Hình học không gian cấp tốc

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Quan hệ song song
Hai đường thẳng song song
* Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
* Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
* Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
* Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
* Ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn. Điểm đó còn được gọi là trọng tâm của tứ diện.
* Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua hai đường thẳng song song.
Đường thẳng song song với mặt phẳng 
* Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 
* Một đường thẳng (không nằm trên mặt phẳng ) song song với khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm trong .
* Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng , song song với mặt phẳng , thì giao tuyến của và (nếu có) song song với .
* Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
* Cho hai đường thẳng , chéo nhau. Khi đó, luôn tồn tại duy nhất mặt phẳng chứa , song song với .
Hai mặt phẳng song song
* Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung 
* Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và song song với mặt phẳng thì song song với . 
* Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
* Qua một điểm đường thẳng song song với một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
* Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. 
* Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 
* Định lý Ta lét:
+ Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. 
+ Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau và lần lượt lấy các điểm , , và , , sao cho: 
Khi đó ba đường , , lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. 
Quan hệ vuông góc
Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc
* Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với và .
* Gọi , lần lượt là các véc-tơ chỉ phương của , . Ta có
.
* Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
* Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng ấy. 
* Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc .
* Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng có hình chiếu lên mặt phẳng là đường thẳng . Khi đó, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với khi và chỉ khi nó vuông góc với .
* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (nếu hình chiếu đó là một điểm thì xem góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng ).
Góc giữa hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc 
* Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
* Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng . 
* Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
* Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Khoảng cách 
* Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc một đường thẳng) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng).
* Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song với là khoảng cách từ một điểm nào đó của lên .
* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm nào đó trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.
* Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với hai đường thẳng đó.
+) Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau và chéo nhau thì ta thường tìm đường vuông góc chung như sau: Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng thứ nhất và vuông góc với đường thẳng thứ hai tại điểm . Đường vuông góc chung của chúng là đường thẳng đi qua nằm trong là vuông góc với đường thẳng thứ nhất.
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bằng
-) Độ dài đường vuông góc chung.
-) Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
-) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
THỂ TÍCH
Công thức tính thể tích khối chóp
, trong đó: là diện tích đáy, là chiều cao.
Công thức tính thể tích khối lăng trụ
, trong đó: là diện tích đáy, là chiều cao.
Công thức tỷ số thể tích
Công thức: Cho hình chóp tam giác có , , lần lượt thuộc , , (, , đều không trùng với ). Khi đó ta có
.
Chú ý: Công thức nói trên chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Nếu khối chóp không phải là khối chóp tam giác thì cần chia khối chóp thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức nói trên cho từng khối chóp tam giác.
BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ
Khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy
[TN2009] Cho hình chóp có mặt bên là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. 
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại với biết vuông góc với đáy và hợp với đáy một góc .
Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 
Tính thể tích hình chóp .
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh biết vuông góc với đáy và hợp với đáy một góc . Tính thể tích hình chóp .
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc đáy và mặt bên hợp với đáy một góc .
Tính thể tích hình chóp .
Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Cho hình chóp có . Hai mặt và cùng vuông góc với . Tính thể tích hình chóp.
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại với biết vuông góc với đáy và hợp với một góc . Tính thể tích hình chóp .
Cho hình chóp có đáy vuông tại và vuông góc với đáy biết , hợp với một góc và hợp với một góc . Chứng minh rằng . Tính thể tích hình chóp. 
Cho tứ diện có biết , , .
Tính thể tích .
Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Cho khối chóp có đáy là tam giác cân tại với , góc , biết và mặt hợp với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .
Cho khối chóp có đáy là hình vuông biết , và hợp với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp.
Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật biết rằng , hợp với đáy một góc và , . Tính thể tích khối chóp.
Cho khối chóp có đáy là hình thoi cạnh và góc nhọn bằng và , biết rằng khoảng cách từ đến cạnh . Tính thể tích khối chop .
[ĐHA09] Cho khối chóp có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD. 
[ĐHA08?] Cho hình chóp có đáy là hình thang, , , , SA vuông góc với đáy và SA=2a.Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SD.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, và . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC). Đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A, độ dài đường trung tuyến . Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 450 và góc ^SBA=300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA (ABC), góc . Gọi M là trung điểm của SB. Cm (SAB) (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA= và SA vuông góc với đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a.Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mp (ABC) lấy điểm D sao cho CD=a.Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và AD tại E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và Ab=a, AD=b,SA=c.Lấy các điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB’ vuông góc với SB,AD’vuông góc với SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc mp(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB= 600, BC= a, SA = . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh (SAB) ^ (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). AB = a, BC = và SA = a. Một mặt phẳng qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA=a.Gọi M là trung điểm SC
a. Mp đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành 2 phần.Tính thể tích của mỗi phần
b. Tính góc tạo bởi mp () và mp (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình chữ nhật có AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy; cạnh bên SC hợp với đáy góc và hợp với mặt bên (SAB) một góc .
a. Chứng minh .
b. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a, và .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Mặt phẳng () qua AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N và chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số 
Đáy ABC của hình chóp SABC là tam giác vuông cân (BA=BC). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là . Cạnh bên SB tạo với một góc . Tính diện tích toàn phần của hình chóp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a; AD = b; SA = b là chiều cao của hình chóp. M là điểm trên cạnh SA với SA = x ( 0 < x < b); mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMN theo a, b và x ?
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a và AD=2a.Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy .Mp (SBD) tạo với mặt đáy một góc 450
a. Tính góc giữa hai mp (SCD) và (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ C đến mp (SBD)
c. Gọi M là trung điểm SB, mp (ADM) cắt SC tại N.Tính thể tích khối chóp SAMND
Khối chóp đều
Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 
a. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
b. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
a. Tính thể tích khối tứ diện đều AB ... áy ABC là tam giác cân, AB=AC=5a,BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp đó
Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh DAHK vuông và tính VSABC?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.(K.A 2009)
Cho hình chóp S.ABC. M là điểm trên SA, N là điểm trên SB sao cho và . Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó.
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B', D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD.
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trưng điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc , độ dài các cạnh đáy là . Tính thể tích V của hình chóp
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy , góc . Các cạnh bên nghiêng với đáy một góc . Tính thể tích hình chóp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc . , SB = SD.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC = và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Khối lăng trụ, khối hộp
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
b. Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F.Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,BC=2a,AA’=a.lấy M trên cạnh AD sao cho AM=3MD
a. Tính thể tích khối chóp M.AB’C
b. Tính khoảng cách từ M đến mp (AB’C)
Cho laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng , AB=BC=a, caïnh beân AA’= . Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy DABC vuông tại A, AC = a, góc ACB bằng 600. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Đáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên hình lăng trụ và mặt đáy bằng . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C.
cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều 3 điểm A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600
a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b. Tính thể tích của khối chóp A.BCC’B’ và khoảng cách từ A đấn mp (BCC’B’)
c. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M,N lần lượt là trung điểm B’C’ và C’D’.Mp (AMN) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện.Tính thể tích của hai khối đa diện đó
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC
a. Tính thể tích khối tứ diện ABMN
b. Mp (DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện .Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác AB vuông cân có AB = AC = a. Gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích của hai phần đó ?
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C'D'.
a. Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF).
b.Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF). 
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng a hai đường thẳng AB’ và BC’ vuông góc với nhau. Tính thể tích hình lăng trụ đó theo a.
HÌNH KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
[ĐHA02] Cho hình chóp tam giác đều có đỉnh , có độ dài cạnh đáy bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm các cạnh , . Tính theo diện tích tam giác , biết rằng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .
Giải
Đặt . 
Ta thấy cân tại nên trung tuyến đồng thời là đường cao. Như vậy (1).
Tương tự ta cũng chứng minh được (2).
Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc giữa hai đường thẳng và . 
[ĐHB02] Cho hình lập phương có cạnh bằng .
Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Gọi , , lần lượt là các trung điểm các cạnh , , . Tính góc giữa các đường thẳng và .
[ĐHD02] Cho hình tứ diện có cạnh vuông góc với mặt phẳng ; ; ; . Tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng .
[ĐHA03] 
Cho hình lập phương . Tính số đo góc phẳng nhị diện .
Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc cho hình hộp chữ nhật có trùng với gốc của hệ tọa độ, , , (, ). Gọi là trung điểm của . 
a) Tính thể tích khối tứ diện theo và .
b) Xác định tỷ số để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.
Lời giải.
Đặt . 
Ta thấy cân tại nên trung tuyến đồng thời là đường cao. Như vậy (1).
Tương tự ta cũng chứng minh được (2).
Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng và chính là góc giữa hai đường thẳng và . 
Áp dụng định lý Pitago, ta tính được: , , .
Thành thử .
 [ĐHB03] Cho hình lăng trụ đứng   có đáy là một hình thoi cạnh , góc . Gọi là trung điểm cạnh và là trung điểm cạnh . Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh theo để tứ giác là hình vuông.
[ĐHD03] Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng . Trên lấy hai điểm , với . Trong mặt phẳng lấy điểm , trong mặt phẳng lấy điểm sao cho , cùng  vuông góc với và . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo .
[ĐHA04] Trong không gian với hệ tọa độ cho hình chóp tứ giác có đáy là hình thoi, cắt tại gốc tọa độ . Biết , , . Gọi là trung điểm của cạnh .
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
b) Giả sử mặt phẳng cắt đường thẳng tại điểm . Tính thể tích khối chóp .
[ĐHB04] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng (). Tính của góc tạo bởi hai mặt phẳng và theo . Tính thể tích khối chóp theo và .
[ĐHD04]
[ĐHB05]
[ĐHA06] Cho hình trụ các đáy là hai hình tròn tâm và , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng . Trên đường tròn đáy tâm lấy điểm , trên đường tròn đáy tâm lấy điểm sao cho . Tính thể tích của khối tứ diện .
[ĐHB06] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , , và vuông góc với mặt phẳng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh rằng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .Tính thể tích của khối tứ diện .
[ĐHD06] (thể tích)Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với mặt phẳng . Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng và . Tính thể tích khối chóp .
[ĐHA07] Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh . Mặt bên là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Chứng minh và tính thể tích khối tứ diện .
Lời giải.
Lấy , lần lượt là trung điểm của , .
* Ta có: là đường trung bình của (1). Hơn nữa: tứ giác là hình bình hành (2) . Từ (1), (2) suy ra (3). 
* là trung tuyến của tam giác cân . Mặt khác: là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc và nên . Lại có . Từ đó suy ra (4). Lại có (c.g.c) . Đặt . Ta có (5). Từ (4), (5) suy ra: (6).
* Từ (3), (6) suy ra: . Hơn nữa: . Do đó: (ĐPCM).
[ĐHB07] Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh . Gọi là điểm đối xứng của qua trung điểm của , là trung điểm của , là trung điểm của . Chứng minh vuông góc với và tính (theo ) khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
[ĐHD07] Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình thang, trong đó , , . Giả sử vuông góc với đáy và . Chứng minh là tam giác vuông và tính (theo ) khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Lời giải.
Theo giả thiết: , lại có . Do đó (1).
Lấy là trung điểm của . Dễ thấy tứ giác là hình vuông vuông tại , nói cách khác: (2).
Từ (1) (2) suy ra , lại có . Do đó: (ĐPCM).
[ĐHA08] Cho lăng trụ có độ dài các cạnh bên bằng , đáy là tam giác vuông tại , , và hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là trung điểm của . Tính theo thể tích khối chóp và tính của góc giữa hai đường thẳng và .
[ĐHB08] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , và mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Tính theo thể tích khối chóp và tính của góc giữa hai đường thẳng và .
[ĐHD08] Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, , cạnh bên . Gọi là trung điểm của . Tính theo thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
[ĐHA09] Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Tính thể tích khối chóp theo .
[ĐHB09] Cho hình lăng trụ tam giác có , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng ; tam giác vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác . Tính thể tích khối tứ diện theo . ĐS: .
[ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , , . Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và . Tính theo thể tích khối tứ diện và khoảng cách từ đến mặt phẳng . ĐS:  , .
[ĐHA10] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và ; là giao điểm của với . Biết vuông góc với mặt phẳng và .Tính thể tích khối chóp và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
[ĐHB10] Cho lăng trụ tam giác đều có , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Gọi là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo .
[ĐHD10] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên ; hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là điểm thuộc đoạn , . Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh là trung điểm của và tính thể tích khối tứ diện theo .
[ĐHA11] Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , ; hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trung điểm của ; mặt phẳng qua song song với , cắt tại . Biết góc giữa hai mặ phẳng và bẳng . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
[ĐHB11] Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật. , . Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng trùng với giao điểm và . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo .
Lời giải.
[ĐHD11] Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , ; mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết và . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo .