Hình học không gian - THPT Tân Bình

THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 1 
 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP  
§0. ÔN TẬP KIẾN THỨC LỚP 11. 
A. QUAN HỆ SONG SONG: 
I> ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG: 
1) Định nghĩa: 
Đường thẳng và mặt phẳng gọi 
là song song với nhau nếu chúng 
không có điểm nào chung. 
/ /( ) ( )a P a P   
a
(P)
2) Các định lý: 
ĐL1:Nếu đường thẳng d không 
nằm trên mp(P) và song song 
với đường thẳng a nằm trên 
mp(P) thì đường thẳng d song 
song với mp(P) 
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P
a P



 
d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song 
song với mp(P) thì mọi mp(Q) 
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo 
giao tuyến song song với a. 
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P
a Q d a
P Q d


 
  
 d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt 
nhau cùng song song với một 
đường thẳng thì giao tuyến của 
chúng song song với đường 
thẳng đó. 
( ) ( )
( ) / / / /
( ) / /
P Q d
P a d a
Q a
 
 


a
d
Q
P
II> HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: 
1) Định nghĩa: 
Hai mặt phẳng được gọi là song 
song với nhau nếu chúng không 
có điểm nào chung. 
( ) / /( ) ( ) ( )P Q P Q   
Q
P
2) Các định lý: 
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai 
đường thẳng a, b cắt nhau và 
cùng song song với mặt phẳng 
(Q) thì (P) và (Q) song song 
với nhau. 
, ( )
( ) / /( )
/ /( ), / /( )
a b P
a b I P Q
a Q b Q


  


Ib
a
Q
P
ĐL2: Nếu một đường thẳng 
nằm một trong hai mặt phẳng 
song song thì song song với 
mặt phẳng kia. 
( ) / /( )
/ /( )
( )
P Q
a Q
a P



a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và 
(Q) song song thì mọi mặt 
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải 
cắt (Q) và các giao tuyến của 
chúng song song. 
( ) / /( )
( ) ( ) / /
( ) ( )
P Q
R P a a b
R Q b


  
  
b
a
R
Q
P
5 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 2 
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 
I> ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: 
1) Định nghĩa: 
Một đường thẳng được gọi là 
vuông góc với một mặt phẳng 
nếu nó vuông góc với mọi 
đường thẳng nằm trên mặt phẳng 
đó. 
( ) , ( )a mp P a c c P     
P c
a
2) Các định lý: 
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông 
góc với hai đường thẳng cắt 
nhau a và b cùng nằm trong 
mp(P) thì đường thẳng d vuông 
góc với mp(P). 
,
, ( ) ( )
, caét nhau
d a d b
a b mp P d mp P
a b
 

  


d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông góc) 
Cho đường thẳng a không vuông 
góc với mp(P) và đường thẳng b 
nằm trong (P). Khi đó, điều kiện 
cần và đủ để b vuông góc với a 
là b vuông góc với hình chiếu a 
của a trên (P). 
( ), ( )
'
a mp P b mp P
b a b a
 
  
a'
a
b
P
II> HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC: 
1) Định nghĩa: 
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 090 . 
2) Các định lý: 
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa 
một đường thẳng vuông góc 
với một mặt phẳng khác thì hai 
mặt phẳng đó vuông góc với 
nhau. 
( )
( ) ( )
( )
a mp P
mp Q mp P
a mp Q

 

Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và 
(Q) vuông góc với nhau thì bất 
cứ đường thẳng a nào nằm 
trong (P), vuông góc với giao 
tuyến của (P) và (Q) đều 
vuông góc với mặt phẳng (Q). 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q d a Q
a P a d


   
  
d Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) 
và (Q) vuông góc với nhau và 
A là một điểm trong (P) thì 
đường thẳng a đi qua điểm A 
và vuông góc với (Q) sẽ nằm 
trong (P) 
( ) ( )
( )
( )
( )
P Q
A P
a P
A a
a Q

   

 
 A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt 
nhau và cùng vuông góc với 
mặt phẳng thứ ba thì giao 
tuyến của chúng vuông góc với 
mặt phẳng thứ ba. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
 

  
 
a
R
QP
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 3 
III> KHOẢNG CÁCH: 
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , 
đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến 
đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là 
khoảng cáchgiữa hai điểm M và H, trong đó H 
là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( 
hoặc trên mp(P)) 
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và 
mp(P) song song với a là khoảng cách từ một 
điểm nào đó của a đến mp(P). 
d(a;(P)) = OH 
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt 
phẳng này đến mặt phẳng kia. 
d((P);(Q)) = OH H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường 
thẳng đó. 
d(a;b) = AB 
B
A
b
a
IV> GÓC: 
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa 
hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và 
lần lượt cùng phương với a và b. b'
b
a'a
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với 
mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a của 
nó trên mp(P). 
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì 
ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 
090 . P
a'
a
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường 
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt 
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm 
ba
QP
P Q
a b
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa 
giác (H) trong mp(P) và S là diện tích hình chiếu 
(H) của (H) trên mp(P) thì 
' cosS S  , trong đó  là góc giữa hai mặt 
phẳng (P),(P). 

C
B
A
S
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 4 
§1. KHỐI ĐA DIỆN. 
I> KHỐI ĐA DIỆN: 
1) Hình đa diện: Là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thoả mãn 2 tính chất: 
 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có 
một cạnh chung. 
 Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. 
2) Khối đa diện: Là phần không gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. 
3) Định nghĩa khối đa diện lồi: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm 
bất kỳ của (H) luôn thuộc (H). 
 Công thức Ơle: Khối đa diện lồi (H) có Đ đỉnh, C cạnh, M mặt thì Đ – C + M = 2. 
 1Vd S.ABC có Đ = 4, C = 6, M = 4 thỏa 4 – 6 + 4 = 2. 
4) Hình lăng trụ và hình hộp: 
 Hình lăng trụ ABCDE.ABCDE có (ABCDE) và (ABCDE) là hai mặt phẳng song song gọi là hai 
đáy; AA// = BB// = CC// = DD// = EE gọi là các cạnh bên; các mặt bên (ABBA), (BCCB), 
(CDDC), (DEED), (EAAE) là những hình bình hành. 
 Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, 6 mặt của hình hộp là hình bình hành. 
5) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương: 
 Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, các mặt bên là những hình chữ nhật 
vuông góc với mặt đáy. 
 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều, có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau. 
Các lăng trụ đó gọi là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều  
 Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ 
nhật. 
 Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là hình 
lập phương. 
6) Hình chóp và chóp cụt: 
 Hình chóp I.EFGH có đỉnh là I, mặt phẳng (EFGH) là mặt đáy, IE, IF, 
IG, IH là các cạnh bên, mặt bên là các tam giác IEF, IFG, IGH, 
IHE. Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác,  thì gọi là hình 
chóp tam giác, hình chóp tứ giác,  
 Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc thì chân đường 
cao OH của tứ diện là trực tâm của ABC và 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   
7) Hình chóp đều: 
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 5 
bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều  
 Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. 
 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp 
trùng với tâm của đáy. 
 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt 
đáy các góc bằng nhau. 
II> KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU: 
1) Khối đa diện đều: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thoả hai tính chất sau: 
 Các mặt là những đa giác đều có cùng số cạnh; 
 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng số cạnh. 
 Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh, ký hiệu {n; p}. 
Có 5 loại khối đa diện đều, đó là loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5} 
Loại{3; 3}-Tứ 
diện đều 
loại {4; 3}- Hình 
lập phương 
loại {3; 4}- Bát 
diện đều 
loại {5; 3}-Thập 
nhị diên đều 
loại {3; 5}-Nhị 
thập diên đều. 
2) Tứ diện đều: Là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy hay 4 mặt là 4 tam giác đều bằng 
nhau. 
III> THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN: 
1) Thể tích khối chóp: 1 .
3
V B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 
2) Thể tích khối chóp cụt:  1 ' '3V B B BB h   (B, B là diện tích 2 đáy, h là chiều cao) 
3) Thể tích khối lăng trụ: .V B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 
4) Tỷ số thể tích tứ diện: 
Cho khối tứ diện SABC và A, B, C là các điểm tùy ý lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC ta có: 
' ' ' ' ' '
SABC
SA B C
V SA SB SC
V SA SB SC
 
BÀI TẬP. 
A. KHỐI CHÓP: 
1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện đều ABCD. 
 Hướng dẫn: 
Diện tích tam giác đều BCD có cạnh bằng a là 
2 3
4BCD
aS  
Diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là: 24 3BCDS S a  
Tam giác đều BCD cạnh a thì đường cao 3
2
aBN  . H là trọng tâm 
BCD  2 3
3 3
aBH BN  
H là chân đường cao của tứ diện đều nên 
2
2 2 2 6
3 3
a aAH AB BH a     . Thể tích khối tứ diện 
ABCD: 
31 2.
3 12BCD
aV S AH  
2) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3
2
a .Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 6 
 Hướng dẫn: 
23 3
4
aS  , 
3 6
32
aV  
3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 
2
a , cạnh bên bằng a . Tính thể tích khối chóp 
S.ABC. 
 Hướng dẫn: Diện tích đáy : 
2 3
16
aS  ; Đường cao: 
2
2 3 33
36 6
a ah a   ; Thể tích 
3 11
96
aV  
4) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh a và các cạnh bên tạo với đáy một góc 060 . Tính thể tích 
khối chóp S.ABC. 
 Hướng dẫn: 
Diện tích ABC: 
2 3
4
aS  và đường cao 3
2
aAM  
H là trọng tâm ABC  2 3
3 3
aAH AM  
H là chân đường cao của hình chóp tam giác đều S.ABC nên 
 060SAH  và  03.tan tan 60
3
aSH AH SAH a   . Thể tích khối 
chóp: 
31 3.
3 12ABC
aV S SH  
5) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 3 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 060 . 
Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 
 Hướng dẫn: 1 3.
3 4ABC
V S SH  
6) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC , cạnh bên bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 030 . Tính 
thể tích của khối chóp S.ABC. 
 Hướng dẫn: 
2 31 1 9 3 3 3. . .
3 3 16 2 32ABC
a a aV  ... 
3 3 2 3BMDN
a aV S SH a   
DNC vuông  2 2 5DN DC CN a   . 
Kẻ MQ // DN cắt AD tại Q  1 5
2 2
aMQ ND  và 
2
aAQ  
Ta có AQ  SH, AQ  AH  AQ  (SAH)  AQ  SA 
SAQ vuông tại A  2 2 5
2
aSQ SA AQ    SQM cân tại Q; 
 12 5cos
5
MSSMQ
MQ
  hay 5cos( , )
5
SM DN  . 
23) (Đề thi Đại học năm 2008 – Khối A) (1điểm) Cho lăng trụ ABC.ABC có độ dài cạnh bên bằng 2a, 
đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt 
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A.ABC và tính côsin của góc 
giữa hai đường thẳng AA, BC. 
 Hướng dẫn: 
Diện tích ABC: 
21 3.
2 2ABC
aS AB AC  
ABC vuông tại A  2 2 2BC AB AC a   
Gọi H là trung điểm của BC đồng thời là hình chiếu của A trên 
mặt phẳng (ABC). AAH vuông tại H có 1
2
AH BC a  , 
2 2 2 2' ' 4 3A H AA AH a a a     
Thể tích khối chóp A.ABC: 
2 31 1 3. ' . . 3
3 3 2 2ABC
a aV S A H a   
ABH vuông tại A nên 2 2 2 2' ' ' ' 3 2B H A B A H a a a      BBH cân tại B 
   
1
12 2cos ', ' ' cos ',
' 2 4
aBH
AA B C BB BC
B B a
    . 
24) (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) (1điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, 
SA = 2a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Chứng minh rằng đường 
thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. 
 Hướng dẫn: 
M, N là trung điểm của SA và SB  MN // AB // CD. SCD 
cân tại S có P trung điểm của CD  SP  CD  SP  MN 
Gọi Q là trung điểm AB và PH  SQ tại H 
Ta có AB  PQ, AB  SQ  AB  (SPQ)  AB  PH 
Với PH  AB, PH  SQ  PH  (SAB)  PH là đường cao 
hình chóp P.AMN 
Ta có 
2
2 2 2 72
4 2
a aSQ SA AQ a     
Gọi O là tâm hình vuông ABCD  đường cao của hình chóp 
2 2
2 2 7 6
4 4 2
a a aSO SQ QO     
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 31 
21 6.
2 4SPQ
aS SO PQ   
2 6
7
SPQS aPH
SQ
  ; 
21 1 1 7. .
2 2 2 16AMN
aS AB SQ  
2 3
.
1 1 7 6 6. . .
3 3 16 487P AMN AMN
a a aV S PH   (đvtt) 
25) (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) (1điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam 
giác vuông tại B, AB = a, AA = 2a, AC = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC, I là giao điểm 
của AM và AC. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đền mặt phẳng 
(IBC). 
 Hướng dẫn: 
Trên mặt phẳng AACC, kẻ IH // AA cắt AC tại H. Vì AA  (ABC) 
 IH  (ABC)  IH là đường cao của của tứ diện IABC. 
AAC vuông tại A nên 2 2 2 2' ' 9 4 5AC A C A A a a a     
ABC vuông tại B nên 2 2 2 25 2BC AC AB a a a     
Diện tích ABC: 21 1. .2
2 2ABC
S AB BC a a a   
Áp dụng định lý Talet: ' ' 1
2
MA A I
AC IC
  (vì M là trung điểm AC). Và 
2
' ' 3
IH CI
A A CA
   2 2 4' .2
3 3 3
aIH A A a   . Thể tích 
3
2
.
1 1 4 4. .
3 3 3 9I ABC ABC
a aV S IH a   (đvtt) 
Trên mặt ABBA kẻ AK  AB tại K. Ta có BC  BA và BC  AA  BC  (AAB)  BC  AK 
Vậy AK  (ABC)  AK là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) 
Thể tích hình chóp A.ABC: 
3
2
'. . '
1 1 2. ' .2
3 3 3A ABC ABC A A BC
aV S A A a a V    
 ABC vuông tại B nên diện tích: 2 2 2'
1 1 1' . ' . 5.2 5
2 2 2A BC
S A B BC A A AB BC a a a     
Ta có . ' '
1 .
3A A BC A BC
V S AK  
3
. '
2
'
23.3 2 2 53
55 5
A A BC
A BC
a
V a aAK
S a
    (đvtt) 
26) (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) (1điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có BB = a, góc 
giữa đường thẳng BB và mặt phẳng (ABC) bằng 060 ; ABC vuông tại C và  060BAC  . Hình chiếu 
vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của ABC. Tính thể tích khối tứ diện 
AABC theo a. 
 Hướng dẫn: 
Gọi H là trọng tâm ABC, BH  (ABC)  góc giữa đường thẳng 
BB và mặt phẳng (ABC) là  0' 60B BH   BBH là nửa tam giác 
đều  
2
aBH  và 3'
2
aB H  
Gọi M là trung điểm AC  3 3
2 4
aBM BH  
Gọi x là độ dài cạnh AB của nửa tam giác đều ABC, ta có: 
22 2
2 2 2 3 9
4 2 16
x x aMC BC BM
             
  
2 2 2 3 1312 9
13
ax x a x     3 13 3 39,
26 26
a aAC BC   
21 9 3.
2 104ABC
aS AC BC  
Ta có (ABC) // (ABC) và B có hình chiếu lên (ABC) là H nên đường cao của tứ diện AABC là BH. 
Thể tích tứ diện AABC: 
2 3
'
1 1 9 3 3 9. ' . .
3 3 104 2 208A ABC ABC
a a aV S B H   (đvtt) 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 32 
27) (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 
vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 060 . Gọi I 
là trung điểm của cạnh AD. Biết rằng hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
 Hướng dẫn: 
Diện tích thang vuông: 
  21 3
2ABCD
S AB CD AD a   
(SBI)  (ABCD), (SCI)  
(ABCD), (SBI) (SCI) = SI  
SI  (ABCD)  SI là đường cao 
của hình chóp S.ABCD. 
Kẻ IK  BC tại K, ta có BC  
SI, BC  IK  BC  (SIK)  
BC  SK  góc giữa hai mặt 
phẳng (SBC) và (ABCD) là  060SKI  . Ta có 2 2(2 ) 5BC a a a   , 21 .
2ABI
S AI AB a  , 
21 .
2 2IDC
aS DI DC  , 
23
2BIC ABCD ABI IDC
aS S S S     
22 3 3 5
55
BICS a aIK
BC a
   
 3 5 3 15.tan . 3
5 5
a aSI IK SKI   . Thể tích 
3
2
.
1 1 3 15 3 15. .3 .
3 3 5 5S ABCD ABCD
a aV S SI a   
28) (Đề thi CĐ năm 2010 – Khối A, B, D) (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt 
phẳng đáy bằng 045 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. 
 Hướng dẫn: 
Gọi I trung điểm AB. Ta có (SAB)  (ABCD) = AB, (SAB)  (ABCD), 
SA = SB nên suy ra SI  (ABCD)   045SCI  là góc giữa đường thẳng 
SC và mặt phẳng đáy  SI = IC = 
2
2 2 2 5
4 2
a aBC BI a    
Thể tích khối chóp S.ABCD là 
31 5.
3 6ABCD
aV S SI  (đvtt) 
29) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối D) (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 
4
ACAH  . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể 
tích khối tứ diện SMBC theo a. 
 Hướng dẫn: 
2
4
aAH  , 2 2 14
4
aSH SA AH   , 3 2
4
aHC  , 
2 2 2SC SH HC a    SC = AC SAC cân tại C, CM là 
đường cao  CM trung tuyến  M trung điểm SA 
M trung điểm SA  1
2SCM SCA
S S  . .
1
2B SCM B SCA
V V hay 
. .
1
2S MBC S ABC
V V = 
21 14.
6 48ABC
aS SH  
30) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối B) (1điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có AB = a, góc 
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối 
lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 33 
 Hướng dẫn: 
Gọi D là trung điểm BC  AD  BC và AD  BC   0' 60A DA  là góc 
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Tam giác đều ABC có AD = 3
2
a 
nên 
23 3' . tan ' ;
2 4ABC
a aAA AD A DA S   . Do đó 
3
. ' ' '
3 3. '
8ABC A B C ABC
aV S AA  
Gọi H là trọng tâm ABC  1
' 3
DH DG
DA DA
   GH // AA  GH  
(ABC). Gọi E là trung điểm AG, trung trực AG cắt GH kéo dài tại I. Ta có 
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là 
2.
2
GE GA GAR GI
GH GH
   với 
1
' 3 2
GH aGH
AA
   , 3
3
aAH  , 
2
2 2 2 7
12
aGA GH AH   . Do đó 
27 2 7.
2.12 12
a aR
a
  
31) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối A) (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. 
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = 3a . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 
 Hướng dẫn: 
2 2 2
2 5
8 4 8CDNM ABCD AMN BCM
a a aS S S S a       . 
Thể tích 
3
.
1 5 3.
3 24S CDNM CDNM
aV S SH  
Trong mp(SHC), kẻ HK  SC. Ta có ADM = DCN  
 ADM DCN DM CN   với DM  SH  DM  (SHC)  
DM  HK  HK là đường vuông góc chung của SC và DM  
khoảng cách giữa DM và SC là HK. Ta có CN = 5
2
a , NDC vuông 
tại D có DH là đường cao  
2 2 5
5
CD aCH
CN
  . 
SHC vuông tại H có HK là đường cao  2 2 2 2
1 1 1 19 2 3
12 19
aHK
HK SH CH a
     
32) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối D) (1điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 
BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3a và  030SBC  . 
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 
 Hướng dẫn: 
Gọi H là hình chiếu của S xuống BC. Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC). 
Ta có 0.sin 30 3SH SB a  . Thể tích khối (SABC) = 
1 .
3 ABC
S SH 
1 1( 3 3 2 3
3 2
3a.4a).a a 
Ta có: Tam giác SAC vuông tại S, vì SA = 21a ; SC = 2a; AC = 5a. 
Diện tích SAC = 2 21SACS a . d(B,(SAC)) = 
3 SABC
SAC
V
S
= 
3
2
3.2 3
21
a
a

6
7
a 
B C
A
S
H
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 34 
33) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối B) (1điểm) Cho lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình chữ 
nhật; AB = a, AD = 3a . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao 
điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADDA) và (ABCD) bằng 060 . Tính thể tích khối lăng trụ 
đã cho và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ABD) theo a. 
 Hướng dẫn: 
Ta có : OI = 
2
a , OIA là nửa tam giác 
đều  AI = 2OI = a 
1 1 11ABCD.A B C D
V = 3. 3.
2
aa a = 
33
2
a 
Gọi K là điểm chiếu của B xuống mặt 
phẳng ABCD. Ta có BK//AO nên d (B, 
ABD) chính là đường cao vẽ từ K của 
OBK. 
21 1 3. 3
2 2 4OBK
aS a a  = 1 .
2
OB KH  
KH = 
2 3 1 32. .
4 2
a a
a
 
34) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối A) (1điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại 
B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là 
trung điểm của AB; Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng 
(SBC) và (ABC) bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB 
và SN theo a. 
 Hướng dẫn: 
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC)  SA  (ABC). 
AB  BC  SB  BC   060SBA  là góc giữa (SBC) và (ABC). 
 0. tan 60 2 3SA AB a  . Mặt phẳng qua SM và song song với 
BC, cắt AC tại N  MN //BC và N là trung điểm AC. 
,
2 2
BC ABMN a BM a    . Diện tích 
21 3( )
2 2BCNM
aS BC MN BM   ; 3.
1 . 3
3S BCNM BCNM
V S SA a  
Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N, song song với AB. Hạ AI  ∆ (D); 
d(AB, SN) = d(AB, (SNI)) = d(A, (SND)). Hạ AH  SI (HSI), 
ta có   SA,   AI    (SAI)  AH  (SND). 
Do đó d(A, (SND)) = AH. 
SAI vuông tại A, có: AH  SD và AI = MN = a 
2 2
. 2 39( , )
13
SA AD ad AB SN AH
SA AD
   

600
I
O
A' D'
C'B'
B C
DA
K
600
P
N
M
A C
B
S
I