Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn Giải tích

HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP
 MÔN GIẢI TÍCH
A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG 
Chuû ñeà I: DAÏNG TOAÙN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ:
I/ Khaûo saùt haøm ña thöùc:
 1/ Sô ñoà khaûo saùt haøm ña thöùc:
B1: Taäp xaùc ñònh: D= .
B2: Tìm 
B3: Tính ñaïo haøm y’, tìm nghieäm cuûa phöông trình y’= 0, tính giaù trò cuûa haøm soá taïi caùc nghieäm vöøa tìm ñöôïc.
B4: Laäp baûng bieán thieân
x
Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0
f’(x)
Xeùt daáu y/
f(x)
Ghi khoaûng taêng, giaûm , cöïc trò cuûa haøm soá
B5: Tính ñaïo haøm caáp 2, tìm nghieäm cuûa y”= 0 Þ điểm uốn. 
B6: Tìm ñieåm ñaëc bieät thöôøng tìm moät ñieåm coù hoaønh ñoä nhoû hôn cöïc trò beân traùi vaø moät ñieåm coù hoaønh ñoä lôùn hôn cöïc trò beân phaûi.
B7:Veõ ñoà thò
Caùc daïng ñoà thò haøm baäc 3:
 y y y y
 0 x 0 x 0 x 0 x 
Chuù yù: Ñoà thò haøm baäc 3 luoân nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.
Caùc daïng ñoà thò haøm truøng phöông:
Chuù yù: Ñoà thò haøm truøng phöông luoân nhaän truïc oy laøm truïc ñoái xöùng.
2/ Ví duï 1: Khaûo saùt caùc haøm soá y = x3+3x2– 4 
Giaûi:
Taäp xaùc ñònh: D = R
= 3x2+6x = 3x(x+2), cho 
Laäp baûng bieán thieân.
x
 -2 0 +
y/
 + 0 - 0 +
y
 0 CT +
- CÑ -4 
 cho = 0 x= –1 y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 Þ I(-1 ;-2) là điểm uốn
Ñieåm ñaëc bieät: A(1;0) B(-3;-4) 
Veõ ñoà thò haøm soá: 
 Ví duï 2: Khaûo saùt haøm soá: y = 2x2– x4
Giaûi
MXÑ : D= R
= 4x–4x3 = 4x(1–x2) cho = 0 4x(1–x2)=0 
Laäp baûng bieán thieân:
x
 -1 0 1 +
y/
 + 0 - 0 + 0 -
y
 1 CT 1 
- CÑ 0 CÑ - 
 = 4–12x2 cho = 0 x = y=
đổi dấu qua x = Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là 
Ñieåm ñaëc bieät: A B 
Ñoà thò: 
3/ Baøi taäp ñeà nghò:
Baøi 1: Khaûo saùt caùc haøm soá sau:
a/ y=x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – 2 c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8
d/ y = x4 – 6x2 + 5 e/ y = -x4 + 2x2 + f/ y = x4 + 2x2
Baøi 2:
a/Cho haøm soá y= x3 – 3m x2 + 4m3 . Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m=1.
b/Cho haøm soá y= x4 – m x2 + 4m -11 . Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m=4.
II/ Khaûo saùt haøm nhaát bieán:
 1/ Sô ñoà khaûo saùt haøm : 
B1: TXÑ D = R\
B2: Tieäm caän ngang laø: . Tieäm caän ñöùng laø x = .
B3: Tính ñaïo haøm y’= tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá
B4: Laäp baûng bieán thieân.
x
Ghi mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá
f’(x)
Xeùt daáu y/
f(x)
Ghi khoaûng taêng giaûm cuûa haøm soá
B5:Tìm giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä , coù theå laáy theâm moät soá ñieåm khaùc ñeå deã veõ.
B6:Veõ ñoà thò
Daïng ñoà thò haøm b1/b1
 y’ 0 
2/ Ví duï: Khaûo saùt haøm soá : y = .
 MXÑ: D= R\
= > 0 D haøm soá luoân ñoàng bieán treân töøng khoûang xaùc ñònh cuûa noù.
TCÑ: x=–1 ; TCN: y = 2
Laäp baûng bieán thieân.
x
- -1 +
y/
 + +
y
 + 2
2 - 
Ñieåm ñaëc bieät: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) 
Ñoà thò: 
Baøi taäp ñeà nghò:
Baøi 1: khaûo saùt caùc haøm soá sau:
a/ y = b/ y = . c/y = 
Baøi 2:
Cho haøm soá y= khaûo saùt haøm soá khi m = 2.
Chuû ñeà II: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN TÔÙI KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
I/Baøi toaùn1: Tìm giao ñieåm cuûa hai ñöôøng:
Cho hai haøm soá : y= f(x) coù ñoà thò (C), y= g(x) coù ñoà thò (C’). Tìm giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’).
Phöông phaùp giaûi:
B1: phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’): f(x) = g(x) (1)
B2: Giaûi (1) giaû söû nghieäm cuûa phöông trình laø x0,x1,x2 . . . thì caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’) laø :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2)) . . .
 Chuù yù: Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’).
Ví duï 1:
Cho ñöôøng cong (C): y= x3 -3x +1 vaø ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm A(0;1) coù heä soá goùc k. bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø d.
Giaûi
Phöông trình ñöôøng thaúng d coù daïng: y= kx + 1.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d laø : x3 -3x +1 = kx + 1 (1) x3-(3+k)x = 0
 x(x2-3-k) = 0 
ta coù (2)= 3+k
Neáu 3+k < 0 k<-3 Phöông trình (2) voâ nghieäm (1) coù 1 nghieäm (C) vaø d coù 1 giao ñieåm.
Neáu 3+k = 0 k= -3 Phöông trình (2) coù nghieäm keùp x=0 (1) coù 1 nghieäm boäi (C) vaø d coù 1 giao ñieåm.
Neáu 3+k > 0 k> -3 . Maët khaùc g(0) = 0 -3-k = 0 k = -3 vaäy phöông trình (2) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc khoâng (1) coù 3 nghieäm phaân bieät (C) vaø d coù 3 giao ñieåm.
Ví dụ 2: Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Giài:
2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt 
Û Phương trình (ẩn x) có hai nghiệm phân biệt
Û Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
Û
Baøi taäp ñeà nghò:
Baøi 1: Cho ñöôøng cong (C): y= vaø ñöôøng thaúng d qua goác toaï ñoä coù heä soá goùc k. bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa d vaø (C).
Baøi 2: Cho ñöôøng cong (C): y=. Döïa vaøo ñoà thò (C) bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa (C) vaø ñöôøng thaúng y=k.
II/ Baøi toaùn2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò
Duøng ñoà thò bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình f(x)= .
Phöông phaùp giaûi:
B1: Veõ ñoà thò (C) cuûa haøm f(x) (Thöôøng ñaõ coù trong baøi toaùn khaûo saùt haøm soá )
B2: Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng y=. Tuøy theo m döïa vaøo soá giao ñieåm ñeå keát luaän soá nghieäm.
Ví duï:
Cho haøm soá y=x3 – 6x2 + 9x (C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0 
 Giaûi: 
Phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0
 x3 – 6x2 + 9x = m 
Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao 
ñieåm cuûa ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d: y=m.
döïa vaøo ñoà thò ta coù:
Neáu m > 4 phöông trình coù 1 nghieäm.
Neáu m = 4 phöông trình coù 2 nghieäm.
Neáu 0< m <4 phöông trình coù 3 nghieäm.
Neáu m=0 phöông trình coù 2 nghieäm.
Neáu m < 0 phöông trình coù 1 nghieäm.
Baøi taäp ñeà nghò:
Baøi 1: a/ Khaûo saùt haøm soá y= x4 – 4 x2 + 5.
 b/ Duøng ñoà thò (C) cuûa haøm soá vöøa khaûo saùt bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 
x4 – 4 x2 + 5=m.
Baøi 2: Cho haøm soá y= x3 - 3x – 2 coù ñoà thò (C)
a/ Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá.
b/ Duøng ñoà thò (C), ñònh m ñeå phöông trình: x3 - 3x – 2=m coù 3 nghieäm phaân bieät.
III/ Baøi toaùn 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán.
Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò (C).Ta caàn vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) trong caùc tröôøng hôïp sau:
1/ Taïi ñieåm coù toaï ñoä (x0;f(x0)) :
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0)
B2: Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm (x0;f(x0)) laø: y = (x–x0) + f(x0)
2/ Taïi ñieåm treân ñoà thò (C) coù hoaønh ñoä x0 :
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0) 
B2: Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 laø:y = (x–x0) + f(x0)
3/ Taïi ñieåm treân ñoà thò (C) coù tung ñoää y0 :
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung ñoä laø y0f(x0)=y0. giaûi phöông trình naøy tìm ñöôïc x0 f /(x0) 
B3: Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm coù tung ñoä y0 laø:y = (x–x0) + y0
4/ Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán laø k:
B1: Goïi M0(x0;y0) laø tieáp ñieåm .
B2: Heä soá goùc tieáp tuyeán laø k neân :
 =k (*)
B3: Giaûi phöông trình (*) tìm x0 f(x0) phöông trình tieáp tuyeán.
Chuù yù:
Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y=ax+b thì coù f/(x0)=a.
Tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y=ax+b thì coù f/(x0).a=-1.
5/ Bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(x1;y1) :
B1:Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua A(x1;y1) coù heä soá goùc k laø: y = k(x–x1) + y1 (1)
B2: d laø tieáp tuyeán cuûa (C) heä phöông trình sau coù nghieäm :
B3:Giaûi heä naøy ta tìm ñöôïc k chính laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán theá vaøo (1) Þ phöông trình tieáp tuyeán.
Ví duï 1 :
 Cho ñöôøng cong (C) y = x3.Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong :
a.Taïi ñieåm A(-1 ; -1) b.Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng –2
c.Taïi ñieåm coù tung ñoää baèng –8 d. Bieát raèng heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng 3.
e.Bieát raèng tieáp tuyeán ñi qua ñieåm B(2;8)
Giaûi:
Ta coù y’= 3.x2
a/ Tieáp tuyeán taïi A(-1;-1) coù Þ f’(x0)= 3.(-1)2 = 3 Þ phöông trình tieáp tuyeán laø: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta coù x0= -2 Þ Þ Ph.trình tieáp tuyeán laø y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
c/ Ta coù tung ñoää baèng y0= –8 f(x0)= -8 =-8 x0=-2 f’(x0)=12 Phöông trình tieáp tuyeán laø: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16 
d/ Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng 3 f’(x0)=3 3.=3 x0= 1 
vôùi x0=1 f(x0)=1 Phöông trình tieáp tuyeán laø: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
vôùi x0=-1 f(x0)= -1 Phöông trình tieáp tuyeán laø: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e/Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua B(2;8) coù heä soá goùc k laø: y = k(x–2) + 8 
 d laø tieáp tuyeán cuûa (C) heä phöông trình sau coù nghieäm :
 x3 = 3x2(x-2) + 8 2x3- 6x2 + 8 = 0 
Vôùi x=2 k=12 phöông trình tieáp tuyeán laø y=12(x-2)+8 = 12x -16.
Vôùi x=-1 k=3 phöông trình tieáp tuyeán laø y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
Baøi taäp ñeà nghò:
Baøi 1: Cho haøm soá y= x3 - 3x2 coù ñoà thò (C). Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C)
a/ Taïi caùc giao ñieåm vôùi truïc hoaønh. b/ Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä = 4.
c/ Bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k= -3. d/ Bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y= 9x + 2005.
e/ Bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y= x + 2006. f/Bieát tieáp tuyeán ñi qua A(1;-2).
Baøi 2: Cho haøm soá y= coù ñoà thò (C). Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C)
a/ Taïi caùc giao ñieåm vôùi truïc hoaønh. b/ Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä = 2.
c/ Taïi ñieåm coù tung ñoä y=-. d/Bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k= - 1. e/Bieát tieáp tuyeán ñi qua A(2;0).
IV/ Baøi toaùn 4: xeùt tính ñôn ñieäu
Phöông phaùp xaùc ñònh khoaûng taêng, giaûm haøm soá :	
 + MXĐ D= ?
 + Tính : y/ = , tìm nghieäm cuûa ptr y/ = 0 
 + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
 Chuù yù: y/ > 0 thì haøm soá taêng ; y/ < 0 thì haøm soá ... i roài tính tích phaân .
Ví duï: Tính :
 Đặt x = sint dx = cost.dt. Vì x [0;1] nên ta chọn t
 Đổi cận: x = 0 t = 0 ; x= 1 t = 
 Vậy : = = 
 Chuù yù: Khi gaëp tích phaân maø bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân coù daïng :
 thì ñaët x= sint t 
 thì ñaët x= tgt t 
 thì ñaët x= t \ 
Daïng 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán.
Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët t = (x) dt = 
 b2: Ñoåi caän: 
 x = a t =(a) ; x = b t = (b)
 b3: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân tìm ñöôïc .
Ví duï : Tính tích phaân sau :
 a/ b/
Giaûi:
a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
Ñoåi caän: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vaäy I= 
b/ Ñaët t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
Ñoåi caän: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 Vaäy J = 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
1/ 2/ 3/ 4/ 
Daïng 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn:
 Coâng thöùc töøng phaàn : 
Phöông phaùp giaûi: 
 B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu tích phaân baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v.
 B2: Khai trieån tích phaân ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn.
 B3: Tích phaân suy ra keát quaû.
Chuù yù:
a/Khi tính tính tích phaân töøng phaàn ñaët u, v sao cho deã tính hôn neáu khoù hôn phaûi tìm caùch ñaët khaùc.
b/Khi gaëp tích phaân daïng : 
 - Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø moät trong caùc haøm soá eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta ñaët u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Neáu baäc cuûa P(x) laø 2,3,4 thì ta tính tích phaân töøng phaàn 2,3,4 laàn theo caùch ñaët treân.
- Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø haøm soá ln(ax+b) thì ta ñaët u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau:
a/ I= b/J=
Giaûi
a/ Ñaët : (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
vaäy I=x cosx - = cosx= -1
b/ Ñaët :
Vaäy J= lnx. - 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 
Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp:
a/Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu:
Phöông phaùp giaûi: 
 Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính.
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ = .
b/ 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
1/I= 2/J= 
b/Daïng baäc1 treân baäc 2:
Phöông phaùp giaûi: 
 Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính.
Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
Ñaët =
 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. vaäy ta coù: 
=
 Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
CI:
=(ln 
CII: Ñaët 
 Ax -2A+B= 0 
Vaäy = 
Tröôøng hôïp maãu soá voâ nghieäm:
Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= 
Giaûi:
Ta coù = 
Tính J= 
Ñaët x+1=(t ) dx=.
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t= vaäy J= 
Vaäy I= ln ) 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
1/I= 2/I= 3/ I= 
 Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ:
Daïng1: Ñaët t=
Daïng 2: Ñaët t=
Ví duï: Tính tích phaân I = 
Giaûi
Ñaët t = t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt.
Ñoåi caän:
x=0 t=1; x=1 t=0. Vaäy I= 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
 1/ 2/ 
Daïng 6: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp
Daïng:
Phöông phaùp giaûi:
Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi.
Daïng: 
Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán. 
Ví duï :
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx
Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x=tgt
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ b/ c/ d/
Giaûi
a/ = 
b/
c/I==
ñaët u=sinx du = cosx dx.
x=0 u=0 ; x= u=1 vaäy: I=
d/J==
ñaët u=sinx du = cosx dx.
x=0 u=0 ; x= u=1 J=
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
 1/ 2/ 3/ 4/
III/ Dieän tích hình phaúng:
1/ Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø :
 2/ Daïng toaùn2: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng cong vaø 2 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò (C) vaø y=g(x) coù ñoà thò (C’) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C), (C’) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b laø : 
Phöông phaùp giaûi toaùn:
 B1: Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa (C) vaø (C’)
 B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm:
 TH1:
Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm voâ nghieäm trong (a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
 TH2:
Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù 1 nghieäm laø x1(a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
 TH3:
Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù caùc nghieäm laø x1; x2(a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
Chuù yù: * Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù nhieàu hôn 2 nghieäm laøm töông töï tröôøng hôïp 3.
 * Daïng toaùn 1 laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa daïng toaùn 2 khi ñöôøng cong g(x)=0
Ví duï 1ï:
Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = sinx treân ñoaïn [0;2] vaø truïc hoaønh .
Giaûi :
Ta coù :sinx = 0 coù 1 nghieäm x= vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
S = = = 4 
Ví duï 2: 
 Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P1): y = x2 –2 x , vaø (P2) y= x2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng x = -1 ; x =2 .
Giaûi
phhñgñ : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2 . Do ñoù :
S =
= = =
Ví duï 3:
 Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y2 = 4 x , vaø ñöôøng thaúng (d): 2x+y-4 = 0.
Giaûi: Ta coù (P): y2 = 4 x x = vaø (d): 2x+y-4 = 0 x= .
Phöông trình tung ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø: = 
Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= 
Baøi taäp ñeà nghò: 
1/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn giöõa ñöôøng cong (P): y= x2 - 2x vaø truïc hoaønh.
 2/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (H): vaø caùc ñöôøng thaúng coù phöông trình x=1, x=2 vaø y=0
3/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn giöõa ñöôøng cong (C): y= x4 - 4x2+5 vaø ñöôøng thaúng (d): y=5. 
 4/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y = x3 –3 x , vaø y = x .
2/ Daïng toaùn 3: Theå tích cuûa moät vaät theå troøn xoay
 Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay sinh ra khi hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) coù phöông trình y= f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a, x=b , y= 0 quay moät voøng xung quanh truïc ox laø: 
Ví duï 1: Tính theå tích khoái caàu sinh ra do quay hình troøn coù taâm O baùn kính R quay xung quanh truïc ox taïo ra. 
Giaûi: Ñöôøng troøn taâm O baùn kính R coù phöông trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2
Theå tích khoái caàu laø : V= = = = (ñvtt)
Ví duï 2: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giaûi: Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : 
== (ñvtt)
Baøi taäp ñeà nghò:
Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = c/ y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1
Chuû ñeà VI: SỐ PHỨC
 Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di ó a = c; b = d. 2) môđun số phức
3) số phức liên hiệp z = a+bi là = a - bi.
* z+ = 2a; z.= 
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 
5) (a+bi ) -( c+di) = (a-c)+(b-d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac - bd)+(ad+bc)i 
7) z = 
Bài toán 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với D = b2 - 4ac.
Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệp kép (nghiệm thực)
Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: 
Nếu D < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức 
Bài tập: Sè phøc
D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vÒ sè phøc 
C©u 1: Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sau: 
a. (2 - i) + 	b. 
c. d. 
C©u 2: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
	a. (2 - 3i)(3 + i)	b. (3 + 4i)2	b. 
C©u 3: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
	a. 	b. 	c. 	d. 
C©u 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau (víi Èn lµ z) trªn tËp sè phøc
	a. 	b. c. 	d. 
C©u 5: Cho hai sè phøc z, w. chøng minh: z.w = 0 Û 
C©u 6: Chøng minh r»ng mäi sè phøc cã m«®un b»ng 1 ®Òu cã thÓ viÕt d­íi d¹ng víi x lµ sè thùc mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh 
D¹ng 2: T×m tËp hîp ®iÓm biÓu diÔn sè phøc tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc 
C©u 1: T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tháa m·n:
	a. 	b. 
C©u 2: T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tháa m·n:
	a. z + 2i lµ sè thùc	b. z - 2 + i lµ sè thuÇn ¶o c. 	d. lµ sè thùc
 c¨n bËc hai cña Sè phøc. ph­¬ng tr×nh bËc hai
D¹ng 1: tÝnh c¨n bËc hai cña sè 
Ví dụ :
 Tìm căn bậc hai của số phức 
Gọi x + iy là căn bậc hai của số phức , ta có :
 hoặc 
 (loại) hoặc 
 Vậy số phức có hai căn bậc hai : 
C©u 1: TÝnh c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: 
	a. -5	b. 2i	c. -18i	d. 
D¹ng 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai 
VÝ dô: Giải phương trình trên tập số phức 
Giải: nên 
Phương trình có hai nghiệm : 
C©u 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc
	a. x2 + 7 = 0	b. x2 - 3x + 3 = 0	c. x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
	d. x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0	e. ix2 + 4x + 4 - i = 0
	g. x2 + (2 - 3i)x = 0 
C©u 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc
	a. 	 b. 
	c. 
C©u 3: T×m hai sè phøc biÕt tæng vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît lµ:
	a. 2 + 3i vµ -1 + 3i	b. 2i vµ -4 + 4i
C©u 4: T×m ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè thùc nhËn a lµm nghiÖm:
	a. a = 3 + 4i	b. a = 
C©u 5: T×m tham sè m ®Ó mçi ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã hai nghiÖm z1, z2 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®· chØ ra: 
	a. z2 - mz + m + 1 = 0 	®iÒu kiÖn: 
	b. z2 - 3mz + 5i = 0	®iÒu kiÖn: 
Bµi tËp:
C©u 1: TÝnh c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:
	a. 7 - 24i	b. -40 + 42i	c. 11 + 4i	d. 
C©u 2: Chøng minh r»ng:
NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cña hai sè phøc a + bi th× x - yi lµ c¨n bËc hai cña sè phøc a - bi
NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cña sè phøc a + bi th× lµ c¨n bËc hia cña sè phøc (k ¹ 0)
C©u 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc:
a. z2 + 5 = 0	b. z2 + 2z + 2 = 0	c. z2 + 4z + 10 = 0 d. z2 - 5z + 9 = 0 	e. -2z2 + 3z - 1 = 0
C©u 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc:
a. (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0	b. (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
c. (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0	 d. z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
C©u 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc:
a. (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0	b. 
C©u 6: T×m ®a thøc bËc hai hÖ sè thùc nhËn a lµm nghiÖm biÕt:
	a) a = 2 - 5i	b. a = -2 - i	c. a = 
C©u 7: Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh az2 + bz + c = 0 (a, b, c Î R) cã nghiÖm phøc a Ï R th× còng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®ã.
C©u 8: Cho ph­¬ng tr×nh: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0
	H·y x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña tham sè m sao cho ph­¬ng tr×nh 
ChØ cã ®óng 1 nghiÖm phøc b/ ChØ cã ®óng 1 nghiÖm thùc C/Cã ba nghiÖm phøc
C©u 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc:
	a. z2 + + 2 = 0	b. z2 = + 2 c. (z + )(z - ) = 0	 d. 2z + 3 = 2 + 3i
C©u 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau biÕt chóng cã mét nghiÖm thuÇn ¶o
z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0 b. z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0