Chương III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – THPT Yên Mô B

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
 I. NGUYÊN HÀM 
1. Khái niệm nguyên hàm
	· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
	, "x Ỵ K
	· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:	, C Ỵ R.
	· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
	· 	· 	
	· 
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản
Nguyên hàm của những hàm số hợp
4. Phương pháp tính nguyên hàm
	a) Phương pháp đổi biến số
	Nếu và có đạo hàm liên tục thì:
	b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
	Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
	Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
	Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
	– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
	– Nắm vững phép tính vi phân.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
	i) 	k) 
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
· Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: 	f(x) = thì ta đặt .
	Khi đó:	 = ,	 trong đó dễ dàng tìm được.
	Chú ý: Sau khi tính theo t, ta phải thay lại t = u(x).
· Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
hoặc	
hoặc	
Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 
	q) 	r) 	s) 	
Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
	Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
P(x)
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 	
	q) 	r) 	s) 	
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
	Bước 1: Tìm hàm g(x).
	Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
	Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra là nguyên hàm của f(x).
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: 
	– Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
	– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
	Chẳng hạn:	
2. f(x) là hàm vô tỉ 
	+ f(x) = 	 ® đặt
	+ f(x) = 	® đặt 
	· f(x) là hàm lượng giác
	Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
	+ ,	
	+ ,	
	+, 	
	+ Nếu thì đặt t = cosx
	+ Nếu thì đặt t = sinx
	+ Nếu thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 	
 II. TÍCH PHÂN 
1. Khái niệm tích phân
	· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là .
	· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:	
	· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: 	 
2. Tính chất của tích phân
	· 	· 	· (k: const)
	· 	· 
	· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì 
	· Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì 
3. Phương pháp tính tích phân
	a) Phương pháp đổi biến số
	trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] 	xác định trên K, a, b Ỵ K.
	b) Phương pháp tích phân từng phần
	Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Ỵ K thì:
Chú ý:– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ tính hơn .	
VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM
	Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:	
	Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
	– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
	– Nắm vững phép tính vi phân.
Ví dụ 1: Tính các tích phân
I1 = 
I2 = 
I3 = 
Giải:
a) I1 = = 
b) I2 = == – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 
c) I3 = = =
Vậy: I3 = 
Ví dụ 2: Tính các tích phân 
	a) J1 = 
	b) J2 = 
	c) J3 = 
Giải:
a) Ta cĩ: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1 
suy ra J1 = = = = 
b) Ta cĩ : 
suy ra J2 = = 
= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 
c) 
suy ra J3 = = = 
Ví dụ 3: Tính các tích phân
K1 = 
K2 = 
K3 = 
Giải:
a) Ta cĩ: sin3x.cosx = 
suy ra K1 = = 
b) K2 = 
Ta cĩ: cos22x = 
suy ra K2 = = =
c) K3 = 
Ta cĩ : e2x–1 – 1 = 0 e2x–1 = 1 = e0 2x – 1 = 0 x = 
Suy ra K3 = = 
	= + = + 
	Vậy K3 = 
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
ĐỔI BIẾN SỐ
	Dạng 1: Giả sử ta cần tính .
	Nếu viết được g(x) dưới dạng: 
 Thì 	
 Ví dụ 1: Tính các tích phân
J1 = 
J2 = 
J3 = 
J4 = 
J5 = 
Giải: 
J1 = 
+ Đặt u = x2 du = 2xdx xdx = du
+ Đổi cận: 	x = 1 u = 12 = 1; 
x = 2 u = 22 = 4 
+ J1 = = = = ( e4 – e1) = ( e4 – e)
J2 = 
+ Đặt u = u2 = 1 + lnx 2udu = dx 
+ Đổi cận: x = 1 u = = 1; 
 x = e u = = 
+ J2 = == = ) = 
Ghi nhớ: Học sinh cĩ thể đặt: u = 1 + lnxdu = dx
J3 = 
+ Đặt u = x4 – 1 du = 4x3dx x3dx = du
+ Đổi cận: x = 0 u = 0 – 1 = –1; 
 x = 1 u = 14 – 1 = 0
+ J3 = = = = 
J4 = 
+ Đặt u = u2 = 4 – x 2 2udu = – 2xdx xdx = –udu 
+ Đổi cận: x = 0 u = = 2; 
 x = 2 u = = 0 
+ J4 = == = = 
J5 = 
+ Đặt u = 1 + sinx du = cosxdx 
+ Đổi cận: x = 0 u = 1 +sin0 = 1; 
 x = u = 1 + sin = 2
+ J5 = == = = 
Ví dụ 2. Tính tích phân sau :
 Bài giải
 a) Đặt t = x+1 
 x = t – 1 dx = dt
+ Đổi cận: * x=0 t = 1 và x = 1 t = 2.
 I = 
 b) Đặt t = 
 x3 = 1 – t2 
 x2 dx = 
+ Đổi cận: * x = 0 t = 1; * x = 1 t = 0
 I = =
Ví dụ 3. Tính tích phân sau: I = 
 Bài giải
 Đặt t = 	
 Khi đo ù x = t2 -2t + 1 dx = (2t -2)dt 
+ Đổi cận: x = 1 t = 2
 x = 9 t = 4
 I = 
Ví dụ 4. ĐHK.A-2004. Tính tích phân sau: I = 
 Bài giải
 Đặt t = 	
 x = t2 – 2t + 2 dx = (2t-2)dt
 + Đổi cận: x = 1 t = 1
 	 x = 2 t = 2
Ví dụ 5. Tính tích phân sau
 a)ĐHK.A-2003 : I = 
 Bài giải
Đặt t = 
 x2 = t2 -4 xdx = tdt 
+ Đổi cận: * x = t = 3
* x= t = 4
 I = 
 b) + c) Làm tương tự.
Ví dụ 6. Tính tích phân sau : I = 
 Bài giải
Đặt t = 
 ex = t2 – 7 exdx = 2tdt 
+ Đổi cận: * x = 0 t = 2
 * x = ln2 t = 3
 I = .
Ví dụ 7. ĐHK.B-2006. Tính tích phân sau : I =
 Bài giải
Đặt t = ex 
dt = exdx 
+ Đổi cận: 	* x = ln3 t = 3
* x = ln4 t = 4
I = 
Ví dụ 8. Tính tích phân sau :
a) ĐHTM-97 : I = 	b) HVQY – 97 : I = 
c) ĐHBK – 2000 : I = 
Hướng dẫn
a) Đặt t = ex, làm tương tự .
b,c) Đặt .
Ví dụ 9. ĐHHH – 98. Tính tích phân : I = 
 Bài giải
Đặt t = 
 lnx = t2 – 1 
+ Đổi cận:	 * x = 1 t = 1
* x = e t = 
 I = .
Ví dụ 10. Tính tích phân sau:
 	a)  ĐH.K.B – 2004.: I = 
	b) J = ;
 Bài giải
 a) Đặt t = 
 lnx = 
+ Đổi cận: * x = 1 t = 1
 * t = e t = 2
 I =  ;
 b) Làm tương tự.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
	;
(HVNH THCM 2000) 
 a)(ĐH BKHN 1995) b) .(HVKTQS 1998) 
(ĐHAN 1999) 
(ĐHQG HN 1998) 
(ĐHSP2 HN 2000) 
(ĐHXD HN 1996) 
(ĐHTM 1997) 
(ĐHQG TPHCM 1998) 
Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 
Dạng 2: Giả sử ta cần tính .
	Đặt x = x(t) (t Ỵ K) và a, b Ỵ K thoả mãn a = x(a), b = x(b)
	thì 	
	Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
hoặc	
hoặc	
hoặc	
Ví dụ 1: Tính tích phân
	a) I1 = 
	b) I2 = 
Giải:
a) I1 = 
	+ Đặt x = 2sint , t 
 dx = 2costdt
	+ Cận mới:
	x= 0 2sint = 0 sint = 0 t = 0
	x = 2 2sint = 2 sint = 1 t = 
+ I1 = = = 4= 4=4
	I1 = 2 = 2= 
 b) I2 = 
+ Đặt x = 3tant, t dx = 3(1 +tan2t)dt
+ Cận mới:
	x = 0 3tant = 0 tant = 0 t = 0
	x = 3 3tant = 3 tant = 1 t = 
+ I2 = = = = = = .
	Vậy I2 = 
Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I = 
Bài giải: I = 
Đặt x - 2 = 2sint, t
 * x = 0 t = 0 ; x = 3 t = 
 I = .
 Tổng quát 1 : Phương pháp : Đặt x = asint.
Ví dụ 3. ĐHSP1-2000. Tính tích phân : I = với a > 0.
 Bài giải: Đặt x = asint. t 
 * x = 0 t = 0 
* x = a t = 
 I = 
Ví dụ 4. Tính tích phân : I = 
 Bài giải Đặt x = tant, 
 * x = 0 t = 0 * x = t = 
 Tổng quát 2 : Phương pháp : Đặt x = atant.
Ví dụ 5. Tính tích phân sau : 
 a) I =  ; Đặt x+,
 * x = 0 t =  ; x = 1 t = 
I = .
b) Đặt x2 + (Làm tương tự).
Ví dụ 6. Tính tích phân sau : I = 
 Đặt x2 = sint, t * x = 0 t = 0 * x = 
 xdx = cosxdx ; 
 I = 
 Ví dụ 7. HVKTQS – 2001. Tính tích phân sau: I = 
 Hướng dẫn : Đặt x = 
 I = ..... = .
 Ví dụ 8:
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Công thức tích phân từng phần
 Ta có: .
II. Phương pháp giải toán
 Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = 
 Phương pháp chung:
 Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = = 
 Bước 2: Đặt: 
 Bước 3: Khi đó: I = .
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
P(x)
ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Tính các tích phân
I1 = 
I2 = 
I3 = 
Giải:
I1 = 
Đặt: u = 2x du = 2dx; 
 dv = cos2xdx v = sin2x
· I1 = = – = 
	= = 
Vậy: I1 = 
I2 = 
Đặt: u = x +1 du = dx; 
 dv = e2xdx v = e2x
· I2 = = – = 
	= = 
Vậy: I2 = 
I3 = 
Đặt: u = ln(x – 1) du = dx; 
 dv = 2xdx v = x2
· I3 = = – = 9ln2 – 0 – 
	= 9ln2 – = 8ln2 – 
Vậy: I3 = 8ln2 – 
Ghi chú: bước giải bài n ... 
J = = 
Bài 8: Cho I = . Tính eI
I = = 
= = ln(e3x + e2x – ex + 1) = ln11 – ln4 = 
	Vậy eI = .
Bài 9: Tính tích phân: I = 
I = = I1 + I2
	Tính: I1 = Đặt Þ I1 = – 2
	I2 = = = 
Bài 10: Tính tích phân: .
Đặt . Đổi cận 
Suy ra 
Bài 11: Tính tích phân 
+) Tính . Đặt 
Đổi cận: 
+) Tính . Đặt 
Bài 12: Tính tích phân A = 
 = 
 = = 2ln2 – ln3 
Bài 13: Tính tích phân : .
Đặt 
Do đĩ I = 
 = 
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
VẤN ĐỀ 5: MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
	· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì 	
	· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì 	
	Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
	Bước 1: Phân tích 	 
	Bước 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
	– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K	Þ I = J + K = 0
	– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K	 Þ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
	(với a Ỵ R+ và a > 0)
	Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
	Để tính J ta cũng đặt:	 t = –x.
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên thì 	
	Để chứng minh tính chất này ta đặt:	
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và hoặc 
	thì đặt:	 t = a + b – x
	Đặc biệt,	nếu a + b = p	thì đặt	t = p – x
	nếu a + b = 2p	thì đặt	t = 2p – x	
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
	Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
	Bước 1: Tìm hàm g(x).
	Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
	Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra là nguyên hàm của f(x).
VD: Tính tích phân:	
	· Tính . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được .
	· Tính . Dùng phương pháp tích phân từng phần, ta tính được: 	
	Suy ra: .
Tính các tích phân sau (dạng 1):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Tính các tích phân sau (dạng 2):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Tính các tích phân sau (dạng 3):
	a) (n Ỵ N*)	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
Tính các tích phân sau (dạng 4):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính các tích phân sau (dạng 5):
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 	
	n) 	o) 
IV. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
1. Diện tích hình phẳng
	· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
	– Trục hoành.
	– Hai đường thẳng x = a, x = b.
	là:	(1)
	· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
	– Hai đường thẳng x = a, x = b.
	là:	(2)
	Chú ý:
	· Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: 
	· Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
	Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm 	được 2 nghiệm c, d (c < d).
	Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
	= 
	 (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
	· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)	(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
2. Thể tích vật thể
	· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
	S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
	Thể tích của B là:	
	· Thể tích của khối tròn xoay:
	Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
	sinh ra khi quay quanh trục Ox:
	Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:
	(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
	là:	
VẤN ĐỀ 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; 
x = 0; x = 2.
Giải:
Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = 
thì S = 
Phương trình: x2 -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2]
Vậy S = + = + = 2 (đvdt)
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và 
y = x.
Giải:
 · Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 
 x = 1 và x = -2 
Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = 
thì S = 
Vậy S = = = = (đvdt)
* Lưu ý: Chỉ cĩ thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngồi tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân khơng đổi dấu trên [a; b].
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ,trục hồnh, 
x = ln3 và x = ln8.
Kí hiệu S là diện tích cần tính.
Vì 
Đặt = t, ta cĩ 
Khi x = ln3 thì t = 2, và khi x = ln8 thì t = 3
Vì vậy: 
Ví dụ 4: Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường và .
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: và 
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d):
Suy ra diện tích cần tính:
Tính: 
Vì nên 
Tính 
Vì và nên .
Vậy 
Ví dụ 5: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường và y = 1.
Hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 
	Diện tích cần tìm
	Đặt x - 1 = sin t; Þ dx = cost ; Với 
	Þ 
Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : 	.
S = . 
Đặt Þ 
Ví dụ 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
Nhận xét: Do đĩ diện tích hình phẳng cần tìm là:
	==
	Suy ra S= (đvdt)
BÀI TẬP
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
	i) 	k) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
	i) 	k) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
	i) 	k) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 	
	i) 	k) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
	a) và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
	b) và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
	c) và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
Ví dụ 1: 
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể trịn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đĩ khi nĩ quay quanh trục Ox.
Giải:
	· Phương trình 2x – x2 = 0 x = 0 và x = 2 
· Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V = 
Ta cĩ V = = = (đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể trịn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đĩ khi nĩ quay quanh trục Ox.
Giải:
	· Phương trình – x2 = x3 x = 0 và x = –1 
· Gọi V1 là thể tích vật thể trịn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đĩ quay quanh Ox: 
V1 ==
· Gọi V2 là thể tích vật thể trịn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox: V2 == 
Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt)
BÀI TẬP
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
	i) 	k) 
	l) 	m) 
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nỴN* và với mọi cặp số a, b ta có:
2. Tính chất:
	1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
	2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
	3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = ( k =0, 1, 2, , n)
	4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 
	5) ,	
	* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt 
 thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
	(1+x)n = 	Þ	
	(x–1)n = 	Þ	
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh rằng: 
Giải: 
Xét 
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: .
Lấy đạo hàm ta có: 
Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có:
Bài 2: (ĐH A2005) Giải phương trình:
	.
Giải:
Xét 
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: 
Thay x = -2 vào đẳng thức ta có:
Phương trình đã cho .Bài 3: Chứng minh rằng: .
Giải: 
Xét khai triển: 
Ta có: 
Mặt khác: 
Vậy .
Bài 4: Chứng minh rằng: .
Xét 
Ta có: .
Mặt khác: 	
Vậy 	.tÝch ph©n trong §Ị tuyĨn sinh
(ĐHB03)
(ĐHB03)
1. 	2. 
(ĐHB04)
(ĐH A04)
3. 	4. 
(ĐHBO5)
(ĐHDO4)
5. 	6. 
(ĐHDO5)
(ĐHBO5)
7. 	8. 
(ĐHDO6)
(ĐHAO6)
9. 	10. 
(CĐSPVP 02)
(ĐHBO6)
11. 	12. 
(CĐSPHT 02)
(CĐSPHT 02)
13. 	14. 
(CĐKTKTHD02)
(CĐSP NT02)
15. 	16. 
(CĐDD 04)
(CĐKTTV03)
17. 	18. 
(CĐSP HP04)
(CĐHV04)
19. 	20. 
(CĐSP HN04)
(CSM1 04)
21. 	22. 
(CĐSP NB04)
(CĐSP BN04)
23. 	24. 
(CĐSP KT 04)
(CĐSP BP 04)
25. 	26. 
(CĐSP HN 04)
(CĐSP HN 04)
27. 	28. 
(CĐGT 04)
(CĐGT 04)
29. 	30. 
(CĐGT 04)
(CĐGT 04)
31. 	32. 
(CĐ KTKT CN04)
(CĐ KTKT 04)
33. 	34. 
CĐHC 04)
(CĐLK 04)
35. 	36. 
(CĐTB 04)
(CĐ A04)
37. 	38. 
(CĐCN 04)
(CĐKTKT 04)
39. 	40. 
(CĐLT 04)
(CĐ ĐN 04)
41. 	42. 
(CĐ YT NA04)
(CĐTCKT 04)
43. 	44. 
(CĐ XD 05)
(CĐ A05)
45. 	46. 
(CĐKTKT 05)
(CĐGT 05)
47. 	48. 
(CĐTH 05)
(CĐKTKT 05)
49. 	50. 
(CĐCT 05)
(CĐSP HCM05)
51. 	52. 
(CĐBT 05)
(CĐSP VL 05)
53. 	54. 
(CĐSP ST 05)
(CĐSP ST 05)
55. 	56. 
(CĐCN 05)
(CĐ VL 05)
57. 	58. 
(CĐTC 05)
(CĐSPHN 05)
59. 	60. 
(CĐSP KT05)
(CĐSP VP 05)
61. 	62. 
(CĐSP QN05)
(CĐ ĐN05)
63. 	64. 
(CĐSP QB 05)
(CĐ YTTH 05)
65. 	66. 
(CĐCN 06)
(CĐSP QN 05)
67. 	68. 
(CĐNL 06)
(CĐCKLK 06)
69. 	70. 
(CĐ YT 06)
(CĐHP 06)
71. 	72. 
(CĐSP HD06)
(CĐTCKT 06)
73. 	74. 
(CĐ ĐD 06)
(ĐHNV 06)
75. 	76. 
(CĐSP QN 06)
(CĐSP QB06)
77. 	78. 
(CĐSP TV06)
(CĐSP TN06)
79. 	80. 
(CĐSP TG06)
(CĐQT KD 06)
81. 	82. 
(CĐ BT 06)
83. 	84. 	
85. 	86. 
87. 	88. 
89. 	90. 
91. 	92. 
93. 	94. 
95. 	96. 
97. 	98. 
99. 	100. (ĐH D 07) 101. (ĐH B08) 102. 	(ĐH A08 ) 
103. (ĐH A2009) 	104. ( ĐH D08 ) 105. (ĐH B2009)	106. (ĐH D2009)
107. 	108. 
	(Thi thử trong báo THTT 2011)