Hệ toạ độ đề các vuông góc trong không gian. Toạ độ của véc tơ và của điểm

Đ1 hệ toạ độ đề các vuông góc trong
không gian. toạ độ của véc tơ và của điểm
1. Hệ toạ độ Đề các vuông góc trong không gian
Trục:ox,oy,oz
Cho ba trục Ox ^ Oy ^Oz ^ Ox Gọi các véc tơ là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục đó. Hệ trục như vậy gọi là hệ trục toạ độ đề các vuông góc trong không gian.
Trục Ox gọi là trục hoành
Trục Oy gọi là trục tung
Trục Oz gọi là trục cao
2. Toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ
- Cho hệ toạ độ Oxyz và một véc tơ tuỳ ý . vì ba véc tơ không đồng phẳng nên $ ! (x ; y ; z) sao cho : 
Bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ của véc tơ và kí hiệu là : 
Vậy : 
3. Định lí - các phép toán của toạ độ 
Đối với hệ toạ độ Oxyz nếu thì ta có :
Chứng minh : ( Sgk)
4. Toạ độ của một điểm 
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M bất kỳ. Toạ độ của véc tơ là toạ độ điểm M
Từ đó ta có : 
5. Định lí 
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(x ; y ; z) , B(x’;y’;z’) khi đó :
6. Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước
Bài toán : Giả sử điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k ạ 1). Hãy tìm toạ độ điểm M
Giải
Phân tích bài toán theo toạ độ và các tính chất đã học ta có :
Nếu M là trung điểm AB thì ta có toạ độ của M là trung bình cộng toạ độ hai điểm A và B:
Đ2 biểu thức toạ độ của tích vô hướng
tích có hướng của hai véc tơ và áp dụng
1. Định lí:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ 
(*) thì :
(1)
Công thức (1) gọi là biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai véc tơ
Ta có : 
2. Khoảng cách giữa hai điểm 
Cho A( x ; y ; z) : B(x’ ; y’ ; z’) ta có
(2)
3. Góc giữa hai véc tơ
Cho hai véc tơ (*) gọi j là góc giữa hai véc tơ ta có
Hệ quả:góc của hai đường thẳng
Hệ quả:góc của hai mặt phẳng
4. Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
a) Bài toán : Chứng minh rằng hai véc tơ (*) cùng phương khi và chỉ khi cả ba định thức cấp 2 đều bằng không 
Chứng minh : sgk
b) Định nghĩa : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ 
c) Tính chất : 
d)Diện tích hình bình hành ABCD: 
e) Diện tích tam giác
f) Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ
g) Thể tích hình hộp
h)Thể tích hình chóp ABCD:
Bài tập về nhà số 1
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 
a)Tính 
b)
Bài 2:
a)CM:A,B,C là ba đỉnh của một tam giác 
b)Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành.
c)Tìm toạ độ trong tâm của tam giác ABC.
d)Tính diện tích của hình bình hành ABCD ở trên.
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D có toạ độ xác định bởi các hệ thức 
A(2;4;-1),
a)CMR:
b)Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D có toạ độ A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1);D(7;-2;3)
a)CMR:A,B,C,D đồng phẳng.
b)Tính diện tích tứ giác ABDC.
Bài 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A,B,C:A(2;-1;3);B(-10;5;3);C(2m-1;2;n+2)
a)Tìm m,n để A,B,C thẳng hàng
b)Tìm trên oy điểm N để tam giác NAB cân tại N.
c)Với m=3/2,n=7 CMR:tam giác ABC không vuông khi đó tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường phân giác trong và phân giác ngoài góc A.
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho 4 điểm A(6;-2;3),B(0;1;6),C(2;0;-1),D(4;1;0)
a)CM:A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b)Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c)Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB) và (CD).
Bài 7:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho ba điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)
a)CMR:Tam giác ABC đều và tính diện tích tam giác ABC.
b)Tìm điểm S trên trục ox sao cho hình chóp S.ABC đều.
Bài 8:Trong không gian với hệ trục oxyz cho A(1;3;1),B(-4;3;3)
đường thẳng AB cắt mp(oyz) tại điểm M
a)Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào?
b)Tìm toạ độ điểm M .
c)Tìm điểm C thuộc mp(Oxy) sao cho A,B,C thẳng hàng.
Bài 9:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;-1;2),
C(3;-1;1),B’(3;5;-6),D’(1;4;-6).
a)Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b)Tính thể tích của hình hộp.
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1),
B(2;1;2),C’(4;5;-5),D(1;-1;1).
a)Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b)Tính thể tích của hình hộp.
Đáp án:
Đ3 phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
1.1.Định nghĩa: Véc tơ được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) nếu nó nằm trên đường thẳng D ^ (a).
Kí hiệu : 
Giả sử M0 ẻ (a) ị "M ẻ (a) Û 
Vậy một nặt phẳng được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ pháp tuyến của nó
1.2.Chú ý : Cho không cùng phương và cùng //(a) thế thì là một véc tơ pháp tuyến của mp(a)
- Hai véc tơ trên gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mp(a)
- Để các định véc tơ pháp tuyến của mp đi qua A, B, C ta xác định véc tơ pháp tuyến bằng cách 
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong hệ toạ độ Oxyz
2.1.Định lí: Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình dạng 
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
với A2 + B2 + C2 ạ 0, và ngược lại tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn (1) là một mặt phẳng
Chắng minh : sgk
2.2. Định nghĩa. Phương trình dạng 
Ax + By + Cz + D = 0 (1) ( A2 + B2 + C2 ạ 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
2.3 Chú ý :
* Nếu M0(x’ ; y’ ; x’) ẻ (a) và thì phương trình của (a) là : 
A(x - x’) + B(y - y’) + C(z - z’) = 0
*Nếu (a) có phương trình (1) thì nó có véc tơ pháp tuyến là : 
3. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
3.1) D = 0 ị (a) đi qua gốc toạ độ
3.2) Một trong ba hệ số A, B, C bằng không thì mặt phẳng chứa hoặc song song với trục tương ứng 
3.3) Nếu hai trong ba hệ số bằng không thì mặt phẳng vuông góc với trục còn lại
3.4 Phương trình đoạn chắn 
4. Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Lập phương trình mặt phẳng đi qua M(1; -2 ; 3) và // 2x - 3y + z + 5 = 0
Đáp số : 2x - 3y + z -11 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1 ; -2 ; 3), B(2 ; 0 ; 1), C(-1 ; 1 ; -2)
Giải
Bước 1. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Bước 2: Mặt phẳng (ABC) có véc tơ pháp tuyến là : 
Bước 3: Phương trình có dạng
:-4x + 9y + 7z + 1 = 0
Ví dụ 3: Cho A(1 ; 2 ; -5) ; B(3 ; 1 ; 1) tìm tập hợp những điểm M sao cho |MA2 - MB2| = 4
Giải
Gọi M(x ; y ; z) ta có 
MA2 = (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 5)2
MB2 = (x - 3)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
ị4x - 2y + 12z + 19 = 0
Bài 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 
M(x’ ; y’ ; z’) và lần lượt song song với các mặt
Đáp số : //Oxy là z = z’ ; //Oyz là x = x’ và //Ozx là y = y’
Ví dụ 4Bài 3: Lập phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau : 
a) Đđi qua A(1 ; 3 ; -2) và vuông góc với Oy
ị Véc tơ pháp tuyến là (0 ; 1 ; 0) nên phương trình có dạng : y = 3
b) Đáp số : x - 6y + 4z + 25 = 0
c) Đáp số : 2x - y + 3z + 7 = 0
Bài 4: Mặt phẳng trng trục của M1M2:Đáp số x - 2y + 2z + 3 = 0
Đ4 vị trí tương đối của hai mặt phẳng chùm mặt phẳng
1. Một số qui ước, kí hiệu
Cho hai bộ số (A1,A2 An) và (A’1,A’2 A’n). Hai bộ số được gọi là tỉ lệ với nhau nếu :
A1 = tA’1; A2 = tA’2. . .An = tA’n
và kí hiệu : A1:A2 :: An = A’1: A’2 ::A’n
Kí hiệu khác :
2.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng
(a) : Ax + By + Cz + D = 0
(a’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Khi đó 
a) (a) cắt (a’) ÛA : B : C ạ A’ : B’ : C’
b) (a) // (a’) ÛA : B : C = A’ : B’ : C’ và
A : B : C : D ạ A’ : B’ : C’ : D’
c) (a) º (a’) ÛA : B : C : D =A’ : B’ : C’ : D’
VD:
Bài 1.(SGK TR 87) Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng
Đáp số :
a) Cắt nhau
b) cắt nhau
c) Cắt nhau
d) Song song
e) Trùng nhau
Bài 2: Xác định các giá trị l và m để các cặp mặt phẳng song song
a) để hai mặt phẳng song song với nhau điều kiện cần và đủ là :
b) Đáp số : l=1/2 ; m = 4
3. Chùm mặt phẳng
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt có phương trình
(a) : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)
a) Định lí: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a’) đều có phương trình dạng
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’)=0 (2)
(m2 + n2 ạ 0) và ngược lại
b) Định nghĩa . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng trên gọi là một chùm mặt phẳng.
Phương trình (2) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng
c) Ví dụ:
VD1: Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng
2x - y + z + 1 = 0 và x + 3y - z + 2 = 0 và đi qua điểm M(1 ; 2 ;1)
Giải
Phương trình chùm có dạng :
m(2x - y + z + 1) +n(x + 3y - z + 2) = 0
Û(2m+n)x +(3n-m)y + (m-n)z + m + 2n = 0
Điểm M(1 ; 2 ;1) ẻ chùm nên ta có 
(2m+n).1 +(3n-m).2 + (m-n).1 + m + 2n = 0
Û m + 4n = 0 chọn m = 4, n = -1 thay lại ta có
7x - 7y + 5z + 2 = 0
VD2: Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng
2x - y + z + 1 = 0 và x + 3y - z + 2 = 0 và 
a)song song với trục ox
b)vuông góc với mặt phẳng :x+2y-z+3=0
VD3 Hai mặt phẳng cho bởi pt
2x - my + 3z - 6 + m = 0	;(m + 3)x - 2y + (5m + 1) - 10 = 0
a) Hai mặt phẳng song song : Không $ m
b) Hai mặt phẳng trùng nhau Û m = 1
c) Hai mặt phẳng cắt nhau Û m ạ 1
Bài tập về nhà số 2
Bài 1 Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2,3,2) và cặp VTCP là 
Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1,1,1) và 
Song song với các trục 0x và 0y.
Song song với các trục 0x,0z.
Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 3: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1,-1,1) và B(2,1,1) và :
Cùng phương với trục 0x.
Cùng phương với trục 0y.
Cùng phương với trục 0z.
Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ vuông góc với hai véc tơ .
Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là 
Bài 6: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
(P) đi qua điểm A(-1,3,-2) và nhận làm VTPT.
(P) đi qua điểm M(-1,3,-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài7: Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2,6,-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
Bài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , 
(Q) : y-z-1=0 .Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài9: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
(P1): y-z+4=0, và 
2)(P1): 9x+10y-7z+9=0 
Bài 10:Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình : 
(P1): x-y+z-4=0 và (P2) 3x-y+z-1=0
Bài 11: Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P1): y+2z-4=0 và (P2) : x+y-z-3=0 và song song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0.
Bài 12: Lập phương trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1): 3x-y+z-2=0 và (P2): x+4y-5=0 và vuông góc với mặt phẳng (Q):2x-z+7=0.
Đáp số:
Đ5 phương trình của đường thẳng 
1.Véctơ pháp tuyến cuả đường thẳng
2. Véctơ chỉ phương cuả đường thẳng
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong Kg với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng : (a) ầ (a’) = d
Khi đo " M (x ; y ; z) ẻ d Û toạ độ của nó thoả mãn :(1)
trong đó : A : B : C ạ A’: B’ : C’
- Hệ (1) goi là phương trình tổng quát của đường thẳng
Chú ý:
1)
2)Cách chọn điểm M(x0;y0;z0)
3)Đk để hệ (1) là pttq của mặt phẳng
4. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng hoàn toán xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ chỉ phương của nó
Cho điểm M(x0 ; y0 ; z0) ẻ d và véc tơ chỉ phương khi đó mọi điểm M(x ; y ; z) thoả mãn (2)
Hệ phương trình (2) gọi là phương trình tham s ... 
phương pháp:
+Viết Ptts(D) suy ra toạ độ của Cẻ(D)
+Vì tam giác ABC vuông tại A suy ra 
+Giải phương trình suy ra C
+Thử lại xem có tồn tại tam giác không rồi kết luận.
chú ý: Nếu tam giác ABC vuông tại B thì 
	Nếu tam giác ABC vuông tại C thì 
Vd5:Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;9;-2) và 
 Tìm điểm Cẻ(D) sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Đs:
Vd6:Cho hai điểm A(3;1;-2),B(2;3;-4) và đường thẳng (D) tìm điểm Cẻ(D): sao cho diện tích tam giác ABC bằng (đvdt).
Phương pháp 
	+Giả sử tồn tại tam giác ABC tm ycbt
+Viết Ptts(D) suy ra toạ độ của Cẻ(D)
+SABC=
+Kiểm tra xem với C tìm được có lập thành tam giác ABC.
+Kết Luận
Đs:C(1;2;0) hoặc C
Vd7: Cho hai điểm A(2;1;0),B(1;2;-2) và đường thẳng .Tìm điểm Cẻ(D) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
Đs:C(2;3;0).
Phương pháp:
Cách1:(Phương pháp đại số)
	+Giả sử tồn tại tam giác ABC tm ycbt
+Viết Ptts(D) suy ra toạ độ của Cẻ(D)
+SABC=
+Tìm giá trị nhỏ nhất của SABC theo phương pháp tam thức bậc hai suy ra C 
+Kiểm tra xem với C tìm được có lập thành tam giác ABC.
+Kết Luận
Cách2: (Phương pháp hình học)
+Cm (AB) và (D) chéo nhau, Cẻ(D) suy ra luôn tồn tại tam giác ABC
	+SABC nhỏ nhất ịC
Vd8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng 
Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên
Tìm toạ độ các điểm A thuộc (d1), B thuộc (d2) sao cho (AB) song song với mặt phẳng (P): x-y+z-3=0 và AB=
Đs:A(1;1;2),B(1;-1;0) hoặc 
Vd9: Tìm trên đường thẳng điểm M(xM;yM;zM) sao cho nhỏ nhất 
Đs:M(1;-1;-1)
Chú ý:
Bài toán 1:Cho ba điểm A,B,C và (d).Tìm Mẻ(d) sao cho biểu thức (k,m,n=conts)đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
	+ Viết ptts(d),Mẻ(d) suy ra toạ độ điểm M(x0+at;y0+bt;z0+ct)
	+Tính tổng các véctơ 
	+Tính 	
Bài toán 2: Cho ba điểm A,B,C và (d).Tìm Mẻ(d) sao cho biểu thức kMA2+mMB2+nMC2 (k,m,n=conts) đạt GTNN hoặc GTLN.
Phương pháp:
	+ Viết ptts(d),Mẻ(d) suy ra toạ độ điểm M(x0+at;y0+bt;z0+ct)
	+ Tính tổng kMA2+mMB2+nMC2=a1t2+b1t+c1
	+Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai như bài toán 1 tìm GTNN hoặc GTLN của a1t2+b1t+c1suy ra tịM
Vd10:Cho hai điểm A(1;3;-2),B(3;-11;-2) và Tìm trên (d) một điểm M sao cho nhỏ nhất.
Đs:M(1;-3;-3).
Vd11:Cho hai điểm A(1;-1;2) , B(3;-1;4) và Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Đs:M(-1;-1;0)
Vd12:Cho ba điểm A(2;0;1),B(2;-1;0),C(1;0;1) và Tìm trên (d) một điểm M sao cho nhỏ nhất.
Đs:
Vd13: Cho hai điểm A(2;1;-1) , B(1;2;1),C(0;0;3) và Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Đs:
Vd14:Cho ba điểm A(1;-2;1),B(2;-1;-4),C(3;0;-2) và đường thẳng 
1) Tìm trên (d) một điểm M sao cho nhỏ nhất.
2)Tìm điểm M thuộc (d) sao cho -MA2+MB2-MC2 đạt giá trị lớn nhất.
Đs: 
Vd15:Cho A(1;1;0),B(3;-1;4) và Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Đs:M(1;-1;2)
Phương pháp:
Cách1:
	+Viết ptts(d):,Mẻ(d)ịM(x0+at;y0+bt;z0+ct)
	+MA+MB=
+Xét A0(m;d1;0),B0(n;d2;0),M0(t;0;0) sao cho d1d2<0 suy ra A0,B0,M0 thuộc mp(oxy) và A0,B0 nằm về hai phía khác nhau của trục hoành còn M0 thuộc trục Ox.
+Ta có MA+MB=
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A0,M0,B0 thẳng hàng.
+Vậy MA+MB nhỏ nhất Û A0,M0,B0 thẳng hàngÛ
Cách2: +Viết ptts(d):,Mẻ(d)ịM(x0+at;y0+bt;z0+ct)
	+MA+MB=
	+CM BĐT:
	Chú ý :Để dấu = xảy ra ta chọn c,d là hai hằng số cùng dấu,a+b=conts
	+áp dụng:a=t-m,c=d1,b=n-t,d=d2(với d1.d2>0)
Vd16:Cho A(9;0;9),B(12;-6;-3) và (d):.Tìm điểm M ẻ(d) sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Đs:M(0;0;9).
Phương pháp:
Cách1:
	+Viết ptts(d):,Mẻ(d)ịM(x0+at;y0+bt;z0+ct)
	+=
+Xét A0(m;d1;0),B0(n;d2;0),M0(t;0;0) sao cho d1d2>0 suy ra A0,B0,M0 thuộc mp(oxy) và A0,B0 nằm về cùng một phía của trục hoành còn M0 thuộc trục Ox.
+Ta có =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A0,M0,B0 thẳng hàng.
+Vậy lớn nhất Û A0,M0,B0 thẳng hàngÛ
Cách2: +Viết ptts(d):,Mẻ(d)ịM(x0+at;y0+bt;z0+ct)
	 +=
	+CM BĐT:
	Chú ý :Để dấu = xảy ra ta chọn c,d là hai hằng số cùng dấu,a-b=conts
	+áp dụng:a=t-m,c=d1,b=t-n,d=d2(với d1.d2>0)
Bài1: cho điểm A(1;2;-1) và đường thẳng (d) có phương trình : .Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d) .
Bài2: cho điểm A(2;1;-3) và đường thẳng (d) có phương trình : .M là một điểm di động trên (d) Tìm toạ độ điểm M sao cho MA đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài3: Tìm trên đường thẳng (d) điểm M(xM;yM;zM) sao cho nhỏ nhất ,biết:
 2) 3)
Bài4:Cho ba điểm A(2;2;-1),B(4;-2;-1),C(3;2;-1) và (d):
1)Tìm điểm Msao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
2)Tìm điểm Msao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
3)Tìm điểm Msao cho MA2+MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
4 )Tìm điểm Msao cho MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
5)Tìm điểm Msao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất.
6)Tìm điểm Msao cho đạt giá trị lớn nhất.
7)Tìm điểm Msao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
8) Tìm điểm Msao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
9)Tìm điểm Msao cho MA2+2MB2 +3MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
10)Tìm điểm Msao cho tam giác ABM vuông tại A
Bài5:Cho tam giác nhọn ABC biết A(1;2;2),B(3;1;0);C(1;2;4).
1)Tìm toạ độ điểm G sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
2)Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
3)Gọi M là một điểm di động trên các cạnh của tam giác ABC xác định toạ độ điểm M sao cho MG nhỏ nhất.
Bài6:Cho điểm A(1;1;2),B(2;-1;5) và đường thẳng xác định toạ độ điểm M ẻ(D) (nếu có )sao cho MA=2MB.
Bài7:Cho điểm A(3;1;0) và hai đường thẳng .Tìm điểm Bẻ(D1),Cẻ(D2) sao cho tam giác ABC đều.
Đs:B(2;2;4),C(-1;2;1)...
Bài8:Cho hai điểm A(2;1;0),B(1;2;-2) và đường thẳng .Tìm điểm Cẻ(D) sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Chuyên đề 5:	Lập phương trình mặt cầu
Chú ý:
Vd1:Lập phương trình mặt cầu biết tâm I(2;-1;3) và đi qua A(-2;4;1)
Đs: 
Vd2:Cho A(1;3;5),B(3;1;-1).Lập phương trình mặt cầu đường kính AB.
Đs:
Vd3: Lập phương trình mặt cầu biết tâm I(3;2;1) và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x+2y+2z-3=0
Đs: 
Vd4: Lập phương trình mặt cầu biết tâm I(1;2;-1) và mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng (D):
Đs: 
Vd5:Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2;3;-1) và cắt (d):
tại hai điểm A,B sao cho AB=16.
Đs:(S): 
Vd6:Lập phương trình mặt cầu tâm I(0;2;-1) và (P):2x+y-2z-1=0 cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn (C)
1)Có diện tích là 16p
2)Có chu vi là 2p
Đs:1) 2) 
Vd7:Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên (P):x+y+z-3=0 và đi qua 3 điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)
Đs: 
Vd8:Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;1;0),B(5;5;0) và 
1)Tâm IẻOx.
2)Tâm Iẻ(d):
Đs:1)	2)
Vd9:Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm Iẻ(d): và mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng 
(P):3x+4y+3=0,(Q):2x+2y-z+39=0
Đs:
Vd10:Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d): và tiếp xúc với đường thẳng tại H(3;1;3).
Đs:
 Vd11:Cho mặt cầu (S) có bán kính R= 1 .Lập phương trình mặt cầu (S) biết tâm Iẻ(d):
và mặt cầu (S) tiếp xúc với (P):2x+y-2z+2=0.
Đs: 
Vd12: Cho mặt cầu (S) có bán kính R=3 .Lập phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với (P):2x+2y+z+3=0 tại M(-3;1;1).
Đs: 
Vd13:Lập phương trình (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P),(Q) lần lượt tại A,B biết (P):y+z=0,(Q):x+z=0,A(1;0;0),B(0;1;0).
Đs:(S):
Vd14:Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (d):và cắt (P):y-z=0 theo thiết diện là một đường tròn lớn có bán kính bằng 4.
Đs: (S):
Vd15: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : , và (P):x+y+z-3=0
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc mp(P) và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1),(d2) lần lượt tại A(3;3;0),B(2;-3;1).
Đs: 
Vd16:Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (d) và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1),(d2) biết
Đs: (S):
Vd17:Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết S(3;1-2);A(5;3;-1),B(2;3;-4),C(1;2;0)
Đs:(S):
Vd18:Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(1;2;0) và có bán kính R=
Đs: 
Vd19:Cho (P):2x+2y+z=0 và A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;3;2).Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và cắt (P) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính r=1.
Đs: 
Vd20:Cho hai đường tròn (C1):,(C2):.Lập phương trình mặt cầu (S) chứa hai đường tròn (C1),(C2).
Đs:(S):
Vd21:Cho (S):x2+y2+z2=1 và (P):x+y+z-1=0. Lập phương trình mặt cầu (S1) đi qua giao điểm của (S) và (P) đồng thời thoả mãn.
1)(S1) đi qua A(2;1;-1).
2)(S1) có tâm thuộc mp(Q):x+y+2z+2=0
3)(S1) tiếp xúc với mp(R):x+1=0
Đs:
Bài1: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết :
Tâm I(2,1,-1), bán kính R=4.
Đi qua điểm A(2,1,-3) và tâm I(3,-2,-1).
Hai đầu đường kính là A(-1,2,3), B(3,2,-7)
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
 (CĐGTVT-2000): Tâm I(1,4,-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
Bán kính R=9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1,1,-3).
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1)và (P2) , biết :
(ĐHL-95): 
 :x+2y-2z-2=0. và :x+2y-2z+4=0.
,
:3x4y+2z-10=0 :2x-3y+4z-10=0
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu có tâm tại giao điểm I của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo thíêt diện là hình tròn có diện tích 12П ,biết :
,(P):x-y-z+3=0
, (P):x+y-2=0.
Bài5: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) và cắt mặt phăng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 18.biết:
 và (P):y+4z+17=0.
Bài 6: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0,0,-3),B(2,0,-1) ,và mặt phẳng 
(P):3x-8y+7z-1=0 .
1) Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều .
2) Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng 
(P):x-y-z-2=0.
Bài7: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
Tâm I(1,2,-1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình : 
Tâm I(3,-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình : 
Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
 ,
Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại điểm H(3,1,3) và có tâm thuộc đường thẳng (d2).
Bài 9: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
 ,
Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : 
Bài10: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
, 
Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1),(d2) lần lượt tại A(0;2;1),B(1;2;3)và có tâm thuộc mặt phẳng (P):2x-y+3z-6=0.
Bài 11: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : ,
(P):2x-y-2z+1=0.
Lập phương trình mặt cầu tâm I(2,-1,3) và cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=12.
Bài 12: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(1,0,1), B(2,1,2),C(1,-1,1),D(4,5,-5).
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài13: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng (P):2x+2y+z+5=0 .
Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường tròn có chu vi bằng 8П .
Bài 14: (ĐHPCCC-2000): Cho đường tròn (C) có phương trình : .Lập hương trình mặt cầu chứa (C) và tiệp xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0.
Bài 15: Cho hai mặt cầu: , 
CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.
Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) đồng thời đi qua điểm M(2,0,1).
 Gv:Đỗ Thế Nhất Trường THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dương
	K25C Toán-Trường ĐHSP Hà Nội 2
	Địa chỉ liên hệ:Nhatks@gmail.com.vn
Rất mong được trao đổi tài liệu cùng bạn đọc.(Tài liệu ụn thi đại học ,ụn thi hsg,ụn thi cao học)
Hóy chia sẻ cỏc bạn sẽ được nhiều hơn nữa.