Kiểm tra học kỳ I môn Toán lớp 12 (Đề 7)

KIỂM TRA HỌC KỲ I
Họ và tên :..... Môn : TOÁN - LỚP 12 CƠ BẢN
Lớp :.. Thời gian làm bài : 90 phút
ĐỀ SỐ 1 
Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ).
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 
 x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Bài 2 (0, 5 điểm ) 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bài 3 ( 1, 75 điểm )
1/ Giải các phương trình sau : 
a/ b/ 
2/ Giải bất phương trình : 
Bài 4 ( 1 điểm ) 
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
a/ b/ y = ln(3x + 1) 
2/ Cho hàm số . Tìm x để y ’ ≥ 0
Bài 5 ( 1 điểm ) 
Cho hàm số (2)
1/ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho .
2/ Chứng minh rằng với mọi số thực k thì đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 ) tại hai điểm phân biệt .
Bài 6 (2,75 điểm) 
 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , 
SA ^ (ABCD) và SA = 2a .
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .
2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu . Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này .
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón .Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này .
4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) .
--------------------------------------------
ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 12 CƠ BẢN 
HỌC KỲ I 
--------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 1 
Bài
câu
Hướng dẫn giải
Điểm
1
3đ
1
2đ
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ).
Giải :
1)TXĐ : R
2) Sự biến thiên :
a) Chiều biến thiên : y’ = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)
y’ = 0 x = 0 hoặc x = - 2
b) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
 (-∞ ; - 2 ), ( 0 ; + ∞) và nghịch biến trên khoảng ( -2 ; 0)
c) Cực trị 
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 và yCĐ = 0 và đạt cực tiểu tại x = 0 , yCT = -4
d ) Giới hạn : ; 
 Đồ thị hàm số không có tiệm cận 
e) Bảng biến thiên 
3) Đồ thị 
Nhận xét đúng 
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
2
0,5
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 
 x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 .
Giải 
 x 3 + 3x2 – 4 - m = 0
 x3 + 3x2 - 4 = m
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 – 4
m
số giao điểm
số nghiệm
m > 0
1
1
m = 0
2
2
- 4 < m < 0
3
3
m = -4
2
2
m < - 4
1
1
0,25
0,25
3
0,5
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Ta có : hoành độ tiếp điểm x = 1 ; tung độ tiếp điểm y = 0
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm ( 1; 0 ) là : y’(1) = 9
Phương trình tiếp tuyến : y = 9(x – 1) + 0 = 9x - 9
0,25
0,25
2
0,5đ
Bài 2 (0, 5 điểm ) 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Trên đoạn [1 ; 3 ] ta có 
y’ = 0 x = 2 thuộc đoạn [1 ; 3 ]
y(1) = 0 ; y(3) = 0
y(2) = 1
 ; 
0,25
0,25
3
1,75đ
1
0,5đ
Giải các phương trình sau : 
0,5
0,75
b/ 
ĐK : x > 0
Đặt , phương trình đã cho trở thành phương trình :
 t2 – t - 2 = 0 t = - 1 hoặc t = 2
Với t = - 1 ta có 
Với t = 2 ta có 
0,25
0,25
0,25
2
0,5
2/ Giải bất phương trình : 
0,25
0,25
4
1đ
1
Bài 4 ( 1 điểm ) 
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
a/ . 
TXĐ : 
0,25
b/ y = ln(3x + 1) TXĐ : 
Ta có 
0,25
2
2/ Cho hàm số . 
Tìm x để y ’ ≥ 0
Hàm số đã cho xác định với mọi số thực x 
 y’ = 2e2x + ex - 3
y’ ≥ 0 2e2x + ex - 3 ≥0 . Đặt t = ex , t > 0 ta có :
 2t2 + t - 3 ≥ 0 t ≤ -3/2 hoặc t ≥ 1
Kết hợp với điều kiện t > 0 ta có t ≥ 1
Do đó ex ≥ 1 , x ≥ 0
0,25
0,25
5
1
Bài 5 ( 1 điểm ) 
Cho hàm số (2)
TXĐ : x ≠ 2
Đồ thị hàm số (2) có TCĐ là đường thẳng có phương trình 
x = 2 và TCN là đường thẳng có phương trình y = 2 .
0,25
0,25
2
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng 
y = x – k với đồ thị hàm số là :
Chứng minh được phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 2 với mọi số thực k .
Kết luận : Đường thẳng y = x – k luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt với mọi số thực k .
0,25
0,25
6
1
Bài 6 ( 3 điểm) 
 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , 
SA ^ (ABCD) và SA = 2a .
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .
0,25
0,5
2
2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này .
Gọi I là trung điểm của cạnh SC 
 Chứng minh được : IS = IA = IB = IC = ID 
5 điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu tâm I , bán kính = 
0,5
0,25
3
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón .Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này .
Mặt nón tạo thành có độ dài đường sinh l = SB = a và bán kính đáy r’ = SA = 2a ; chiều cao h = AB = a
Suy ra : Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là :
Sxq = pr’l = p.2a.a = 2pa2. (đvdt)
0,25
0,5
4
4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) .
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) nên mặt cầu này có bán kính bằng khoảng cách từ tâm A đến (SCD).
Trong mặt phẳng (SAD) , kẻ AH ^ SD tại H .
Khi đó 
H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SCD).
 AH = d(A , (SCD)) , AH = , 
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R = a
0,25
0,25