Hướng dẫn giải đề dự bị 1 khối D – 2008 môn Toán

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ DỰ BỊ 1 KHỐI D – 2008
Câu I : (2 điểm)
Cho hàm số (1) 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .
Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại điểm M(–2 ;5) .
Câu II: (2 điểm)
Giải phương trình : 
Giải bất phương trình : 
Câu III: (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (a): 2x – y + 2z +1 = 0 và đường thẳng 
Tìm tọa độ giao điểm của d với (a) . Tính sin của góc giữa d và (a).
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (a) và (Oxy) 
Câu IV: (2 điểm)
Tính tích phân : 
Cho các số thực x,y thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Câu Va: (2 điểm)
Chứng minh rằng với n là số nguyên dương 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C): (x – 4)2 + y2 = 4 và điểm E(4 ; 1). Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA , MB của đường tròn (C) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB qua điểm E. 
Câu Vb (2 điểm)
Giải bất phương trình : 
Cho tứ diện ABCD và các điểm M,N,P làn lượt thuộc các cạnh BC,BD,AC sao cho BC = 4BM , AC = 3AP , BD = 2BN .Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q . Tính tỉ số và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP) .
Bài giải :
Câu I: 
Học sinh tự giải 
 ; 
Tiếp tuyến tại M là D: 
A = DÇ Ox Þ Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình 
B = DÇ Oy Þ Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình 
Diện tích tam giác OAB : 
Câu II:
1. 
2. (*)
Điều kiện : –1 <x < 3 
(*) 
Đặt Ta có : 
Câu III :
1. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(a ) là nghiệm hệ phương trình :
d có VTCP ; (a) có VTPT . Gọi j là góc giữa d và (a) 
2. Phương trình mặt phẳng phân giác của (a) và mp(Oxy) là 
Tọa độ tâm I mặt câu tiếp xúc với (a) và (Oxy) thỏa mãn hệ phương trình :
Với I(0 ; –1 ; 2) bán kính phương trình mặt cầu 
Với bán kính phương trình mặt cầu 
Câu IV:
1. 
 Đặt 
.
2. Theo BĐT Cô si Ta có 
 (1)
Với Xét hàm số 
"tÎ[0 ; 1) thì 
"tÎ (1 ; p/3] thì 
Vậy (2) 
Từ (1) và (2) Ta có (đpcm)
Câu Va :
1. Ta có công thức khai triển 
 (1)
Đạo hàm hai vế của (1) Ta được 
 (2)
Nhân 2 vế của (2) cho x rồi thay x = 2 vào . Ta được 
 (đpcm)
2. Đường tròn (C) có tâm I(4 ; 0) bán kính R = 2 
Gọi M(0 ,m ) thuộc trục tung . Vậy qua M có 2 tiếp tuyến đến (C) 
Giả sử D là tiếp tuyến qua M đến ( C) và T(x0 ; y0) là tiếp điểm 
Mặt khác T thuộc ( C ) nên : 
Từ (1) và (2) Ta có 
Tọa độ các tiếp điểm A,B đều thỏa (*) nên đường thẳng AB: 4x – my – 12 = 0
E thuộc AB nên : 16 –m – 12 = 0 Û m = 4
Vậy M(0 ; 4 ) là điểm thỏa YCBT 
Câu Vb:
1. 
Đặt . Bất phương trình tương đương với : 
Vậy 
2. 
Trong (BCD) : MN Ç CD = I Þ IP = (MNP) Ç (ACD) 
Trong (ACD) : IP Ç AD = Q Þ Q = AD Ç (MNP)
Kẻ DH // BC (H Î IM) ; Kẻ DK // AC (K Î IP)
D NMB = DNDH 
DAPQ đồng dạng D DKQ 
Ta có : 
; 
Cộng (1) , (2) và (3) Ta có :
Vậy mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích