Kiểm tra học kỳ 2 Năm học: 2009-2010 Môn: Toán - Lớp: 12

Đáp án vắn tắt và biểu điểm môn Toán 12 Ban KHTN - HK2.
k
x
điểm
Tr−ờng THPT le loi Kiểm tra học kỳ 2
Năm học: 2009-2010 Môn: Toán - Lớp: 12 Ban KHTN
---------š & › ----------- Thời gian: 90 phút
Họtênhọcsinh:. SBD: 
Bài 1: (3.0 điểm) Cho hàm số y = x3 + kx + (k +1) có đồ thị (C ) ( với k là tham số).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C-3) của hàm số khi k=-3.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-3) và trục hoành.
c. Tìm các giá trị của k để (Ck) tiếp xúc với đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: y = x + 1.
Bài 2: (2.0 điểm)
e  1  a. Tính tích phân sau: I = ∫  x +
1   ln xdx . 
b. Giải ph−ơng trình sau trên tập số phức: z2 − (3+ 2i)z + 6i = 0 .
Bài 3: (4.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đ−ờng thẳng (d):
x −1 = y = z − 2
2 1 2
và đ−ờng thẳng (d'): x − 3 = y − 2 = z −1.−7 2 3
a) Chứng minh rằng (d) và (d') chéo nhau.
b) Viết ph−ơng trình đ−ờng vuông góc chung của (d) và (d’)
c) Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đ−ờng thẳng (d). Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d'') đi qua
A' và song song với (d').
d) Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) chứa đ−ờng thẳng (d) và song song với đ−ờng thẳng (d’).
Bài 4: (1.0 điểm)
a+b+c
Cho a, b, c là các số d−ơng. Chứng minh rằng: (abc) 3
Hết
≤ aa .bb .cc .
Tr−ờng THPT le loi Kiểm tra học kỳ 2
Năm học: 2009-2010 Môn: Toán - Lớp: 12
---------š & › ---------- Thời gian: 90 phút
Đáp án vắn tắt và biểu điểm
Chú ý: Học sinh làm đúng, cách giải khác (lập luận đúng, đủ) vẫn cho đủ điểm. Thang
Bài 1: (3.0) Cho hàm số y = x3 + kx + (k +1) có đồ thị (Ck) ( với k là tham số).
a) Với k = -3 hàm số trở thành y = x3 − 3x − 2 , TXĐ: D= R 0.25(1.0 đ) - Tìm đ−ợc đạo hàm y', các giới hạn, cực trị ...
x -∞ -1 0 1 +∞
y' + 0 - 0 +
+∞
y 0 -2
-∞ -4
- Bảng biến thiên (đầy đủ thông tin) 0.5
- Kết luận về tính Đồng biến, nghịch biến, cực trị
- Giao đồ thị với các trục: Oy tại (0;-2), Ox ...
- Vẽ đồ thị hàm số ...
0.25
Đáp án vắn tắt và biểu điểm môn Toán 12 Ban KHTN - HK2.
4
b) - Miền cần tính diện tích là miền "gạch chéo". Diện tích cần tính là: 0.25
2 2 4 2
(1.0 đ) S = x3 −3x − 2 dx = (−x3 + 3x + 2)dx =  2x + 3 x2 − x  = 27 . 0.5∫ ∫   
−1 −1  2 4  −1 4
- Tính đ−ợc đúng, kết luận. 0.25
c) (Ck) tiếp xúc với đ−ờng thẳng (d): y = x + 1 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3
(1.0 đ) x + kx + (k +1) = x +1 0.5
3x2 + k =1
- Giải hệ đúng, kết luận đúng: k=-2, k=1/4 0.5
Bài 2: (2.0 điểm)
a) e  1  
e  ln x  
e e ln x(1.0 đ) Tính tích phân sau: I = ∫  x + x  ln xdx = ∫  x ln x + x  dx = ∫ x ln xdx +∫ x dx 0.251   
e
e
2 +1
1   1 1
Tính đ−ợc I1 = ∫ x ln xdx =
1
e ln x e
(Ph−ơng pháp từng phần) 0.25
1Tính đ−ợc I2 = ∫ x dx = ∫ ln xd (ln x) = 2 0.251 1
Kết luận đúng: I = I1 + I2 = e
2 + 3
4
. 0.25
b) Giải ph−ơng trình sau:
(1.0 đ) Tính đ−ợc: ∆ = 5 −12i
z2 − (3+ 2i)z + 6i = 0 .
x2 − y2 = 5
0.25
Để tìm đ−ợc căn bậc hai giải đ−ợc hệ ph−ơng trình  2xy = −12 0.25
Giải đ−ợc hệ, kết luận ∆ có hai căn bậc hai là: 3-2i và -3+2i. KL pt có hai ng: z=3; z=2i. 0.5
Bài 3: (3.0 điểm)
a. x −1 y z − 2 x − 3 y − 2 z −1
(1.0 đ) Cho điểm A(2; 5; 3), (d): = =2 1 2 và (d'): = = .−7 2 3
(d) có VTCP ud = (2;1;2) qua điểm M(1;0;2); 0.25(d') có VTCP ud ' = (−7; 2;3) qua điểm M'(3;2;1)
uur uur r uur uur uuuuur
Ta có: ud ,ud '  = (−1;−20;11) ≠ 0 và ud ,ud '  .MM ' ≠ 0 0.5    
b.
(1.0 đ)
Kết luận đúng (l−u ý có thể làm cách khác) 0.25
Viết ph−ơng trình đ−ờng vuông góc chung của (d) và (d’)
Phân tích cách làm đúng 1.0Viết đúng ph−ơng trình
Tìm hình chiếu của A trên d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d.
c. Do H ∈ (d) ⇒ H(1+2t;t;2t+2) ⇒ AH = (2t −1; t −5; 2t −1) . Mà
(1.0 đ) AH ⊥ ud ⇒ AH .ud = 0⇔ t =1⇒ H (3;1;4). 0.5
A' đối xứng với A qua (d). Suy ra đ−ợc A'(4;-3;3)
(d'') qua A'(4;-3;3) và song song với (d') có VTCP ud ' (−7;2;3) , (cũng là VTCP của (d''))
Suy ra (d'') có ph−ơng trình: x − 4 = y + 3 = z − 3 . 0.5−7 2 3
d. mp(P) chứa (d) và song song với (d') ⇒ (P) qua H(3;1;4) có VTPT 0.5
Đáp án vắn tắt và biểu điểm môn Toán 12 Ban KHTN - HK2.
  
uur uur uur
nP = ud ,ud '  = (−1;−20;11)
(1.0 đ) Suy ra (P): -1(x-3) - 20(y-1) + 11(z-4) = 0⇔ x + 20y -11z + 20 = 0. 0.5Kết luận đúng
Bài 4: (1.0 điểm)
a+b+c
Cho a, b, c là các số d−ơng. Chứng minh rằng: (abc) 3
BĐT cần CM ⇔ a + b + c ln(abc) ≤ a ln a + b ln b + c ln c
3
⇔ (a + b + c)(ln a + ln b + ln c) ≤ 3(a ln a +b ln b + c ln c)
≤ aa .bb .cc .
0.25
0.25
(1.0 đ) ⇔ (a −b)(ln a − ln b) + (b − c)(ln b − ln c) + (c − a)(ln c − ln a) ≥ 0
Ta có nhận xét sau:
Nếu 0 y ⇒ ln x > ln y ⇒ (x − y)(ln x − ln y) > 0
Nh− vậy trong mọi tr−ờng hợp ta luôn có: (x − y)(ln x − ln y ) ≥ 0 suy ra ĐPCM. 0.25
Hết