Hình học 12: Chuyên đề thể tích khối đa diện

Ba bài tập quan trọng cần thuộc lòng.
Bài 1. Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm A’, B’ và C’ không trùng với S. 
Chứng minh rằng: , với V1 và V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
Bài 2. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V1. Gọi V2 là thể tích của khối tứ diện C’ABC.
Chứng minh rằng V2 = V1
Bài 3. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V1. Gọi V2 là thể tích của khối tứ diện ACA’B’.
Chứng minh rằng V2 = V1
Bài giải. Bài 1. Ta có V1 = VA’.SB’C’ = = = (1)
(với H’ là hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(SB’C’))
V2 = VA.SBC = = (2)
(với H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(SBC))
Hơn nữa: vì S, A’ và A thẳng hàng nên S, H’ và H cũng thẳng hàng 
và A’H’ song song với AH, suy ra (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra (đpcm)
Bài 2. V1 = SABCD.h (với h là chiều cao khối hộp)
V2 = .SABC.h = . SABCD.h = .V1 (điều phải chứng minh) 
Bài 3. Ta có V2 = VB’.ACA’ = VB’.A’C’C (vì SACA’ = SA’C’C)
= VC.A’B’C’ = .SA’B’C’.h (h là khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ) 
= .V1. Từ đó suy ra V2 = .V1 
Áp dụng Bài 1, giải bài toán sau:
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 600. Trên các cạnh SB và SC lấy các điểm B’ và C’ sao cho , . Tính thể tích khối tứ diện SAB’C’
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC đều cạnh a, ta có:
Ÿ SO là chiều cao của khối chóp S.ABC
Ÿ Diện tích ABC là SABC = (a)2. = 
Ÿ và AO = = a 
Ÿ Thể tích khối chóp S.ABC là: V = .SABC.SO = 
Mặt khác: = 1.. Suy ra VS.AB’C’ = (đvtt)
Áp dụng Bài 3, giải bài toán sau (đề thi HKI lớp 12 năm học 2009 – 2010 của Sở GD Đồng Nai)
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’
Giải: Vì ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ tam giác đều nên:
* Ta có VABB’C’ = VC’.ABB’ = VC’.AA’B’ = VA.A’B’C’ = .SA’B’C’.AA’ = .a2.2a 
= (đvtt)
Nhắc lại một số khái niệm quan trọng liên quan đến khối chóp và lăng trụ:
F Trong bài toán: “cho khối chóp tam giác đều S.ABC” là ta hiểu đã có các giả thiết: 
1. Đáy ABC là một tam giác đều
2. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp đáy trùng với tâm của đáy 
3. Các cạnh bên bằng nhau
4. Các cạnh bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau
5. Các mặt bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau 
F Còn nói đến “cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều” thì ta chỉ có một giả thiết “tam giác ABC đều” 
F Tứ diện đều là khối chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng các cạnh đáy
F Tương tự phân biệt giữa hai khái niệm: “cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD” (tứ giác đều là hình vuông) và “cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông” 
F Nói đến “cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’” tức là lăng trụ đó có 
1. Đáy là tam giác đều và 
2. Cạnh bên vuông góc với mặt đáy
F Còn nói đến “cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều” tức là lăng trụ đó có đáy là tam giác đều chứ cạnh bên không hẳn vuông góc với đáy
F Nói đến “cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’” tức là ta có lăng trụ với đáy là một hình bình hành.
F Nói đến “cho khối hộp đứng ABCD.A’B’C’D’” tức là ta có lăng trụ với đáy là một hình bình hành và cạnh bên vuông góc với mặt đáy 
F Nói đến “cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’” tức là ta có lăng trụ với 
1. Đáy là hình chữ nhật và
2. Cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Một số bài tập hay dùng luyện thi.
Bài 1. Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a. Hạ AK A1D (KA1D). CMR: AK = 2.
b. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1
Bài 2. Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 là tam giác đều. mp(A1BC) tạo với đáy một góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1 
Bài 3. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và = 450. AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. 
Hãy tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
Bài 4. Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A1B1C1D1
Bài 5. Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình chữ nhật với AB = , AD = , cạnh bên bằng 1. Hai mặt bên (ABB1A1) Và (ADD1A1)lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600.
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A1B1C1D1 .
Bài 6. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 mà mặt bên ABB1A1 có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh CC1 và mặt (ABB1A1) bằng 7.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 
Bài 7. Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB =. Cho biết mp(AA1B)(ABC), AA1= , góc nhọn, góc giữa mp(A1AC) và mp(ABC) bằng 600.
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1 
Bài 8. Tính thể tích của khối hộp nếu biết độ dài cạnh bên bằng a, diện tích hai mặt chéo bằng S1, S2 và góc giữa hai mặt chéo là .
Bài 9. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà trung đoạn của nó bằng 6 còn góc giữa hai mặt bên đối diện bằng 600. Qua CD, dựng mp()mp(SAB), cắt SA, SB lần lượt tại P1 và P.
Tính thể tích khối chóp S.CDP1P
Bài 10. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và . Tính thể tích khối chóp.
Bài 11. Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất?
Bài 12. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng 2a. Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp để thể tích của nó nhỏ nhất?
Bài 13. Khối chóp S.ABC có SA(ABC), tam giác đáy ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD = a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc và tạo với mặt (SAD) góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 14. Biết thể tích khối hộp ABCD.A1B1C1D1 bằng V, tính thể tích khối tứ diện ACB1D1.
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh: VABCD=AB.CD.d.sin
Bài 16. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) và SA=2a. Gọi B1, D1 lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD, mp(AB1D1) cắt SC tại C1. Tính thể tích của khối chóp S.AB1C1D1.
Bài 17. Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: 
AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
Bài 18. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1
có cạnh đáy bằng a, Chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp A.BC1A1.
Bài 19. khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B1, D1 lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mp(AB1D1) Cắt SC tại C1. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB1C1D1 và S.ABCD.
Bài 20. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. mp()đi qua A, B và trung điểm M của cạnh SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Bài 21. Cho khối lập phương ABCD.A1B1C1D1cạnh a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1.
a) Dựng thiết diện của khối lập phương cắt bởi (AEF)
b) Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF).
Bài 22. Cho tứ diện ABCD.
1) Biết hình chiếu H của A lên (BCD) trùng với trực tâmBCD và ABAC. CMR: ACAD và ADAB
2) Biết BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân đường cao của tứ diện kẻ từ A, J là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH=h, HJ=d. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo h và d.