lập một quy trình tính un. 
Bài 51. Cho dãy số: 
( ) ( )n n
n
1 3 1 3
u
2. 3
- + - - -
= . 
 a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy. 
 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un- 1. 
 c) Lập một quy trình tính un. 
Bài 52. Cho dãy số: 
( ) ( )n n
n
10 3 10 3
u
2. 3
+ - -
= . 
 a) Tính 7 số hạng đầu tiên của dãy. 
 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un- 1. 
 c) Lập một quy trình tính un. 
 Trang 14 
 3. Dãy truy hồi bậc III. 
 Dạng u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = f(un- 1, un, un+1). Trong đó, hàm f(un- 1, un, un+1) làm một 
hàm số của un- 1, un, un+1. 
 a) Dãy truy hồi dạng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un -
--
- 1. 
 Quy trình bấm phím: 
 + Quy trình 1: 
a Shift Sto A 
b Shift Sto B 
c Shift Sto C 
· K + Anpha B · L + Anpha A · M Shift Sto A 
· K + Anpha C · L + Anpha B · M Shift Sto B 
· K + Anpha A · L + Anpha C · M Shift Sto C 
D D Shift Copy 
Lặp lại phím = , ta được các un. 
 + Quy trình 2: 
2 Shift Sto A (Biến đếm) 
a Shift Sto B 
b Shift Sto C; c Shift Sto D 
Anpha A Anpha = Anpha A + 1 Anpha : Anpha E Anpha = K · Anpha D + L · 
Anpha C + M · Anpha B Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha 
D Anpha : Anpha D = Anpha E 
Lặp lại phím = , với mỗi giá trị của A, ta được giá trị E tương ứng là uA. 
 b) Dãy truy hồi dạng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un -
--
- 1 + f(n). 
 Quy trình bấm phím tương tự như dạng a (quy trình 2), nhưng trong phần tính E, ta thêm 
hàm tính f(n) (n chính là A). 
 * Bài tập: 
Bài 53. Cho dãy u1 = 1, u2 = 3, u3 = 11, un+2 = 2un+1 - un + 3un- 1 + n2 - 1. 
 a) Lập quy trình phím bấm tính un+2. 
 b) Tính 7 số hạng đầu của dãy. 
Trang 15 
§6. TOÁN TĂNG TRƯỞNG, PHẦN TRĂM 
- -- 
Bài 54. Hiện nay dân số của Quốc gia Q là a người, tỉ lệ tăng dân số là m% trên năm. 
a) Hãy xây dựng công thức tính số dân quốc gia Q đến hết năm thứ n. 
b) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi dân số nước ta đến 2010 là bao 
nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số là 1,2% trên năm. 
c) Đến năm 2020 dân số nước ta khoảng 100 triệu người, hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi 
năm là bao nhiêu ? 
GIẢI 
a) Xây dựng công thức tính số dân đến năm thứ n: 
Hết năm thứ  Dân số 
1 a + a.m% = a(1 + m%). 
2 a(1 + m%) + a(1 + m%).m% = a(1 + m%)2. 
3 a(1 + m%)2 + a(1 + m%)2.m% = a(1 + m%)3. 
n a(1 + m%)n- 1 + a(1 + m%)n- 1.m% = a(1 + m%)n. 
 Gọi An là dân số sau n năm thì ta có: 
An = a(1 + m%)n 
b) Từ 2001 đến 2010 là 9 năm, ta có: 
A9 = a(1 + m%)9 = 76,3.
9
1,21
100
 
+ 
 
 = 84,947216 (triệu người). 
c) Từ 2001 đến 2020 là 19 năm, ta có: 
A19 = 76,3.(1 + m%)19 ⇒ m% = 
6
1919 19
6
A 100.101 .100 1 .100 1,4%
76,3 76,3.10
  
  
- = - »
   
   
Bài 55. Dân số một nước năm 1976 là 55 triệu người. Với mức tăng dân số là 2,2% trên năm thì 
dân số nước đó sau 10 là bao nhiêu ? 
Bài 56. Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2%. 
a) Viết công thức tính dân số sau n năm. 
b) Viết quy trình bấm phím và tính dân số sau 20 năm. 
c) Dân số nước ấy sau k năm sẽ vượt 100 triệu. Tìm số k bé nhất. 
Bài 57. Một người sử dụng xe có giá trị ban đầu là 10 triệu. Sau mỗi năm, giá trị của xe giảm 10% 
hỏi sau 5 năm giá trị xe còn bao nhiêu ? 
Bài 58. Dân số Việt Nam năm 2008 là 83 triệu người, mức tăng dân số mỗi năm là 1,2%. 
a) Viết công thức tính dân số sau n năm. 
b) Viết quy trình bấm phím và tính dân số sau năm 2020. 
Bài 59. Một số tiền 58000 đồng được gởi tiết kiệm theo lãi suất kép (mỗi tháng tiền lãi được cộng 
vào tiền gốc thành vốn). Sau 25 tháng được cả vốn lẫn lãi là 84155 đồng. Tính lãi suất. 
Bài 60. Một người gửi tiết kiệm 1000 USD vào ngân hàng với lãi suất 5%/ năm. Hỏi rằng người đó 
nhận được tiền ít hay nhiều hơn nếu ngân hàng trả lãi 5 %
12
/ tháng ? 
 Trang 16 
Bài 61. Một người hàng tháng gởi vào ngân hàng một số tiền t với lãi suất m%/ tháng. 
 a) Lập công thức tính số tiền người đó nhận được (cả gốc lẫn lãi) sau n tháng. 
 b) Áp dụng tính với t = 1 triệu (đồng), m = 0,35%/ tháng, n = 24 tháng. 
 c) Nếu người đó muốn sau 24 tháng nhận được số tiền khoảng 30 triệu thì người đó phải gửi 
bao nhiêu tiền với lãi suất như trên ? 
GIẢI 
a) Lập công thức tính số tiền có được: 
 Giả sử đầu tháng 1 gửi t (đồng), cuối tháng số tiền sẽ là t + t.m% = t(1 + m%). 
 Vì mỗi tháng, người đó gửi vào t đồng nên đầu tháng thứ 2, số tiền gốc của người đó sẽ 
là t + t(1 + m%) = t[(1 + m%) + 1] = t
m%
[(1+ m%)2 - 1]. 
 Cuối tháng thứ 2 số tiền sẽ là T2 = 
t
m%
[(1+ m%)2 - 1](1 + m%). 
 Cuối tháng thứ n, số tiền cả gốc lẫn lãi sẽ là Tn = 
t
m%
[(1+ m%)n - 1](1 + m%). 
b) Với t = 1 triệu, m = 0,35%, n = 24 tháng, ta có: 
24
24
1.100 0,35 0,35T . 1 1 . 1 25,078725 (triệu).
0,35 100 100
    
 = + - + =   
     
c) Từ công thức trên ta có: n
2
T .m%
t
[(1 m%) 1](1 m%)
=
+ - +
. Áp dụng với T24 = 30 triệu, m = 24 tháng, 
n = 0,35%/ tháng, ta có: 
24
30.0,35t 1,196233 (triệu).
0,35 0,35100. 1 1 1
100 100
= =
    
 + - +   
     
Bài 62. Một người muốn rằng sau một năm phải có 20000 đôla. Hỏi phải gởi một khoảng tiền (như 
nhau) hàng tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,27%/ tháng ? Nếu tính theo Việt 
Nam đồng thì người đó phải gởi hằng tháng là bao nhiêu, biết 100 đôla bằng 1489500 đồng ? 
Bài 63. Một người vào bưu điện để gởi tiền cho người thân, trong túi có 5 triệu đồng. Chi phí dịch 
vụ bằng 0,9% số tiền gởi đi. Hỏi người thân nhận được bao nhiêu tiền ? 
Trang 17 
§7. PHÉP THỬ 
 - Đây là dạng đề kết hợp giữa suy luận toán học với tính toán trên máy. 
 - Có những bài toán đòi hỏi không chỉ nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết chia hết, 
đồng dư, ) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, ), mà trong quá trình giải còn đòi 
hỏi xét loại trừ nhiều trường hợp. Không dùng máy tính thì tốc độ làm bài sẽ lâu. Máy tính sẽ đẩy 
nhanh tốc độ làm bài. 
 - Mặt khác, nhóm các bài toán này rất khác nhau, không có phương pháp chung để giải. Để 
giải các bài toán này, ta phải thử các giá trị rồi tìm quy luật của kết quả. 
Bài 64. Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010 £ n £ 2010) sao cho na 20203 21n= + cũng là số tự 
nhiên. 
GIẢI 
 Dùng máy, thay n = 1010 ta được an = 203,5018427; thay n = 2010 ta được an = 249,8259394. 
 ⇒ 203 < an £ 249. 
 Mặt khác, 
2
na 20203n
21
-
= . 
 Lập quy trình sau: 203 Shift Sto A Anpha 
 (Anpha A x2 - 20203)÷21 Anpha :Anpha = Anpha A + 1. 
 Lặp lại dấu =, trong khoảng A = 203 đến 249 (43 số), nếu biểu thức (Anpha A x2 - 
20203)÷21 nhận được giá trị nguyên thì đó là các n cần tìm. 
 Ta được: 
n 1118 1158 1301 1406 1557 1601 1758 1873 
an 209 211 218 223 230 232 239 244 
Bài 65. Tìm số tự nhiên n (1000 £ n £ 2000) sao cho na 57121 35n= + là số tự nhiên. 
Bài 66. Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có: a5 bcd 7850· = . 
Bài 67. Hãy tìm 5 chữ số cuối cùng của số 
2422 1+ (Số Fecmat thứ 24). 
Bài 68. Tìm một cặp số nguyên dương (x, y) sao cho: 
x2 = 37y2 + 1 
Bài 69. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 
x7 + x - 5 = 0 
Bài 70. Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất của số 2152 + 3142. 
Bài 71. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7. 
Bài 72. Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244. Tính x3000 + y3000. 
Bài 73. Tính 17320508082, từ đó tìm 16 chữ số sau dấu phẩy của 3 .