Khảo sát đồ thị (T.s Nguyễn Phú Khánh)

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
KHẢO SÁT ĐỒ THỊ 
Hàm số đa thức 
6.0 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : 
  3 21 2)
3 3
a f x x x x    
6.1 
6.1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   3 21 2
3
f x x x   .Viết phương trình tiếp 
tuyến của  C tại điểm uốn của nó . Từ đó chứng minh rằng trong các tiếp tuyến thì tiếp tuyến tại điểm 
uốn của  C có hệ số góc nhỏ nhất . 
6.1.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   3 26 9f x x x x   .Chứng minh rằng điểm 
uốn của đường cong  C là tâm đối xứng của nó.Với giá trị nào của m , đường thẳng y m cắt  C tại 
ba điểm phân biệt?. 
6.1.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   3 23 6 3
2
f x x x x     .Chứng minh rằng 
phương trình 3 23 6 3 0
2
x x x     có ba nghiệm phân biệt , trong đó có một nghiệm dương nhỏ hơn 
1
2
. 
Hướng dẫn : 
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt 
1 2 3
1 2x x x     và 
 
 
0 3 0
1 1
0 . 0 0;1 1
2 20
2 4
f
f f x
f
   
   
        
      
 
. Xem lại giải tích lớp 11. 
6.2.1 Tìm hệ số , ,a b c sao cho đồ thị của hàm số   3 2f x x ax bx c    cắt trục tung tại điểm có tung 
độ bằng 2 và tiếp xúc với đường thẳng 1y  tại điểm có hoành độ là 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ 
đồ thị của hàm số với giá trị , ,a b c vừa tìm được . 
Hướng dẫn : 
 
 
2 3
1 1 1 3
2' 1 3 2 0
c a
f a b c b
cf a b
  
 
         
       
6.2.2 Tìm các hệ số ,m n sao cho hàm số   3f x x mx n    đạt cực tiểu tại điểm 1x   và đồ thị 
của nó đi qua điểm  1;4 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị ,m n vừa tìm được . 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
6.2.3 Tìm các hệ số , ,m n p sao cho hàm số   3 21
3
f x x mx nx p     đạt cực đại tại điểm 3x  và 
đồ thị  C tiếp xúc với đường thẳng   1: 3
3
d y x  tại giao điểm của  C với trục tung . 
Hướng dẫn : 
 
 
 
 
1
0; 13
31
30
3
1' 0 3
' 3 6 6 0
d Oy A
p
nf p
mf n
f m
    
      
       
 
    
    
   
6.3 
6.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   4 22 3f x x x   .Viết phương trình tiếp 
tuyến của  C tại điểm uốn của nó. 
6.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   4 22 2f x x x    . Từ đồ thị  C hãy cho 
cách vẽ đồ thị của hàm số   4 22 2f x x x    . Chứng minh rằng với mọi 2m  , phương trình 
4 22 2 0x x m     có hai nghiệm . 
6.3.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   4 2 3f x x x   .Chứng minh rằng đường 
thẳng   : 6 7d y x   tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 1 . 
Hàm phân thức hữu tỉ 
7.1 
7.1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   2 1
1
x
f x
x



. Chứng minh rằng đồ thị 
 C nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
7.1.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   3
2 1
x
f x
x
 


. Chứng minh rằng với mọi giá 
trị m , đường thẳng 4y mx m   luôn đi qua một điểm cố định của đường cong  C . 
7.1.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số   41
1
f x x
x
  

. Chứng minh rằng đồ thị 
 C nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
7.2 
7.2.1 Chứng minh rằng với mọi 0m  , hàm số    
2 2 1 1
2
mx m x
f x
x
  


có cực đại , cực tiểu . 
7.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số khi 1m  . 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
Hướng dẫn : 
1 1
0 2 ; 2 2 1 , 2 ; 2 2 1m A m m B m m
m m
   
              
   
7.3 
7.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số  
2 1x
f x
x

 . 
7.3.2 Gọi     0 0;M x f x C , viết phương trình tiếp tuyến  t của đường cong  C tại M ,tiếp tuyến 
 t cắt hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm ,A B . Chứng minh rằng M là trung điểm 
đoạn thẳng AB và diện tích tam giác OAB không phụ thuộc vào vị trí M .